А. В. Васильев, Флаттер цилиндрической оболочки при внутреннем обтекании сверхзвуковым потоком газа, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2011, номер 5, 61–65

(1)

Общероссийский математический портал

А. В. Васильев, Флаттер цилиндрической оболочки при внутреннем обтекании сверхзвуковым потоком газа, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2011, номер 5, 61–65

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 01:11:45

(2)

гдеdeg(g₁)4. Аналогично для алгебраического дополнения H₆₁ имеем

H61=−h12h25h33h44h56+h12h25h34h43h56+g2, deg(g2)4.

Обозначая Δ =h33h44−h34h43,δ = deg(Δ), получаем

H25=−h12h34h41h56h63−h12Δh56h61+g1, deg(h12h34h41h56h63) = 3, deg(h12Δh56h61) = 2 +δ; (2) H₆₁=−h₁₂h₂₅Δh₅₆+g₂, deg(h₁₂h₂₅Δh₅₆) = 1 +δ. (3) Непосредственно из определений следует, что если v₁, v₂ ∈ K таковы, что deg(v₁) = deg(v₂), то deg(v₁ +v₂) = min{deg(v₁),deg(v₂)}. Поэтому если δ > 1, то в силу (2) deg(H₂₅) = 3, т.е.H₂₅ = 0. Если же δ < 1, то аналогично deg(H₂₅) = 2 + δ и опять же H₂₅ = 0. Наконец, если δ = 1, то в силу (3) deg(H₆₁) = 2, и теперь H₆₁ = 0. Таким образом, по крайней мере одно из алгебраических дополнений H₂₅ иH₆₁ отлично от нуля, поэтому ранг матрицы H не меньше5. Согласно определению 4,rk_K(A)5.

Утверждение полностью доказано.

Теорема 3. Матрица A из примера содержит минимальное число строк и минимальное число столбцов среди всех тропических матрицM, для которых rk_K(M)= rk_t(M).

Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно из теоремы 2 и примера.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. Э. Гутерману за постоянное внимание к работе и интересные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Akian M., Gaubert S., Guterman A.Linear independence over tropical semirings and beyond // Contemp. Math. AMS.

2009.495. 1–38.

2.Develin M., Santos F., Sturmfels B. On the rank of a tropical matrix // Discrete and Computational Geometry / Ed.

by E. Goodman, J. Pach and E. Welzl; MSRI Publications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.

3.Kim K.H., Roush N.F. Kapranov rank vs. tropical rank // Proc. Amer. Math. Soc. 2006.134, N 9. 2487–2494.

4.Chan M., Jensen A.N., Rubei E. The4×4minors of a5×nmatrix are a tropical basis // Linear Algebra and Appl.

2011 (в печати).

5.Oxley J.G.Matroid theory. N.Y.: Oxford University Press, 1992.

6.Bogart T., Jensen A.N., Speyer D., Sturmfels B., and Thomas R.R. Computing tropical varieties // J. Symbol.

Comput. 2007.42, N 1–2. 54–73.

7.Blackburn J.E., Crapo H.H., and Higgs D.A. A catalogue of combinatorial geometries // Math. Comput. 1973.27, N 121. 155–195.

Поступила в редакцию 14.02.2011

УДК 539.3

ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНУТРЕННЕМ ОБТЕКАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

А. В. Васильев¹

В большинстве работ по флаттеру оболочек используется формула поршневой теории для избыточного аэродинамического давления. В данной работе рассматривается решение задачи о флаттере цилиндрической оболочки при внутреннем обтекании сверхзвуковым потоком газа в новой постановке.

1Васильев Алексей Валерьевич— асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexxx_was@mail.ru.

(3)

Ключевые слова:флаттер, цилиндрическая оболочка, внутреннее обтекание.

The well-known piston theory formula for the excess aerodynamic pressure is used in the majority of works devoted to the panel flutter of shells. In this paper, we consider the solution of the problem on the flutter of a cylindrical shell with internal flow by supersonic gas flow in a new formulation.

Key words: ﬂutter, cylindrical shell, internal ﬂow.

1. Введение. Проблема колебаний и устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек доста- точно давно интересует исследователей [1] в связи с развитием аэрокосмической техники. Однако в по- становочной части большинства работ для давления аэродинамического взаимодействия принималась формула поршневой теории [2–4]. Результаты расчетов ощутимо отличались от результатов, полученных на практике [1]. В обзоре [5] упоминаются работы, в которых используются более точные формулы, однако эти исследования распространяются только на бесконечные оболочки. В статье [6] формула для давления аэродинамического равновесия аналогична применяемой нами, но в [6] рассматривался флаттер оболочки при внешнем обтекании. Вывод формул для давления аэродинамического взаимодействия в настоящей работе подобен рассмотренному в книге [7].

2. Постановка задачи.Представим себе круговую цилиндрическую оболочку, которая в цилиндри- ческой системе координатr,ϕ,xзанимает часть 0xlцилиндрической поверхности {0x∞; r= R; 0 ϕ 2π}. Внутри цилиндра в положительном направлении оси x протекает газ; невозмущенное течение считаем стационарным; параметры газа: u₀ — скорость, ρ₀ — плотность, p₀ — давление, a₀ — местная скорость звука. Оболочку считаем упругой, механические характеристики ее материала: E — модуль Юнга, ν — коэффициент Пуассона, ρ₁ — плотность, D = Eh³/

12(1−ν²)

— цилиндрическая жесткость,h — толщина оболочки. Напряженно-деформированное состояние оболочки будем определять уравнениями технической теории в смешанной форме [8]:

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩ D

Δ²w+ 1 R²

2w_yy+ 1 R²w

− 1

RF_xx+ 1 REhF_yy

T₂⁰−T₁⁰

−T₂⁰

w_yy+ 1 R²w

−

−T₁⁰w_xx−2S⁰

w_xy+ 1

R²

w_xdy

−F_yyw⁰_xx−F_xxw_yy⁰ + 2F_xyw⁰_xy =q, Δ²F+Eh

1

Rw_xx+w_xxw⁰_yy+w_yyw⁰_xx−2w_xyw⁰_xy

= 0,

где w — прогибы; F — функция усилий; граничные условия — шарнирное опирание, т.е. w = ∂²w

∂x² = F = ∂²F

∂x² = 0на краях [9]; q — избыточное давление; y =ϕR; T₂⁰,T₁⁰ — окружное и продольное усилия в невозмущенной системе соответственно; Δ— оператор Лапласа. Будем считать, что в невозмущенном состоянииS⁰ = 0,w⁰ = 0 [10], поэтому, отбросив нулевые члены, получим систему

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩ D

Δ²w+ 1 R²

2w_yy+ 1 R² w

− 1

RF_xx+ 1 REhF_yy

T₂⁰−T₁⁰

−T₁⁰w_xx−T₂⁰

w_yy+ 1 R² w

=q,

Δ²F+ Eh

R w_xx = 0.

(1)

К первому уравнению системы (1) дважды применим оператор Лапласа, а второе поочередно дважды продифференцируем по xи по y:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

Δ²F_xx=−Eh

R w_xxxx, Δ²F_yy=−Eh

R w_xxyy, Δ²

D

Δ²w+ 1 R²

2w_yy+ 1 R² w

−T₁⁰w_xx−T₂⁰

w_yy+ 1 R² w

−

− 1

RΔ²F_xx+ 1

REhΔ²F_yy

T₂⁰−T₁⁰

= Δ²q.

(4)

Введем безразмерные параметры x → x

R, w → w

h, оставив за ними прежние обозначения. Также напомним, чтоϕ= y

R. Поскольку T₁⁰=p₀R,T₂⁰ = 1

2p₀R, в итоге получим h

R⁸ D ∂⁸w

∂x⁸ + 4 ∂⁸w

∂x⁶∂ϕ² + 6 ∂⁸w

∂x⁴∂ϕ⁴ + 4 ∂⁸w

∂x²∂ϕ⁶ +∂⁸w

∂ϕ⁸ + 2 ∂⁶w

∂x⁴∂ϕ² + 4 ∂⁶w

∂x²∂ϕ⁴ + 2∂⁶w

∂ϕ⁶ + +∂⁴w

∂x⁴ + 2 ∂⁴w

∂x²∂ϕ² +∂⁴w

∂ϕ⁴

−hp0

R⁵ ∂⁶w

∂x⁶ + 2 ∂⁶w

∂x⁴∂ϕ² + ∂⁶w

∂x²∂ϕ⁴

+ Eh²p0R 2R⁶Eh

∂⁴w

∂x²∂ϕ² −

− hp₀ 2R⁵

∂⁶w

∂x⁴∂ϕ² + 2 ∂⁶w

∂x²∂ϕ⁴ + ∂⁶w

∂ϕ⁶ +∂⁴w

∂x⁴ + 2 ∂⁴w

∂x²∂ϕ² +∂⁴w

∂ϕ⁴

+Eh² R⁶

∂⁴w

∂x⁴ = 1

R⁴Δ²q. (2) Решение уравнения (2) будем искать в классе функций w = W(x, ϕ)e^ωt, где ω — частота колебаний.

Избыточное давлениеq состоит из суммы сил инерции и аэродинамического взаимодействия: q=q₁+q₂. Здесь q1 = −ρ1h∂²w

∂t² , а для q2 используем выражение (которое следует из формулы для конической оболочки в пределе, когда угол конусности стремится к нулю [7])

q₂=−γp₀ h R

ωR a0

W +M W+1 2W

e^ωtcosnϕ. (3)

Из (2) и (3) получим 1

12(1−ν²) ∂⁸W

∂x⁸ + 4 ∂⁸W

∂x⁶∂ϕ² + 6 ∂⁸W

∂x⁴∂ϕ⁴ + 4 ∂⁸W

∂x²∂ϕ⁶ +∂⁸W

∂ϕ⁸ + 2 ∂⁶W

∂x⁴∂ϕ² + 4 ∂⁶W

∂x²∂ϕ⁴ + 2∂⁶W

∂ϕ⁶ + +∂⁴W

∂x⁴ + 2 ∂⁴W

∂x²∂ϕ² +∂⁴W

∂ϕ⁴

−p0R³ Eh³

∂⁶W

∂x⁶ + 2 ∂⁶W

∂x⁴∂ϕ² + ∂⁶W

∂x²∂ϕ⁴

+R² h²

∂⁴W

∂x⁴ −

− p0R³ 2Eh³

∂⁶W

∂x⁴∂ϕ² + 2 ∂⁶W

∂x²∂ϕ⁴ +∂⁶W

∂ϕ⁶ +∂⁴W

∂x⁴ + 2 ∂⁴W

∂x²∂ϕ² +∂⁴W

∂ϕ⁴

+ p0R³ 2Eh³

∂⁴W

∂x²∂ϕ² + +Ω²a²₀R²

c²₁h²

∂⁴W

∂x⁴ + 2 ∂⁴W

∂x²∂ϕ² +∂⁴W

∂ϕ⁴

+p0γR³ Eh³

Ω + M ∂

∂x+1 2

∂⁴W

∂x⁴ + 2 ∂⁴W

∂x²∂ϕ² +∂⁴W

∂ϕ⁴

= 0, (4)

гдеc₁ =

E ρ1

— скорость звука в материале цилиндра, Ω = ωR a0

.

Будем решать уравнение (4) методом Бубнова–Галеркина, используя двучленное приближение функ- ции прогибов в видеW(x, ϕ) =W(x) cosnϕ=

C₁sinπRx

l +C₂sin2πRx l

cosnϕ. После известной проце- дуры придем к системе уравнений относительно C₁ иC₂:

⎧⎪

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩ C1

⎡

⎢⎣ 1 24(1−ν²)

&

π²R² l² +n²

2

−2n²+ 1 '

+p₀R⁵π²

2Eh³l² + p₀R³

4Eh³(n²−1) + R⁶π⁴ 2h²l⁴

π²R² l² +n²

2 +

+ p₀R⁵π²n² 4Eh³l²

π²R² l² +n²

2 + p₀γR³

4Eh³ + Ωp₀γR³

2Eh³ +Ω²a²₀R² 2c²₁h²

⎤

⎥⎦−C₂M4p₀γR³ 3Eh³

π²R² l² +n²

2

4π²R² l² +n²

2 = 0,

C1M4p0γR³ 3Eh³

4π²R² l² +n²

₂ π²R²

l² +n²

2 +C2

( 1 24(1−ν²)

&

4π²R² l² +n²

2

−2n²+ 1 '

+ p0R³ 4Eh³

n²−1 +

+p0R⁵π²

2Eh³l² + R⁶π⁴ 2h²l⁴

4π²R² l² +n²

2 + p0R⁵π²n² 4Eh³l²

4π²R² l² +n²

2 +p0γR³

4Eh³ +Ωp0γR³

2Eh³ +Ω²a²₀R² 2c²₁h²

⎤

⎥⎦= 0.

(5)

Введем обозначения:

λ=−Ωp0γR³

2Eh³ −Ω² a²₀R²

2c²₁h² ≡ −ΩA−Ω²B;

a_k= 1 24(1−ν²)

&

k²π²R² l² +n²

2

−2n²+ 1 '

, k= 1,2; b= p₀R⁵π²

2Eh³l², c= p₀R³ 4Eh³

n²−1

;

d_k= k⁴R⁶π⁴ 2h²l⁴

4π²R² l² +n²

2, k= 1,2; e_k = p₀R⁵π²n² 4Eh³l²

4π²R² l² +n²

2, k= 1,2; f = p₀γR³ 4Eh³ ;

g= 4p₀γR³

3Eh³ , s= π²R²

l² +n² 2

4π²R² l² +n²

2.

Подставив эти выражения в систему (5), получим

⎧⎨

⎩

C₁(a₁+b+c+d₁+e₁+f −λ)−C₂gsM = 0, C₁1

sM +C₂(a₂+ 4b+c+d₂+e₂+f −λ) = 0.

Равенство определителя нулю приводит к уравнению λ²−μ1λ+μ2+g²M² = 0, его корни:

λ1,2= μ1±

μ²₁−4μ2−4g²M²

2 , (6)

где

μ1 =a1+a2+ 5b+ 2c+d1+d2+e1+e2+ 2f, μ2 = (a1+b+c+d1+e1+f)(a2+ 4b+c+d2+e2+f).

Неустойчивые колебания оболочки возникают, когда один из корней Ω переходит в правую полу- плоскость:Ω =iΩ0, поэтому критическое значение числа Маха можно найти из условия, что параметр λ выходит на параболу устойчивости [5]. Подставляя λ₁_,₂ =λ₀±iλ₃ в уравнение

λ+AΩ +BΩ²= 0, (7)

получимλ0±iλ3+iAΩ0−BΩ²₀= 0, откудаλ0 =BΩ²₀,λ3 =±AΩ0, илиλ0 = λ²₃B

A² . Условие положительности подкоренного выражения (6) приводит к неравенству

M>M0 =

μ²₁−4μ₂ 2g . Сравнивая (6) и (7) при Ω =iΩ₀, получим

λ₀ = λ²₃B

A² , 2A²μ1

B +μ²₁−4μ₂ = 4g²M²_кр. Отсюда определимM_кр:

M_кр=

2A²μ¹

B +μ²₁−4μ₂

2g .

3. Расчеты.Приведем результаты параметрического анализа решения. Флаттер оболочки рассмат- ривался при давлениях от 0,1 до 10 атм. Для каждого значения давления находилась минимальная тол- щина h0, начиная с которой выполнялись условия M0 > 1, M_кр > M0. Далее для каждого значения h0

осуществлялся поиск M_кр при различных значениях параметра волнообразования nи в качестве истин- ного критического числа Маха принималось M^∗_кр= min

n M_кр(n). Таким же методом выбирались M^∗_кр для h =αh₀, гдеα = 1; 1,3; 1,6; 1,9. Вычисления проводились для материала с параметрами E = 7·10¹⁰ Па, c₁ = 5100 м/с, ν = 0,3, остальные параметры были изменяемыми. Результаты вычислений приведены в табл. 1 (l/R = 3) и табл. 2 (l/R= 4), где указаны значения критического числа Маха, а также относи- тельная толщина оболочки для разных значений давления газа.

(6)

p0, h0 1,3h0 1,6h0 1,9h0

атм Поршневая Новая Поршневая Новая Поршневая Новая Поршневая Новая

теория постановка теория постановка теория постановка теория постановка R/h= 390,M⁰= 1,217 R/h= 300,M⁰ = 1,658 R/h= 243,8,M⁰= 2,263 R/h= 205,3,M⁰= 3,068

0,5 M_кр M_кр M_кр M_кр

1,614 1,617 1,991 1,992 2,560 2,561 3,341 3,342

R/h= 290,M0= 1,203 R/h= 223,1,M0= 1,642 R/h= 181,3,M0= 2,246 R/h= 152,6,M0= 3,053

1,611 1,614 1,984 1,986 2,551 2,552 3,332 3,333

R/h= 240,M0= 1,142 R/h= 184,6,M0= 1,600 R/h= 150,M0= 2,252 R/h= 126,3,M0= 3,189

1,625 1,628 2,012 2,014 2,621 2,622 3,426 3,427

R/h= 210,M0= 1,237 R/h= 161,5,M0= 1,701 R/h= 131,3,M0= 2,343 R/h= 110,5,M0= 3,202

1,636 1,640 2,037 2,039 2,642 2,643 3,476 3,477

Т а б л и ц а 2

p0, h0 1,3h0 1,6h0 1,9h0

атм Поршневая Новая Поршневая Новая Поршневая Новая Поршневая Новая

теория постановка теория постановка теория постановка теория постановка R/h= 250,M0= 1,058 R/h= 192,3,M0= 1,763 R/h= 156,3,M0= 2,574 R/h= 131,6,M0= 3,670

1,455 1,457 2,010 2,011 2,803 2,804 3,885 3,885

R/h= 180,M0= 1,113 R/h= 138,5,M0= 1,884 R/h= 112,5,M0= 2,752 R/h= 94,7,M0= 3,924

1,500 1,502 2,113 2,114 2,965 2,965 4,123 4,124

R/h= 150,M0= 1,185 R/h= 115,4,M0= 1,830 R/h= 93,8,M0= 2,759 R/h= 78,9,M0= 4,072

1,502 1,504 2,115 2,117 3,023 3,023 4,223 4,223

R/h= 130,M0= 1,175 R/h= 100,M0 = 1,873 R/h= 81,3,M0= 2,948 R/h= 68,4,M0= 4,174

1,538 1,541 2,201 2,202 3,135 3,136 4,349 4,350

Таким образом, из представленных вычислений видно, что критическая скорость флаттера в новой постановке больше, чем в постановке, основанной на поршневой теории, причем для достаточно тонких оболочек с уменьшением относительной толщины оболочки эта разница растет. Для получения более до- стоверных результатов данные настоящей работы нуждаются в уточнениях путем привлечения численных методов; так, например, метод Бубнова–Галеркина, используемый в статье, дает заниженные результа- ты [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. 67–122.

2.Барр Г.В., Стиэрмен Р.О.Характеристики аэроупругой устойчивости цилиндрических оболочек с учетом несо- вершенств закрепления краев // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 5. 142–152.

3.Болотин В.В.Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости //

Инж. сб. 1956.24. 3–16.

4.Скурлатов Э.Д.Об устойчивости круговой цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа // Прочность и устойчивость элементов тонкостенных конструкций. Сб. 2. М.: Гостехиздат, 1967. 201–209.

5.Болотин В.В.Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука, 1961.

6.Барр Г.В., Стиэрмен Р.О.Влияние сверхзвукового обтекания на упругую устойчивость цилиндрических обо- лочек // Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 7. 4–13.

7.Алгазин С.Д., Кийко И.А.Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.

8.Григолюк Э.И., Кабанов В.В.Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

9.Товстик П.Е.Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука; Физматлит, 1995.

10.Александров В.М., Гришин С.А.Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке газа //

Прикл. матем. и механ. 1994.58, № 4. 123–132.

Поступила в редакцию 29.10.2010