Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. Н. Кублановская, Метод Ньютона для определения соб- ственных значений и собственных векторов матрицы, Ж.
вычисл. матем. и матем. физ., 1972, том 12, номер 6, 1371–
1380
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 07:23:24
Ж У Р Н А Л
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И Н о я б р ь 1 9 7 2 Д е к а б р ь
• Т о м 1 2
У Д К 518:512.25 М Е Т О Д Н Ь Ю Т О Н А / Д Л Я О П Р Е Д Е Л Е Н И Я С О Б С Т В Е Н Н Ы Х
' З Н А Ч Е Н И Й И С О Б С Т В Е Н Н Ы Х В Е К Т О Р О В М А Т Р И Ц Ы В. Н. ЕУБЛАНОВСВАЯ
(Ленинград)
П р е д л а г а е т с я м о д и ф и к а ц и я р а н е е п р е д л о ж е н н о г о а в т о р о м п р о ц е с с а [ * ] > п о з в о л я ю щ а я , о п е р и р у я т о л ь к о в в е щ е с т в е н н о й а р и ф м е т и к е , в ы ч и с л я т ь к о м п л е к с н о - с о п р я ж е н н ы е с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я и с о о т в е т с т в у ю щ и е и м с о б с т в е н н ы е в е к т о р ы в е щ е с т в е н н о й п о с т о я н н о й м а т р и ц ы . Р а с с м а т р и в а е т с я п р о ц е с с у т о ч н е н и я с о б с т в е н н ы х в е к т о р о в , с о о т в е т с т в у ю щ и х о п р е д е л я е м о м у с о б с т в е н н о м у з н а ч е н и ю .
1. П у с т ь А — [постоянная- квадратная матрица с вещественными эле
ментами, имеющая X* = \х* + iy* и А* = \х* — iv* собственными значениями.
Введем в рассмотрение вещественную матрицу
В ( ц , v ) = (A-tiEy+VE,
зависящую от вещественных переменных |х и v. 4
У ч и т ы в а я , что В(\х, у) = [А — (\х + iv)E][А,— fo—^E], заключа
ем, что d e t S ( | x , v) = 0 тогда и только тогда, когда р, и у4 являются, соот
ветственно, вещественной и мнимой частью собственных значений матри
ц ы А. • *
П у с т ь , (1) 6 ( щ v ) S ( | i , v ) = L ( p , v)QT(ix, v ) .
Здесь в , Z/, Q — квадратные матрицы, элементы которых суть функции от ja и v: Q(\i, у) — ортогональная матрица, 1,(|л, у) — левая треугольная с элементами, удовлетворяющими неравенствам
\h\ < \Ц, j = i+l,...;n, i = l , . . . , r c — 1 , (2)
> \hz\ > |Z„„|,
6 ( i j L X8, у8) — результирующая матрица перестановок. Разложения (1) мож
но получить для любых фиксированных значений \х и v, например, нор
мализованным процессом [2] .
Докажем, что в разложении ( 1 ) , (2) п р и jx == jx*, v = v» диагональ
ные элементы lnn(\i*, v j , *ln-i,n-i(\i*, v , ) левой треугольной матрицы L ( J J , * , V * ) равны нулю.
1 3 7 2 В. Н. Кублановская
Действительно, матрица 5 ( | х * , v„) имеет нуль собственным значением кратности не меньше двух, так к а к оба множителя в уравнении
d e t £ ( | i , v) = det [А — fo + iv)E] det [A — ([i — iy)E] = 0 равны нулю при \i = j i * , v = v*. Отсюда ранг; матрицы 5( | ы * , v . ) не боль
ше п—2. Н о ранг i ? ( | L i * , Л'.)равен рангу Ь(\х^ v * ) , т. е. числу ненулевых диагональных элементов левой треугольной матрицы. Т а к что в силу (2) имеем ^
lnn(\X*iV*) = 0 , ln-i, n-i{\l*r V * ) = 0. :
Таким образом, задача определения вещественной и мнимой части ком
плексно-сопряженных собственных значений матрицы свелась к отыска
нию корней системы двух нелинейных уравнений
(3) AGv'v) = 0 , / i ( f t v ) = 0 ,
где / i ( j a , v) =lnn(y>, v ) , /2( | л , v) = ln-i, n-i{[i,"v). Я в н ы й вид функций v) и /2( j i , v) не задан. Указано лишь правило вычисления / i( | xs, vs) и fziiis, vs) в любой фиксированной точке \х = | Ц v = vs.
Покажем, что для фиксированных значений. 4u = [xs, у = vs, попавших в окрестность определяемого изолированного ф р н я , где матрица в стаби
лизировалась, можно вычислить также
1 •, : , г = 1 , 2 .
Продифференцируем (1) по \х:
У ч и т ы в а я , что \x принадлежит окрестности корня, где в( | ы , v) стабилизи
ровалась по |ы, т. е. 9 в( ( 1 , v) / дц = 0, последнее равенство перепишем, предварительно умножив его справа на ( ? ( | ы , v) и слева на Ь~1(\х, v ) :
(4)
L-
1 (.u, v)е
(.и, v ) — я(щ
v) (; (ц. v) = /= L -1 ((х, v) ^ - L ((л, v ) + ^ - <?т (ц, v) Q {\i, v ) .
Легко видеть, что матрица [dQT(\i, v) / d\i]Q(n,, v) является кососиммет- ричной п р и любых значениях \х и -v. У ч и т ы в а я это, приравняем диагональ
ные элементы в ( 4 ) : ; ,
d i a g { L -1( ^ , v ) e ((x , v ) ^B(v,v)Q(v.v) } =
= d i a g { L- 4 u, v ) ^ L ( n , v ) } . !
1
Метод Ньютона для определения собственных значений 1 3 7 3
Отсюда, принимая во внимание, что L 4( ш v) и дЬ(\х\ у) /д\х — левые треугольные матрицы, получим
[ln-i,n-i(\i,v)]~^^ln-l,n-i(^ )
Здесь ^ — п о с л е д н я я компонента решения Х{ = ( g ^1 1, . . . , си
стемы
(6) L ( ^ , v ) X1 = 6 ([j i , v ) [ ^ - 5 (fx , v ) ] ^
где ^ — последний столбец матрицы Q(\i, v ) , еШ(|л, v)J/d\i = —2 (А — \iE);
J - ' ^ е с т ь (п — 1 ) - я компонента решения Х2 = , . , . , £ ^ )т системы (7) I ^ , v ) X 2 ^
*n_i есть (п— 1)-й столбец матрицы v ) . ' i
Окончательно, у ч и т ы в а я ( 7 ) , получим / (8) — / i ( M ' i V ) 'eE »1 )/ i ( M ' » v )1 T - / * ( | i , v ) = Si-i/2(|i,v).
Аналогично находим
(9) ^ - / i ( p , v ) = r ) n)/1( | i , v ) , • ^ - ' / 2 ( ^ , v) = = T](n - i / 2 ( ^ v ) . Здесь к$ и rjn^x суть п-я и (тг—1)-я компоненты решений Y\ = ( т ) ^ , . в *
. . и Г
2= ftf,.:систем
^ V ) Y\ = 6 v ) f | - t f f c i , v)-1 *„'
1 ; " '• r d
< r ' • •'•
0 ~~L v ) Y2
= 6
v)I
— В (fx, v )J
* « -4, — SGi,
v) - 2 v £ . Вернемся к решению уравнений ( 3 ) .И з способа построения матриц L(\x, v) и Q(\x, v) следует, что элемен
т ы этих матриц являются непрерывно дифференцируемыми функциями от переменных \i, v, принадлежащих окрестности Q определяемого корня, где матрица перестановок G(|x, v ) стабилизировалась, т. е. постоянна для всех |i и у из Q.
Будем предполагать, что начальное приближение (|Ыо, v0) попало в окрестность Q изолированного корня (jx,., v . ) уравнения ( 3 ) . Д л я опреде
ления этого корня к (3) применим метод Н ь ю т о н а [3] , находя последова
тельные приближения йо формулам *у
* ) К а к п о к а з а л ч и с л е н н ы й э к с п е р и м е н т , с т а б и л и з а ц и я м а т р и ц ы 0 ( ц , v ) н а с т у п а е т н а р а н н и х ш а г а х п р о ц е с с а Н ь ю т о н а и с о х р а н я е т с я п р и п р о в е д е н и и е г о . Б о л е е т о г о , п о с т а б и л и з а ц и и v ) м о щ е м с у д и т ь о п о п а д а н и и п р и б л и ж е н и я в т р е б у е м у ю м е т о д о м о к р е с т н о с т ь с х о д и м о с т и к д - з о л и р о в а н д а м у к о р н ю , .
1374 В. H. Кубланрвская
(11) ((Xfc+i, V f t + i )T = ({Ал, 4k)T — Ih 4/ i ( M ^ ' VA)7 /2( ^ A , V f t ) )T,
где /А — якобиан системы ( 3 ) , вычисленный в точке "р*, л^:
I 3 /2( ( J * , vf t) / 3 | J i , df2{\Xh,Vh)/dv I
У ч и т ы в а я формулы (6) — ( 1 0 ) / и т е р а ц и о н н ы й процесс (11) запишем в виде
(12) f if e + 1 = fXft — 6f t , V f e+i = = V f t —б/, , Л = 0 , 1 , . . . .
Здесь 1 4
J • ч TIC2) — • • ' ' • t ( D t ( 2 ) Vl c J) d* - m W 2 V _ era) w i ) > ^ =
£(l)ri(2) — £(2) пШ ' : Л £(1)^(2) £(2) - ( 1 ) '
В условиях сходимости метода Н ь ю т о н а итерационный процесс ( 1 2 ) , (13) сходится к собственному значению X* = |я* + iv* матрицы А и ско
рость сходимости будет квадратичной.
Д л я ускорения сходимости метода Н ь ю т о н а в (12) можно ввести ите
рационный параметр yk и последующие приближения находить по фор
мулам
S( D 0 ( 2 )
fift+t f = jift — YftOft , . V f t + i = Vft — YiftOft .
Итерационный параметр можно выбирать подобно тому, к а к сделано в [4 5] . „ . . . . . , , ... ;: ; : . . , . .(
Д л я решения уравнения (3) можно применять другие методы решения нелинейных уравнений, требующие для своей реализации знания значе
ний функций Д (i[m, v ) , /2( | л , v) и их частных производных в, фиксирован
н ы х точках. Такими методами являются, например, метод наискорейше
го спуска [3] , а также методы, обобщающие метод Н ь ю т о н а и метод
спуска [4] . : /
Вычислительные формулы метода наискорейшего спуска для миними
зации функционала
Ф (fJt, v ) — Чг[1пп " ( Ц , V ) + Z „ - i)n -7i ( | Х , V ) ]
будут иметь вид. | AF T + 1 = \ik-ykAk{i\ vk+l = vf e — Y*A£2 > ' где."
А л1 ) = = . £ п( 1 )М и * » + In^iU (Vk, V f t ) , A f t( 2 )— Цп^ tiXiihrVft) + лЛ/2 (\ih, V A ) .;
Выбор итерационного параметра может осуществляться к а к указано выше.
2. Опишем процесс построения линейно независимых собственных век
торов вещественной матрицы, соответствующих комплексно-сопряжен
ным собственным значениям, оперируя лишь в вещественной арифметике.
Метод Ньютона для определения собственных значений ) 1375
П у с т ь о д и н из процессов п. 1 проверен достаточно далеко, так что [ih и vf t стабилизировалось с рабочей точностью или с требуемым числом зна
ков *}. • 1
Д л я построения приближений к собственным векторам, соответствую
щ и м приближенно найденным собственным значениям и iVk ~ я * , воспользуемся разложением ( 1 ) , полученным на послед
нем шаге уточнения корней системы ( 3 ) :
в (и*, Vft) 5 (jift, Vft) = L(jift, Vft)(?T(jXfe, vA) .
Обозначим через tn последний столбец матрицы Q(\xh, vA) . Последний столбец матрицы L ( jift, vf t) близок к нулевому, так что в силу (2) име;ем
б'(м*, vh)tn ~ 0. <
У ч и т ы в а я , что B([ik, vk) = [А— ([ik + ivk)E] [А — {\xk — ivh)E], мо
жем утверждать, что векторы
(А - ixhE)tn± iyhtn & U n ± i V n
являются приближениями к линейно независимым собственным векторам, соответствующим комплексно-сопряженным собственным значениям [л* ± Hz iv* для матрицы А.
3. Рассмотрим вопрос об уточнении собственных векторов, соответст
в у ю щ и х вычисленному собственному значению матрицы.
П у с т ь — приближение к вещественному изолированному^собствен
ному значению Я* матрицы ^4, вычисленное каким-либо методом.
Приведем некоторые вспомогательные рассуждения, которые будут положены в основу алгорифма построения и уточнения линейно незави
симых собственных векторов матрицы 4 , соответствующих собственному значению Я * . •"• ; -
К а к и выше, матрицу D(K) = А —• ХЕ, зависящую от вещественного параметра X, представим в фактори^ированном виде ( 1 ) :
(14) ' @(>.)D(X)
= Л ( л ) ^ а ) , Ж ? "
где L(X)— левая Треугольная матрица с элементами 1ц(А), удовлетворяю
щими соотношениям вида ( 2 ) :
\ > \1гг{%) \ > . . . > \ l n n ( V \1 \ - V
(15)
| * И Л 0 | < М Л ) | , / = * — 1,2 -л — 1 ,
где Q(X) — ортогональная Матрица, в (А,) — результирующая матрица пе
рестановки. '"' " \
Введем в рассмотрение функции г|эг( X) = 1н(Х)\ г = 1 , . . . , % и уста
новим справедливость следующего утверждения.
* > З а м е т и м , ч т о о п и с а н н ы й н и ж е п р о ц е с с о п р е д е л е н и я л и н е й н о н е з а в и с и м ы х с о б с т в е н н ы х в е к т о р о в , с о о т в е т с т в у ю щ и х к о м п л е к с н о - с о п р я ж е н н ы м с о б с т в е н н ы м з н а
ч е н и я м в е щ е с т в е н н о й м а т р и ц ы , м о ж н о п р и м е н я т ь в л ю б о м с л у ч а е , н е з а в и с и м о о т с п о с о б а в ы ч и с л е н и я с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й м а т р и ц ы . А :
1376 В. Н. Кублановская
Д л я того чтобы X* было собственным значением матрицы А с п — г линейно независимыми собственными векторами, необходимо и достаточ
но, чтобы X = Л* было корнем каждого из уравнений . (16) ^h(k) = 0, & = Г + 1 , Г + 2, . . . , 72,
и не было корнем уравнений .\|)А (Я) == 0 для к ^ г. у Действительно, пусть Я * — собственное значение матрицы А с п — г
линейно независимыми собственными векторами. Тогда ранг матрицы А — Х*Е равен г (см., например, [6] ) . Н о в силу разложения (14) при X = X* ранг А — Х*Е равен рангу левой треугольной матрицы L(X*), т. е.
числу ненулевых ее элементов. Тогда из (15) следует, что Zr+ i , r+i(X*) =
_ = lr+2, r+ziX*) = . . . = 1Пп(Х*) = 0 и lkh(X*) Ф 0, A; < г; это и доказывает п р я мое утверждение.
П у с т ь г | ) г ( Я * ) = 0 , г = r + 1 , . . . , п, но % ( 1й) ^ = 0 для V< r . Тогда в ы полняются соотношения
h+i, т+ЛМ- ^ 9 , о = £Пп(Я*) = 0, {№(Я«) ^ 0 при к < г,
т. е. в (14) при Х = Х* последние п — г столбцов левой треугольной матри
ц ы Ь(Хщ) суть нулевые в силу второго из соотношений ( 1 5 ) . Т а к что из (14) следует, что ранг матрицы А — Х*Е равен г, а цоследние п — г столб
цов ортогональной матрицы Q(X*) образуют базис ker (А — Х*Щ), т. е.
являются линейно независимыми собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному значению X*, что и требовалось дока
зать.
П р и X =F Xh близком, но не равном X* в разложении (14) матрица L(Xh) будет иметь п — г последних диагональных элементов (а следовательно,, в силу соотношений ( 1 5 ) , последних п — г столбцов) близких, но не рав
н ы х нулевым элементам (нулевым столбцам). Т а к что уравнения (16) будут иметь близкие к н у л ю , не обязательно равные корни, т. е. матрица А — XhE^ будет иметь г р у п п у шз п — г близких между собой малых по мо
дулю собственных значений. Подпространство Qn-r, натянутое на послед
ние п — г столбцов ортогональной матрицы Q, будет близко к подпро
странству Г п - r , составленному из решений уравнения *} (А-Х*Е)Х = о!
Известно, что эта близость зависит от величины разрыва между ог и Or+i — сингулярными значениями матрицы Dk = А — \hE, занумерован
н ы м и в порядке у б ы в а н ц я а4 > аг . . . > вп, и, в частности, может х а р а к теризоваться [2] малостью величины б = | Zr + 1, г + 1/ Zr r| .
К а к следует из [7], интересующее нас инвариантное подпростран
ство будет определяться более точно, чем Qn-r, если получить разло-
* > Ч е р е з б у д е м т а к ж е о б о з н а ч а т ь м а т р и ц ы , с о с т а в л е н н ы е и з с т о л б ц о в к о о р д и н а т у п о м я н у т ы х в ы ш е в е к т о р о в .
Метод Ньютона для определения собственных значений 1 3 7 7
жение (14) для
1 п
Я = Я = . Я ь + У as, n — rг A » J
где ( Х г + 1 , . . . , ап — группа малых собственных значений матрицы Dh ==?
Покажем, что as ~ 1 / %s ( s ), s = г + 1 , . . . , п, где xs ( s ) — последняя ком
понента вектора Zs = ( x i( s ), . . . , x( s )) V решающего линейную алгебраиче
скую систему
(17) £ . ( А * ) Х . = «в;
здесь Ls(Xk) — левая треугольная матрица порядка s, строки которой сов
падают с первыми s строками левой треугольной матрицы Ь(Хк); д и вектор из первых s компонент столбца с номером s матрицы 0 ( Я ь ) ( ? ( А * ) . М а т р и ц ы L(K), Q(Xh), @ ( ЯА) В Х О Д Я Т в разложение (14) при Я = Я*.
Д л я этого матричное равенство (14) продифференцируем по Я, считая Я принадлежащим окрестности точки Я = 0, где матрица перестановок в (Я) не зависит от Я; получим
-Q(k) = ^L(X)Q4X)+:L(\)^-Q*(X).
У м н о ж и м последнее равенство слева на Ь ~4( Я ) , справа на (?(Я) и при
равняем диагонали у полученного матричного равенства.
У ч и т ы в а я , что матрица [dQT(K) I dX]Q(X) имеет нулевую диагональ*
как кососимметрическая матрица, получим
- d i а g [ L ^ a ) в ( Я ) ( ? ( Я ) ] = d i a g ^ L - Ч Я ) J^U) ].
Отсюда
где xs ( s ) — последняя компонента решения Xs = ( x4 ( s ), . . . , xs ( s ))T> s =
= r + 1 , . . . , n, системы ( 1 7 ) , Очевидно, если в качестве начального при- . ближения для определения наименьшего по модулю корня каждого и&
уравнений (17) взять af i ( 0 ) = 0, s = г + 1 , . . . , п, то по методу Ньютона в качестве первого приближения a5 ( 1 ), s = r+ 1 , . , . , тг, п о л у ч и м *1
as ( 1 )~ l / x( s s ), s = r+ 1 , . . . ,п.
Обозначим через Qn-r подпространство, натянутое на п — г последних столбцов матрицы Q, участвующих в разложении (22) матрицы D = D(X)„
*> К а к правило, одного п р и б л и ж е н и я по Ньютону у ж е достаточно, чтобы п о л у ч и т ь з н а ч е н и я ar+ i , . . . , an с рабочей точностью. При необходимости процесс у т о ч н е н и я м а л ы х собственных з н а ч е н и й ar+ i , , ап м а т р и ц ы Dk — А — %кЕ можно п о вторить, воспользовавшись д л я о п р е д е л е н и я с л е д у ю щ и х п о п р а в о к к -Q8 ( 1 ) р а з л о ж е -
п
н и е м м а т р и ц ы 1{ = Хк + ——• X1 . П — Г ZMEJ
1378 В. Н. Кубланоеекая
Очевидно, матрица QTn_rQn-r совпадает с хорошей точностью [3] с единич
ной порядка п —- г матрицей Еп-Т.
Тогда (см. [7] , теорема 3) справедливо неравенство . Hsin р (<U, Гп_г) Ив' < 1 Ш^П"
аг2ф ) - аг+12( 2 ? )
характеризующее степень близости пространств ( ?п_ / и Гп_г.
Здесь через р обозначен угол *), на который следует, повернуть про
странство Qn-r до совпадения с пространством Г„_г, T ^ - r ^ k e r ( Л ^ - Ы ? ) ,
^n-r = = ^ n - r , Z? = 4 — AJ?, О г ф ) •— сингулярные значения матрицы
Dy ||-|| — евклидова норма. ,
С у м м и р у я сказанное, получаем следующий процесс построения и у т о ч нения линейно независимых собственных векторов матрицы, соответст
в у ю щ и х численно кратному вещественному собственному значению Л^:
1) строят нормализованное разложение (14) \ матрицы Dk:
@(Xh)D(Xk) = L(Xk)Q*(Xh); I / * \ '
•, \ 2) по характеру изменения диагональных элементов левой нормализо
ванной матрицы L{Xh) определяют число п — г малых, близких по абсо
лютной величине собственных значений а8, s = г + 1 , . . . , п, матрицы П(Хк) и находят их, решая системы ( 1 7 ) ;
3) находят число
А П
п — r^-f X — Xk'
п — s=r+l
ж нормализованное разложение (14) матрицы D (X):
в(Х)В(Х) =L{X)Qr{i).
Последние п — г столбцов матрицы Q(X) дают уточненные линейно не
зависимые собственные векторы матрицы Л, соответствующие собствен
н ы м значениям Xs = Xk + as, , s = г + . 1 , . . . , n, по близости которых судят о кратности уточняемого собственного значения.
П у с т ь Xh = \ik ± iVft — приближения к комплейсно-сопряженным собст
венным значениям \i* ± iv* вещественной матрицы А. К а к у ж е установ
лено в п. 1 , матрица В(\х*, v*) имеет нуль собственным значением крат
ности не менее двух, т. е. ранг 2?(pu, v.) не больше п — 2, т а к что
lnn(\i*,У*) = К-и п-1 (,M>» v* ) = 0, где lu(li*, v.) — диагональные элементы левой треугольной матрицы разложения (1) п р и jx = р,., v —= v*..
Рассуждая, к а к и в случае вещественного собственного значения* убеж
даемся, что по числу нулевых элементов левой треугольной м а т р и ц ы L(|x*, v.) можно судить о числе линейно независимых векторов матрицы
*> Более подробно об угле м е ж д у пространствами см. [9] .
J .
Метод Ньютона для определения собственных значений 1379
П р и (д = \ih и v == vf t близких, но не равных jx*, v* в разложении (1) матрица L(\ih, vk) будет иметь п — г последних диагональных элементов близкие, но не равных н у л ю , а следовательно, в с и л у ( 2 ) , матрица L(|JU-, vf t).
будет иметь п — г столбцов близких, но не равных нулевым столбцам.
Здесь п—г^2— кратность н у л я к а к корня минимального полинома мат
р и ц ы 5 ( р * , v . ) .
Д л я определения близких к нулю собственных значений постоянной матрицы В(|ift, Vft) поступаем, к а к и вышр, а именно, находим числа 1 / : хв ы, s = г + 1 , , . . ,?г, где W?) — последняя компонента Xs = ( x i( s ), . . . , . . , > cs ( s ))T — р е ш е н и я системы
Ls(\xk, vh)Xs = <?s,
где Ls([ik, Vft) — левая треугольная матрица s X s , строки которой совпа
дают с первыми s строками матрицы £ ( | ЛЛ, v * ) ; q8 — вектор из первых s компонент столбца с номером s матрицы в ( р * , Vk)Q(yLh\vA). М а т р и ц ы L(\xh, Vft), @(\ih, Vft), Q(\ik, Vft) входят в разложение (2) при fx = fxft, v = vf t.
Далее находим среднее а из малых собственных значений матрицы
B{\ih,Vft): ' -
s = r + l s
и строим разложение вида (2) для матрицы
В = B(\ih, Vft) — аЁ = O ^ P A T Vft)L(jift, vh)QT(\Xk, vf t) . В качестве приближений к собственным векторам берем
(А — \xkE) ts ± itsVh,
где t3 — столбец с номером s матрицы Q.
! Поступила в редакцию 27.05.1971
Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а
1. В. Н. К у б л а н о в с к а я . О п р и м е н е н и и метода Ньютона к оцределению соб
ственных з н а ч е н и й Я-матриц. Докл. АН СССР, 1968, 188, № 5, 1004—1006.
2. Д. К. Ф а д д е е в , В. Н. К у б л а в г о в с к а я , В. Н. Ф а д д е е в а. Л и н е й н ы е алгебраические системы с п р я м о у г о л ь н ы м и м а т р и ц а м и . Материалы М е ж д у н а р . л е т н е й ш к о л ы по численным методамг Киев, 1966. В е б . «Вычисл. методы алгебры».
Вып. 1. М., ВЦ АН СССР, 1968, 14—75.
3. Л . В. К а н т о р о в и ч , Г. П. А к и л о в . Ф у н к ц и о н а л ь н ы й а н а л и з в нормирован
н ы х пространствах. М., Физматгиз, 1959.
4. М. Н. Я к о в л е в. О некоторых методах р е ш е н и я н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й . Тр; Ма- тем. ин-та АН СССР, 1965, 84, 8—39. I
1380 В. Н. Кублановская
5. В. Н. К у б л а н о в с к а я . Об одном подходе * к р е ш е н и ю обратной проблемы соб
ственных значений. В сб. «Автоматич. программирование и ч и с л е н н ы е методы», Т. 18. М:, «Наука», 1970, 138—149. \ ' ". , 6. В. Н. К у б л а н о в с к а я . Об одном способе р е ш е н и я п о л н о й проблемы собствен
н ы х з н а ч е н и й в ы р о ж д е н н о й м а т р и ц ы . Ж . в ы ч и с л . матем. и матем. физ:, 1966, 6,
№ 4, 611—620. ' • : •
7. A. R u h е. P e r t u r b a t i o n b o u n d s for m e a n s of eigenvalues a n d i n v a r i a n t subspaces.
B I T (Sver.), 1970, 10, 3 4 3 - 3 5 4 . ! 8. Д. X. У и л к и н>с о н. Алгебраическая проблема собственных з н а ч е н и й . М., «Наука»,
1968.
9. G h . D a v i s , W . М. K a h a n . T h e r o t a t i o n of eigenvectors by a p e r t u r b a t i o n . I I I . Univ. of Toronto Gomput. Sci. Techn. Rept. 6, 1968. • I
