Й. Гергей, Обращение матриц и решение систем линейных и нелинейных уравнений методом окаймления, Ж. вы- числ. матем. и матем. физ., 1979, том 19, номер 4, 803–

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Й. Гергей, Обращение матриц и решение систем линейных и нелинейных уравнений методом окаймления, Ж. вы- числ. матем. и матем. физ., 1979, том 19, номер 4, 803–

810

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 11:25:09

I ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Т о м 19 " Июль 1979 Август № 4

УДК 519.613 ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ Ж НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ОКАЙМЛЕНИЯ

! Й.ГЕРГЕЙ

! (Будапешт) Венгрия)

Показано, что метод о к а й м л е н и я и метод Гаусса - Ж о р д а н а обра­

щ е н и я м а т р и ц ы совпадают. Рассмотрено несколько следствий совпадет ния. Предложен алгоритм р е ш е н и я систем л и н е й н ы х у р а в н е н и й методом о к а й м л е н и я и м о д и ф и к а ц и я метода Ньютона д л я нелинейного случая.

| § 1. Введение

Известно много методов обращения матриц. Самыми распространенны­

ми из них .являются методы: исключения Гаусса, Гаусса — Жордана, Кроу- та и окаймления. В литературе можно найти указание, что первые три ме­

тода совпадают (см., например, [^{1 , г}] ) . Ниже показывается, что совпадаю­

щими являются все четыре. Точнее, мы покажем, что метод окаймления совпадает с методом Гаусса — Жордана.

Пусть матрица -А=||яу|[, i, у—1, 2 , . . , п, невырожденная. Обозначим через A^h ее левую верхнюю часть, т. е.,

Л

^л

=.||яу1и

г , / = 1 , 2 , . . . , к. Матрицы A^h, й = 1 , 2 , . . . , га, невырожденные. Метод ^ окаймления состоит в следую­

щем (см. [ii³]): ищется матрица, обратная к

в форме

Тогда (1.1)

А-1 Цк\

Vk Як

&>1, ,Aⁱ==aⁱ=a^iU ^ 1 = 0 , У !^т= 0 ,

h= (a^h-vMh-hh)

~S r

^{f t}

=-pA_U

^A

,

qk*=-$kVkTAk-u

^k-^A^+^A^UhVMk^i'

Если мы выполним вычисления по формулам (1.1) при /с=2, 3 , . . . , п, то получим АгГ^А'¹. С другой стороны, самый распространенный метод обращения матриц (метод Гаусса — Жордана) состоит в следующем:

, t v и = 1 /

(1.2) | • ' ,

\аг,:=-аф», / = 1 , . 2 , . . . , п, j¥-i,

1>

804 Й. Тер гей

a^hi:=a^kl+a^kia^ih А, 7 = 1 , 2,:.., щ k,l^=i, ^: / , ац:=ацац, / = 1 , 2 , ...,га, ]Фи

(Знак :== показывает, что значение правой части присваивается левой.) Если мы выполним вычисления по формулам (1.2) при г = 1 , 2 , . . . , п , то

получим Л "1 на месте Л . 4 •

Т е о р е м а 1. Метод окаймления, реализуемый по формулам (1.1), и, метод Гаусса — Жордана^у реализуемый по схеме (1.2), теоретически сов­

падают.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1 можно найти в [4] . Здесь мы л и ш ь сделаем два замечания. Из доказательства следует соотношение

M Q V V detUb-i) >

(1.3) $^h=a^kk= .

detU

^{f t}

)

• Видно, что после /с-го шага исключения Гаусса — Жордана в к-ж столбце появляется вектор гк и в к-й строке — вектор qh\

§ 2. Решение систем линейных уравнений методом окаймления

Метод окаймления для редгениц систем линейных уравнений предло­

жен в [³] , Здесь мы излагаем его иным способом, в результате чего про­

ясняется связь с ним метода Гаусса — Жордана, Можно придать методу окаймления наглядную форму и.обобщить его на нелинейный случай.,

' Решим систему уравнений . 1

( 2 . 1 ) , а«я,-= Ь^и . . i=l, 2 , . . . , п,

методом окаймления. Пусть х°= ( 0 , . . . , 0 ) , xh=(xih1.. . , 0 , . . . , 0 ) , 0 <

<к^п. Предположим, что все матрицы A^k, / с = 1 , 2 , . . .^;, п, невырожденные.

Вначале из первого уравнения системы (2.1) найдей вектор Ьх^—

= (б^!°, 0 , . . . . , 0) такой, что х'=х°+8хи х1 = {х,\ 0 , / . . , 0) и я ^ б я Д Ины­

ми словами, решим уравнение а^Ьх^=Ъи откуда 6x1°=bl/aii и

Затем из первых двух уравнений системы (2.1) найдем вектор 8х²=

= ( 6 ^ , 8х²°, 0 , . . . , 0 ) такой, что 3*=x^l+te^%=(xf, х²\ 0 , . . . , 0 ) , х²²=8х²°^г xiz=xii+8xii. Для этого подставим хг в указанные два уравнения и, со­

гласно предыдущим результатам и принятым обозначениям, получим си­

стему • ' ~" - ' '

аиЬх1¹+а^пЬх²=$, а21Х^+а^п8х²+а²28х²=Ъ^ ''

Первое уравнение определяет • г

• а±2 а &

6 x^{1 1}= C i¹6 ^ 2 ° — — —— б ^², т . е . C i = - - — ;

' . а^п # н ^J.

а из второго можно вычислить 8х2 (так как с* уже известно):

a²²~\~a²\Ci у - •

Обращение матриц и решение систем уравнений 805

и так продолжаем счет далее. На (&+1)-м шаге решаются уравнения (2.2) ^н

(2.3) ^ak+1, j (%j^h~^~ Cj^h8?c^k+1) 1 > f e + 16 #f c + 1=1. . j=i ,

Из уравнений (2.2).можно получить вектор (2.4)

ап. . —1

# 1 , /г+1

як-'-

⁶⁺¹

Подставив c^ft в (2.3), можн6^чвычислить

л

^;

ft -

^ч

_

^£

После этого

(2.6) xr'=xr+§xh\iCik, Xb+i=*8xk+i.

Если мы выполним счет при fc=0, 1, ...\п— 1, то вектор #п даст решение

уравнения (2.1). 4 .' . -уф ' (У:ЧЪГ'I

§ 3. Алгоритм счета

Решение описанным выше методом предполагает обращение матрицы А методом окаймления. Для этого требуется п³ мультипликативных опе­

раций (умножения и, деления). Укажем;алгоритм с меньшим количест­

вом операций. ' , ;

Пусть исключение Гаусса — Жордана, выполняется в матрице А при

£=1, 2 , . . . ,./г по формулам .

~: 'ац: = 1/ац, . . - • / : • • , • '• • • ; (3.1) ; ац:=ац*аи, / > i , i ,i \. -,\ ,/ :v

ahi:=a^hi—a^hiau, - кФ1, V>i. . - . - ' . - г " .оЧ

Преобразованные элементы матрицы А будем обозначать так же, как и исходные. Используем обозначения § 1. Формулу (2.5) при помощи (1.1),

(1.3) и (2.4) можно записать в виде

7 . Т ft

/ о о \ я ⁰ O^k+i—U^h+iX -

(d.Z) oxk+i=»- ; : == % + i , f t + i ( b f t + i - ^ + i ^ ) , \ поскольку c^{f t}=—-4^{7 l}~^Iii^{f t}.

Легко видеть, что вектор с- появляется в. (/с~М)-м столбце матрицы Л (первые к элементов) после выполнения исключения.

Таким образом, алгоритм метода следующий.

Ш а г 1. Выполняется исключение,:,Гаусса — Жордана : по форму­

лам (3.1). : • •

806 Й. Гергей

Ш;аг 2. При k=0, 1,. . . , п— 1 выполняется следующее:

а) 8x1+1 считается по формулам (3.2),

б) вектор x^k+i считается по формулам (2.6) (вектор — с^к является пер­

вым к-ж элементом (/с+1)-го столбца матрицы после исключения).

Вектор х^ч является решением системы уравнений (2.1).

П р и м е р ! . . Решаем систему линейных уравнений 2 x + i / + 4 z = 1 2 , , : 8x-3y+2z=20,

ix+lly-z=33

методом окаймления. Матрица системы

2 1 4 12

А = : 8 - 3 2 , Ь = 20 4 11 - 1 33

Производим исключение Гаусса — Жордана на матрице А и записыва­

ем начальные значения поддиагональных элементов: - 0.5 0.5 1

8 - 1 / 7 2 , 4 11 — 1 / 2 7 Реализуем алгоритм при. &=^0, 1, 2:

'хгг = 6хг° = ctubi = 6 , - 'С

X2^2,=8x2°=a²²(h²—dzixS) = 4 , х^ = х^г1 + Ьх^с^хх = 4, х2 =

с ^ - 0 . 5 , 4 4 0

^ 33 — 8 ^ 3 ° # 3 з ( ^ 3 ^ 3 1 ^ 12 ^ 3 2 ^ 22) . 1, С* 1?

а ^ ^ + с ^ б а ^ З , . а ;2 3= ^2 2+ с2 2б а ; з0= 2 . Результат решения

3

с²'

§ 4. Решение систем нелинейных уравнений Рентам систему нелинейных уравнений

.(4.-1) ' / , ( * ) = 0 , i = l , 2 , . , . , и ,

сначала методом Ньютона. Пусть ее матрица Якоби

Обращение матриц и решение систем уравнений 807

Исходя из начального приближения х° найдем первое приближение х\¥^

= x ° + u . Применение метода Ньютона означает, что нам нужно решить си­

стему линейных уравнений . • ,

( 4 . 2 ) Л Ц= - / 0 Г ° ) , / = ( / , , . . . , / , , ) . > =::-,;^

Решим уравнение (4.2) методом окаймления. Это означает, согласно (2.2) и ;(2.3), что при &=0, 1,...,?г—1 нужно решить систему линейных

уравнений ' ;

(4.3) ! •. V a « c / 6 %^{+ 1}' + f l^{f f t + 1}6 t t^{f c +}i = 0 , \

(4.4) \ ,^ah+l>^ : r /•

и\={щ^к,;.., и Д 0 , . . . , 0 ) , u |^{+ 1} = » i^{f t}+ 6 t t^{f t + l l} i ^ / c , » ^ = 6 U f t^{+ 1}, &ⁿ — решение системы ;(4.2).

\ § 5. Модификация метода Ньютона

Изменим метод Ньютона следующим образом: найдем первое прибли­

жение в форме xx=xQ+vn-, где vn — решение системы ? (5.1) \ ' ^ a^{l i}cⁱ* 6 z ;^{f t}+ i + a^<,^{f t + 1}6 i ;^{A + 1}= 0 ,

(5.2У j / , ^ ( ^ + ^ + ( ^ , 1 ) 6 ^ 0 = 0 , .

* = 0 , 1 , . | . . ^ - 1 , 0 , . . . , 0 ) , v™=v?+c?bvk+ir Kk^vlH-

=Ъи^к+и ректор ( с \ 1) — (сД сД 1 , 0 , 0 ) . Система (5.1), (5.2) отлича­

ется от фистемы (4.3), (4.4) тем, что (5.2) — нелинейное уравнение для неизвестного 6vh+i, в то время как (4.4) — линейное ((4.3) и (5.1) совпа­

дают), i :

ii •' " . •

Так как система (5.1), (5.2) — нелинейное приближение для решения (4.1), т о h c^Q+ vⁿ вообще дает лучшее приближение для решения (4.1), чём

х°+и^п. ; V '

Итерационный метод, который излагается в [⁵] , является, модификаци­

ей метода Ньютона, описанного выше. В [⁵] показано на одном примере, что сходимость предлагаемого итерационного метода быстрее, чем сходи­

мость метода Ньютона.

Теперь поясним на примере преимущества модифицированного мето­

да Ньютора, затем сформулируем-алгоритм.

П р и й ё р 2 . Решим систему нелинейных уравнений

\ К ( « , » ) «^а+ У^а- 2 = 0 ; U(x¹y)^x²~y²-1=0

исходя ик начального приближения л:0=1.25, г/0=0.75. Метод Ньютона дает приближения

| к=1.2250, , ^ = 0 . 7 0 8 3 , ;

| ж2=1.2247, г/2=0.7071.

808 Й. Гергей

Модифицированный метод Ньютона состоит в следующем.

а. Решаем уравнение , , (1.25+6z;0²+0.75²-2=0.

Его решение'"6w^±=—0.05104 и х^х.+би^ГЛШб.

б. Из равенства (2.4) при к=1 получаем

- ••: , -бд/бу 1.5 • ;

Ci=— — = >=—0.6.

8fJ8x 2.5. ; ^ч ^ ; '

Затем решаем уравнение • ^

и(х^у1+с^и², г /⁰+ б г ;²) ^ ( 1 . 1 9 8 9 6 - 0 . 6 6 У²)²- ( 0 . 7 5 + б ^²)²— 1 = 0 .

Его решение 8г;²=⁼-0.04294 И у^±=у⁰+ди²=0Л0Ш_⁹ х,=х\¹-0.Ш²=

=1.22472. Точное решение системы

г/=У0.5—0.70711, *=У1.5~1.22474.

Из цримера видно, что модифицированный метод Ньютона на одном ша- ' ге дает то же приближение, что и метод Ньютона на двух шагах.

А л г о р и т м р е ш е н и я с и с т е м ы н е л и н е й н ы х у р а в н е ­ н и й . Алгоритм счета для нелинейного случая является вариацией алго­

ритма счета для линейного случая, описанного выше.

Ш а г 1. Выписываем матрицу Якоби и выполняем исключение Гаус­

са — Жордана на ней по формуле (3.1).

Ш а г 2. При / с = 0 , ' 1 , . . . , п—1 выполняем: следующее:

а) выбираем вектор —с^к из матрицы (первый к-и элемент (&+1)-го столбца матрицы, -после ^исключения) и решаем уравнение (5.2);

г б) считаем вектор x^k+i по формулам (2.6). V.

Вектор хп является новым приближенным решением системы нели­

нейных уравнений (4.1).

Можно предложить одно наглядное объяснение описанных методов:

вектор (c^fe, 1) определяет некоторое направление^в (к+1)-мерном под­

пространстве (ск определяется иа. уравнений (4.3) или (5.1)). Нужно ре­

шать уравнение (2.3) в линейном случае или уравнение (5.2) в нелиней­

ном случае по направлению (c^{f t}, 1)..,

§ 6. Сходимость ' , Докажем, что модифицированный метод Ньютона дает сходимость бо­

лее быструю, чем метод Ньютона. '.

Предполагается, что система (4.1) имеет решение х* и найдется ок­

рестность S,x*<^S, где удовлетворяются следующие условия:

а) функции fi(x), i = l , 2 , . . . , 72, дважды дифференцируемы и их вто­

рые производные ограничены в S;, , . б)/ известно такое, начальное приближение x⁰⁽=S, где верхние левые

части матрицы Якоби системы (4;1) (т. ё. Матрицы A^h) не вырождены; • в) при любом индексе й = 1 , 2 , . , п можно решить уравнение (5.2).

Т е о р е м а 2. При условиях а ) , б) и в) модифицированный метод Ньютона сходится, и притом быстрее, чём метод Ньютона.

Обращение матриц и решение систем уравнений 809

* Д о к!а з а т е л ь с т в о , Определим функции

I .: ' • • ' • • : . • . . . ,

|| L. .. •• ..- ; .. •• -. - ' ': • - v . ; - ОчевиднЬ, что F(x*) = 0 и F ' ( # ) > 0 , если хФх*. /Поэтому минимизация функции F(x) и решение систем уравнений (4.1) совпадают. Построим алгоритм для приближенного-нахождения минимума функции F(x).

А л г о р и т м . При &=0, 1 , . . . ,п—1 выполняем следующие- шаги.

Ш а Ц а* Минимизируем по переменным б ф у н к ц и ю , (6.1) F^k+i(x"+v"+(c\i)bv^k+i) ^{: i}

при условии, ЧТО * . .

Отсюда получаем А: уравнений для определения к неизвестных сД

= 1 , 2 , . . ; . , А. Затем из условия минимума функции" (6.1) получаем' §v^k+l. . Ш aril б. Пусть • ' .

\ и*⁺¹=иг^к+(Сг\ l)bv^k+i, Кку Vk+t ==8v^k+i. ^; - : - • Легко видеть, что-результат этого; алгоритма и результат алгоритма йй

§ 5 совпадают. Так как на каждом шаге минимизируется одна из функ­

ций /"г, а!другие не изменяются, имеем •

\. ' fe+4 ' ; ' fe+i\ : ' "' : ''' ' 'J

Отсюда следует (если х1=х°+ип), что F(xl)<F(x°). А это значит, что ми­

нимизирующий алгоритм сходится. ^{4 т}

Как показано выше, этот алгоритм дает тот же результат, что и моди­

фицированный метод Ньютона. Таким образом, сходимость модифцццрр- ванного метода Ньютона доказана.

Решв^м теперь систему уравнений (4.1) методом Ньютона так, как опи­

сано в §: 4. Посмотрим, что получится тогда для значений функций Fu Так как в 'предыдущем алгоритме x°+vh+l минимизирует функцию Fh+l, то

(6.3) | : \ - F^k+i( x ^ b ) ^ . : ^ r ^ r: ^ . ; ^ / . • ^ ; • .^: г ; :

где u^h+i йблучается при счете по методу Ньютона. Равенство в (6.3) вы­

полняется лишь при ^условии, что решения уравнений (5.2) и (4.4) сов­

падают. Этот случай реализуется, если функция f^k+i(x) линейная, А тюгда число итераций конечно. ./ . ' f ; ^; Л з Если {же по крайней мере одна из функций fi (х) нелинейная1 и по крайней мере одна из них выпуклая или вогнутая вблизи корня, то этого'

достаточно, чтобы - .

;! F(x°+vⁿ) <F(x°+uⁿ). , -

Это неравенство означает, что сходимость модифицированного \ метода Ньютона!! быстрее, чем сходимость метода Ньютона. Точнее, сходимость модифицированного метода Ньютона в любом случае квадратична. ^у

Й. Г ер гей

§ 7. Следствия

1. Как известно, методом Гаусса — Жордана нельзя воспользоваться, если главный элемент матрицы А равен нулю. Кроме того, обратная мат­

рица будет очень неточной при слишком малых значениях главных эле­

ментов. Методом окаймления также нельзя пользоваться, если знамена­

теле в выражении для равняется нулю. Если он мал, то обратная матри­

ц а будет неточной.

2; Если А — невырожденная матрица, то метод Гаусса — Жордана с выбором главного элемента по всей матрице будет устойчивым. В методе окаймления тоже есть возможность выбирать так называемый главный элемент, т . е . можно переставить строки и столбцы так, чтобы знамена­

тель у р^А имел самое большое значение. Но для этого нужно вычислять знаменатели $^k для всех возможных случаев и выбирать из них самый г большой по модулю. Это гораздо более трудоемко, чем выбор главного элемента матрицы в методе Гаусса — Жордана, поэтому использование

такого приема нецелесообразно.

3. Если А — положительно-определенная матрица, то метод Гаусса — Жордана вполне устойчив без какого-либо выбора главных, элементов (см. I¹]). Поэтому, согласно теореме 2, в случае положительно-опреде- лднной матрицы метод окаймления устойчив.

4. В ходе решения систем линейных й нелинейных уравнений методом

•окаймления также можно выбирать главный элемент и можно перестав­

лять строки и столбцы. В счете по формулам (2.3),; (2.6), (3.1) и (5.2) надо принимать во внимание, что в результате перестановки строк проис­

ходит перестановка уравнений, а из перестановки столбцов следует пере­

нумерация неизвестных.

5. Если матрица Якоби системы (4.1) положительно-определенная, имеют место условия а) и в) из § 6, поэтому в данном случае утверждение теоремы 2 справедливо.

Поступила в редакцию 3.05.1978 '•'"••у- ' Переработанный вариант 14.09.1978

, , Цитированная литература

1. Дж. X. Уилкинсон. А л г е б р а и ч е с к а я проблема собственных з н а ч е н и й . М., «Наука», .. 1 9 7 0 . * . ;

2. В. В. BqeeoduH. Ч и с л е н н ы е методы линейной алгебры. М., «Наука», 1966.

1 Ъ. Д. к. Фаддеев, В. П. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры. М., ' Ф и з м а т г и з , 1963.

4. / . Gergely. M a t r i x inversion and solution "of linear and n o n l i n e a r system by m e t h o d ,> of b o r d e r i n g . I n «Numer. methods)). Budapest, Janos Bolyai - N o r t h Holl, 1979.

Ь.Й. Г ер гей, Один_ метод р е ш е н и я систем н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й . Ж . вычисл. ма-

С тУ; и матём. физ., 1976, 16, № 3, 776-778.