матем. журн., 1998, том 39, номер 6, 1428–1434

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Щеглова, Метод Ньютона для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, Сиб.

матем. журн., 1998, том 39, номер 6, 1428–1434

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 07:25:57

Сибирский м а т е м э т и ч е с к и й журн&л Ноябрь—декабрь, 1998. Том 39, № 6

УДК 517.518

МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение. В с т а т ь е исследуется вопрос о применении м е т о д а Нью­

т о н а — К а н т о р о в и ч а д л я решения нелинейной з а д а ч и Коши в и д а

f(x(t),x(t),t) = 0, t € T = [0,6], (1)

ж(0) = 0. (2) З д е с ь f(x(t),x(t),t) — m-мерная вектор-функция с det(/£(i(2),.r(<),i)) = 0

Ш £ Т.

Р а с с у ж д е н и я о возможностях и с п о л ь з о в а н и я процессов Н ь ю т о н а (основного

/<(i

(0.*

(t).<)i

(0 + /i(i

W. *"(<). 0*"

(0

= /(i"(0. *"(<). О+ /i(i"(0^

(0.0i

(0 + /i(i

(0.*

(0.0*

(0 (3)

и модифицированного

/i(i

(0,*

(t),0i

(<) + /i(i

(0.*

(<),*)«

(<)

= f(xn(t), xn(t), t) + Л ( i ° ( 0 . At), t)in(t) + fUAt), x°(t),t)xn(t), (4) x°(t) — н а ч а л ь н о е приближение (п = 0 , 1 , 2 , . . . ) ) будем п р о в о д и т ь , опи­

р а я с ь на с л е д у ю щ у ю теорему.

Т е о р е м а 1 [1, с. 680, 682]. Пусть оператор Р : Р[х] = у отобраткает открытое мноткество Q банахова пространства X в банахово простран­

ство У и имеет непрерывную вторую производную Р" в Qo — {х Е Q : IIх' ~~ х°\\х ^ ^ (х° ^ ^ ) } - Пусть, кроме того,

1) существует непрерывный линейный оператор Го = (/^(а;⁰))^{- 1} : у • х

2) \\То\\у^^х ^ Ъ 3) \\P[x°]\\Y $ »?,

4) 11*"'(*)Н*хх-у ^ * (* G "о).

Тогда если h = kj2rj ^ 1/2 и 6 ^ <*>о = *~ li~2hlr]^ TO уравнение Р[х] = 0 имеет решение х*, к которому сходится процесс Ньютона (основной и модифицированный [1, с. 670]), причем \\х* — х°\\^х ^ 5о. Далее, если 8 < 8i — ^1+y\^2hjr] при h < \ и 8 ^ их при /i = | , то в шаре Q⁰ решение х*

единственно.

Для основного процесса Ньютона быстрота сходимости характери­

зуется неравенством

11**-Л1л-^(2/0

"у,

© 1998 Щеглова А. А.

Метод Ньютона для решения вырожденных систем 1429 а для модифицированного (при h < 1/2)

Ik*" Л1х ^ у к1 - VT^2h)n+1 (п = 0,1,2,...).

Вспомогательные сведения о левом разрешающем операторе. Рас­

смотрим л и н е й н у ю з а д а ч у Коши

A(t)x(t) + B(t)x(t) = y(t), teT=[a,b], (5)

a?(a) = a, (6) detA(2) = 0 V/ G Т. Предполагаем, что э л е м е н т ы з а д а н н ы х (m x m)-

м а т р и ц A(t),B(t) и вектора y(tf) суть / раз непрерывно дифференцируе­

м ы е функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Левъш разрешающим оператором ( Л Р О ) д л я систе­

м ы (5) н а з ы в а е т с я оператор L:

i

i=o т а к о й , ч т о

L[A(t)x(t) + B(t)x(t)] = x(t) + B(t)x(t), t e T,

г д е B(t) = L , ( t ) B( 0( 0 + 1 / - 1 ( 0 В('_ 1 )( 0 + • • • + M*)B(*) + Lo(t)B(t) (Lj(t) — непрерывные на Т м а т р и ч н о з н а ч н ы е функции).

Наименьшее целое / > 0, при котором существует Л Р О , н а з ы в а е т с я индексом перазрешенности системы (5).

П р е д п о л о ж и м , ч т о оператор L р а з л о ж и м на произведение диффе­

р е н ц и а л ь н ы х операторов первого порядка

L[y{t)] = QiQi-i...QiW)l

г д е Qj[y(t)] - Qjo(t)y(t) -f ^(Qji2/W), j = 1,/- Индексы систем, соответ­

с т в у ю щ и х операторам Qj, равны единице. В ч а с т н о с т и , р а з л о ж е н и е имеет место в с л у ч а е а н а л и т и ч е с к и х A(t) и B(t) [2].

При н а л и ч и и Л Р О решение з а д а ч и (5), (6) существует, если выпол­

н я е т с я т а к называемое условие согласования н а ч а л ь н ы х д а н н ы х (6) с правой ч а с т ь ю с и с т е м ы (5) [3]:

y(t) = (А(ф(1) + B(t)*{t)) la + j У-\т)Ь[у(т)] dr j + A(t)L[y(t)}.

Решение з а д а ч и (5), (б) при этом единственно и п р е д с т а в и м о в в и д е

t

x(t) = *(*)<* + J »(t)(*(r))-1L[y(r)] dr,

a

г д е м а т р и ц а н т Ф(2) у д о в л е т в о р я е т соотношениям Щ) + В(г)Щ) = 0, Ща) = Е (Е — е д и н и ч н а я м а т р и ц а порядка га).

Оператор V : К[ж(*)] = A{t)x(t) + B(t)x(t) = j/(t), * G Г, д е й с т в у е т и з пространства С ^ Т ) функций, непрерывных на Т вместе со своими

1430 А. А. Щеглова

п р о и з в о д н ы м и первого порядка, в пространство С1(Т), которое пред­

с т а в л я е т собой пространство / раз непрерывно дифференцируемых на Т функций (/ — и н д е к с системы (5)), пополненное по норме

11У(011С.(Т)

= \Ш\\с(т) + \\Qi[y(t)]\\c(

) + ••• + WQiQi-i • ••Qi[v(t)]\\c

T), (

)

1Ь(011с(Т) = НЫ0>---,2/т(0)Т|1с(Т) = max maoc|j/,-(t)|

(T — с и м в о л транспонирования). При э т о м [3]

u r n WAm,, ,

x

»(<)ec'(T) И^'Л1С1(т)

Сходимость метода Ньютона. Вернемся к з а д а ч е (1), (2). В прост­

р а н с т в е CQ(T) непрерывно дифференцируемых в промежутке Т = [0,6]

функций, о б р а щ а ю щ и х с я в нуль при t = 0, введем норму IkWllci(T) = IkWllc(T) + ^ЛР(<)Нс(т)>

А — п о л о ж и т е л ь н ы й параметр, который будет определен н и ж е . Н а й д е м производные оператора Р,

P[x(t)] = y(t), i/(0 = f(x(t), x(t), t), x £ По, t G T, (9) в т о ч к е x°(t) £ C%(T):

P\x0)[x(t)] = fx(x0(t),x0(t)J)x(t) + fx(x0(t),x°(t),t)x(t), (10) P"(x°)[x(t),x(t)] = fx'2(x0(t),x°(t),t)x(t)x(t)

+ Л;(±

(<),х

(0,<)(±(0г(<) + ^ ) ^ ) ) + /^(*

(*).*

(0.<)*(0г(*)- (И)

В с л е д с т в и е (10) э л е м е н т x — T0[y], Г0 = (Р'(х0)) , я в л я е т с я реше­

нием в ы р о ж д е н н о й з а д а ч и Коши

Л(i°(<), x°(t), t)x(t) + fx(x°(t),x°{t), t)x(t) = y(t), (12)

x(0) = 0. (13) П р е д п о л о ж и м , ч т о система (12) о б л а д а е т JIPO L порядка /:

L[f'x(x°(t),x°(t),t)x(t) + f'x(x°(t),x°(t),t)x(t) - y(t)} = x(t) + B(t)x(t) - L[y(t)}, B(t) — L [/i(i°(/), x°(t),t)]. Это подразумевает, что э л е м е н т ы функций /£(i°(tf),:c0(tf),tf) и /£(i0(t),a?0(tf),tf) непрерывны вместе со с в о и м и произ­

в о д н ы м и до /-го порядка в к л ю ч и т е л ь н о .

Ч и с л о / будем н а з ы в а т ь индексом исходной с и с т е м ы (1), если x°(t) выбрано так, ч т о при всех z(t) £ Q0 = {-(0 £ Со СО : ||z(f) — ^°(011с1(т) ^ ^}

и н д е к с с и с т е м ы f^z^t), z(t),t)x(t) + f'^x(z(t), z(t),t)x(t) = y(t) не м е н я е т с я . Р е ш е н и е з а д а ч и (12), (13) существует, единственно и п р е д с т а в и м о в в и д е

t

x(t)= /*Ф(<)(Ф(г))-11[у(г)]г/г, 1 S T , (14)

Метол Ньютона для решения вырожденных систем 1431 (Ф(*) у д о в л е т в о р я е т уравнениям Ф(*) - B(t)4?(t) - О, Ф(0) = Е), е с л и в ы п о л н я е т с я условие согласования

y(t) = (fUi4t),At),t)Mt) + fUi\t),At),W(t))

t

J*-4T)L[y(T)]dr + fttx

(t),*°№)4№l (15)

t

X 0

Соотношение (15) п р е д с т а в л я е т собой условие существования опе­

ратора Го при н а л и ч и и у системы (12) Л Р О .

Оператор Р отображает шар QQ С CQ(T) В пространство С1(Т) с нормой (7).

Оценим норму оператора Го- Известно [4], ч т о ||Ф(*)Нс(Т) ^ ^е >"с(т)

и Н^ф_1(*)11с(т) < е6 | | 5 ( 0 1 1^ ) . В силу (8)

\№)\\c(T) = | | i [ / i ( i0( 0 ^ ° ( 0 , 0 ] | | c ( T ) ^ Ш*Ч*)>А*Шс*(ту поэтому

||*«)||

„ < ««""«^''•'»W, ||Ф-.

,)||

, < . ' • ' ^ ' ^ • « 9

.

Из (14) следует, ч т о

ll»«)llc

r,«^

"

'

""

"'"

--||

«)]||

,

Кроме того,

\\4t)\\c(T) = \\-B(t)x(t) + L[y(t))\\^c{T)

<; \\f^x(x°(t),x°(t),t)\\^5t(T)\\x(t)\\c(T) + \\УШСЧТ)

$ (6||/i(«

(<),x

(*),0b.(T)

*

*

'

+ Шт^ту Отсюда

1И0Ис

ст> < ( б е

^ ^ - ^ ^ . , ,

Хе)\\М\\с,

у

т а к ч т о

e = b\\fx(x0(t)^°(t)J)\\dl(T)e " ^ w' — ' с « ( т) + 1, 26||/i(ir°(0,a:0(0,OII;

^ .„ ис » ( т ) -I- Д А

!lCl(T)-+C*(T) ^ ^ W'

П о с л е д н я я оценка позволяет применить теорему 1, на основании ко­

торой п р и х о д и м к с л е д у ю щ е м у результату.

Т е о р е м а 2. Пусть для системы (12) существует Л Р О L порядка I (/ — индекс системы (1)), з а д а ч а (12), (13) разрешима для всех y(t), определяемых равенством (9) (другими словами, выполняется условие (15)), и функции f'S2(z{t)zz(t),t), f'lx{z(t),z{t),t), /£(*(<)>*(*),*) непрерывны в норме пространства Cl(T), z(t) G ^ o C Со СО- Пусть, кроме того,

l')\\f(x0(t),x°{t),t)\\d4T)^r],

2') ||/£(i

(0

(*),t)b

<*i,

1432 А. А. Щеглова,

3') ||/<'а(*(0,*(*).0|1с.(т)- |/&(±(*),*(0.0|1с.(т)' Н ^ ( * ( 0 . « ( 0 . 0 | 1 с . ( т ) <

^ (*(<) € fio),

4') Л0 = k2r)b2e4bk> < \.

ТОГДА если

0 > Зо = * " ^ " 2* ° 6 cMS , (16) /го

то з а д а ч а (1), (2) и м е е т в промежутке Т = [0,6] решение x*(t)ⁱ к которо­

му сходятся процессы Ньютона, (3), (4), причем \\x*(t) — x°(t)\\cuT\ ^ ^о- Если

(17)

/г0

то решение задачи (1), (2) единственно в шаре fl0- Скорость сходимости основного процесса:

11*40-*

(*)11

;

т)<^(2М

"щ^,

модифицированного:

Н**(0 - *

(011с'(т) < О - v

i

2 ^ )

^ ^ r -

На основании (11) из непрерывности функций f'S²(z(t),z(t),t), f'£^x{z(t), z(t),t), f'J²(z(t), z(t),t) следует непрерывность второй п р о и з в о д н о й опера­

тора Р.

У с л о в и я 1' теоремы 2 и 3 теоремы 1 э к в и в а л е н т н ы , условие 2 спра­

в е д л и в о при 7 = be2bkl + А0 —• be2bkl, А —* 0. Из у с л о в и я 3' в ы т е к а е т условие 4 при & = &2- Поскольку

lim 6о = 5о, lim <$i = 6i, lim /г = Лп,

А-^0 Л —О А-*0

то, в з я в Л д о с т а т о ч н о м а л ы м , мы за счет условий 4', (16), (17) обеспе­

ч и м в ы п о л н е н и е условий существования и е д и н с т в е н н о с т и р е ш е н и я x*(t) з а д а ч и (1), (2).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. С х о д и м о с т ь метода Ньютона д л я систем в и д а A(t)x(t) + f(x(t),t) = 0, det A(t) = 0, индекса 1 обоснована на базе дру­

гой т е х н и к и в [5].

ЗАМЕЧАНИЕ 2. С л у ч а й ненулевых н а ч а л ь н ы х д а н н ы х с в о д и т с я к рассмотренному о ч е в и д н о й заменой переменных.

Вопрос о разрешимости линеаризованной задачи. Проверить вы­

п о л н е н и е у с л о в и я (15) и л и иным способом у с т а н о в и т ь р а з р е ш и м о с т ь з а д а ч и (12), (13) д л я л ю б ы х y(t), определяемых соотношением (9), весь­

ма сложно. Попробуем н а й т и более конструктивный к р и т е р и й суще­

с т в о в а н и я решения э т о й з а д а ч и .

П р е д п о л о ж и м , ч т о з а д а ч а (12), (13) разрешима при y(t) — y°(t) = f(x°(t), x°(t),t), и л и , что то же, с п р а в е д л и в о соотношение

У° (t)=(U(x0{t),x0(t), t)9(t) + f'x(x\t),x°(t), *)*(*))

t

xJ9-4T)L[y\T)]dr + &{x\t),x\t),t)L[y⁰(t)]. (18)

0

З д е с ь Ф(<) + L [/i(i°(<), *°(0> 0 ] * ( 0 = 0. ^ф( 0 ) = ^Е-

М е т о д Ньютона для решения вырожденных систем 1433 В ы я с н и м , п р и к а к и х м а л ы х в о з м у щ е н и я х v(t) р е ш е н и е с у щ е с т в у е т для п р а в о й ч а с т и y{t) — y°(t) + v(t). В в е д е м в р а с с м о т р е н и е о п е р а т о р ы Ф и Ф, д е й с т в у ю щ и е и з CQ(T) В С1(Т):

ФИ*)] = /<(i^t),x°(t),0i(t) + /i(i40^°Wi<M0 = У°(0.

*[*(*)] = £(±°(*)> А*),*)*® + /i(±°(*)> *°(0, *)*(<) ~ "(*) = У°W-

Е с л и (18) и м е е т м е с т о , т о с у щ е с т в у е т Ф- 1 и

\\^-1\\c'(T)^m^be2bkl-

Оператор Ф будет непрерывно обратим, когда

ПФ - ФП ~ 11Ф-111~ < 1 (19)

(см. [6, с. 141]).

Оценим ||Ф - ЩС1(т)^с1(т) = 1И*)11с0ЧТ)->с'(Т)' Е с л и

y{t) = /(£(*), *(*),*), *(*)• = *°W + ^(0, IK*)llcj(T) ^ ^ то

v(t) = /(i°(t), *°(*), *) - /(i°(*) + ё(*), *°(*) + Ф)Л)-

И з р а з л о ж е н и я ф у н к ц и и f(x(t), x(t),t) в р я д Т е й л о р а по п е р е м е н н ы м x(t) и ж(2) в о к р е с т н о с т и т о ч к и x°(t) с о с т а т о ч н ы м ч л е н о м в ф о р м е Л а г р а н - ж а в ы т е к а е т , ч т о

f(x°(t) + i(t), x°(t) + e(t), t) - f(x°(t), x°(t), t)

= U(x°(t),x°(t),t)i(t) + f'

(i

(t),At),tHt)

+^(лн^(<)^(о,о^+л;дао^(о,0(^(0£(о+г(0г0))+/"

«(о,е(о^)^(0)-

£(/) 6 Qo- Т о г д а и з у с л о в и й 2' и 3' т е о р е м ы 2 с л е д у е т , ч т о

||/(i

(*),z

(0.*) - /(*"(*) + ё(0.*°(*) + ^),011с.(т)

^ ||/<(i0(t))ar0(t))0|5l(T)||eWllc'(T) + *ilH<)llc?(T) + yl|e(0llco4T)- Отсюда

1И*)11с0чтьс<(т)

||/(±°(<) + <г(*), *° (О + £(*),*) - /(i°(t), *°(*). t)\\cHT)

— S Up ———у —

e(t)£Cl(T),Mt)H6 МШс^Т)

||/<(i0(0^°W,0||c.(T)IH*)llcj(T)

^ S UP и / \ M — — f(t)eC01(T),||e(OII<« i R ^ l l c ^ T )

*llHOIIc'(T) + ¥ll

(*)Hc'(T) + _IkWII

= \\&{i0(t),x0(t),t)\\5l(T) + k1 + ^6.

1434 А. А. Щеглова, З н а ч и т , если

| | Л ( 40( * ) , «0( 0 , 0 | | с ч т ) + *1 + у ^ £ S I 7 . (2°) то неравенство (19) имеет место.

Т а к и м образом, в формулировке теоремы 2 предположение о разре­

ш и м о с т и з а д а ч и (12), (13) при л ю б ы х y(t), у д о в л е т в о р я ю щ и х (9), мож­

но з а м е н и т ь совокупностью д в у х легко проверяемых условий: 1) за­

д а ч а (12), (13) разрешима при y{t) = y°(t) (т. е. с п р а в е д л и в о соотноше­

ние (18)); 2) радиус 6 шара ^о у д о в л е т в о р я е т неравенству (20).

З а м е т и м , ч т о при больших \\fi(&°{t),x°{t),t)\\~^l и к\ условие (20) м о ж е т не и м е т ь места ни при каких 6^0. Само соотношение (20) не обеспечивает а в т о м а т и ч е с к о г о в ы п о л н е н и я неравенств (16), (17). По­

скольку в нем присутствует | | / 4 ( ^0( 0 >ж° ( 0 ' 0 | | с * т ' в ы^ Ра н н о е и з (20) 6 м о ж е т о к а з а т ь с я как в промежутке (<$o,<5i), т а к и вне его. Тем не менее несложно построить пример, д л я которого все три у с л о в и я (20), (16), (17) в ы п о л н я л и с ь бы одновременно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный а н а л и з . М.: Наука, 1977.

2. Чистяков В. Ф. О нётеровом индексе линейных алгебродифференциальных систем / / С и б . м а т . ж у р н . 1993. Т . 34, №3. С. 209-221.

3. Щеглова, А. А. К вопросу о с х о д и м о с т и численных методов д л я решения в ы р о ж д е н ­ ных с и с т е м О Д У . Иркутск, 1995. 38 с. (Препринт / С О Р А Н . И р В Ц ; N 2).

4 . Демидович Б. П. Л е к ц и и по м а т е м а т и ч е с к о й теории у с т о й ч и в о с т и . М.: Наука, 1967.

5. Чистяков В. Ф. О л и н е а р и з а ц и и вырожденных систем к в а з и л и н е й н ы х обыкновен­

ных д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений / / Приближенные м е т о д ы решения о п е р а т о р н ы х уравнений и их п р и л о ж е н и я . Иркутск: С Э И С О АН С С С Р , 1982. С. 146-157.

6. Треногий В. А. Функциональный а н а л и з . М.: Наука, 1980.

г. Иркутск Статья поступила 24 марта 1997 г.