Н. Л. Гордеев, Об алгебрах инвариантов конечных групп, Тр. МИАН СССР, 1990, том 183, 60–68

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. Л. Гордеев, Об алгебрах инвариантов конечных групп, Тр. МИАН СССР, 1990, том 183, 60–68

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:19:51

Л и т е р а т у р а

1. В о с т о к о в С. В . Норменное спаривание в формальных модулях / / Изв. А Н СССР*.

Сер. мат. 1979. Т . 4 3 , № 4. С. 766—794.

2. В о с т о к о в С В . Символы на формальных группах / / Изв. А Н СССР. Сер. мат.

1981. Т . 4 5 , № 5. С. 9 8 5 - 1 0 1 4 .

3. В о с т о к о в С В . Явная конструкция теории полей классов многомерного локаль­

ного поля / / Изв. А Н СССР. Сер. мат. 1985. Т . 4 9 , № 2. С. 283—308.

4. В о с т о к о в С В . , Л е ц к о В. А . Каноническое разложение в группе точек фор­

мальной группы Любина—Тэйта / / Зап. науч. семинаров ЛОМИ А Н СССР. 1980. Т . 1 0 3 - С 5 2 — 5 7 .

5. В о с т о к о в С В . , Ф е с е н к о И . Б. О кручении в высших функторах Милнора многомерных локальных полей / / Кольца и модули: Предельные теоремы теории вероят­

ностей. Л . , 1986. Вып. 1. С. 75—86.

6. П а р ш и н А . Н . Поля классов и алгебраическая Я - т е о р и я / / У с п е х и мат. наук.

1975. Т . 3 0 , № 1. С 2 5 3 - 2 5 4 .

7. П а р ш и н А . Н . К арифметике схем размерности. 2 / / Изв. А Н СССР. Сер. мат. 1976»

Т. 40, № 4. С. 736—773.

8. П а р ш и н А . Н . Локальная теория полей классов / / Тр. Мат. ин-та А Н СССР. 1 9 8 4 . Т . 165. С. 143—170.

9. Ш а ф а р е в и ч И . Р. Общий закон взаимности / / Мат. сб. 1950. Т. 26 (68), № 1 . С. 113—146.

10. К a t о К . A generalization of local class field theory by using Ä-groups. 1 / / J. Fae. SdL Univ. Tokyo. Sect. I A . 1979. V o l . 26, N 2 . P. 303—376.

11. L a n g S. Cyclotomic fields. N. Y . , 1978. 253 p.|

12. L u b i n J., T a t e J. Formal complex multiplication in local fields / / Ann. Math 1965. V o l . 8 1 . P. 3 8 0 - 3 8 7 .

13. S e r r e J.-P. Corps locaux. Paris, 1962. 265 p.

H . Л . Г О Р Д Е Е В

ОБ А Л Г Е Б Р А Х И Н В А Р И А Н Т О В К О Н Е Ч Н Ы Х Г Р У П П

Пусть G с GL (V)— линейная группа, действующая в конечномерном л и ­ нейном пространстве V над полем К. Тогда G естественно действует на симметри­

ческой алгебре S=S (V) пространства V. Если базис алгебры инвариантов R=S^G состоит из m однородных многочленов, то R^K [х^г, . . ., x^m]/(f^ly . . .^э f^g)i г д е Д , . . . , / , — однородные (при некоторой градуировке) многочлены. Д в а естественных параметра алгебры R — к о р а з м е р н о с т ь codim

= tfi—dim Л и д е ф е к т й (R)—s—codim R — можно рассматривать как ха­

рактеристики е е сложности. В данной работе рассматриваются коразмерность и дефект алгебр инвариантов некоторых классов конечных групп при К=С;

часть результатов опубликована в [ 4 ] .

§ 1. Зависимость сложности алгебры инвариантов от размерности пространства представления

1. 1. Пусть {G.} — некоторое множество групп, {p^€J : G. -> GL (VJ)} — неко­

торое множество их линейных представлений, {R^{J = -5 (V ^j^ V ^ ^ } — множество соответствующих алгебр инвариантов, Будем говорить, что множество групп {GJ удовлетворяет условию I (соответственно условию II) относительно пред­

ставлений {o(j}, если codim Rtj - > оо (соответственно d ( f l^ ) - » o o ) при dimcVj - *•

-> оо. (Если последовательность {dim^F^.} ограниченна, то считаем, что усло­

вия I, II выполнены).

1. 2. При выделении классов групп и их представлений, удовлетворяющих условиям I , I I , естественным ограничением является отсутствие тривиальных компонент в представлениях. Поэтому всюду предполагается, что

J

60 © Н . Л . Гордеев, 4980«

для всех i, ;'. В частности, фраза «все представления» будет означать «все пред­

ставления без тривиальных компонент».

1. 3. Из теоремы Попова [ 7 ] следует выполнение условия I для фиксирован­

ной конечной или связной полупростой алгебраической группы относительно всех ее рациональных представлений. Выполнение условия I I для рациональ­

ных представлений связной полупростой группы, по-видимому, также можно извлечь из доказательства*[этой теоремы. Отметим, что в [9] имеются оценки роста дефекта алгебр инвариантов неприводимых представлений группы SL² (С).

Для конечной группы проверка условия I I элементарна и может быть проделана тем же приемом, что и в [ 7 ] .

Пусть {G.} — множество конечных групп, к (i) — число факторов в разло­

жении группы GJ[G^V Ö J | B произведение циклических групп примарного по­

рядка, g (i) —- число простых факторов в композиционном ряду группы G^{, изо­

морфных простым нециклическим факторам^групп, порожденных псевдоотра­

жениями.

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть { G^t. } | — множество конечных групп, удовлет­

воряющих условию I (соответственно I I ) относительно некоторого множества, их линейных представлений {р,⁷}. Предположим, что множества {k (i)}, {g (i)}

ограниченны. Тогда множество {G^{} удовлетворяет условию 1 (соответственно II) относительно всех линейных представлений, составленных из сумм представ­

лений {p.j}.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Приведем доказательство для условия II (для усло­

вия I реализуется та же схема). Пусть k(ï), g(l)^a. Зафиксируем i и рас­

смотрим представление 0^t., являющееся суммой b представлений (возможно, одинаковых) множества {р^}, где Ь^ За 4- 1 . Пусть RQ{— алгебра инвариантов группы ô^t.(G^t). Предположим, что d(R$.) = 0. Тогда группа 6. (G.) должна порождаться множеством матриц Д , у которых не более двух неединичных собственных значений (см. [2, 10]). Следовательно, не более 2а из b представ­

лений р.^у, входящих в 0., удовлетворяют условию p^(GMp.^y(G.), р^ч(G^{)] 1 и поэтому по крайней мере для а + 1 представления p.j, входящего в 6^t.^T p^tj(G^{) = [p^t-y(G^t.), Pij(G.)]^m Для каждого из таких представлений существует нормальный делитель N.j группы p.j(G.), такой, что фактор-группа pⁱj(G^INⁱj^: изоморфна простому нециклическому фактору одной из групп, порожденных псевдоотражениями. Действительно, d(R.j) = 0, поскольку d(R^^I) = 0 (см. [12], лемма 5); сказанное выше следует из классификации [3].

Поскольку Ь.(G.) = <(Д>, факторы вида p.j(G^jN.j являются образами раз­

личных простых факторов группы G.. Но тогда число таких факторов ~^а-{-\, что противоречит неравенству g(i)'^a. Следовательно, а(Щ.)=^0. Для фикси­

рованного натурального существует такое натуральное 1 = 1 (d), что d(R.j) ^> d, если dim^G Vj > L Положим 1^г = (За + 1) dl. Пусть 0 • : G⁴ -> GL (V) — представ­

ление, полученное из сумм представлений {р^.} и такое, что dim^ V ^> l^v а R9-г — алгебра инвариантов группы 8• (G.). Тогда d (ff e:} > d. Действительно, если размерность хотя бы одного из представлений p.j, входящего в 6*, больше, чем I, то это неравенство следует из неравенства d(ff^.)^>d (см. (2)). В про­

тивном случае содержит более (За -f-1 ) d компонент вида p.j. Как показано выше, алгебра инвариантов, соответствующая представлению, составленному из суммы b компонент вида p.j, b^3a + i, имеет ненулевой дефект. Из нера­

венства (2) получаем неравенство d(ff^ö>);>d.

С л е д с т в и е 1. Конечное множество конечных групп (GJ удовлетворяет условиям I и II относительно всех их представлений.

61

1.4. Пусть M^v...,M^k — множества групп, удовлетворяющих условию I '(условию II) относительно соответствующих множеств линейных представлений

к

Д^р Тогда, очевидно, множество U M. удовлетворяет условию I (усло- вяю II) относительно представлений из U\-« Поэтохму если речь идет о проверке условий I, I I для множества {G.} конечных групп, то ввиду 1.3 нетривиальным является случай бесконечного множества групп; при этом из (GJ можно уда­

лить любое конечное подмножество.

1. 5 . Задача проверки условий I , II является, как нам кажется, содержа­

тельной для естественных классов групп (например, разрешимых, простых, сим­

метрических, групп Шевалле и т. д.) относительно достаточно широких классов представлений (например, примитивных, индуцированных^д мономиальных).

По-видимому, принцип роста сложности алгебр инвариантов при росте размер­

ности пространств справедлив для достаточно широких классов редуктивных групп. При этом под сложностью можно понимать не только коразмерность и дефект, но также и ряд других параметров: кратность, числа Бетти и т. д.

§ 2. Стандартные методы, терминология, обозначения

2 . 1 . В теории инвариантов редуктивных групп часто используется так на­

зываемый ел айс-мето д. Изложение этого метода содержится в [9]. Использова­

ние его в случае к о н е ч н о й группы GcGL (V) дает неравенства

codim S^H < codim ß , d(S^H)^d(R)^y (1)

где H G — стабилизатор какого-либо вектора из V.

Для подгруппы H группы G ее л и н е й н ы м з а м ы к а н и е м будем на­

зывать подгруппу H^l={o G G I о (у)=у для всех v ç V^H}. Очевидно, что ли­

нейно замкнутые подгруппы (т. е. 7 7 = #^г) , и только они, являются стабилиза­

торами векторов пространства V.

2. 2. Следующий прием, как и слайс-метод, широко используется в теории инвариантов редуктивных групп. Как и выше, ограничимся случаем конечной группы G c G L (У). Пусть V = V^XQ)V² — разложение G-модуля V в сумму G- подмодулей, R^S ( Т ^ , ; J?² (^г)"- Несложно проверить, что однородные базисы алгебр i ?^x, R², [(базисы [их идеалов соотношений) можно дополнить до однородного базиса алгебры R (до базиса ее идеала соотношений). Учитывая, что dim i? = dim i ?^x+ d i m R², а также сравнивая высоты идеалов соотношений алгебр i ?², R, получаем

codim i ? > codim i?^x + codimJff², d{R)'^d(R¹)+ d(R²). "(2) 2. 3. Напомним, что к л а с с о м г р у п п ы п о д с т а н о в о к Г называ­

ется минимальное число нестационарных элементов неединичных подстановок из Г (см. [13]). К л а с с о м л и н е й н о й г р у п п ы G будем называть число min ( r ( a ) I <э £ G, 0=^=1}, где r ( o ) = r a n g (о—1), и обозначать cl (G) (то же обо­

значение — и для групп подстановок). Символом О (х) будем обозначать тот же порядок роста, что пух при х о о . Остальные обозначения стандартные.

6 2

§ 3 . Зависимость сложности алгебр инвариантов от структуры ветвления расширения S/M

3. 1. Структура ветвления расширения SIR, которую можно выразить на*

языке стабилизаторов векторов из V, оказывает существенное влияние на строе­

ние алгебры R. В частности, в простейших случаях — codim R=^0 и d (R)=0 — группа G должна порождаться матрицами, у которых г ( о ) = 1 и г ( о ) ^ 2 соот­

ветственно. С другой стороны, увеличение числа неединичных собственных значений у всех неединичных операторов группы G (что эквивалентно увеличе­

нию коразмерности компонент ветвления в Spec 5/Spec R) приводит к усложне­

нию алгебры R.

3. 2. Пусть S^C [х^г, . . ;Х^Я], а Д, . . ., f^m — однородный базис R. Если G действует без неподвижных точек в У (т. е. в У \ { 0 } ) , то накрытие V -> V/G этально во всех точках, кроме 0. Следовательно, миноры порядками матрицы (dfjdxj) порождают в S примарныи идеал относительно (х^г, . . ., х^п). С другой стороны, высота этого идеала <^[яг—ra-f-l (см. [ 8 ] ) . 1 | Таким образом, если G действует без

неподвижных точек в У, то Щ

codim / ? > dime V—1. (3) Пусть G — произвольная конечная линейная группа, о £ G , r (o)=cl(G)

(см. п. 2.3). Тогда <^oyⁱ — группа, действующая без неподвижных точек в про­

странстве V/V<^T>, размерность которого равна г (а). Из (1) и (3) получаем

codim / ? > cl ( G ) — 1 . ( 4 ) Из (4) в свою очередь имеем следующее предложение.

П р е д л о ж е н и е 2. Множество конечных групп {GJ удовлетворяет усло­

вию 1 относительно представлений {<р⁴-у}, если cl (p^i>;. (G^)) -> оо при dim^F^. -> оо.

З а м е ч а н и е 1. Используя классификацию групп, действующих без не­

подвижных точек (см. [ 1 ] , гл. 6), можно,|вероятно,|усилить неравенство (3).

3. 3. В [9, 1 0 ] приводится теорема, которую можно записать в виде импли­

кации

d (R) = d\=> G = <{oa I r (a.) < d + 2}>. (5) (Этот факт в [9, 1 0 ] опирается на один результат Горески и Макферсона, дока­

зательство которого $ по-видимому, еще не опубликовано).

Отметим, что из (5) следует неравенство d (R) ^ c l (G)—2, а значит, и выпол­

нение условия II, если cl (p^4j(G⁴.)) оо при dim^ Vj ~>оо.

3. 4. Неравенства (1) часто удается использовать в случае, когда H — цик­

лическая группа. В частности, имеет место следующая|лемма.

Л е м м а 1. Пусть G=<(o)> a r (o)=r ( o^p) = n = à i m^cV , где о^р — образующая р-подгруппы группы (о) для некоторого фиксированного простого числа р. Тогда

,. ⁰ . nln— 1) j / o w ( 3> если п = 3, codim R ^—^ -', d ( # ) > )

1 \ с%, если n ^ 4 .

Доказательство этой леммы довольно длинное (в той части, в которой речь идет о дефекте). Поскольку ниже этот результат практически не используется, доказательства мы здесь не приводим» При тех же условиях, которые указаны в лемме, нам достаточно иметь следующие неравенства:

codiraffj>y — 1 , d ( Ä ) > i — 1, (6)

6 $

— которые следуют из (2). Действительно, разбивая V в прямую сумму двумер­

ных (трехмерных) G-подмодулей, получаем из (2) неравенства (6), поскольку соответствующие алгебры инвариантов не являются алгебрами многочленов ( п о л ными пересечениями) ^#|

§ 4. Некоторые классы конечных линейных групп

4. 1. Пусть G — импримитивная конечная линейная группа, транзитивно действующая на некоторой системе импримитивности {FJJU. Систему

можно выбрать так, чтобы образ естественного гомоморфизма а группы G в группу ее подстановок был п р и м и т и в н о й группой подстановок. Будем считать, что такой гомоморфизм а зафиксирован для любой группы G указан­

ного типа. Для a (G) сформулируем также следующее условие:

a(o)=jLl для некоторого элемента aÇG простого порядка. (*) Т е о р е м а 1. Пусть {р^.}— некоторое множество индуцированных пред­

ставлений групп {GJ. Предположим, что группы подстановок a(p^ty(G⁴.)) удовлетворяют условию (*) и не содержат знакопеременных групп подста­

новок соответствующих множеств. Тогда множество групп {G.} удовлетво­

ряет условиям 1 u II относительно представлений {р⁴-у}.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть о£р^(С⁴.) — такой элемент простого порядка р, что а (а) =7^=1; X— множество нестационарных индексов подстановки а (а); V) — сумма подпространств системы импримитивности, индексы которых входят в X.

Так как а^р = 1, то базисы суммируемых подпространств можно выбрать так, чтобы ограничение матрицы а на Vj реализовывалось как матрица подстановки этих базисов. Ограничения операторов из <(a>j на Vj также реализуются как подстановки тех же базисов. Пусть ^Ç<V>,— такой элемент, что а(х)=^1 и число г' (т) нестационарных элементов подстановки т является минимально воз­

можным. Тогда ограничение f элемента т на V) порождает линейно замкнутую подгруппу простого порядка. Пусть Z —dim^F^, где V^js — элемент системы импримитивности группы p^t7(G⁴.). Тогда г (у) ^ (1/2) 1г' (т). Пусть, далее, п~

•==• dime Vу, k— число элементов системы импримитивности; f (к) — минимальное значение класса примитивной группы подстановок к элементов, отличной от JS^k и А^к. Так как lk = n, f(k)^k, г ' ( т ) ^ / ( А ) , то

Но теореме Жордана (см. [ 1 3 ] , с. 4 3 ) , f (к)-> со при А -> о о . Следовательно, г(ч)->со при п - > оо. Теперь утверждение теоремы следует из ( 1 ) , (2) и ( 6 ) . З а м е ч а н и е 2» 1) Условиям теоремы удовлетворяют довольно широкие классы групп, например группы, порожденные элементами простого порядка, фактор-группы которых не изоморфны симметрическим и знакопеременным группам, в частности все простые группы, кроме (А^я};

2) условие (*) не является, по-видимому, существенным.

4 . 2 . Случаи, когда {GJ = {S^Ä}, {Л^п}⁹ рассмотрены в [4] (подробное доказа­

тельство см. в статье: Н . Л. Г о р д e е в. Инварианты симметрических и знако­

переменных групп / / Зап. науч. семинаров ЛОМИ АЩСССР. 1987. Т. 160.

С 201—210). Эти группы удоветворяют условиям I и II относительно всех ли­

нейных представлений, кроме тех, которые являются суммами стандартных и одномерных представлений. Отметим, что ранее Ж. Диксмье (1984 г.) рассмат-

64

ривал ассимптотику роста коразмерности алгебр инвариантов линейных пред­

ставлений специального вида групп

4 . 3 . Пусть {SLⁿ (q)} — множество всех специальных линейных групп над конечными полями (всех размерностей и над всеми конечными полями);

Т е о р е м а 2. Множество групп {SLⁿ (q)} удовлетворяет условиям I и II относительно всех их линейных представлений.

Эта теорема следует из предложения 1 и следующего утверждения.

Т е о р е м а 3. Пусть S Ь^Л(а) с G с GLⁿ(q), p\G-*GL(V)— неприводимое неодномерное представление, R = S (VyW—соответствующая алгебра инва­

риантов. Тогда codim R, d (R) ^ 0 (g""¹).

Доказательство теоремы разобьем на несколько шагов.

1. Пусть га=2. Покажем, что при q > 5 в p (G) существует линейно замкнутая циклическая группа. Пусть H < 1 G, Н—Н^г и H действует без неподвижных точек в V/V^H. Если (| H |, р ) = 1 , то существует вложение p^{- 1} (Н) ->• GL² (С).

Если H — нециклическая группа, то из классификации групп, имеющих пред­

ставления без неподвижных точек, следует, что в p -¹ (Н) существует централь­

ная матрица о = ( а , а), для которой р (о) — элемент порядка 2 группы Н. Но Я (о) £ Z (p (G)) и, следовательно, что противоречит предположению q > 5 (все простые нециклические факторы групп, действующих без неподвиж­

ных точек, изоморфны А^й). Таким образом, если (| H \, р ) = 1 , то Я — цикличе­

ская группа. Пусть P || H |. Тогда существует элемент о ç p"¹ (Н), такой, что

<з*= 1, р (о)^=1. Можно считать, что 1 а О 1

где а £ F*^q. Централизатор С^а элемента а в группе G состоит из матриц вида Ъ d

О Ъ

где b£Fq, d£F^q. Так как р — неодномерное представление и # > 5 , то К е г^рС C Z ( G ) i Следовательно, централизатор элемента р(о) в p (G) совпадает с p(6'J.

Пусть H — нециклическая группа. Поскольку Z(H)=^=\ (см. [1], гл.6), p(z)=^=l для некоторого тСс^, т^=о. Так как Я действует без неподвижных точек в VjV^u, то еиловская ^-подгруппа группы H имеет порядок р* Следовательно, можно считать, что d = 0 и т ç Z (G). Тогда Н^г = р (G), что противоречит пред­

положению q > 5.

Пусть H = (hy = H^l и г ( й ) = с 1 ( # ) . Пусть, далее, х(/г) — значение характера представления р на элементах из множества p"¹ (h). Так как собственные значе­

ния оператора h — это корни из единицы, то \x(h)\^ dime V — 2r (h). Поскольку 1 'XW I ^ 0 ( V ? ) ^и dime У = 0(g) (см. [6, 11]), то г(h) = 0(g). Теперь утвержде­

ние теоремы при /2 = 2 следует из (1) и (6).

Пусть i V c G — подгруппа матриц вида 2. Введем следующие обозначения.

/ с а^п а¹² . . 0

: : ^в :

0 0

. . . о

5 Труды Математического ин-та, т. C L X X X I I I

П я - 2 Ь

а , .

\

*2»

(7)

65

где с, d^Fl⁹b⁹a^u,a^Jm^F^q, B£GL^²(q). Пусть, далее, N^p — подгруппа группы N, состоящая из матриц вида (7), у которых с — d = l, B=Eⁿ²—единичная матрица; FdNp— группа матриц, у которых аь., а^ = 0.

3. Пусть п ^ 3. Рассмотрим разложение пространства V в прямую сумму неприводимых р (/У^р)-модулей,

т

= 2 ^ е 2 п

где Ff (соответственно F}) — неприводимый р (УУ^р)-модуль, для которого ограниче­

ния операторов из подгруппы p (F) образуют неединичную (соответственно единич­

ную) группу. Если M < N^p и F ф M, то M с F (это проверяется элементар ным вычислением). Следовательно, при ограничении

Р, : p(N^p)-*GL(Vl)

имеет место включение Кег р^#. С p (F). Таким образом, p^€p(N^p)— экстраспециаль ная р-группа порядка q^{2 {п}~²⁾р. Так как такая группа есть центральное произ­

ведение групп порядка р³ (см. [5], предложение 1. 14), то

dim^cV^ci = qⁿ-². (8)

Пусть N (F)— нормализатор F в G. Поскольку /г^-3, образ естественного гомоморфизма N (F) -> Aut F изоморфен группе F*^q и, следовательно, существует по крайней мере q — 1 модуль вида FJ. Из (8) получаем

d W 2 ^ > ?

~

— g

~

. ( 9 )

i

Пусть x— некоторая трансвекция из Np и х (j« F . След нецентрального эле­

мента из р.р(Np) равен нулю. Следовательно, число неединичных собственных значений р⁴.р(т) равно (dime F?) ((p — 1)//?). Поскольку все трансвекции группы SLⁿ(q) сопряжены, для любой трансвекции т £ SLⁿ(q) из (9) будет следовать:

г (р СО) > (я"-

- ЯП > о (с"

). (10)

4. Предположим, что F = 2 УЬ Тогда tr р (х) = 0 для любой трансвекции

*

x £ TV^, i § F. Из сопряженности трансвекции т группы G следует, что tr р (т) = -

= 0 для всех трансвекции х группы G, в частности trp(x) = 0 для любого эле­

мента т ç т:^=1. Но тогда FP^^}=^=0, что противоречит нашему предположе­

нию. Таким образом, 2 V}^0 и

< P « /?» > / ^ P ( G ) . ( 1 1 )

5. Зафиксируем теперь трансвекцию т⁰ £ F, у которой 6 = 1 . Нормализатор*

7V (т⁰) группы <Ч⁰)> в группе G совпадает с подгруппой N^v группы N матриц вида (7), у которых cd'¹ £ F*^p. Покажем, что

<РЫХСр(7У(х⁰)) = р(^¹). (12)

Пусть L = р~^г(<($ (Fy>i)- Ввиду (11) L=^G. Далее, нормализатором F в G явля­

ется группа N. Так как n ^ 3 и р — неодномерное представление, то Кег p c Z (G) и, следовательно, нормализатор группы p (F) в p (G) совпадает с p (N). Поскольку нормализатор подгруппы нормализует ее линейное замыкание, группа p(N) нор­

мализует группу p(L). Следовательно, NL=^G.

Предположим, что NL =^= N. Поскольку группа N содержит подгруппу Бо- реля группы SLⁿ(q)^y группа NL содержит параболическую подгруппу группы.

6 6

SLⁿ(q)y причем это либо подгруппа матриц с нулевым первым столбцом (кроме первого элемента), либо подгруппа матриц с нулевой последней строкой (кроме последнего элемента). В любом случае подгруппа F сопряжена в NL с некото­

рой подгруппой трансвекции F⁰ из N^p, для которой F°f)F = 1i. Так как

< Х и L<\NL, то F ° < L и p (F*) С < р (F)}^ly а значит, 3 2 F?. Посколь- J

ку tr р,.р (т) = 0 для любого т £ F⁰, т ф. 1, то

trp(T) =

dim<,2

J

Из сопряженности трансвекции следует, что равенство (13) справедливо и для элементов группы F, и, значит, 2 ^tr P*P (^а) = О для любого элемента o f F, а =7^1. Но тогда ^2 ViJ^(F) ¥= 0» что противоречит построению FJ. Таким обра­

зом, L c i V . Пусть ^ ^ ( ( Р Ш ? б V Тогда P (g <*<>> <<? Ы>г С другой стороны, g(toyg поскольку g ç Lt^L^N. Так как в <р(т⁰)Х нет образов трансвекции, коммутирующих с т⁰ и не содержащихся в группе

<Ч⁰)>, то g ç / V^r Отсюда получаем (12).

6. Пусть Z=Z(G). Покажем, что

Lx<ZZN, (14) для почти всех групп G (иначе говоря, за исключением разве что конечного числа

групп). При п = 3 группа N^р — это группа всех верхних треугольных унипотент- ных матриц из SL^s(q), a L^x — нормализуемая ею подгруппа группы верхних треугольных матриц из GL^s(q). Отсюда следует, что при L^x(X.ZN^p группа Ь^х будет содержать трансвекции, не принадлежащие группе <т⁰>; это противоречит определению L^v Предположим п > 3 . Пусть D — подгруппа группы N^t матриц вида (7), для которых Ь = 0 и а^ь., a^Jn=0 для всех г, /, a D^x — подгруппа таких матриц из D, что c = d ^ = l , det 5 = 1. Тогда D^xœSL^²(q) и

N^t = N^pD. (15) Будем считать, что D¹jZ(D¹) — простая группа, т. е. q =^=2,3 при n = k^m

Пусть 8 £ ZN^pL^x П D. Тогда 8vz £ L^x для некоторых v g N и z £ Z . Так как L^v<\ N^x и L^x не содержит трансвекции из D^v то 8 коммутирует с элементами О^г и, следовательно, 8 — диагональная матрица вида (7), у которой В — ска­

лярная матрица. Если 8 Ç Z, то из Lt < /Vx следует, что в Lx есть трансвек­

ции из Np, не содержащиеся в <Ч0>. Следовательно, 8 £ Z и из (15) получаем (14).

7. Если <^р (х0)У1 = <(р (х0))>, то утверждение теоремы следует из (6) и (10).

Пусть q=y£=p. Тогда cjl fl N^p и, следовательно, L^XÇ\ N^pdF. Из равенства А П iV^p = ^{< T0>} и (14) получаем < р (т⁰)>, = < р (т⁰)>.

Пусть q = p и <р(т⁰)Х—нециклическая группа. Будем считать, что гс>4, если р = 2. Тогда <(р (т⁰))>^/ =^ ()⁸, поскольку в группе 2V^p при р = 2 и дг > 4 нет нормальных делителей, изоморфных Q⁸ и нормализуемых группой D^xœ

5 £^л_² (2). Поэтому в группе Lj f| iV^p есть элемент А порядка р, не содер­

жащийся в группе <Ч⁰>. При этом для любого h £ L^x fl N > ^ 6 ^оХ h^p = l имеет место равенство

г(?(Щ)=^^тс^У^^-г(^Р(^)). (16)

Следовательно, <р ( А ) ^ = < ( р (й))>. Из (6) и (16) получаем теперь утверждение теоремы.

5* 67

З а м е ч а н и е 3. 1) Используя лемму 1, можно усилить полученные в тео­

реме оценки c o d i m i ? > 0 ( g^{2 ( w}^⁾) , d(R)^0(q^A{n-'¹⁾);

2 ) доказательство, полученное здесь, несколько отличается от наброска в [ 4 ] . Это доказательство, как нам кажется, можно перенести на все группы Ше­

валле, заменяя группу F на корневую подгруппу Х^а, где а — максимальный корень.

Л и т е р а т у р а

1. В о л ь ф Д ж . Пространства постоянной кривизны. М . , 1982. 480 с.

2. Г о р д e е в Н . Л . Об инвариантах линейных групп, порожденных матрицами с двумя неединичными собственными значениями / / Зап. науч. семинаров Л О М И А Н СССР.

1982. Т . 114. С. 120—130.

3. Г о р д е е в Н . Л . Конечные линейные группы, алгебра инвариантов которых — пол­

ное пересечение / / Изв. А Н СССР. Сер. мат. 1986. Т . 5 0 , № 2. С. 343—392.

4. Г о р д е е в Н . Л . Сложность алгебр инвариантов конечных групп / / Докл. А Н СССР.

1987. Т . 2 9 2 , № 3 . С. 528—531.

5. Г о р е н с т е й н Д . Конечные простые группы: Введение в их классификацию. М . , 1985. 350 с.

6. H а й м а р к М . А . Теория представлений групп. М . , 1976. 599 с.

7. П о п о в В . Л . Сизигии в теории инвариантов / / Изв. А Н СССР. Сер. мат. 1983. Т . 47,

№ 3 . С. 5 4 2 — 6 2 2 .

8. E a g o n J. A . , N o r t h c o t t D . G. Ideals defined by matrices and a certain complex associated with them / / Proc. R o y . Soc. London. Ser. A . 1962. V o l . 269. P. 188—204.

9. К а с V . G. Root systems, representations of quivers and invariant theory / / Lectures Notes Math. 1983. V o l . 996. P. 74—108.

10. К а с V . G . , W a t a n a b e К . Finite linear groups whose rings of invariants is a com­

plete intersection// Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V o l . 6, N 2. P. 221—223.

11. S r i n i v a s a n B . Representations of finite Chevalley groups / / Lectures Notes Math.

1979. V o l . 764.

12. S t a n l e y R . P. Relative invariants of finite groups generated b y pseudoreflectiori7/

J. Algebra. 1977. V o l . 4 9 , № 1. P. 134—149.

13. W i e l a n d t H . Finite permutation groups. N . Y . , 1964. 114 p.

В . А . Г Р И Ц Е Н К О

ПРОСТРАНСТВО M A A C C A Д Л Я S U ( 2 , 2 ) . К О Л Ь Ц А Г Е К К Е И Д З Е Т А - Ф У Н К Ц И И

В работах [4, 5 ] определена и исследована нестандартная дзета-функция (степень локальных множителей равна 6 ) , отвечающая модулярным формам Эрмита рода 2 . В настоящей статье доказано, что подпространство Маасса про­

странства армитовых модулярных форм, т. е. пространство, полученное в ре­

зультате подъема форм одной переменной (см. [ 3 ] ) , инвариантно относительно действия операторов Гекке и что определенная в [ 5 ] дзета-функция, отвечаю­

щая формам Маасса, совпадает в основном с симметрическим квадратом дзета- функции Гекке форм от одной переменной. Результаты этой статьи были изло­

жены (без доказательств) в препринте [ 4 ] ,

§ 1. Формулировка основного результата

Пусть K = Q ( \ / — l ) — мнимое квадратичное поле, © = Z [ \ / — 1 ] — кольцо целых поля К . Модулярной группой Эрмита рода 2 называется группа

Г² = {g e M, (О); tgl# = /²) , где /² = Ç 2) ,

#²= { Z e M²( C ) ; (21)-Цг — ' Z ) > 0 }

€ 8 О В. А. Гриценко, 1990.