Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. М. Денисов, В. В. Калинин, Обратная задача для математических моде- лей возбуждения сердца, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010, том 50, номер 3, 539–543
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 01:22:08
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВОЗБУЖДЕНИЯ СЕРДЦА
1)© 2010 г. А. М. Денисов*, В. В. Калинин**
(*119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМиК.
**121552 Москва, Рублевское шоссе, 135, НЦ сердечно7сосудистой хирургии им. Бакулева) e7mail: den@cs.msu.ru; vitkv@list.ru
Поступила в редакцию 05.10.2009 г.
Сформулирована обратная задача для математических моделей возбуждения сердца, состоя щая в определении начального условия в начальнокраевой задаче для эволюционной систе мы уравнений в частных производных по заданному внешнему объемному потенциалу, плот ность которого определяется решением эволюционной системы. Доказано, что в общей по становке решение обратной задачи неединственно. Библ. 16.
Ключевые слова: математические модели возбуждения сердца, обратная задача, вопрос о единственности решения.
Методы математического моделирования играют большую роль в исследовании электрофи зиологических процессов, происходящих в сердце человека, и в диагностике нарушений сердеч ного ритма. Одной из важных проблем в этой области является задача восстановления электро физиологического состояния миокарда в момент начала сердечного цикла на основе электро кардиографических измерений на протяжении сердечного цикла. Решение этой задачи необходимо, в частности, для выявления мест локализации паталогических источников возбуж дения миокарда с целью их хирургического устранения (см. [1], [2]). Математическая постановка данной проблемы на основе известных моделей возбуждения миокарда приводит к обратной за даче для эволюционных уравнений в частных производных. В работе рассматривается постанов ка такой обратной задачи и строится пример неединственности решения обратной задачи для одного частного случая эволюционного уравнения.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЗБУЖДЕНИЯ МИОКАРДА
Электрофизиологические процессы в сердечной мышце характеризуются изменением во вре мени трансмембранного потенциала клеточных мембран и генерации электрического поля во внешней среде, потенциал которого регистрируется при электрокардиографических измерени ях. Для описания процессов возбуждения миокарда в терминах трансмембранного потенциала предложено большое число математических моделей (см., например, [3]). При моделировании электрофизиологических процессов в микроскопическом объеме миокарда применяются бидо менная модель (см. [4], [5]), в которой коэффициенты внутриклеточной и внеклеточной элек тропроводности являются тензорами и предполагаются различными.
При моделировании процессов возбуждения в миокарде в целом обычно используют монодо менные модели, в которых указанные выше коэффициенты электропроводности предполагают ся постоянными скалярными величинами, одинаковыми для внутриклеточной и внеклеточной сред (см. [3], [6]). Большая группа монодоменных моделей может быть описана (см. [7]) следую щей задачей:
(1.1)
∂v
∂t
x t( , ) = DΔv(x t, )+f(v(x t, ),w x t( , )), (x t, ) Ω∈ ×(0 T, ],
УДК 519.634
1) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (код проекта 080100314).
540
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 3 2010
ДЕНИСОВ, КАЛИНИН
(1.2) (1.3) (1.4) (1.5) Здесь Ω – область в трехмерном пространстве, соответствующая миокарду, ∂Ω – граница области Ω, v(x, t) – трансмембранный потенциал, w(x, t) – плотность трансмембранного ионного тока, D – коэффициент удельной электропроводности, f(v, w) и ϕ(v, w) – функции активации, γ(x) – трансмембранный потенциал в начальный момент возбуждения миокарда, T – длительность сердечного цикла.
Различие между теми или иными вариантами монодоменных моделей, как правило, состоит в способе задания функций активации f(v, w) и ϕ(v, w). Первая группа моделей основана на стро гом описании свойств мембранных ионных каналов в рамках теории Ходжкина–Хаксли (см. [8], [9]).
Во второй группе для задания функций f(v, w) и ϕ(v, w) используются эмпирические формулы (см. [10]–[13]).
Задача (1.1)–(1.5) описывает две фазы электрофизиологического процесса: деполяризацию и реполяризацию. Если ограничиться изучением только первой фазы – деполяризации, т.е. рас сматривать электрофизиологические процессы при t ∈ [0, T1], T1 < T/2, то можно положить ϕ(v, w) = 0. В этом случае модель возбуждения миокарда (1.1)–(1.5) упрощается и принимает вид (1.6) (1.7) (1.8) где (v) = f(v, 0).
Изменяющееся в миокарде электрическое поле является причиной возникновения в среде, окружающей миокард, электрического поля, потенциал которого u(x, t) регистрируется при электрокардиографических измерениях. В предположении, что миокард находится в неограни ченной среде с постоянной электропроводностью, равной электропроводности миокарда, по тенциал u(x, t) является решением следующей задачи (см. [14]):
(1.9) (1.10)
0, ∞, (1.11)
где функция v(x, t) является решением задачи (1.1)–(1.5) (или задачи (1.6)–(1.8)).
Задачи (1.1)–(1.5) и (1.9)–(1.11) (или (1.6)–(1.8) и (1.9)–(1.11)) определяют математические модели, описывающие процесс изменения потенциала электрического поля u(x, t) в окружаю щей миокард среде в зависимости от исходного возбуждения миокарда γ(x).
Решение задач (1.1)–(1.5) и (1.9)–(1.11) (или (1.6)–(1.8) и (1.9)–(1.11)) в трехмерной геомет рии достаточно трудоемко. В связи с этим для изучения качественных свойств указанных моде лей возбуждения миокарда часто используют их двумерные аналоги (см. [15], [16]).
2. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ И ПРИМЕР НЕЕДИНСТВЕННОСТИ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Задачи (1.1)–(1.5) и (1.9)–(1.11) (или (1.6)–(1.8) и (1.9)–(1.11)) определяют отображение на чального возбуждения миокарда γ(x) в потенциал электрического поля в окружающей среде u(x, t).
Так как потенциал u(x, t) может быть измерен экспериментально, то для электрокардиографии большое значение имеет следующая обратная задача.
∂w
∂t
x t( , ) = ϕ(v(x t, ),w x t( , )), (x t, ) Ω∈ ×[0 T, ],
∂v
∂n
x t( , ) = 0, (x t, ) ∂Ω∈ ×[0 T, ], v(x 0, ) = γ( )x , x∈Ω,
w x 0( , ) = 0, x∈Ω.
∂v∂t
x t( , ) = DΔv(x t, )+ˆf(v(x t, )), (x t, ) Ω∈ ×(0 T, 1],
∂v∂n
x t( , ) = 0, (x t, ) ∂Ω∈ ×[0 T, 1], v(x 0, ) = γ( )x , x∈Ω, ˆf
Δu x t( , ) = Δv(x t, ), (x t, ) Ω∈ ×[0 T, ], Δu x t( , ) = 0, (x t, )∈⺢3\Ω×[0 T, ],
u x t( , ) x
⺢3
Пусть функции f(v, w), ϕ(v, t), постоянная D и граница ∂Ω заданы, а функция γ(x) неизвестна.
Требуется определить γ(x), если заданы значения потенциала u(x, t) для x ∈ ∂Ω1 и t ∈ [t0, T], где
∂Ω1 – граница области Ω1 такой, что Ω ⊂ Ω1, а t0∈ (0, T).
Сформулированную обратную задачу можно рассматривать как суперпозицию двух обратных задач. Первая является обратной задачей теории потенциала для прямой задачи (1.9)–(1.11).
В ней по внешнему потенциалу u(x, t) требуется определить плотность (4π)–1Δv(x, t). Во второй обратной задаче нужно определить начальное условие γ(x) по информации о решении Δv(x, t) за дачи (1.1)–(1.5), заданной для x ∈ Ω и t ∈ [t0, T].
Подобную обратную задачу можно также сформулировать для двумерных аналогов математи ческих моделей (1.1)–(1.5) и (1.9)–(1.11) (или (1.6)–(1.8) и (1.9)–(1.11)).
Рассмотрим вопрос о единственности решения сформулированной обратной задачи. Неедин ственность решения задачи восстановления плотности по внешнему потенциалу хорошо извест на. Однако в исследуемой обратной задаче нужно определить лишь начальное условие γ(x), в то время как внешний потенциал u(x, t) известен при x ∈ ∂Ω1 и t ∈ [t0, T]. В связи с этим может сло житься впечатление, что ситуация с единственностью поставленной обратной задачи лучше, чем в задаче определения плотности по внешнему потенциалу. К сожалению, вообще говоря, это не так. Приведем пример, показывающий, что неединственность в сформулированной обратной задаче может иметь такой же характер, как и в обратной задаче теории потенциала, а именно: по кажем, что для частного случая функций f(v, w) и ϕ(v, w) сферическисимметричная функция γ(x) определяется неоднозначно.
Пусть область Ω представляет собой сферический слой, ограниченный изнутри и снаружи сферами с радиусами a и b соответственно и с центрами в начале координат, функции f(v, w) = –v, ϕ(v, w) = 0, постоянная D = 1, а начальное условие γ(x) сферическисимметрично. В этом случае решение задачи (1.1)–(1.5) сферическисимметрично v = v(r, t) и является решением задачи
(2.1)
(2.2) (2.3) Вводя новую неизвестную функцию z(r, t) = rv(r, t), получаем для нее следующую задачу:
(2.4)
(2.5) (2.6) (2.7) Применив для решения задачи (2.4)–(2.7) метод разделения переменных, получим формулу для решения задачи (2.1)–(2.3):
(2.8) Здесь
∂v∂t
1
r2 ∂
∂r r2∂v
∂r
⎝ ⎠
⎛ ⎞ –v, a≤ ≤r b, 0≤ ≤t T,
=
∂v∂r
a t( , ) ∂v
∂r
b t( , ) 0, 0≤ ≤t T,
= =
v(r 0, ) = γ( )r , a≤ ≤r b.
∂z
∂t ∂2z
∂r2
–z, a≤ ≤r b, 0≤ ≤t T,
=
a∂z
∂r
a t( , )–z a t( , ) = 0, 0≤ ≤t T,
b∂z
∂r
b t( , )–z b t( , ) = 0, 0≤ ≤t T, z r 0( , ) = rγ( )r , a≤ ≤r b.
v( )r t, 1
z r tr ( ), α0
y0( )r
r exp(–λ0t) αn
yn( )r
r exp(–λnt).
n=1
∑
∞+
= =
αn sγ( )s yn( )s ds, n
a b
∫
0 1, ,…,= =
542
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 3 2010
ДЕНИСОВ, КАЛИНИН
а λn и yn(r) – соответственно, собственные значения и ортонормированные собственные функ ции задачи Штурма–Лиувилля:
(2.9) (2.10) Легко видеть, что
(2.11) Перейдем к задаче (1.9)–(1.11). В случае сферической симметрии ее решение при R > b имеет вид
Из (2.8), (2.11) следует, что
Принимая во внимание ортогональность нулевой собственной функции y0(r) задачи Штурма–
Лиувилля (2.9), (2.10) всем остальным, получаем, что u(R, t) = 0 для R > b, 0 ≤ t ≤ T.
Пусть γ(r) – произвольная сферическисимметричная функция такая, что ряд (2.8) определя ет классическое решение задачи (2.1)–(2.3). Для любой такой функции γ(r) потенциал u(R, t) = 0 для R > b, 0 ≤ t ≤ T. Следовательно, решение сформулированной обратной задачи неединственно.
Отметим, что подобная неединственность остается в силе, когда вместо шарового слоя рассмат ривается шар. В этом случае условие (2.5) заменяется на z(0, t) = 0, а все остальные рассуждения не меняются.
Приведенный пример показывает, что в общей постановке решение сформулированной об ратной задачи, вообще говоря, неединственно. Следовательно, при ее решении целесообразно сужение класса неизвестных функций γ(x), среди которых имеется решение обратной задачи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Josephson M.E., Waxman H.L., Cain M.E. et al. Ventricular activation during ventricular endocardial pacing II.
Role of pacemapping to localize origin of ventricular tachycardia // Amer. J. Cardiol. 1982. V. 50. № 1. P. 11–22.
2. Li C., He B. Localization of the site of origin of cardiac activation by means of a heartmodelbased electrocar diographic imaging approach // IEEE Trans Biomed Engng. 2001. V. 48. № 6. P. 660–669.
3. Berenfeld O., Abboud S. Simulation of cardiac activity and the ecg using a heart model with a reactiondiffusion action potential // Med. Engng and Phys. 1996. V. 18. № 8. P. 615–625.
4. Geselowitz D.B., Muller W.T. III. A bidomain model for anisotropic cardiac muscle // Ann Biomed Engng. 1983.
V. 11. № 3–4. P. 191–206.
5. Henriquez C.S. Simulating the electrical behavior of cardiac tissue using the bidomain model // Crit Rev Biomed Engng. 1993. V. 21. № 1. P. 1–77.
6. Franzone P.C., Pavarino L.F., Taccardi B. Simulating patterns of excitation, repolarization and action potential duration with cardiac bidomain and monodomain models // Math. Biosci. 2005. V. 197. № 1. P. 35–66.
7. Broun K.J., Lacey A.A. Reactiondiffusion equations. New York: Oxford Univ. Press, 1990.
8. Noble D. A modification of the Hodgkin–Huxley equations applicable to Purkinje fibre action and pacemaker potentials // J. Physiol. 1962. V. 160. № 2. P. 317–352.
9. Luo C.H., Rudy Y. A model of the ventricular cardiac action potential: depolarization, repolarization, and their interaction // Circuit. Res. 1991. V. 68. № 6. P. 1501–1526.
10. Aliev R.R., Panfilov A.V. A simple twovariable model of cardiac excitation // Chaos, Solitons and Fractals.
1996. V. 7. № 3. P. 293–301.
11. Barkley D. A Model for fast computer simulation of waves in excitable media // Physica D. 1991. V. 49. № 1–2.
P. 61–70.
y'' r( )+(λ–1)y r( ) = 0, a≤ ≤r b, ay' a( )–y a( ) = 0, by' b( )–y b( ) = 0.
λ0 = 1, y0( )r = (b3/3–a3/3)–1/2r.
u R t( , ) 1
R r2Δv( )r t, dr
a b
∫
– 1
R r2 ∂v
∂t
r t( ), +v( )r t, dr, R
a b
∫
– >b, 0≤ ≤t T.
= =
u R t( , ) 1
R αn(1–λn) (–λnt) ryn( )r dr, R
a b
∫
exp
n=1
∑
∞– >b, 0≤ ≤t T.
=
12. FitzHugh R.A. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961.
V. 1. № 6. P. 445–466.
13. McKean H.P. Nagumo’s equation // Advanced Math. 1970. V. 4. № 3. P. 209–223.
14. Титомир Л.И., Кнеппо П. Математическое моделирование биоэлектрического генератора сердца. М.:
Физматлит, 1999.
15. Sepulveda N.G., Roth B.J., Wilswo J.P. Current injection into a twodimensional anisotropic bidomain //
Biophys. J. 1989. V. 55. № 5. P. 987–999.
16. Медвинский А.Б., Русаков А.В., Москаленко А.В. и др. Исследование автоволновых механизмов вариа бельности электрокардиограмм во время высокочастотных аритмий: результат математического моде лирования // Биофизика. 2003. Т. 48. № 2. С. 314–323.
