1 МАТЕМАТИКА УДК 517.956 MSC 35K55 Памяти Г

2019 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. АСТРОНОМИЯ

Т. 6 (64). Вып. 1

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956

MSC 35K55 Памяти Г. А. Леонова

О регулярности решений модельной задачи с заданной косой производной

для квазилинейных параболических систем с недиагональными главными матрицами

А. А. Архипова¹, Г. В. Гришина²

1Санкт-Петербургскийгосударственныйуниверситет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9

2Московскийгосударственныйтехническийуниверситет им. Н. Э. Баумана, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5

Для цитирования: Архипова А. А., Гришина Г. В. О регулярности решений модельной задачи с заданной косой производной для квазилинейных параболических систем с недиа- гональными главными матрицами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Мате- матика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 1. С. 3–26. https://doi.org/10.21638 /11701/spbu01.2019.101

Рассматривается квазилинейная параболическая система уравнений с недиагональной главной матрицей в модельном параболическом цилиндре. На плоском участке боко- вой поверхности цилиндра решение системы удовлетворяет условию заданной косой производной. Предполагается, что главная матрица системы и функции, определяю- щие краевое условие, не обладают гладкостью по временной переменной. Доказана частичная регулярность обобщенного решения задачи (непрерывность по Гельдеру) в окрестности поверхности, где задано краевое условие. Как следствие, показано, что обобщенные решения соответствующей линейной задачи непрерывны по Гельдеру при оптимальных предположениях о гладкости данных задачи по независимым перемен- ным. Для доказательства используется модификация метода A(t)-калорической ап- проксимации, учитывающая данное краевое условие.

Ключевые слова: параболические системы, нелинейность, регулярность, косая произ- водная.

∗Работа первого автора выполнена при финансовойподдержке РФФИ (грант № 18-01-00472).

c Санкт-Петербургскийгосударственныйуниверситет, 2019

1. Bведение. В работе изучается регулярность обобщенныхрешений задачи с заданной косой производной для квазилинейныхпараболическихсистем с недиа- гональной главной матрицей. Данная работа обобщает результаты работы авторов [1], полученные для такого класса систем при краевом условии Неймана.

Пусть функцияu=u(x, t),u= (u¹, . . . , u^N), N >1, — решение задачи ut−div(a(z, u)∇u) =g(z), z= (x, t)∈Q⁺₁ =B₁⁺×(−1,0);

∂u(z)

∂l := ∂u(z)

∂na

+

n−1

τ=1

d C^τ(z, u(z)) d xτ

=ψ(z), z= (x,0, t)∈Γ₁=γ₁×(−1,0).

(1) Здесь B₁⁺— полушар в пространстве Rⁿ, n ≥ 2, γ1 = B1 ∩ {xn = 0}, ut = ^∂u_∂t,

∇u = ∂u

∂x_k

, k ≤ n, n(x) = (0, . . . ,−1)— единичная нормаль в точках x ∈ γ1, внешняя кB⁺₁.

Недиагональная матрицаa(z, u) ={a^αβ_kl(z, u)},1 ≤α, β ≤n, 1≤k, l ≤N,удо- влетворяет условиям Каратеодори и условию равномерной эллиптичности на мно- жествеQ⁺₁ ×R^N, эллиптический оператор в (1) определен равенством

div(a(z, u)∇u) =

α,β≤n, l≤N

(a^αβ_kl (z, u)u^l_xβ)x_α

k≤N

,

и вектор конормальной производной имеет вид

∂u(z)

∂na

=−

β≤n, l≤N

a^nβ_kl (z, u)u^l_xβ

k≤N, z∈Γ1.

Приτ = 1, . . . , n−1 определены вектор-функцииC^τ(z, u) ={C_k^τ(zu)}k≤N.

Далее мы всегда предполагаем, что τ ≤ n−1, и x_τ определяет касательное направление.

Данная работа посвящена описанию оптимальныхпредположений относитель- но гладкости матрицa,C^τ и функцийg, ψпо переменнымxиt, при которыхможно показать непрерывность по Гельдеру обобщенного решения задачи (1) на множестве полной меры в окрестности поверхностиΓ1 и оценить хаусдорфову размерность до- пустимого замкнутого сингулярного множества решения. Как следствие, для ли- нейнойзадачи с косой производной получаем гладкость решения на всем множестве Q⁺₁ ∪Γ1, т. е. для линейной задачи сингулярное множество исключается.

Первые результаты о частичной регулярности обобщенных решений простей- шихквазилинейныхпараболическихсистем с недиагональной главной матрицей получены в [2]. Для параболическихсистем более общего вида (класса систем с кон- тролируемыми нелинейностями) частичная гладкость решений задачи с нелинейным краевым условием типа Неймана изучалась в работе [3] (в условии (1)ψ=ψ(z, u) и C^τ = 0). Регулярность обобщенныхрешений задачи с косой производной для эллиптическихсистем уравнений изучалась в работах[4, 5]. В [4] рассмотрены ква- зилинейные системы при краевом условии (1), а в [5] частичная регулярность обоб- щенныхрешений доказана для класса нелинейныхэллиптическихсистем при более общем краевом условии.

Как показывают контрпримеры, построенные для размерностейn≥3, обобщен- ные решения квазилинейныхпараболическихсистем могут иметь сингулярности

внутри параболического цилиндра даже при гладкой матрице системы и гладких граничныхданных[6]. Пример, показывающий, что сингулярности могут накап- ливаться к границе области, построен для эллиптической квазилинейной системы, удовлетворяющей условию Дирихле [7]. Таким образом, можно ожидать лишь ча- стичную регулярность обобщенныхрешений квазилинейныхпараболическихсистем в окрестности границы области.

В то же время показано, что для широкого класса нелинейныхскалярных па- раболическихуравнений илинейныхсистем уравнений имеет место непрерывность по Гельдеру обобщенныхрешений в ситуации, когда главная матрица системы не обладает какой-либо гладкостью по временной переменной. Были рассмотрены кра- евые задачи Дирихле и Неймана (см. [8–10] и ссылки в них). Метод исследования, примененный в этихработах, не распространяется на случай квазилинейныхсистем, когда априори известно, что решение может иметь сингулярности.

В работе Ф. Дюзар, Дж. Минджионе [11] был предложен новый метод «А- калорической» аппроксимации, с помощью которого авторы получили новые ре- зультаты о частичной регулярности решений для широкого класса параболических систем. Позднее этот метод был применен для изучения гладкости решений в окрест- ности границы при краевом условии Дирихле [12, 13]. (О применении этого метода для широкого класса систем см. работу [14] и ссылки в ней.) В рамкахэтого метода исследуемое решение аппроксимируется локально вL²-норме решением простейшей параболической системы с постоянной матрицейA.

В работе А. Архиповой, О. Джон, Дж. Стара [15] была предложена модифи- кация этого метода к методу «A(t)-калорической» аппроксимации. Это означает, что исследуемое решение системы аппроксимируется локально вL²-норме решени- ем простой линейной системы с матрицейA(t), элементы которой — ограниченные измеримые на временном интервале функции. Это позволило при доказательстве ча- стичной регулярности квазилинейныхсистем отказаться от требования какой-либо гладкости главной матрицы по переменной t. Метод A(t)-калорической аппрокси- мации в дальнейшем применялся этими авторами для ослабления предположений о гладкости матриц системы при доказательстве частичной регулярности вблизи границы при условии Дирихле [16], при рассмотрении квазилинейных систем неди- вергентного вида [17] и систем высокого порядка [18]. Кроме того, он был эффек- тивно использован при изучении гладкости обобщенного решения задачи Вентцеля для параболическихлинейныхи квазилинейныхсистем с недиагональными глав- ными матрицами [19, 20]. Получение каждого нового результата основывалось на применении главнойA(t)-калорической леммы в соответствующей задаче форме.

В работе авторов [1] при ослаблении известныхтребований гладкости относи- тельно главной матрицы системы a(z, u)была доказана частичная гладкость обоб- щенныхрешений задачи Неймана для квазилинейныхпараболическихсистем.

В данной работе мы рассматриваем более общее краевое условие и модифициру- ем методA(t)-калорической аппроксимации для изучения задачи с заданной косой производной. Мы оцениваем хаусдорфову размерность сингулярного множества ре- шения в окрестности границы при условияхинтегральной непрерывности главной матрицыa(z, u)и матрицM^τ(z, u) = (C^τ(z, u))u по пространственным переменным x. Мы не предполагаем какой-либо гладкости матрицы a, а также функций C^τ и ихпроизводныхпоx и u, по временной переменнойt. Оптимальность требований относительно функцийgиψв шкале пространств Морри подтверждается известны- ми результатами для линейныхзадач. Можно допустить некоторый рост функций

g, ψ, C^τпо аргументуu,|u| → ∞(как это сделано в работе [3] для задачи Неймана), но мы не делаем этого, чтобы не усложнять доказательства. Как частный случай, мы показываем непрерывность по Гельдеру обобщенного решения соответствующей линейной задачи на всем множествеQ⁺₁ ∪Γ1.

В § 2 мы приводим принятые обозначения и требования на данные задачи, а также формулируем основные результаты работы — теорему 2.1 о частичной ре- гулярности решений квазилинейныхсистем и теорему 2.2 о непрерывности по Гель- деру на множестве Q⁺₁ ∪ Γ1 решений линейной задачи. В § 3 приведены вспо- могательные утверждения для линейной задачи с косой производной, в которой C^τ(z, u) =M^τ(z)uи не требуется какой-либо гладкости матриц a(z)иM^τ(z). В § 4 обсуждаем свойстваA(t)-калорическихфункций, удовлетворяющихкраевому усло- вию вида (1) и доказываем основную лемму (лемма 4.2). В последнем § 5 мы дока- зываем теоремы 2.1 и 2.2.

2. Обозначения и формулировка основного результата. В работе при- няты следующие обозначения:

Rⁿ—n-мерное евклидово пространство с точкамиx= (x1, . . . , xn) = (x, xn);

u= (u¹, . . . , u^N), ∇u={u^k_xi}^k_i≤^≤_n^N,|∇u|²=

i≤n,k≤N(u^k_xi)²; BR(x⁰) ={x∈Rⁿ: |x−x⁰|< R},ΛR(t⁰) = (t⁰−R², t⁰);

Q_R(z⁰) =B_R(x⁰)×Λ_R(t⁰),Q_R(z⁰) =Q_R(z⁰)∩ {x_n >0},Ω_R(x⁰) =B_R(x⁰)∩ {x_n>0}; γR(x⁰) =BR(x⁰)∩ {xn= 0},ΓR(z⁰) =QR(z⁰)∩ {xn = 0};

B_R⁺(x⁰) =B_R(x⁰)∩ {x_n >0}, еслиx⁰∈γ₁(0);

Q⁺_R(z⁰) =QR(z⁰)∩ {xn>0}, еслиz⁰∈Γ1(0);

∂_pQ⁺_R(0) =∂Q⁺_R(0)\(B_R⁺(0)× {t=t⁰});|Q_R|n+1=ω_nRⁿ⁺², ω_n=|B₁|n. Мы пишемB_R⁺, если x⁰= 0,QR,Q⁺_R,ΓR, еслиz⁰= 0.

В интегральныхтождествах

g·φ= N k=1

g^kφ^k, a∇u· ∇φ=

α,β≤n, k,l≤N

a^αβ_kl u^l_xβφ^k_xα.

Черезup,Ωобозначаем норму в пространствеL^p(Ω), гдеΩ— ограниченная область вRⁿ;W₂^k(Ω), k≥1,— пространства Соболева;

vr,z0 = −

Q_r(z⁰)

v(z)dz= 1

|Q_r|

Q_r(z⁰)

v(z)dz.

ПространствоV2(Q_r(z⁰)) =C(Λr(t⁰));W₂¹(Ωr(x⁰))состоит из функций с конеч- ной нормой

vV₂(Q_r(z⁰))= sup

Λ_r(t⁰)

v(·, t)2,Ω_r(x⁰)+∇v2,Q_r(z⁰).

Параболическое расстояниеδвRⁿ⁺¹ определяется следующим образом:

δ(z¹, z²) = max{|x¹−x²|,|t¹−t²|^1/2} ∀zⁱ= (xⁱ, tⁱ)∈Rⁿ⁺¹, i= 1,2.

Для произвольной ограниченной областиΩ⊂Rⁿ и интервала Λ⊂R¹ в цилин- дреQ= Ω×Λопределяем пространство МорриL^2,λ(Q;δ),λ∈(0, n+ 2], в метрикеδ:

L^2,λ(Q;δ) =

u∈L²(Q) :uL^2,λ(Q)=

sup

z⁰∈Q,0<ρ≤d

1 ρ^λ

Q_ρ(z⁰)

|u(z)|² dz ¹₂

<∞ ,

гдеd= max{diamΩ,|Λ|}.

Пространство КампанатоL^2,λ(Q;δ) с показателемλ∈(0, n+ 4] в метрике δ— это пространство функций изL²(Q)с конечной нормой

lul2,λ,Q=u2,Q+ [u]2,λ,Q, где полунорма определяется следующим образом:

[u]_2,λ,Q= sup

z⁰∈Q,0<ρ≤d

1 ρ^λ

Q_ρ(z⁰)

|u(z)−(u)z0,ρ|²dz ¹₂

, d= max{diamΩ,|Λ|}.

Для краткости пространства вектор-функций B(Q;R^N) мы обозначаем B(Q).

Различные, зависящие от параметров задачи постоянные будем обозначать как c илиci.

Сформулируем условия на данные задачи, при которыхбудет доказан основной результат работы — теорема 2.1.

(H1) Существуют положительные постоянныеν ≤μ такие, что (a(z, η)ξ·ξ) =

α,β≤n;k,l≤N

a^αβ_kl(z, η)ξ^l_βξ_α^k ≥ν|ξ|², (2)

|a(z, η)| ≤μ ∀η∈R^N, ξ∈R^nN, п. в.z∈Q⁺₁.

(H2) Элементы матрицыa(z, η)равномерно непрерывны поη ∈R^N при почти всех z ∈ Q⁺₁, точнее, существует неубывающая ограниченная выпуклая вверхфункция ω(s), s∈[0,∞), такая, чтоω(s)→0 приs→0, и

ess sup

z∈Q⁺₁

|a(z, η)−a(z, ζ)| ≤ω(|η−ζ|²) ∀η, ζ∈R^N. (H3) Приr≥0определена ограниченная функция

q_a(r) = sup

ρ≤r, η∈R^N

sup

z⁰∈Q⁺₁

−

Λ_ρ(t0)

−

Ω_ρ(x0)

|a(x, t, η)−a_ρ,x0(t, η)|²dx

dt,

где

a_ρ,x0(t, η) = −

Ω_ρ(x⁰)

a(x, t, η)dx, qa(r)→0, r→0.

(H4) При всехτ ≤n−1функцииC^τ(z, η)удовлетворяют условию Каратеодори на множествеQ⁺₁ ×R^N, дифференцируемы по xи η, и существует постояннаяμ₁ >0 такая, что при почти всехz∈Q⁺₁ и любыхη∈R^N

|C^τ(z, η)|+|∇xC^τ(z, η)| ≤μ1(|η|+ 1), |M^τ(z, η)| ≤μ1, где матрицыM^τ ={M_kl^τ},M_kl^τ = (C_k^τ)_ηl,k, l≤N.

(H5) Мы предполагаем симметричность матрицM^τ для всехτ≤n−1:

M_ms^τ (z, η) =M_sm^τ (z, η), 1≤s, m≤N, η∈R^N, п. в. z∈Q⁺₁. (3) (H6) Для функцииω(s), определенной в условии (H2), справедлива также оценка

ess sup

Q⁺₁

|M^τ(z, η)−M^τ(z, ζ)| ≤ω(|η−ζ|²) ∀η, ζ∈R^N, ∀τ≤n−1.

(H7) Существуют такие ограниченные функцииqτ(r), что qτ(r) = sup

ρ≤r, η∈R^N

sup

z0∈Q⁺₁

−

Λ_ρ(t0)

−

Ω_ρ(x0)

|M^τ(x, t, η)−M_ρ,x^τ 0(t, η)|²dx

dt,

где

M_ρ,x^τ 0(t, η) = −

Ω_ρ(x0)

M^τ(x, t, η)dx, qτ(r)→0, r→0.

(H8) Функцииg∈L^2,n−2+2α(Q⁺₁;δ),ψ∈L^2,n−1+2α(Γ1;δ), где α∈(0,1).

Замечание 2.1.Условие (3) будет выполняться, если, например, для гладких скалярныхфункцийf^τ(z, v)определить

C_k^τ= (f^τ)_vk; (C_k^τ)_xj = (f^τ)_vkx_j; M_mk^τ = (f^τ)_vmvk.

Обобщенное решение u задачи (1) из пространстваV(Q⁺₁) := L²(Λ1;W₂¹(B⁺₁)) можно определить следующим образом:

Q⁺₁

[−u·φt+a(z, u)∇u· ∇φ]dz=J(u, φ) +

Q⁺₁

g·φ dz+

Γ₁

ψ·φ dΓ,

∀φ∈W₂¹(Q⁺₁), φ

∂Q⁺₁\Γ₁= 0, (4) где

J(u, φ) =

Γ₁

C^τ(z, u(z))·φx_τ(z)dΓ.

Далее мы сведем интегралJ(u, φ)к объемному. Если, например, предположить, что функцииC^τ(z, u(z)),τ ≤n−1, определены и непрерывно дифференцируемы по всем аргументам на множествеQ⁺₁ ×R^N, то

J(z, u) =

Q⁺₁

([C^τ]x_τ ·φx_n−[C^τ]x_n·φx_τ)dz,

где [C^τ]x_j =C_x^τ_j +C_u^τmu^m_xj— полная производная функций C^τ по переменным xj, j≤n.

Введем далее обозначения

p^τ =−(C^τ)x_n, pⁿ= (C^τ)x_τ, M^τ={M_km^τ }, M_km^τ = (C_k^τ)u^m, k, m≤N, (5)

тогда интегралJ(u, φ)можно представить в форме J(u, φ) =

Q⁺₁

[p· ∇φ+M^τ(ux_τ·φx_n−ux_n·φx_τ)]dz. (6)

Определение 2.1.Функция u∈ V(Q⁺₁) := L²(Λ1;W₂¹(B₁⁺)) называется обоб- щенным решением задачи (1), если она удовлетворяет тождеству

Q⁺₁

[−u·φt+a(z, u)∇u· ∇φ]dz=

Q⁺₁

[p· ∇φ+M^τ(ux_τ ·φx_n−ux_n·φx_τ)]dz+

+

Q⁺₁

g·φ dz+

Γ₁

ψ·φ dΓ, ∀φ∈W₂¹(Q⁺₁), φ

∂Q⁺₁\Γ₁= 0, (7) где вектор-функцияpопределена равенством (5).

В работе мы будем изучать свойства обобщенного решения, удовлетворяющего тождеству (7). Условия на функции C^τ представлены в условиях(H4)–(H7).

Сформулируем основной результат работы.

Теорема 2.1.Пусть выполнены условия (H1)–(H8), u∈V(Q⁺₁)— обобщенное решение задачи (1), т. е. u удовлетворяет тождеству (7). Существуют такие числаθ0, q0, r0∈(0,1), что если

q_∗(r0) := sup{qa, qτ} ≤q0, (8) и в точкеz⁰∈Q⁺₁ ∪Γ1

1 Rⁿ

Q_R(z⁰)

(|∇u|²+|u|²)dz < θ0 (9) для некоторого R ≤ r0, тогда u ∈ C^α(Q_sR(z⁰);δ), ∇u ∈ L^2,n+2α(Q_sR(z⁰);δ) при α∈(0,1)из условия (H8) и некотором s∈(0,1), и верна следующая оценка:

u_Cα(Q_sR(z⁰);δ)+∇uL^2,n+2α(Q_sR(z⁰);δ)≤

≤c1u_V(Q+

1)+c2(g_L2,n−2+2α(Q⁺₁;δ)+ψL^2,n−1+2α(Γ₁;δ)). (10) Постоянные c₁ и c₂ зависят от ν, μ, μ₁, α, n, N и функций q_∗(r) и ω(s). Кроме того, c1 зависит отs иR⁻¹.

Для линейной задачи мы получаем следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть для матрицыa=a(z)и функций C^τ(z, u) =M^τ(z)u(z) выполнены условия (H1), (H3), (H4), (H5), (H7), и функции g, ψ удовлетворяют условию (H8) с каким-либо α ∈ (0,1). Пусть функция u ∈ V(Q⁺₁)— обобщенное решение линейной задачи (1). Тогда u(z) непрерывна по Гельдеру с показателемα на множествеQ⁺s при любом фиксированном s <1, и справедлива оценка

u_Cα(Q+

s;δ)+∇uL^2,n+2α(Q_s;δ)≤

≤c{u_V(Q+

1)+g_L2,n−2+2α(Q⁺₁;δ)+ψL^2,n−1+2α(Γ₁;δ)}. (11) Постояннаяc в оценке (11) зависит от данных задачи и от (1−s)⁻¹.

3. Вспомогательные предложения. Пусть для матрицы a(z) и функций C^τ(z, v) = M^τ(z)v, 1 ≤ τ ≤ n−1, выполнены условия (H1) и (H4), матрица M^τ удовлетворяет условию симметрии (H5), и функцииf ∈L²(Q⁺₁), ψ∈L²(Γ1).

Пусть далееv = (v¹, . . . , v^N)— решение параболическойлинейной системы (1) вQ⁺₁ при заданной косой производной на Γ1:

v_t(z)−div(a(z)∇v(z)) =f(z), z∈Q⁺₁; (12)

∂ v(z)

∂na

+d(M^τ(z)v(z)) d xτ

z∈Γ₁

=ψ(z).

Замечание 3.1.При сделанныхвыше предположенияхотносительно данных задачи любое решение задачи (12) из пространстваV(Q⁺₁)является функцией клас- саV2(Q⁺₁). Более того, можно показать, что эти обобщенные решения имеют поло- винную производную по времени (см., например, [21, гл. 3, § 4]).

Лемма 3.1. Для обобщенного решения v ∈ V(Q⁺₁) задачи (12) справедливы неравенство Качопполи

Q_r(z⁰)

|∇v|²dz≤

≤ c1

r²

Q_2r(z⁰)

|v−v_2r,z0|²dz+c1

Q_2r(z⁰)

|v|²dz+c r²

Q_2r(z⁰)

|f|²dz+c r

Γ_2r(z⁰)

|ψ|²dΓ

(13) и неравенство Пуанкаре

Q_r(z⁰)

|v−v_r,z0|²dz≤c₂r²

Q_r(z⁰)

(|∇v|²+|v|²)dz+c r⁴

Q_r(z⁰)

|f|²dz+c r³

Γ_r(z⁰)

|ψ|²dΓ,

(14) где z⁰ ∈Q⁺₁ ∪Γ1, и Q2r(z⁰)∩(∂Q⁺₁ \Γ1) =∅.Постоянные c, c1, c2 в неравенствах (13) и (14) зависят от ν, μ, n, N, а c1 и c2 зависят также от параметра μ1 из условия (H4).

Доказательство. Если учесть симметричность матриц M^τ, то оценка (13) выводится из тождества (7) точно так же, как это сделано при выводе неравенства Качопполи в лемме 3.1 работы [1], гдеC^τ= 0.

Для вывода неравенства Пуанкаре мы воспользуемся идеей, изложенной в моно- графии [8, гл. 4, раздел 2], где неравенство Пуанкаре выводится сначала для гладких решений параболическихуравнений, а затем проводится аппроксимация. Здесь мы приведем рассуждение, позволяющее получить неравенство сразу для обобщенных решений vзадачи (12) класса V(Q⁺₁).

Зафиксируем точку z⁰ ∈ Q⁺₁ и r > 0 такие, что Q_r(z⁰) ⊂ Q⁺₁ ∪Γ1. Пусть ξ ∈ C₀¹(B_r(x⁰)), 0 ≤ ξ ≤1, |∇ξ| ≤ ^c_r, иm_r :=

Ω_r(x⁰)ξ(x)dx ≥ κ_nrⁿ с некоторым κ_n>0.

Определим весовые средние

v_r,x0(t) =m⁻_r¹

Ω_r(x⁰)

v(x, t)ξ(x)dx, t∈Λr(t⁰), v_r,z0 = −

Λ_r(t0)

v_r,x0(t)dt.

Для почти всехt∈Λr(t⁰)справедливо неравенство

Ω_r(x⁰)

|v(x, t)−v_r,x0(t)|²dx≤c(n)

Ω_r(x⁰)

|v(x, t)−v_r,x0(t)|²dx. (15)

Правую часть соотношения (15) оценим по неравенству Пуанкаре и полученное неравенство проинтегрируем по интервалуΛr(t⁰):

Q_r(z⁰)

|v(z)−v_r,x0(t)|²dz≤c1(n)r²

Q_r(z⁰)

|∇v|²dz. (16)

Теперь с помощью оценки (16) получаем, что

Qr(z0)

|v(z)−v_r,z0|²dz≤ 2

Qr(z0)

|v(z)−v_r,x0(t)|²dz+2|Ωr|

Λ_r(t0)

|v_r,z0−v_r,x0(t)|²dt≤

≤c1(n)r²

Qr(z0)

|∇v(z)|²dz+ 2|Ωr|

Λ_r(t0)

P_r²(t)dt, (17) где

P_r²(t) =|vr,z0−vr,x0(t)|²= −

Λ_r(t⁰)

[vr,x0(τ)−vr,x0(t)]dτ

2

.

Чтобы оценить выражение P_r²(t), обратимся к тождеству, которому удовлетворяет обобщенное решение задачи (12):

Q_r(z⁰)

{−v·φt+a∇v· ∇φ+M^τ[vx_n·φx_τ−vx_τ ·φx_n]}dz+

+

Q_r(z⁰)

(M_x^τ_nv·φx_τ−M_x^τ_τv·φx_n)dz=

Q_r(z⁰)

f·φ dz+

Γ_r(z⁰)

ψ·φ dΓ. (18)

Для произвольно фиксированныхs, l∈Λr(t⁰),s < l, и параметраε <<1такого, что(s−ε, l+ε)⊂Λr(t⁰), определим кусочно-линейную непрерывную функциюχε(t):

χε(t) = 0приt∈Λr(t⁰)\(s−ε, l+ε), χε(t) = 1 на интервале(s, l). Очевидно, что χ_ε(t) = ¹_ε при t ∈ (s−ε, s) и χ_ε(t) = −¹_ε при t ∈ (l, l +ε). Из тождества (18) с функциейφ(z) =ξ(x)χ_ε(t)получаем равенство

−

s

−

s−ε

Ω_r(x⁰)

v(x, t)ξ(x)dx dt+

l+ε

−

l

Ω_r(x⁰)

v(x, t)ξ(x)dx dt+ l+ε s−ε

Ω_r(x⁰)

a∇v∇ξ χ_εdx dt+

+ l+ε s−ε

Ω_r(x⁰)

M^τ[vx_nξx_τ−vx_τξx_n]χεdx dt+ l+ε s−ε

Ω_r(x⁰)

(M_x^τ_nv ξx_τ −M_x^τ_τv ξx_n)χεdz=

= l+ε s−ε

Ω_r(x0)

f ξ χεdz+ l+ε s−ε

γ_r(x0)

ψ ξχεdγ dt.