Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Л. Дроздов, Алгоритм идентификации характеристик динамической системы по данным наблюдений, Автомат. и телемех. , 2000, выпуск 5, 58–66
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 22:36:58
Автоматика и телемеханика,№ 5, 2000
Стохастические системы
УДК 531.55
⃝c 2000 г. А.Л. ДРОЗДОВ, канд. техн. наук (Военный авиационный технический университет, Москва)
АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО ДАННЫМ НАБЛЮДЕНИЙ
Предложена методика идентификации зависимостей характеристик нелиней- ной динамической системы от фазовых координат по данным наблюдений ее состояния в дискретные моменты времени. В качестве примера рассмотрен ал- горитм определения аэродинамических характеристик модели летательного ап- парата по материалам измерений ее движения на аэробаллистической трассе.
1. Введение
Идентификация нелинейных динамических систем по данным наблюдений лежит в основе решения многих прикладных задач. При этом характеристики систем, за- висящие от их фазовых координат, часто принимаются постоянными или медленно изменяющимися на интервале наблюдения величинами [1]. Однако во многих прак- тически важных случаях изменением характеристик системы на интервале наблю- дения нельзя пренебречь. В этом случае используют представление определяемых характеристик посредством аналитических [2–4], в том числе многочленных (Чебы- шева, Лежандра и др. [5]), моделей, что часто приводит к неоправданному росту размера вектора оцениваемых параметров и затрудняет или делает невозможным их эффективное определение по выборке измерений ограниченного объема.
В настоящей статье предлагается методика определения нелинейных характери- стик динамических систем, основанная на их ортогональных разложениях специ- ального вида, позволяющих увеличивать число оцениваемых параметров в процессе идентификации, добиваясь максимальной эффективности использования имеющей- ся измерительной информации. Возможности методики иллюстрируются на при- мере решения задачи определения аэродинамических характеристик модели лета- тельного аппарата по результатам измерений ее движения на аэробаллистической трассе.
2. Постановка задачи Пусть уравнение динамической системы имеет вид
𝑑𝑥
𝑑𝑡 =𝑓(𝑥, 𝑡;𝑏𝑓, 𝜑(𝑥, 𝑡)), (1)
где𝑥– вектор состояния системы размера𝑚×1;𝑡– независимая переменная (вре- мя);𝑓(⋅)– известная нелинейная вектор-функция;𝑏𝑓 – вектор параметров системы размера 𝑝𝑓 ×1; 𝜑(𝑥, 𝑡) – вектор неизвестных характеристик системы, зависящих нелинейным образом от ее фазовых координат и времени. Начальные условия для уравнения (1) представим в виде 𝑥0 = 𝑥(𝑡0), где 𝑡0 – момент начала наблюдений системы.
Пусть выполнена параметризация характеристик системы, т.е. задана модель вектора характеристик𝜑(𝑥, 𝑡) ≈ 𝜑(𝑥, 𝑡;ˆ 𝑏𝜑), полностью определяемая вектором па- раметров 𝑏𝜑 размера 𝑝𝜑×1. Относительно функций 𝑓 и 𝜑ˆ предположим, что они удовлетворяют условию существования и единственности решения (1).
По результатам наблюдений системы подлежат определению элементы векторов 𝑏𝑓 и 𝑏𝜑, а также неизвестный априори вектор начальных условий 𝑥0. Обозначим через 𝑎=[
𝑥т0𝑏т𝑓𝑏т𝜑]т
вектор всех оцениваемых параметров размера 𝑞×1, 𝑞=𝑚+
+𝑝𝑓+𝑝𝜑.
Пусть наблюдения системы производятся в последовательные дискретные момен- ты времени. Обозначим через𝑧𝑖 вектор измерений, полученных в момент времени 𝑡𝑖, размера𝑟×1. Модель измерений запишем в виде
(2) 𝑧𝑖=𝑔𝑖(𝑎) +𝑤𝑖,
где 𝑔𝑖(𝑎) = 𝑔𝑖(𝑥(𝑡𝑖, 𝑎), 𝑡𝑖) – нелинейная вектор-функция оцениваемых параметров;
𝑤𝑖 – случайный вектор ошибок измерений, относительно которого предположим, что он распределен по нормальному закону с нулевым вектором математических ожиданий и диагональной корреляционной матрицей𝐷𝑖 размера𝑟×𝑟.
Пусть измерения выполнены в моменты времени 𝑡𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛, 𝑛𝑟 ≥ 𝑞, так что в нашем распоряжении имеется выборка из 𝑛 векторов измерений 𝑧𝑖и. Оптимальная в смысле метода максимального правдоподобия оценка вектора 𝑎определяется из условия минимума квадратичного функционала
(3) 𝑄(𝑎) = (𝑔(𝑎)−𝑧и)т𝑃(𝑔(𝑎)−𝑧и) =∥𝑔(𝑎)−𝑧и∥2𝑃 →min,
где 𝑔(𝑎) = [𝑔1т(𝑎). . . 𝑔𝑛т(𝑎)]т, 𝑧и = [(𝑧и1)т. . .(𝑧𝑛и)т]т – полные векторы расчетных и фактических измерений размера𝑛𝑟×1;𝑃 – блочно-диагональная весовая матрица размера𝑛𝑟×𝑛𝑟,
𝑃 =
⎡
⎢⎣
𝐷1−1 0 . ..
0 𝐷𝑛−1
⎤
⎥⎦.
Необходимое условие минимума функционала (3) по𝑎
(4) ∂𝑄
∂𝑎 = 2∂𝑔
∂𝑎𝑃(𝑔(𝑎)−𝑧и) = 0
представляет собой систему𝑞нелинейных алгебраических уравнений для определе- ния оптимальной оценки𝑎∗вектора оцениваемых параметров. Условие идентифици- руемости динамической системы (1) по полной выборке измерений в рассматривае- мом случае эквивалентно необходимому условию существования решения уравнений (4) и имеет вид rank(∂𝑔/∂𝑎) =𝑞.
3. Канонические разложения характеристик системы
При параметризации характеристик системы (1) с помощью стандартных анали- тических моделей число оцениваемых параметров может быть достаточно большим, в результате чего известные итерационные методы [1–4, 6] не обеспечивают сходи- мость процедуры идентификации при наличии ошибок, присущих конкретной изме- рительной системе, в случае большой априорной неопределенности вектора оцени- ваемых параметров. Для преодоления указанного затруднения в настоящей работе нелинейные характеристики динамической системы параметризуются путем их ор- тогональных разложений по базисным функциям специального вида, обладающим определенными оптимальными свойствами, а алгоритм идентификации строится по принципу последовательного включения в оценивание коэффициентов разложений характеристик.
Будем рассматривать некоторую скалярную характеристику𝜒(𝑦), заданную на- бором своих значений на сетке𝑦𝑘,𝑘= 1, 𝜅, узловых значений векторного аргумента 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑡), как вектор𝜒 = [𝜒(𝑦1). . . 𝜒(𝑦𝜅)]т в 𝜅-мерном евклидовом пространстве R𝜅. Рассмотрим аппроксимацию𝜒 вида
(5) 𝜒ˆ=
𝑝𝜒
∑
𝑖=1
𝑏𝜒𝑖𝜒баз𝑖 ,
где𝜒баз𝑖 – векторы произвольного ортонормированного базиса вR𝜅;𝑏𝜒𝑖 – коэффици- енты разложения;𝑝𝜒– размерность пространства аппроксимации. Рассмотрим мно- жество{𝜒𝑗 ∣𝑗= 1, 𝑁}реализаций характеристики𝜒на семействе 𝑁 динамических систем, описывающих близкие к рассматриваемому физико-технические явления.
В общем случае число 𝑁 векторов множества{𝜒𝑗} может быть как больше, так и меньше𝜅. Образуем матрицу𝑋 = [𝜒1. . . 𝜒𝑁]размера𝜅×𝑁. Можно показать [7], что ортонормированный базис{
𝜒кан𝑖 ∣𝑖= 1, 𝜅}
вR𝜅, образованный из собственных век- торов матрицы XXтв порядке невозрастания соответствующих собственных чисел, обеспечивает минимум квадратов невязок векторов множества{
𝜒𝑗}
и их аппрок- симаций в классе всех ортонормированных базисов в R𝜅 для любой размерности пространства аппроксимации1≤𝑝𝜒< 𝜅:
(𝜒ˆ𝑗−𝜒𝑗) (
𝜒ˆ𝑗−𝜒𝑗)т
→min, где𝜒ˆ𝑗 =
𝑝𝜒
∑
𝑡=1
𝑏𝜒𝑗,𝑖𝜒кан𝑖 – так называемое каноническое разложение вектора𝜒𝑗 по век- торам канонического базиса{𝜒кан𝑖 },𝑗= 1, 𝑁.
С использованием аппарата канонических разложений значения параметризо- ванной характеристики𝜒(𝑦)в точках сетки могут быть определены по формуле (6) 𝜒(𝑦ˆ 𝑘) =
𝑝𝜒
∑
𝑖=1
𝑏𝜒𝑖𝜒кан𝑖 (𝑦𝑘),
где 𝜒кан𝑖 (𝑦𝑘) = (𝜒кан𝑖 )𝑘 – 𝑖-я базисная функция для характеристики 𝜒. Значения характеристики в точках, не совпадающих ни с одним из узлов сетки, определя- ются путем интерполяции, например, с использованием нестационарного локально- го сплайна первой степени гладкости [5]. Начальные приближения коэффициентов разложений определяются на основе априорной информации о характеристиках си- стемы:
𝑏𝜒𝑖 =
∑𝜅 𝑘=1
𝜒апр(𝑦𝑘)𝜒кан𝑖 (𝑦𝑘), 𝑖= 1, 𝑝𝜒,
где𝜒апр(𝑦)– априорное приближение рассматриваемой характеристики.
Матрица XXт, получаемая из набора “почти зависимых” векторов вR𝜅, является плохо обусловленной, поэтому при практическом построении канонических базисов целесообразно применение аппарата сингулярного разложения матрицы𝑋(см. При- ложение).
Важным свойством канонических разложений является убывание абсолютной ве- личины членов в правой части (6) по мере увеличения их номера, что следует из самого способа построения канонического базиса. Данное обстоятельство позволяет построить алгоритм идентификации характеристик системы путем вложения ите- рационной процедуры оценивания элементов вектора𝑎в цикл постепенного увели- чения числа базисных функций, используемых для аппроксимации характеристик, чем обеспечивается адаптивность алгоритма к объему и качеству измерительной информации.
На первом шаге оцениваются элементы векторов𝑥0,𝑏𝑓, а также коэффициенты канонических разложений характеристик по соответствующим первым базисным функциям. При этом число элементов 𝑝𝜑 вектора 𝑏𝜑 минимально и равно числу скалярных характеристик системы. Остальные коэффициенты разложений прини- маются равными соответствующим априорным значениям и временно не оценива- ются. Далее в оценивание поочередно включаются коэффициенты разложений по второй, третьей и последующим базисным функциям для каждой из характеристик, что соответствует увеличению числа элементов векторов 𝑏𝜑 и 𝑎. При достижении предельного числа базисных функций для некоторой характеристики на последу- ющих шагах алгоритма оцениваются все коэффициенты ее разложения. Процесс увеличения числа членов разложений завершается либо по достижении наибольше- го, по всем идентифицируемым характеристикам, допустимого числа членов, либо с прекращением заметных изменений функционала𝑄и аппроксимаций характери- стик системы при включении в оценивание очередных коэффициентов канонических разложений.
4. Алгоритм идентификации параметров системы
Задача определения числовых параметров модели (1) по материалам наблюде- ний, которая решается на каждом шаге алгоритма идентификации характеристик системы, относится к классу обратных задач и является некорректно поставлен- ной [8]. Поскольку характеристики точности коэффициентов уравнений (3) апри- ори неизвестны, построение регуляризирующего оператора в рассматриваемой за- даче затруднено. В этой связи, а также с целью расширения области сходимости алгоритма использовалось предложенное в [2–4] вложение итерационной процеду- ры оценивания параметров в процедуру метода аналитического продолжения по параметру (МАПП). В соответствии с дискретным вариантом метода отрезок[0,1]
изменения параметра продолжения 𝜂 разбивается на несколько вообще неравных отрезков точками𝜂𝑙, 𝑙= 1, 𝐿, причем 𝜂𝑙+1 > 𝜂𝑙,𝜂𝐿 = 1. Расширенный функционал качества идентификации на𝑙-м шаге МАПП был принят в виде
(7) 𝑄˜[𝑙](𝑎) =𝜂𝑙𝑄(𝑎) + (1−𝜂𝑙)∥(1−𝜂𝑙)𝑔(𝑎(0)) +𝜂𝑙𝑧и−𝑔(𝑎)∥2𝑃,
где𝑎(0) – начальное значение вектора оцениваемых параметров для𝑙-го шага.
Для решения задачи параметрической идентификации на каждом шаге процеду- ры МАПП использовалась комбинированная итерационная вычислительная проце- дура, основанная на последовательном запуске процедур метода сопряженных гра- диентов (МСГ) и метода Гаусса–Ньютона (МГН). Процедура МСГ (в работе был использован вариант метода с решением одномерной вспомогательной задачи опти- мизации без обновления [6]) обеспечивает глобальную сходимость алгоритма при до- статочно грубых априорных приближениях оцениваемых параметров в направлении минимума функционала (7). Градиент минимизируемого функционала на каждом шаге процедуры МСГ в соответствии с (4) определяется по формуле
∂𝑄
∂𝑎 = 2𝐻т𝑃(𝑔(𝑎)−𝑧и),
где 𝐻 = [𝐻1т𝐻2т. . . 𝐻𝑛т]т – матрица размера 𝑛𝑟×𝑞; 𝐻𝑖=∂𝑔𝑖/∂𝑎= (∂𝑥/∂𝑎)𝑡=𝑡𝑖(∂𝑔𝑖/ /∂𝑥)𝑡=𝑡𝑖 – матрица частных производных измерений в момент 𝑡𝑖 по оцениваемым параметрам размера𝑞×𝑟;(∂𝑔/∂𝑥)𝑡𝑖 – матрица производных измерений по фазовым координатам размера𝑚×𝑟; (∂𝑥/∂𝑎)𝑡𝑖 – матрица производных фазовых координат по оцениваемым параметрам размера𝑞×𝑚(матрица чувствительности). Последняя матрица удовлетворяет матричному уравнению в вариациях
𝑑 𝑑𝑡
(∂𝑥
∂𝑎 )
=∂𝑥
∂𝑎
∂𝑓
∂𝑥 +∂𝑓
∂𝑎,
которое интегрируется совместно с уравнениями (1) при начальных условиях
∂𝑥
∂𝑎
𝑡=𝑡0
= [𝐸𝑚×𝑚𝑂𝑚×𝑝𝑓𝑂𝑚×𝑝𝜑]т, где𝐸𝑚×𝑚 – единичная,𝑂𝑚×𝑝𝑓,𝑂𝑚×𝑝𝜑 – нулевые матрицы соответствующих размеров.
Процедура МГН обеспечивает быструю сходимость в области “притяжения” точ- ного значения вектора𝑎. Вектор поправок Δ𝑎к оцениваемым параметрам на каж- дом шаге процедуры МГН определяется как решение нормальной системы линейных алгебраических уравнений
(8) 𝐶Δ𝑎=𝑑,
где𝐶=𝐻т𝑃 𝐻 – матрица плана размера𝑞×𝑞;𝑑=𝐻т𝑃(𝑧и−𝑔(𝑎))– вектор правых частей размера𝑞×1.
Решение нормальной системы (8) существенно осложняется характерными для многих приложений большим размером и плохой обусловленностью матрицы плана, что может быть вызвано ошибками измерений, неточностью априорной информации об условиях проведения эксперимента, ошибками округления и др. Для обеспечения надежного решения системы в настоящей работе использовался аппарат сингуляр- ного анализа матрицы плана системы (см. Приложение).
С целью обеспечения глобальной сходимости процедуры МГН очередное прибли- жение вектора𝑎по аналогии с методом наискорейшего спуска строится в виде
𝑎(𝜈)=𝑎(𝜈−1)+ℎ∗Δ𝑎(𝜈),
где𝑎(𝜈−1),𝑎(𝜈) – векторы оценок на предыдущей и текущей итерациях;Δ𝑎(𝜈)– век- тор поправок на текущей итерации;ℎ∗- оптимальный шаг поправки в направлении вектораΔ𝑎(𝜈), определяемый как результат решения одномерной задачи оптимиза- цииℎ∗=arg min
ℎ
𝑄(ℎΔ𝑎(𝜈)).
Вычисления продолжаются до тех пор, пока заметны значимые изменения эле- ментов вектора 𝑎 и функционала 𝑄 от итерации к итерации, т.е. пока не будут выполнены неравенства
(9) Δ𝑎(𝜈)𝑗 ≤𝜀𝑗, 𝑗= 1, 𝑞; 𝑄(𝜈+1)−𝑄(𝜈)≤𝜀𝑄,
где𝜀𝑗,𝜀𝑄 – априори заданные величины, определяющие точность метода.
5. Пример
В качестве примера рассмотрим задачу идентификации аэродинамических ха- рактеристик (АДХ) оперенной осесимметричной модели летательного аппарата (МЛА) по материалам измерений ее движения на аэробаллистической трассе. Си- стема уравнений движения МЛА имеет вид
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
𝑅𝑥
𝑚; 𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
(𝑅𝑦
𝑚 −𝑔0
)
; 𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
𝑅𝑧
𝑚; 𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣𝑦
𝑣𝑥
; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑣𝑧
𝑣𝑥
; 𝑑𝜔𝑥𝑎
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
1 𝐼𝑥𝑎
𝑀𝑥𝑎; 𝑑𝜔𝑦𝑎
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
1 𝐼𝑧𝑎
(𝐼𝑧𝑎𝜔𝑧𝑎𝜔𝑎𝑥𝑎−𝐼𝑥𝑎𝜔𝑥𝑎𝜔𝑧𝑎+𝑀𝑦𝑎);
(10)
𝑑𝜔𝑧𝑎
𝑑𝑥 = 1 𝑣𝑥
1 𝐼𝑧𝑎
(𝐼𝑥𝑎𝜔𝑥𝑎𝜔𝑦𝑎−𝐼𝑧𝑎𝜔𝑦𝑎𝜔𝑎𝑥𝑎+𝑀𝑧𝑎);
𝑑𝜓
𝑑𝑥 = 𝜔𝑦𝑎
𝑣𝑥cos𝜃
; 𝑑𝜃 𝑑𝑥 = 𝜔𝑧𝑎
𝑣𝑥
; 𝑑𝛾 𝑑𝑥 = 1
𝑣𝑥
(𝜔𝑥𝑎−𝜔𝑎𝑥𝑎),
где𝑥, 𝑦,𝑧 – координаты центра масс МЛА в осях неподвижной правой декартовой прямоугольной лабораторной системы координат, ось𝑥которой направлена вдоль
трассы, ось𝑦 – вертикально вверх; 𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧 – проекции вектора скорости центра масс МЛА;𝑅𝑥,𝑅𝑦,𝑅𝑧– проекции вектора полной аэродинамической силы на лабо- раторные оси;𝑡– время движения МЛА;𝜔𝑥𝑎,𝜔𝑦𝑎,𝜔𝑧𝑎– проекции угловой скорости МЛА на оси полусвязанной с ней правой декартовой прямоугольной аксиальной си- стемы координат, ось𝑥𝑎 которой направлена вдоль оси симметрии МЛА, при этом угловое положение аксиальной системы относительно лабораторной определяется поворотом первого рода на эйлеровы углы скольжения 𝛽 и атаки𝛼[9]; 𝑀𝑥𝑎, 𝑀𝑦𝑎, 𝑀𝑧𝑎 – проекции полного аэродинамического момента на аксиальные оси;𝐼𝑥𝑎, 𝐼𝑧𝑎 – моменты инерции МЛА относительно продольной и экваториальной осей;𝜓, 𝜃,𝛾 – углы рыскания, тангажа и крена МЛА;𝜔𝑎𝑥𝑎 – скорость вращения аксиального ба- зиса относительно оси𝑥𝑎. Компоненты вектора полной аэродинамической силы𝑅𝑥, 𝑅𝑦, 𝑅𝑧 определяются посредством элементарных матричных операций через аэро- динамические силы в аксиальном базисе: силу лобового сопротивления𝑋 =𝑐𝑥𝑞𝑆, подъемную 𝑌 = 𝑐𝑦𝑞𝑆 и боковую 𝑍 = 𝑐𝑧𝑞𝑆 силы, где 𝑞 = 𝜌𝑣2
2 – скоростной на- пор, 𝜌– плотность воздуха,𝑣 =√
𝑣2𝑥+𝑣2𝑦+𝑣2𝑧 – модуль скорости центра масс, 𝑆 – характерная площадь МЛА.
Зависимости аэродинамических коэффициентов от параметров движения МЛА принимались в виде
𝑐𝑥=𝑐𝑥0(M) +𝑐𝛼𝛼𝑥 (M)(𝛼2+𝛽2);
𝑐𝑦=𝑐𝛼𝑦(M)𝛼; 𝑐𝑧=−𝑐𝛼𝑦(M)𝛽; 𝑚𝑥𝑎 =𝑚𝜔𝑥𝑥∗(M)𝜔𝑥𝑎
𝑙 𝑣; 𝑚𝑦𝑎=𝑚𝛼𝑧(M)𝛽+𝑚𝜔𝑧∗𝑧(M)𝜔𝑦𝑎
𝑙 𝑣; 𝑚𝑧𝑎=𝑚𝛼𝑧(M)𝛼+𝑚𝜔𝑧𝑧∗(M)𝜔𝑧𝑎
𝑙 𝑣,
где𝑙 – характерный размер МЛА; M=𝑣𝑎 – число Маха;𝑎– скорость звука.
Рассматривалась схема прямых измерений движения МЛА, в соответствии с ко- торой в 𝑛 = 50 измерительных сечениях, расположенных вдоль рабочего участка трассы длиной 100 м равномерно с шагом 2 м, измеряются линейные и угловые ко- ординаты МЛА𝑦𝑖, 𝑧𝑖,𝜓𝑖,𝜃𝑖,𝛾𝑖, 𝑖= 1, 𝑛, а в каждом пятом сечении дополнительно измеряются времена движения МЛА𝑡𝑖 от первого сечения. Априорные приближе- ния начальных условий движения МЛА определялись методом конечных разностей по измерениям движения в двух первых сечениях.
По материалам измерений движения подлежат определению коэффициенты раз- ложений аэродинамических производных МЛА 𝑐𝑥0(M), 𝑐𝛼𝛼𝑥 (M), 𝑐𝛼𝑦(M), 𝑚𝜔𝑥∗𝑥(M), 𝑚𝛼𝑧(M), 𝑚𝜔𝑧∗𝑧(M), а также 𝑚 = 12 начальных условий движения 𝑣𝑥0, 𝑣𝑦0, 𝑣𝑧0, 𝑡0, 𝑦0,𝑧0,𝜔𝑥𝑎0,𝜔𝑦𝑎0,𝜔𝑧𝑎0,𝜓0,𝜃0,𝛾0. При этом полагается, что геометрические и инер- ционные характеристики МЛА известны, а значения параметров воздуха отвечают нормальной атмосфере. В качестве базисных для канонических разложений АДХ использовались функции, заданные на сетке𝜅= 19узловых значений числа Маха в интервале от M1= 0до M𝜅= 3,0 [7].
Как показали расчеты, выполненные с использованием результатов имитацион- ного моделирования движения МЛА на трассе, процедура идентификации сходит- ся при относительных ошибках задания априорных приближений АДХ, достигаю- щих 100%. Скорость сходимости процедуры, кроме точности априорных приближе- ний оцениваемых параметров, зависит от размерностей пространств аппроксимации АДХ, параметров точности алгоритма (9) и набора дискретных значений парамет- ра МАПП. При этом для точности определения всех параметров𝜀 = 0,001 доста- точно пяти членов канонических разложений, двух-трех шагов МАПП и десяти–
Рис. 1. Сходимость оценок начальных условий движения МЛА и функционала качества идентификации
Рис. 2. Сходимость оценок АДХ МЛА
пятнадцати итераций для процедур МСГ и МГН на каждом шаге МАПП. Характер сходимости процедуры в отсутствие ошибок измерений иллюстрируют рис. 1, 2. На рис. 1 показаны относительные ошибки определения начальных условий движения МЛА𝑣𝑥0,𝜔𝑧𝑎0, а также значения функционала𝑄, соответствующие завершению ша- гов процедуры, связанных с включением в обработку очередных базисных функций АДХ. На рис. 2 показаны относительные ошибки определения значений коэффици- ентов𝑐𝑥0и𝑐𝛼𝑦 для значений числа Маха M= 1,5 и M= 1,75.
Наличие нормальных ошибок измерений практически не сказывается на разме- рах области и скорости сходимости процедуры, однако приводит к разбросу получа- емых оценок. Влияние ошибок измерений на точность идентификации оценивалось по результатам многократного имитационного моделирования измерений движения МЛА. Были приняты следующие значения средних квадратических отклонений ошибок измерения параметров движения МЛА:𝜎𝑡= 0,000001c,𝜎𝑦=𝜎𝑧= 0,0005м, 𝜎𝜓 =𝜎𝜃 = 𝜎𝛾 = 0,1∘. Результаты расчетов представлены на рис. 3, где показаны максимальные (по всей совокупности экспериментов) относительные ошибки опре- деления начальных условий𝑣𝑥0,𝜔𝑧𝑎0, а также максимальные (по экспериментам и значениям числа Маха на траекториях) относительные ошибки оценивания АДХ.
Видно, что погрешности определения 𝑐𝑥0(M), 𝑚𝛼𝑧(M), 𝑚𝜔𝑧∗𝑧(M) не превосходят 5%
(при этом ошибка для коэффициента сопротивления составляет менее 0,5%), в то
Рис. 3. Погрешности оценок начальных условий движения и АДХ МЛА при наличии ошибок измерений
время как погрешности определения 𝑐𝛼𝛼𝑥 (M), 𝑐𝛼𝑦(M) и 𝑚𝜔𝑥∗𝑥(M) составляют 10% и более.
Повышение точности определения АДХ может быть достигнуто как за счет ис- пользования более точных измерителей, так и посредством более “частой” регистра- ции параметров движения МЛА. В качестве примера на рис. 3 показаны относитель- ные ошибки результатов для схемы измерений с регистрацией времени движения в каждом измерительном сечении, а также для исходной схемы измерений при уровне ошибок измерения координат и углов𝜎𝑦=𝜎𝑧= 0,0001м,𝜎𝜓=𝜎𝜃=𝜎𝛾 = 0,05∘.
6. Заключение
Предложенный в данной работе подход может быть использован для опреде- ления нелинейных характеристик динамических систем, описываемых уравнением вида (1), по полной выборке материалов наблюдений в дискретные моменты време- ни при нормальных аддитивных помехах. Существенной особенностью алгоритма идентификации является его адаптивность к объему и качественному составу ма- териалов наблюдений, что позволяет достигать максимально возможной (для име- ющейся измерительной информации) точности аппроксимации характеристик си- стемы. Алгоритм характеризуется широкой областью сходимости, что гарантирует получение решения при весьма грубых априорных приближениях оцениваемых па- раметров системы и ее характеристик. Управление размерами области сходимости может осуществляться путем различной дискретизации параметра продолжения в интервале его изменения – как программным, так и адаптивным [4] способами.
П Р И Л О Ж Е Н И Е Как известно [8, 10], сингулярным разложением матрицы X размера𝜅×𝑁 назы- вается ее факторизация вида
X= YΣZт,
где Y, Z – ортогональные матрицы размера𝜅×𝜅,𝑁×𝑁 соответственно,Σ– диаго- нальная матрица размера𝜅×𝑁 с неотрицательными диагональными элементами, называемыми сингулярными числами матрицы X. Если˜𝜅=rank X<min{𝜅, 𝑁}, то отличны от нуля только первые 𝜅 сингулярных чисел матрицы X и фактические размеры матриц Y, Σ и 𝑍 могут быть сокращены соответственно до 𝜅ט𝜅, ˜𝜅ט𝜅 и 𝑁ט𝜅. В этом случае матрицы Y и Z формально не являются ортогональными,
но их столбцы составляют ортонормированные системы векторов в пространствах R𝜅иR𝑁, причем столбцы матрицы Y являются собственными векторами матрицы XXт. Для получения сингулярного разложения матрицы может быть использована стандартная вычислительная процедура SVD (Singular Value Decomposition), при- веденная в [10].
Нормальная система линейных алгебраических уравнений𝐶Δ𝑎=𝑑может быть преобразована к виду
𝑆Δ𝑎=𝑑,
гдеΔ𝑎=𝑉Δ𝑎;𝑑=𝑈т𝑑;𝑈,𝑉 – ортогональные,𝑆 – диагональная матрицы размера 𝑞×𝑞 в сингулярном разложении матрицы плана 𝐶 = 𝑈 𝑆𝑉. После определения Δ𝑎из последнего уравнения искомый вектор поправок рассчитывается по формуле Δ𝑎=𝑉Δ𝑎.
Для учета ошибок округления в соответствии с [10] вводится граница относи- тельной погрешности𝛿=𝑞𝜀, где 𝜀 – так называемый машинный “эпсилон”, харак- теризующий точность вычислений с плавающей точкой. Абсолютная погрешность учета сингулярных чисел равна 𝜏 =𝛿𝑠max, где 𝑠max – наибольшее из сингулярных чисел матрицы плана. При определении элементов вектораΔ𝑎для всех𝑠𝑗> 𝜏 при- нимаетсяΔ𝑎𝑗=𝑑𝑗/𝑠𝑗. При линейной зависимости уравнений нормальной системы, т.е. при𝑠𝑗= 0(фактически при𝑠𝑗≤𝜏) соответствующемуΔ𝑎𝑗может быть придано произвольное значение (для определенности полагалосьΔ𝑎𝑗 = 0).
Для достижения минимально возможного (на данной выборке измерений) значе- ния минимизируемого функционала после каждого очередного шага итерационной процедуры производится проверка факта использования при определенииΔ𝑎всех сингулярных чисел матрицы плана. В случае, если нашлось хотя бы одно неисполь- зованное сингулярное число, итерационная процедура возобновляется со скоррек- тированной абсолютной ошибкой ˜𝜏 = 𝑘𝑡max{𝑠𝑗 ∣ 𝑠𝑗 ≤ 𝜏}, 𝑘𝑡 < 1, ˜𝜏 < 𝜏. Полное завершение процедуры происходит только в случае использования всех сингуляр- ных чисел матрицы𝐶 при условии невозрастания𝑄и выполнения неравенств (9).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гроп Д.Методы идентификации систем. Перевод с англ. М.: Мир, 1979.
2. Костров А.В.Движение асимметричных баллистических аппаратов. М.: Машиностро- ение, 1984.
3. Костров А.В., Гуков В.В.Итерационный синтез-метод идентификации аэродинамиче- ских характеристик космического аппарата по измерениям его движения // Космиче- ские исследования. 1986. Т. 24. Вып. 5. С. 680–694.
4. Гуков В.В., Костров А.В.Метод нелинейной идентификации движения летательного аппарата // АиТ. 1988. №7. С. 38–50.
5. Сухорученков Б.И., Меньшиков В.А.Методы анализа характеристик летательных ап- паратов. М.: Машиностроение, 1995.
6. Поляк Б.Т.Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
7. Дроздов А.Л.Канонические разложения аэродинамических характеристик баллисти- ческих объектов // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Аэромеханика и прочность. М.:
МГТУ ГА. 1998. №2. С. 15–20.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.
9. Постников А.Г., Чуйко В.С.Внешняя баллистика неуправляемых авиационных ракет и снарядов. М.: Машиностроение, 1985.
10. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К.Машинные методы математических вычис- лений. М.: Мир, 1980.
Статья представлена к публикации членом редколлегии В. А. Лотоцким.
Поступила в редакцию 09.04.99
