Н. А. Дюжина, Плотность производных наипростейших дробей в про- странствах Харди в полуплоскости, Матем. заметки , 2021, том 109, выпуск 1, 57–66

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. А. Дюжина, Плотность производных наипростейших дробей в про- странствах Харди в полуплоскости, Матем. заметки , 2021, том 109, выпуск 1, 57–66

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12838

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 18:56:05

(2)

Математические заметки

Том 109 выпуск 1 январь 2021

УДК 517.538.52+517.547.54

Плотность производных наипростейших дробей в пространствах Харди в полуплоскости

Н. А. Дюжина

Доказывается, что суммы

𝑛

∑︁

𝑘=1

1

(𝑧−𝑎_𝑘)², Im𝑎𝑘 <0, 𝑛∈N,

плотны во всех пространствах Харди 𝐻𝑝 в верхней полуплоскости при 1 <

𝑝 < ∞, а также в пространстве функций, аналитических в верхней полуплос- кости, непрерывных в ее замыкании и стремящихся к нулю на бесконечности.

Библиография: 8 названий.

Ключевые слова: приближение, наипростейшие дроби, плотность, про- странства Харди.

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12838

В работе [1] было доказано существование функции, для которой суммы дей- ствительных сдвигов плотны во всех действительных пространствах 𝐿_𝑝(R) при 26 𝑝 <∞, а также в действительном пространстве 𝐶₀(R).

В работе [2] было доказано, что существует функция 𝑓: R → C, для которой суммы действительных сдвигов

𝑛

∑︁

𝑘=1

𝑓(𝑥−𝑎𝑘), 𝑎𝑘 ∈R, 𝑛∈N,

плотны во всех пространствах Харди 𝐻𝑝(R) при 26 𝑝 < ∞, а также в пространст- ве 𝐴𝐶0(R) функций, непрерывно и аналитически продолжающихся в верхнюю по- луплоскость и стремящихся к нулю на бесконечности. Существование такой функ- ции 𝑓 доказывается неконструктивно. Естественным образом возникает вопрос:

можно ли, допустив комплексные сдвиги, найти функцию, суммы комплексных сдвигов которой плотны во всех пространствах 𝐻_𝑝(R) при 1 < 𝑝 < ∞ и 𝐴𝐶₀(R)?

В качестве такой функции попробуем рассмотреть

𝑓(𝑧) = 1

(𝑧+𝑖)^𝑙 при некотором 𝑙∈N.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российским фондом фундаментальных исследо- ваний (проект № 18-01-00333а).

○c Н. А. Дюжина, 2021

57

(3)

Тогда при 𝑙 = 1суммами комплексных сдвигов функции 𝑓(𝑧), принадлежащих про- странству 𝐻_𝑝(R) при 1< 𝑝 <∞ и 𝐴𝐶₀(R), будут наипростейшие дроби с полюсами в нижней полуплоскости

𝑆𝐹¹(Π−) = {︂ ^𝑛

∑︁

𝑘=1

1 𝑧−𝑎𝑘

, Im𝑎𝑘 <0, 𝑛∈N }︂

,

а при 𝑙>2 – производные таких наипростейших дробей с точностью до константы.

Наипростейшие дроби с полюсами вне действительной оси принадлежат всем про- странствам𝐿_𝑝(R),1< 𝑝 <∞, но не образуют в этих пространствах всюду плотного множества: из результатов работы [3] следует, что никакая функция −1/(𝑧 − 𝑎), 𝑎 ∈ C∖R, не может быть приближена в 𝐿_𝑝(R) наипростейшими дробями. Отсюда следует, что𝑆𝐹¹(Π₋)не плотно в пространствах𝐻_𝑝(R)при1< 𝑝 <∞. Оно не плот- но также в пространстве𝐴𝐶₀(R)(см. предложение1ниже). С другой стороны, наи- простейшие дроби с полюсами вне действительной оси плотны в пространстве𝐶₀(R) (см. [4]).

Естественным образом возникает задача о плотности производных наипростей- ших дробей: верно ли, что

𝑆𝐹²(Π₋) = {︂ ^𝑛

∑︁

𝑘=1

1

(𝑧−𝑎𝑘)², Im𝑎_𝑘 <0, 𝑛∈N }︂

плотны во всех пространствах 𝐻_𝑝(R) при 1 < 𝑝 < ∞, а также в 𝐴𝐶₀(R)? Цель настоящей работы – дать утвердительный ответ на этот вопрос.

Дадим необходимые определения.

Пусть 0 < 𝑝 < ∞. Функция 𝐹, аналитическая в полуплоскости Π₊ = {𝑧 ∈ C : Im𝑧 > 0}, принадлежит классу 𝐻𝑝(Π+), если существует такая константа 𝐶, что при всех 𝑦 > 0 выполнено

∫︁

R

|𝐹(𝑥+𝑖𝑦)|^𝑝𝑑𝑥6𝐶.

Класс 𝐻_𝑝(Π₊) является линейным пространством. При 1 6 𝑝 < ∞ на нем вво- дится норма

‖𝐹‖^𝑝_𝐻

𝑝(Π+) = sup

𝑦>0

∫︁

R

|𝐹(𝑥+𝑖𝑦)|^𝑝𝑑𝑥.

Функция 𝐹: Π+ → C стремится к 𝑤0 ∈ C при 𝑧, стремящемся к 𝑡0 ∈ R по некасательным направлениям, если при всех 0< 𝜃 6𝜋/2 выполнено

𝑧→𝑡0,𝑧∈𝑆lim_𝜃(𝑡0)𝐹(𝑧) =𝑤0,

где 𝑆_𝜃(𝑡₀) ={𝑧 =𝑟𝑒^𝑖𝜙+𝑡₀ :𝑟 >0, 𝜃 6𝜙6𝜋−𝜃}. Будем обозначать это следующим образом:

𝑧−lim→

^ 𝑡0

𝐹(𝑧) =𝑤₀.

При 𝑝 > 1 для всякой функции 𝐹 ∈ 𝐻𝑝(Π+) при почти всех 𝑡 ∈ R существует предел

𝑧lim−→

^ 𝑡𝐹(𝑧) =:𝑓(𝑡) и 𝑓 ∈𝐿_𝑝(R) (см. [5; гл. VI, § C]).

(4)

ПЛОТНОСТЬ ПРОИЗВОДНЫХ НАИПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ 59

Функция 𝑓: R → C принадлежит классу 𝐻_𝑝(R), если в пространстве 𝐻_𝑝(Π₊) существует такая функция 𝐹(𝑧) =𝐹(𝑥+𝑖𝑦), что для почти всех 𝑥∈R выполнено

𝑧lim−→

^ 𝑥𝐹(𝑧) =𝑓(𝑥).

Класс 𝐻_𝑝(R) является линейным подпространством комплексного пространст- ва 𝐿_𝑝(R). При 𝑝 > 1 на нем вводится норма, совпадающая с нормой в 𝐿_𝑝(R), относительно которой пространство 𝐻_𝑝(R) является полным (см. [6; гл. II, § 1]).

Кроме того, пространства 𝐻𝑝(Π+) и 𝐻𝑝(R) изометричны (см. [6; гл. II, § 3]).

При 𝑝 >1 фактор-пространство 𝐿𝑞(R)/𝐻𝑞(R), где 𝑞 =𝑝/(𝑝−1), является сопря- женным к пространству 𝐻𝑝(R) (см. [5; гл. VII, § A]).

Функция 𝐹, аналитическая в Π+, принадлежит классу 𝐴𝐶0(Π+), если 𝐹 непре- рывна в Π+, а также

lim

𝑧→∞,𝑧∈Π+

𝐹(𝑧) = 0.

На классе𝐴𝐶0(Π+)вводится равномерная норма‖𝐹‖𝐴𝐶0 = max_𝑧∈Π

+|𝐹(𝑧)|, отно- сительно которой 𝐴𝐶0(Π+) является банаховым пространством.

Из принципа максимума модуля следует, что‖𝐹‖𝐴𝐶0 = max𝑥∈R|𝐹(𝑥)|.

Функция 𝑓: R → C принадлежит классу 𝐴𝐶0(R), если в пространстве 𝐴𝐶0(Π+) существует такая функция 𝐹(𝑧), что для всех 𝑥∈R выполнено 𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥).

Класс 𝐴𝐶₀(R) с равномерной нормой является замкнутым подпространством в 𝐶₀(R).

Всюду далее для функции𝑓 ∈𝐿_𝑝(R)ее𝐿_𝑝(R)-норму будем обозначать через‖𝑓‖_𝑝. Множество 𝑀 в банаховом пространстве 𝑋 называется разносторонним, если для любого ненулевого функционала 𝐹 ∈ 𝑋^* существует такой элемент 𝑥 ∈ 𝑀, что 𝐹(𝑥) < 0 в случае действительного 𝑋, Re𝐹(𝑥) < 0 в случае комплексного 𝑋.

В работе [7] было доказано, что для плотности объединения 𝑅(𝑀) =

∞

⋃︁

𝑛=1

𝑀 +· · ·+𝑀

⏟ ⏞

𝑛

в 𝑋 необходимо, чтобы множество 𝑀 было разносторонним.

Предложение 1. Наипростейшие дроби 𝑆𝐹¹(Π₋) не плотны в пространст- вах 𝐻𝑝(R) при 1< 𝑝 <∞,а также в пространстве 𝐴𝐶0(R).

Доказательство. Аналогично рассуждениям из [7] рассмотрим функционал 𝐹1(𝑓) =

∫︁

R

𝑓(𝑥) 𝑥−𝑖 𝑑𝑥, принадлежащий (𝐻𝑝(R))^*. При всех 𝑎∈Π₋ имеем

Re𝐹₁ (︂ 1

𝑧 −𝑎 )︂

= Re

∫︁

R

1

(𝑥−𝑖)(𝑥−𝑎)𝑑𝑥= Re 2𝜋𝑖 𝑖−𝑎 >0,

так что множество 𝑀 = {1/(𝑧 −𝑎), 𝑎 ∈ Π₋} не является разносторонним в 𝐻_𝑝(R), откуда 𝑅(𝑀) =𝑆𝐹¹(Π₋) не плотно в 𝐻_𝑝(R).

Функционал 𝐹₂(𝑓) = 𝑖𝑓(0) принадлежит (𝐴𝐶₀(R))^*, причем Re𝐹₂(1/(𝑧−𝑎))> 0 при всех 𝑎 ∈Π₋. Значит, 𝑆𝐹¹(Π₋) не плотно в пространстве 𝐴𝐶₀(R).

(5)

Теорема 1. Суммы 𝑆𝐹²(Π−) плотны во всех пространствах 𝐻𝑝(R) при 1 <

𝑝 <∞,а также в пространстве 𝐴𝐶0(R).

Доказательство. 1. Докажем, что полугруппа 𝑆𝐹²(Π₋) является подгруппой во всех пространствах 𝐻_𝑝(R) при 1 < 𝑝 < ∞, а также в пространстве 𝐴𝐶₀(R).

Рассмотрим многочлены

𝑝_𝑛,𝑚(𝑧) = (𝑧+𝑖𝑛)^4𝑚−(𝑛−1)^4𝑚, 𝑛, 𝑚 ∈N. Заметим, что 𝑝_𝑛,𝑚(−𝑖) = 0. Корни многочлена 𝑝_𝑛,𝑚 имеют вид

𝑎𝑗(𝑛, 𝑚) = (𝑛−1)𝜉𝑗(𝑚)−𝑖𝑛, 𝑚, 𝑛∈N, 𝑗 = 1, . . . ,4𝑚, где 𝜉𝑗(𝑚) =𝑒^{𝜋𝑖𝑗/2𝑚}, 𝑗 = 1, . . . ,4𝑚. Следовательно,

𝑝𝑛,𝑚(𝑧) =

4𝑚

∏︁

𝑗=1

(𝑧−𝑎𝑗(𝑛, 𝑚)).

Отметим также, что 𝑎𝑗(𝑛, 𝑚) ∈ Π₋ при всех 𝑚, 𝑛 ∈ N, 𝑗 = 1, . . . ,4𝑚. Производная логарифмической производной многочлена 𝑝𝑛,𝑚(𝑧) имеет вид (𝑘 = 4𝑚)

𝑟𝑛,𝑚(𝑧) :=

(︂ ^𝑘

∑︁

𝑗=1

1 𝑧 −𝑎𝑗(𝑛, 𝑚)

)︂′

=−

𝑘

∑︁

𝑗=1

1

(𝑧−𝑎𝑗(𝑛, 𝑚))² =

(︂𝑝^′_𝑛,𝑚(𝑧) 𝑝𝑛,𝑚(𝑧)

)︂′

= 𝑘(𝑘−1)(𝑧+𝑖𝑛)^𝑘−2((𝑧+𝑖𝑛)^𝑘−(𝑛−1)^𝑘)−(𝑘(𝑧+𝑖𝑛)^𝑘−1)² ((𝑧+𝑖𝑛)^𝑘−(𝑛−1)^𝑘)²

= −𝑘(𝑧+𝑖𝑛)^2𝑘−2−(𝑛−1)^𝑘𝑘(𝑘−1)(𝑧+𝑖𝑛)^𝑘−2 ((𝑧+𝑖𝑛)^𝑘−(𝑛−1)^𝑘)²

=− 𝑘

(𝑧+𝑖𝑛)²(1−((𝑛−1)/(𝑧+𝑖𝑛))^𝑘)² − (𝑛−1)^𝑘𝑘(𝑘−1)

(𝑧+𝑖𝑛)^𝑘+2(1−((𝑛−1)/(𝑧+𝑖𝑛))^𝑘)². (1) Имеем

⃒

⃒ 1−

(︂ 𝑛−1 𝑥+𝑖𝑛

)︂^𝑘⃒

⃒

⃒>1−

⃒

⃒ 𝑛−1 𝑥+𝑖𝑛

⃒

𝑘

= 1− (𝑛−1)^𝑘 (√

𝑥²+𝑛²)^𝑘

>1− (𝑛−1)^𝑘

𝑛^𝑘 = 1− 1

(1 + 1/(𝑛−1))^𝑘 >1− 1 𝑒 > 1

2 (2)

при 𝑘 >𝑛>2и 𝑥 ∈R. Из (1) и (2) следует оценка

‖𝑟𝑛,𝑚(𝑧)‖𝑝 64𝑘·𝐼₁^1/𝑝+ 4(𝑛−1)^𝑘𝑘²·𝐼₂^1/𝑝, где

𝐼₁ =

∫︁

R

1

(𝑥²+𝑛²)^𝑝 𝑑𝑥= 2 (︂∫︁ 𝑛

0

1

(𝑥²+𝑛²)^𝑝 𝑑𝑥+

∫︁ +∞

𝑛

1

(𝑥²+𝑛²)^𝑝 𝑑𝑥 )︂

62

(︂

𝑛· 1 𝑛^2𝑝 +

∫︁ +∞

𝑛

1 𝑥^2𝑝 𝑑𝑥

)︂

= 4𝑝

(2𝑝−1)𝑛^2𝑝−1, 𝐼2 =

∫︁

R

1

(𝑥²+𝑛²)^{(2𝑚+1)𝑝} 𝑑𝑥

(6)

= 2 (︂∫︁ 𝑛

0

1

(𝑥²+𝑛²)^{(2𝑚+1)𝑝} 𝑑𝑥+

∫︁ +∞

𝑛

1

(𝑥²+𝑛²)^{(2𝑚+1)𝑝} 𝑑𝑥 )︂

62

(︂

𝑛· 1 𝑛^(𝑘+2)𝑝 +

∫︁ +∞

𝑛

1 𝑥^(𝑘+2)𝑝 𝑑𝑥

)︂

= 2(𝑘+ 2)𝑝

((𝑘+ 2)𝑝−1)𝑛^{(𝑘+2)𝑝−1}. Следовательно,

‖𝑟_𝑛,𝑚(𝑧)‖_𝑝 64𝑘

(︂ 4𝑝

(2𝑝−1)𝑛^2𝑝−1 )︂^1/𝑝

+ 4(𝑛−1)^𝑘𝑘²

(︂ 2(𝑘+ 2)𝑝

((𝑘+ 2)𝑝−1)𝑛^{(𝑘+2)𝑝−1} )︂^1/𝑝

616 𝑘

𝑛^2−1/𝑝 (︂

1 +𝑘

(︂𝑛−1 𝑛

)︂𝑘)︂

. (3)

Из (1) и (2) также следует

‖𝑟_𝑛,𝑚(𝑧)‖_𝐴𝐶₀ 64𝑘

⃦

⃦ 1 (𝑥+𝑖𝑛)²

⃦

⃦𝐴𝐶0

+ 4(𝑛−1)^𝑘𝑘²

⃦

1 (𝑥+𝑖𝑛)^𝑘+2

⃦

⃦𝐴𝐶0

64 𝑘

𝑛² (︂

1 +𝑘 (︂

1− 1 𝑛

)︂𝑘)︂

. (4)

При 𝑛∈N выполнена оценка

(︂𝑛−1 𝑛

)︂𝑛

< 1

𝑒. (5)

Положим 𝑛= [𝑘/ln𝑘]. Отметим, что при достаточно больших 𝑘 𝑘

ln𝑘 >𝑛> 𝑘

2 ln𝑘 → ∞, 𝑘 → ∞. (6)

Тогда из (3)–(6) следуют оценки

‖𝑟𝑛,𝑚(𝑧)‖𝑝 <16 𝑘 𝑛^2−1/𝑝

(︂

1 +𝑘 (︂1

𝑒

)︂𝑘/𝑛)︂

6128(ln𝑘)^2−1/𝑝

𝑘^1−1/𝑝 →0, 𝑘 → ∞,

‖𝑟𝑛,𝑚(𝑧)‖𝐴𝐶0 <4 𝑘 𝑛²

(︂

1 +𝑘 (︂1

𝑒

)︂𝑘/𝑛)︂

632(ln𝑘)²

𝑘 →0, 𝑘 → ∞.

Имеем

‖𝑟𝑛,𝑚(𝑧)‖𝑝 →0, ‖𝑟𝑛,𝑚(𝑧)‖𝐴𝐶0 →0, 𝑛= [︂ 4𝑚

ln 4𝑚 ]︂

, 𝑚→ ∞. (7)

Для каждой пары 𝑛, 𝑚 ∈ N одно из чисел 𝑎_𝑗(𝑛, 𝑚) равно −𝑖. Таким образом, (7) означает, что функция −1/(𝑧+𝑖)² сколь угодно точно приближается суммами эле- ментов множества {1/(𝑧 −𝑎)², 𝑎∈Π₋} в пространствах 𝐻_𝑝(R) и 𝐴𝐶₀(R). Если

⃦

− 1

(𝑧+𝑖)² −𝑟(𝑧)

⃦

⃦_𝑝

< 𝜀

для некоторой функции 𝑟 ∈𝑆𝐹²(Π₋), то при 𝑥0 ∈R, 𝑦0 >0 имеем

⃦

− 1

(𝑧+𝑖𝑦0−𝑥0)² −𝑟

(︂𝑧−𝑥0

𝑦0

)︂

· 1 𝑦₀²

⃦

𝑝

=

∫︁

R

⃒

1

(𝑥+𝑖𝑦0−𝑥0)² +𝑟

(︂𝑥−𝑥0

𝑦0

)︂

· 1 𝑦₀²

⃒

𝑝

𝑑𝑥

(7)

=

∫︁

R

⃒

⃒ 1

(𝑥+𝑖𝑦₀)² +𝑟 (︂𝑥

𝑦₀ )︂

· 1 𝑦₀²

⃒

𝑝

𝑑𝑥=𝑦0

∫︁

R

⃒

1

(𝑢𝑦₀+𝑖𝑦₀)² +𝑟(𝑢)· 1 𝑦²₀

⃒

𝑝

𝑑𝑢

= 1

𝑦₀^2𝑝−1

∫︁

R

⃒

⃒ 1

(𝑢+𝑖)² +𝑟(𝑢)

⃒

𝑝

𝑑𝑢 < 𝜀^𝑝 𝑦₀^2𝑝−1,

где𝑢=𝑥/𝑦₀, т.е. всякий элемент−1/(𝑧+𝑖𝑦₀−𝑥₀)²приближается суммами элементов множества {1/(𝑧−𝑎)², 𝑎 ∈ Π₋}. Аналогичная оценка в норме 𝐴𝐶₀(R) получается извлечением корня 𝑝-й степени и предельным переходом 𝑝→ ∞.

Попутно мы доказали следующий результат.

Теорема 2. При достаточно больших 𝑘 ∈N для каждого 𝑎 ∈ Π₋ существует дробь 𝑟 ∈𝑆𝐹²(Π−) вида

𝑟(𝑧) = 1 (𝑧−𝑎)² +

𝑘−1

∑︁

𝑗=1

1

(𝑧−𝑎𝑗)², 𝑎_𝑗 ∈Π₋, 𝑗 = 1, . . . , 𝑘−1, такая, что при всех 1< 𝑝 <∞

‖𝑟‖𝑝 6 128

|Im𝑎|^2−1/𝑝 · (ln𝑘)^2−1/𝑝

𝑘^1−1/𝑝 , ‖𝑟‖𝐴𝐶₀ 6 32

|Im𝑎|² · (ln𝑘)² 𝑘 .

Теорема 2 частично решает задачу типа задачи Е. А. Горина для класса произ- водных наипростейших дробей и норм пространств 𝐻_𝑝(R), 1 < 𝑝 < ∞, и 𝐴𝐶₀(R) (более подробно см. в работах [3], [8]). Было бы интересно получить оценки снизу норм ‖𝑟‖_𝑝 и ‖𝑟‖_𝐴𝐶₀ для дробей 𝑟 указанного вида.

Вернемся кдоказательству теоремы 1.

2. Покажем, что подгруппа𝑆𝐹²(Π−)плотна во всех пространствах𝐻𝑝(R)при1<

𝑝 < ∞ и в пространстве 𝐴𝐶0(R). Дальнейшие рассуждения проводим по аналогии с рассуждениями из работы [4]. Для 𝑚∈N, 𝜆∈C, 𝑎∈Π−, имеем

⃦

⃦ 𝜆 (𝑧−𝑎)³ −

(︂ 𝑚

(𝑧−𝑎−𝜆/(4𝑚))² − 𝑚

(𝑧−𝑎+𝜆/(4𝑚))² )︂⃦

⃦

⃦𝑝

=

⃦

⃦ 𝜆

(𝑧−𝑎)³ − 𝑚(𝑧−𝑎+𝜆/(4𝑚))²−𝑚(𝑧−𝑎−𝜆/(4𝑚))² ((𝑧−𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²))²

⃦

⃦𝑝

=

⃦

⃦ 𝜆

(𝑧−𝑎)³ − 𝜆(𝑧−𝑎)

((𝑧 −𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²))²

⃦

⃦𝑝

=|𝜆|

⃦

((𝑧−𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²))²−(𝑧−𝑎)⁴ (𝑧−𝑎)³((𝑧−𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²))²

⃦

⃦𝑝

= |𝜆|³ 16𝑚²

⃦

2(𝑧 −𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²) (𝑧−𝑎)³((𝑧−𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²))²

⃦

⃦𝑝

. (8)

Так как при 𝑚> |𝜆|/(2|Im𝑎|) и при всех 𝑥 ∈ R выполнено |𝑥−𝑎|²− |𝜆|²/(16𝑚²) >

(3/4)|𝑥−𝑎|², для указанных𝑚 имеем

⃦

2(𝑧−𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²) (𝑧−𝑎)³((𝑧−𝑎)²−𝜆²/(16𝑚²))²

⃦

⃦_𝑝 6 16 9

⃦

2|𝑥−𝑎|²+|𝜆|²/16

|𝑥−𝑎|⁷

⃦

⃦_𝑝

=𝐶,

(8)

где 𝐶 – константа, не зависящая от 𝑚. Следовательно, последнее выражение в (8) стремится к 0 при 𝑚 → ∞. Приведенная оценка верна при 𝑝 = ∞, т.е. в случае пространства 𝐴𝐶₀(R). Таким образом, любая дробь вида 𝜆/(𝑧−𝑎)³, 𝜆∈C, 𝑎 ∈Π₋, приближается суммами функций вида ±1/(𝑧 −𝑏)², 𝑏 ∈ Π₋, во всех пространствах 𝐻_𝑝(R) при 1< 𝑝 <∞, а также в пространстве 𝐴𝐶₀(R).

Покажем теперь, что линейное подпространство𝐿, порожденное функциями вида 𝜆/(𝑧−𝑎)³,𝜆∈C,𝑎∈Π₋, плотно в пространствах𝐻𝑝(R),1< 𝑝 <∞. Если это не так, то найдется такая функция ℎ ∈𝐿𝑞(R), что соответствующий ей элемент ℎ+𝐻𝑞(R) фактор-пространства 𝐿𝑞(R)/𝐻𝑞(R) = (𝐻𝑝(R))^* является ненулевым, а также

∫︁

R

ℎ(𝑥)

(𝑥−𝑎)³ 𝑑𝑥≡0, 𝑎∈Π₋. Дважды проинтегрируем это тождество по переменной 𝑎:

∫︁

R

ℎ(𝑥)

𝑥−𝑎𝑑𝑥=𝐶₁𝑎+𝐶₂, 𝑎∈Π₋,

где 𝐶₁, 𝐶₂ ∈C – константы. Устремив 𝑎 к бесконечности, получаем 𝐶₁ =𝐶₂ = 0 и

∫︁

R

ℎ(𝑥)

𝑥−𝑎𝑑𝑥≡0, 𝑎∈Π₋.

Тогда согласно [6; гл. II, “Упражнения и дальнейшие результаты”, п. 2] выполнено ℎ ∈ 𝐻𝑞(R) и, следовательно, ℎ задает нулевой функционал на 𝐻𝑝(R), что противо- речит предположению.

Значит, замыкание подпространства𝐿, а вместе с ним и подгруппа𝑆𝐹²(Π₋)сов- падают с 𝐻_𝑝(R).

Теперь докажем полноту𝐿в пространстве𝐴𝐶0(R). Аналогично рассуждениям из работы [4] докажем индукцией по 𝑛, что подпространством𝐿 приближается любая функция вида 𝜆/(𝑧 −𝑎)^𝑛, 𝑎 ∈ Π−, 𝜆 ∈ C, 𝑛 > 3. При 𝑛 = 3 утверждение верно.

Пусть оно верно при каком-то 𝑛>3. Функция 𝑅𝜀(𝑧) = 𝜆/𝜀

(𝑧−(𝑎+𝜀/𝑛))^𝑛 − 𝜆/𝜀 (𝑧−𝑎)^𝑛

при достаточно малом 𝜀 с любой точностью приближается подпространством 𝐿, и в то же время

⃦

⃦ 𝜆

(𝑧−𝑎)^𝑛+1 −𝑅_𝜀(𝑧)

⃦

⃦𝐴𝐶0

=

⃦

𝜆(𝑧−(𝑎+𝜀/𝑛))^𝑛−(𝜆/𝜀)(𝑧−𝑎)((𝑧−𝑎)^𝑛−(𝑧−(𝑎+𝜀/𝑛))^𝑛) (𝑧−𝑎)^𝑛+1(𝑧−(𝑎+𝜀/𝑛))^𝑛

⃦

⃦𝐴𝐶0

=|𝜆|

⃦

(𝑧−𝑎)^𝑛−𝜀(𝑧−𝑎)^𝑛−1−(𝑧−𝑎)^𝑛+ ((𝑛−1)/(2𝑛))𝜀(𝑧−𝑎)^𝑛−1+𝑂(𝜀²) (𝑧−𝑎)^𝑛+1(𝑧−(𝑎+𝜀/𝑛))^𝑛

⃦

⃦_𝐴𝐶

0

→0, 𝜀→0,

так что утверждение справедливо при всех 𝑛>3.

(9)

Пусть 𝑏=𝛼−𝑖𝛽, 𝛼 ∈R, 𝛽 > 0. Если 𝑡 > 𝛽, то при 𝑥∈ R выполнено 0< 𝑡−𝛽 <

|𝑥−𝛼+𝑖𝑡| и ряд

∞

∑︁

𝑛=3

𝜆(𝑖(𝑡−𝛽))^𝑛−1 (𝑥−𝛼+𝑖𝑡)^𝑛 равномерно по 𝑥∈R сходится к функции

𝜆(𝑖(𝑡−𝛽))²

(𝑥−𝛼+𝑖𝑡)³ · 1

1−𝑖(𝑡−𝛽)/(𝑥−𝛼+𝑖𝑡) = 𝜆(𝑖(𝑡−𝛽))²

(𝑥−𝛼+𝑖𝑡)²(𝑥−𝑏) =:𝐹𝑡(𝑥).

С другой стороны, 𝐹𝑡(𝑥)при 𝑡→+∞равномерно по 𝑥 сходится к𝜆/(𝑥−𝑏), так что дробь 𝜆/(𝑧−𝑏) при 𝜆 ∈C, 𝑏∈Π−, приближается суммами дробей вида 𝛾/(𝑧 −𝑎)^𝑛, 𝛾 ∈ C, 𝑎 ∈ Π₋, 𝑛 > 3, а значит, и элементами подпространства 𝐿. Суммы дро- бей 𝜆/(𝑧−𝑏) при 𝜆∈C, 𝑏∈Π₋ плотны в пространстве 𝐴𝐶₀(R) (см., например, [2]).

Следовательно, и подпространство𝐿 плотно в 𝐴𝐶₀(R), что и требовалось доказать.

Теорема 1 доказана.

Покажем, что множество 𝑆𝐹²(Π−) в теореме 1 нельзя заменить множеством 𝑆𝐹²(𝑦0) =

{︂ ^𝑛

∑︁

𝑘=1

1

(𝑧−𝑎𝑘)², Im𝑎𝑘 =−𝑦0, 𝑛∈N }︂

, где 𝑦₀ >0.

Предложение 2. Множество 𝑆𝐹²(𝑦0) является разносторонним в простран- стве 𝐻2(R),но оно не плотно в пространстве 𝐻2(R)∼=𝐻2(Π+).

Доказательство. 1. Зафиксируем 𝑦0 > 0. Для функции 𝑓 ∈ 𝐻2(Π+) верна формула Коши (см. [5; гл. VI, § C]):

𝑓(𝑧) = 1 2𝜋𝑖

∫︁

R

𝑓(𝑥)

𝑥−𝑧 𝑑𝑥, 𝑧 ∈Π+.

Продифференцируем по 𝑧 и сделаем замену 𝑎 =𝑧 ∈Π₋. Получим

∫︁

R

𝑓(𝑥)

(𝑥−𝑎)² 𝑑𝑥= 2𝜋𝑖𝑓^′(𝑎). (9)

Покажем, что для любой ненулевой функции 𝑓 ∈ 𝐻2(Π+) существует 𝑎 такое, что Im𝑎=−𝑦0 и

Im

∫︁

R

𝑓(𝑥)

(𝑥−𝑎)² 𝑑𝑥 >0.

Это и будет означать, что𝑆𝐹²(𝑦₀)разностороннее в𝐻₂(Π₊). Учитывая (9) и равен- ство 𝑎 = 𝑧, достаточно доказать, что существует 𝑧 ∈ C такое, что Im𝑧 = 𝑦₀ и Re𝑓^′(𝑧)<0. Предположим, что 𝑓 ∈𝐻₂(R) и

Re𝑓^′(𝑧)>0 (10)

при всех 𝑧 ∈C таких, что Im𝑧 =𝑦₀. При 𝑥∈R, 𝑦 >0 определим 𝑢(𝑥, 𝑦) = Re𝑓(𝑥+𝑖𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦) = Im𝑓(𝑥+𝑖𝑦).

(10)

Неравенство (10) перепишем в виде

𝑢^′_𝑥(𝑥, 𝑦₀)>0, 𝑥∈R.

Пусть существует 𝑥0 ∈ R такое, что 𝑢(𝑥0, 𝑦0)>0. Тогда 𝑢(𝑥, 𝑦0)>𝑢(𝑥0, 𝑦0)>0 при всех 𝑥 > 𝑥0. Учитывая это неравенство, а также определения функции 𝑢(𝑥, 𝑦) и пространства 𝐻2(R), получаем

∫︁ +∞

𝑥0

|𝑢(𝑥₀, 𝑦₀)|²𝑑𝑥6

∫︁ +∞

𝑥0

|𝑢(𝑥, 𝑦₀)|²𝑑𝑥6

∫︁

R

|𝑓(𝑥+𝑖𝑦₀)|²𝑑𝑥 <∞,

что противоречит неравенству 𝑢(𝑥0, 𝑦0) >0. Таким образом, 𝑢(𝑥0, 𝑦0)6 0 при всех 𝑥₀ ∈ R. Аналогично доказывается, что 𝑢(𝑥₀, 𝑦₀) > 0 при всех 𝑥₀ ∈ R, так что 𝑢(𝑥, 𝑦₀) = 0 при всех 𝑥 ∈R. Обозначим ̃︀𝑢(𝑥, 𝑦) =𝑢(𝑥, 𝑦+𝑦₀). Имеем

𝑢(𝑥,̃︀ 0) = 0, 𝑥∈R.

Функция ̃︀𝑢(𝑥, 𝑦) является гармонической вΠ+ и непрерывной в Π+. Вспомним, что для функции 𝑓 ∈𝐻2(Π+) при всех 𝑧 ∈Π+ выполнено

|𝑓(𝑧)|6 𝐶

√𝑦, 𝑧 ∈Π+, (см. [5; гл. VI, § C]). Следовательно,

|𝑢(𝑥, 𝑦)|̃︀ =|𝑢(𝑥, 𝑦+𝑦0)|6|𝑓(𝑧+𝑖𝑦0)|6 𝐶

√𝑦+𝑦0 6 𝐶

√𝑦0

при всех 𝑥 ∈ R, 𝑦 > 0. Таким образом, функция ̃︀𝑢(𝑥, 𝑦) ограничена в Π+. Для ограниченной гармонической в Π+ функции ̃︀𝑢(𝑥, 𝑦), непрерывной наΠ+, выполнено равенство (см. [5; гл. VI, § A])

𝑢(𝑥, 𝑦) =̃︀ 1 𝜋

∫︁

R

𝑦

(𝑥−𝑡)²+𝑦²𝑢(𝑡,̃︀ 0)𝑑𝑡,

откуда̃︀𝑢(𝑥, 𝑦) = 0при всех(𝑥, 𝑦)∈Π+, а значит,𝑓(𝑧)≡0,𝑧 ∈Π+, что и требовалось.

2. Покажем, что суммы 𝑆𝐹²(𝑦0) не приближают нулевую функцию в простран- стве 𝐻2(R). Оценим снизу

⃦

𝑛

∑︁

𝑘=1

1 (𝑧 −𝑎_𝑘)²

⃦

2

. Пусть

𝑥𝑘 ∈R, 𝑎𝑘 =𝑥𝑘−𝑖𝑦0, 𝑘 = 1,2, . . . , 𝑛, 𝑥1 = max

𝑘=1,...,𝑛𝑥𝑘, 𝐴 =𝑥1+ 10𝑦0. Тогда

⃦

𝑛

∑︁

𝑘=1

1 (𝑧−𝑎𝑘)²

⃦

2

>

∫︁ +∞

𝐴

⃒

𝑛

∑︁

𝑘=1

1 (𝑥−𝑎𝑘)²

⃒

2

𝑑𝑥>

∫︁ +∞

𝐴

⃒

𝑛

∑︁

𝑘=1

Re 1

(𝑥−𝑎𝑘)²

⃒

2

𝑑𝑥

(11)

=

∫︁ +∞

𝐴

(︂ ^𝑛

∑︁

𝑘=1

(𝑥−𝑥𝑘)²−𝑦₀² ((𝑥−𝑥𝑘)² +𝑦₀²)²

)︂2

𝑑𝑥>

∫︁ +∞

𝐴

(︂ (𝑥−𝑥1)²−𝑦₀² ((𝑥−𝑥1)²+𝑦₀²)²

)︂2

𝑑𝑥

= 1 𝑦³₀

∫︁ +∞

10

(︂ 𝑢²−1 (𝑢²+ 1)²

)︂2

𝑑𝑢=: 𝐼

𝑦₀³, (11)

где 𝐼 – абсолютная константа. Таким образом, суммы 𝑆𝐹²(𝑦₀) не приближают нулевую функцию в пространстве 𝐻₂(R).

Автор благодарен П. А. Бородину за постановку задачи и помощь в работе над статьей и О. Н. Косухину за полезные замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] P. A. Borodin, S. V. Konyagin, “Convergence to zero of exponential sums with positive integer coefficients and approximation by sums of shifts of a single function on the line”, Anal. Math., 44:2 (2018), 163–183.

[2] Н. А. Дюжина, “Плотность сумм сдвигов одной функции в пространствах Харди в по- луплоскости”, Матем.заметки,106:5 (2019), 669–678.

[3] В. И. Данченко, “Оценки расстояний от полюсов логарифмических производных мно- гочленов до прямых и окружностей”, Матем.сб.,185:8 (1994), 63–80.

[4] П. А. Бородин, О. Н. Косухин, “О приближении наипростейшими дробями на дей- ствительной оси”, Вестн.Моск.ун-та.Сер. 1.Матем.,мех., 2005, № 1, 3–8.

[5] П. Кусис,Введение в теорию пространств𝐻^𝑝 с приложением доказательства Вол- ффа теоремы о короне, Мир, М., 1984.

[6] Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

[7] П. А. Бородин, “Плотность полугруппы в банаховом пространстве”, Изв.РАН. Сер.

матем., 78:6 (2014), 21–48.

[8] В. И. Данченко, М. А. Комаров, П. В. Чунаев, “Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей”,Изв.вузов.Матем., 2018, № 12, 9–49.

Н. А. Дюжина

Московский центр фундаментальной и прикладной математики,

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

E-mail:natasha17954@yandex.ru

Поступило 16.07.2020 Принято к публикации 29.09.2020