Т. Жанлав, И. В. Пузынин, Эволюционный ньютоновский процесс решения нелинейных уравнений, Ж. вычисл. ма- тем. и матем. физ., 1992, том 32, номер 1, 3–12

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Т. Жанлав, И. В. Пузынин, Эволюционный ньютоновский процесс решения нелинейных уравнений, Ж. вычисл. ма- тем. и матем. физ., 1992, том 32, номер 1, 3–12

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 11:13:58

ЖУРНАЛ

ВЫтаСЛЙТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ Й МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Тоая 32, Ш 2 № I

У Д К ' 5 1 9 . 6 1 5 . ' 5

© Ш 2 г.,

Т.ЖАИЖАВ, И.В.ШУЗЫИИН (Дубна) ••.^г/'

Э В О Л Ю Ц И О Н Н Ы Й Н Ь Ю Т О Н О В С К И Й П Р О Ц Е С С Р Е Ш Е Н И Я Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

Рассмотрены условия сходимости модификации непрерывного ана­

лога метода Ньютона, и изучены свойства полученной итерационной схе­

мы. Указана связь м е ж д у эволюционным ньютоновским процессом и не­

прерывным аналогов

Ваедешв©

Н е п р е р ы в н ы й а н а л о г метода Н ь ю т о н а ( н . а. м. Н . ) [ 1 ] я в и л с я осно«

вой п о с т р о е н и я э ф ф е к т и в н ы х и т е р а ц и о н н ы х схем д л я численного р е ш е ­ н и я н е л и н е й н ы х , у р а в н е н и й , о п и с ы в а ю щ и х р а з л и ч н ы е ф и з и ч е с к и е про­

ц е с с ы [ 2 ] .

Д л я н е л и н е й н о г о у р а в н е н и я

где-'if.(г) — д о с т а т о ч н о г л а д к а я ф у н к ц и я , п е р е в о д я щ а я э л е м е н т ы .©-про­

с т р а н с т в а X в В - п р о с т р а н с т в о ' У , и. а. м. Н . о п и с ы в а е т с я д и ф ф е р е н ц и а л ь ­ н ы м у р а в н е н и е м

<2> -7-Ч>(г(0)=-ф(г(0) at

<(0<£<<», t — н е п р е р ы в н ы й п а р а м е т р ) с н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м (3) Y(0)==z⁰.

Д л я з а д а ч и ( 2 ) , ( 3 ) д о к а з а н р я д теорем I I ] —[4] о сходимости р е ш е ­ н и я z(t) п р и t~+co к р е ш е н и ю z* у р а в н е н и я ( 1 ) . Метод Э й л е р а д л я д и с к р е т н о й а п п р о к с и м а ц и и п о п а р а м е т р у t з а д а ч и ( 2 ) , ( 3 ) с р а з л и ч ­ н ы м и способами з а д а н и я ш а г а и н т е г р и р о в а н и я т ( с м . | 5 ] , ( 6 ] ) д а е т н а б о р и т е р а ц и о н н ы х н ь ю т о н о в с к и х схем, и м е ю щ и х в р я д е с л у ч а е в п р е и м у щ е с т в а п е р е д к л а с с и ч е с к о й схемой. В о з м о ж н ы р а з л и ч н ы е моди­

ф и к а ц и и [ 7 J , [8] процесса ( 2 ) , ( 3 ) . С п о м о щ ь ю этого подхода м о ж н о р а с с м а т р и в а т ь н. а. м. Н , к а к основу д л я и х теоретического описа- далучить ш н е к о т о р ы е и з в е с т н ы е в ы ч и с л и т е л ь н ы е схемы, что п о з в о л я е т н и я . Н а п р и м е р , в з а д а ч а х на собственные з н а ч е н и я с п о м о щ ь ю н. а. м. Н . м о ж н о п о л у ч и т ь метод о б р а т н ы х и т е р а ц и й , м е т о д о б р а т н ы х и т е р а ц и й со сдвигом, метод о б р а т н ы х и т е р а ц и й с р э л е е в с к и м сдвигом и д р . [ 9 ] , [ 1 0 ] .

3

I

В р а б о т а х [11], [12] д л я с п е к т р а л ь н ы х з а д а ч в н е л и н е й н о й п о с т а ­ н о в к е п р е д л о ж е н а м о д и ф и к а ц и я н. а. м. Н., о б ъ е д и н я ю щ а я его с извест­

н ы м методом в а р и а ц и и п а р а м е т р а [13] и л и его р а з н о в и д н о с т ь ю в т е о р и и я д р а — методом э в о л ю ц и и по к о н с т а н т е с в я з и [ 1 4 ] .

В д а н н о й работе р а с с м о т р е н ы у с л о в и я сходимости м о д и ф и к а ц и и н. а. м. Н . д л я ф у н к ц и и <p(z), п р е д с т а в и м о й в виде с у м м ы д в у х ф у н к ц и й , одна и з к о т о р ы х и м е е т «хорошие» свойства, а д р у г а я р а с с м а т р и в а е т с я к а к ее в о з м у щ е н и е : И з у ч е н ы свойства п о л у ч е н н ы х и т е р а ц и о н н ы х с х е м^у к о т о р ы е у с п е ш н о п р и м е н я л и с ь в р я д е п р а к т и ч е с к и х р а с ч е т о в , с в я з а н ­ н ы х с и з у ч е н и е м з а д а ч и р а с с е я н и я и у с т о й ч и в о с т и солитонов н е л и н е й ­ ного у р а в н е н и я Ш р ё д и н г е р а [15] — [ 1 8 ] .

§ 1. Э в о л ю ц и о н н ы й н ь ю т о н о в с к и м п р о ц е с с

П у с т ь ф( г ) — н е п р е р ы в н а я ф у н к ц и я , о т о б р а ж а ю щ а я 5 - п р о с т р а н с т - во X в 5 - п р о с т р а н с т в о Y. П р е д п о л о ж и м , что у р а в н е н и е

(1.1) ф ( 2) = 0

имеет л о к а л и з о в а н н о е р е ш е н и е z° и ф у н к ц и я ф д и ф ф е р е н ц и р у е м а и пред- с т а в и м а в виде с у м м ы :

( 1 . 2 ) , Ф= ф0+ ф 1 ,

п р и ч е м у р а в н е н и е ф о( г ) = 0 м о ж н о л е г к о р е ш и т ь . П р е д п о л о ж и м , ч т о ф⁰' м о ж е т б ы т ь л е г к о о б р а т и м а и я в л я е т с я в н е к о т о р о м с м ы с л е г л а в ­ н о й ч а с т ь ю о п е р а т о р а ф \

В в е д я н е п р е р ы в н ы й п а р а м е т р t, 0 < £ < ° ° , и ф у н к ц и ю g(t) в н е л и н е й ­ н ы й о п е р а т о р ф :

(1.3) y(t,z(t))=q>o(z(t))+g(t)<vⁱ(z(t)), р а с с м о т р и м а б с т р а к т н у ю з а д а ч у К о ш и

(1.4) - ^ Ф( * , 2( 0 ) = - Ф ( М ( 0 ) , * ( 0) = * о

at

в б а н а х о в о м п р о с т р а н с т в е X. З д е с ь z⁰ — некоторое н а ч а л ь н о е п р и б л и ж е н и е к z°. Н а п р и м е р , в к а ч е с т в е z⁰ м о ж н о в з я т ь п р и б л и ж е н н о е р е ш е ­ н и е у р а в н е н и я ф0( 2( 0 ) ) = 0 , которое, по п р е д п о л о ж е н и ю , м о ж н о л е г к о н а й т и . Ф у н к ц и я g(t) достаточно г л а д к а я , у д о в л е т в о р я ю щ а я у с л о в и я м g ( 0 ) = 0 , g(t)->1 п р и t-+<*>. В д а л ь н е й ш е м п о л о ж и м

(1.5) ^g

(t) = l-e-\

з с и л у чего и м е е м

(1.6) ф ( * , 2( 0 ) = Ф( 2( 0) ~ ^ Ф 1 ( 2( 0 ) , * ( * ) + * ' ( * ) '•

В о т л и ч и е от н е п р е р ы в н о г о а н а л о г а метода Н ь ю т о н а (см. [ 1 ] , [ 2 ] ) , за­

в и с и м о с т ь о п е р а т о р а ф от п а р а м е т р а t в в о д и т с я , к р о м е z(t), с п о м о щ ь ю ф у н к ц и и в к л ю ч е н и я g(t) (см. [ 9 ] ) . Н а с и н т е р е с у е т а с и м п т о т и ч е с к о е п о в е д е н и е р е ш е н и я з а д а ч и К о ш и (1.4) п р и к о т о р у ю н а з о в е м э в о ­ л ю ц и о н н ы м н ь ю т о н о в с к и м процессом ( э . н . п . ) .

4

Т е о р е м а 1. Пусть в сфере D

| | 2 - 2 в 1 1 < 7 ^ - | | ф Ы Н , 0 < д < 1 ,

существуют производные Фреше

фоЧ^), ф/С^)

и линейные производные

• ф о " ( г ) , ' ф / ' О О , причем линейный оператор ф^{0 ,}( г ) обратимый и имеют место неравенства

(1.7) | |^{ф 0}' ( г) - ' [ | < 5 , | Ь' (²) | | « 7 , ? = 2 Я С < 1 . .

Пусть также операторы ф⁰" и ф¹" ограничены в окрестности каждой точки из сферы D. Тогда выполняется следующее: 1) уравнение ( 1 . 4 ) имеет решение z=z(t) для всех t из [О, ° ° ) , причем его значения лежат

в D; 2) существует предел l i m z{t)=z*, служащий корнем уравне- ния ( 1 . 1 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . У ч и т ы в а я ( 1 . 6 ) и д и ф ф е р е н ц и р у е м о с т ь о п е р а ­

т о р о в ф0 и ф 1 , м о ж н о з а п и с а т ь у р а в н е н и е ( 1 . 4 ) в виде т

(1.8) q>^z'(t, z)dz/dt=-q)(z)⁴ z>(0)=rZ⁰. ; ^

О п е р а т о р ф г ' ( £ , 2 ) п р е д с т а в и м в виде

ф²'(г, 2)==ф⁰'(2) [£+Й^г(^)фо^,(2;)~¹ф^{1 ,}(2)],

где £ — е д и н и ч н ы й о п е р а т о р . ^ Т а к к а к g(t)\}spo' (z)-^ (z)\\<g(t)BC<BC^ql2<l л сфере J9, то су­

ществует о б р а т н ы й о п е р а т о р

[Ф/ (t,z) ] -'= ( £ + я( 0 ф . " ( 2 ) - ' ф / ( г ) ] [ с р „ ' ( z ) ] - \ п р и ч е м с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о [ 1 9 ]

(1.9) | |^{ф ж}' ( * , г) - ' | | < Д / ( 1 - Д С ) .

В силу л о к а л ь н о й о г р а н и ч е н н о с т и ф⁰'\ ф / \ п р а в а я ч а с т ь у р а в н е н и я (1.10) dz/dt=-[y^z'(t, z) ] - 4 p^;( z ) , . : 2 ( 0) = z⁰,

имеет л о к а л ь н о о г р а н и ч е н н у ю п р о и з в о д н у ю по z в 2). Отсюда следует,, что р е ш е н и е у р а в н е н и я (1.10) с у щ е с т в у е т д л я достаточно м а л ы х t

(см. [ 1 ] ) . И з у р а в н е н и я ( 1 . 4 ) л е г к о н а х о д и т с я и н т е г р а л

Ф( ^ ( 0 ) = = е - ' Ф ( 0 , ²( 0) ) = e - V ( z o ) . ;

О т с ю д а и и з ( 1 . 6 ) следует

( 1 . 1 1 ) ф ( 2 ( 0 ) = е -¹[ ф о и^о) + ф¹( 2 ( 0 ) ] . У ч и т ы в а я (1.11) и ( 1 . 9 ) , и з (1.10) н а х о д и м

1 1²-^г» К ^ 1 1 ф (²» ) 1 1( 1 - * - ' ) < " ~ 11ФЫ11.^:' • ' •

Это п о к а з ы в а е т , что д л я т е х t, д л я к о т о р ы х z(t) о п р е д е л е н о и з у р а в н е ­ н и я ( 1 . 1 0 ) , з н а ч е н и я z(t) л е ж а т в с ф е р е D. П о э т о м у z(t) определено

5

д л я в с е х .'".до ( i . l i ) з а в е р ­ ш а е т д о к а з а т е л ь с т в о .

З а м е ч а - н ц е 2. Нри - ф ^ О и q—Q теорема I превращается в известную, теорему А

Т е о р е м а 2. Пусть уравнение (1.1) имеет единственное решение z° в некоторой открытой области D^t пространства X и в этой области выполнены все условия теоремы 1. Тогда существует сфера S: | | z — z ° j j < e , принадлежа В ^и такая, что для любого z⁰^S дифференциаль­

ное уравнение (1.8) имеет единственное решение z{t) для всех Ш (0, <») и limz(t)=z\

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы и р о в о д и т с я а н а л о г и ч н о тому, к а к это сдела­

н о в [ 2 0 ] .

§ 2^в И т е р а ц и о н н а я е х е м а р е ш е н и я

Д л я ч и с л е н н о г о р е ш е н и я з а д а ч и (1.4) и л и (1.8) о б ы ч н о п р и м е н я е т ­ с я м е т о д Э й л е р а с п е р е м е н н ы м и ш а г а м и :

<2.1) 1 ф / ( * * ) + £ ^

И м е е т место

: Т е о р е м а 3 . Пусть z⁰^S и в сфере Р^г

т<Д1—q/2)(l—w )

кроме всех условий теоремы i выполняются неравенства

( 2 . 2 ) I I ^ W N A f , j ^ ⁺ Y ^M ( j ~ B ^

Тогда при каждом к>0 задача (2А) однозначно разрешима и все z^k принадлежат сфере ВИмеет место предельное соотношение

( 2 . 3 ) l i m . z * » 2 V

.. • Л-*-во

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о к а ж е м по и н д у к ц и и , что zⁿ^S, zⁿ+ i^eO i и

«справедливы н е р а в е н с т в а

<2.4а) | | ф ( х » ) К ^ . 1 1 . ф ( в - - . ) 1 1 < . - < ^ . " 1 1 ф ( « . ) 1 1 . В

<2.4б) \\z^n+l-z^—^c(l+Qⁱ+®¹¹+..^®^tn)\\^o)\l

где ( ^ — i — т⁰( 1 — ш^В) < 1 . П р и га=0, согласно у с л о в и я м т е о р е м ы , z^Q&S ш с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о

l|2.-2

^f

i!<T.||i;.||<aih>.(i.)||.

О т с ю д а я с н о , что z ^ D , и н е р а в е н с т в а (2.4) в ы п о л н я ю т с я п р и я==0.

•6

П у с т ь н е р а в е н с т в а ( 2 . 4 ) в е р и м жри п=к ш z^k<=S, z^h+i^Bi. П о к а ж е м , ч т о

•они с п р а в е д л и в ы п р и n=k+t ш z^k+i&S, z^h+2^Di.

Р а с с м о т р и м р а з л о ж е н и е

2

ЧР ) < * » ) + Ъ ф ' ( * * ) ^ + - у - ф " ( f fc) * > Л z^k&az^k+t+(i-a)z^k, a e ( 0 , 1 ) .

Я с н о , ч т о z^k&B^t. И с п о л ь з у я ( 1 5 ) и ( 2 . 1 ) , п р е д с т а в л я е м ф( г^{Л + 1}>

в виде

( 2 . 5 ) ф( г *⁺1) = 5 *^{+ 1}( т * ) ф( г^Л) , где

&⁺i( T* ) = J? ( _ ~ T ^ - T ^

Хфо' <**) + -yV [Я+ЛФ.' (О - > ' <*)1 -*х

Х ф / Ы - Ч Ы ! ^ ^ ^ ^ " ^ ^ ^ ^ ^ ' ^ ) "

¹

-

У ч и т ы в а я ( 1 7 ) , ( 2 . 2 ) , о ц е н и в а е м 5^{Л + 1}( т^А) п о н о р м е :

(2.6) | | 5 .⁺, ( т^к) | | < 1 - т . + т 4 ^ ^

+ у Л г ( ^ ^ - )

1 1 ! ф < * . ) 1 | ] < & . Е с л и у ч е с т ь ( 2 . 4 а ) ж ( 2 . 6 ) , т о шэ ( 2 . 5 ) п о л у ч а е м

(2.7) ||<р (v.) II <^.1!ф < * ) И < & *

⁺

' % II-

В с и л у н е п р е р ы в н о с т и ф у н к ц и и ф( г ) , д л я всех z<=S д о л ж н о в ы п о л н я т ь ­ с я н е р а в е н с т в о

| | ф ( * ) | | - | | ф ( х ) - ч р ( « - ) | | < в , где 6 — д о с т а т о ч н о м а л о е ч и с л о .

С о г л а с н о н е р а в е н с т в у ( 2 . 7 ) и z^h*=S и м е е м feU⁺.)ll<№U)ll<6,

т . е. Zk+i^S. Д а л е е , и с п о л ь з у я ( 2 . 1 ) и ( 2 . 7 ) и н е р а в е н с т в о (2.46) п р и п~к, п о л у ч а е м

<2.8) | | * .⁺. - * . | | < | | *^{1 к +}, - * . 1 1 + т .^{+ 1}| | »^{1 к +}, | | < - ^ ^ ( 1 + ^¹+

+ ^^,+ . . . + < ? . * ) | 1 Ф ( « . ) И + - ^ ^ *^{+ ,}1 1 Ф ( * . ) 1 1 -

= ¹ ^ ( i + ^ + < ? , ^г+ . . . + ^ ^+, ) 1 1 ф( г . ) ] | .

Т а к и м образом, в е р н ы н е р а в е н с т в а ( 2 . 4 ) п р и w—fc+L И з ( 2 . 8 ) л е г к о

•следует, ч т о z^k+²^Bⁱ. П р е д е л ь н о е с о о т н о ш е н и е ( 2 . 3 ) с л е д у е т и з ( 2 . 4 а ) . Т е о р е м а д о к а з а н а п о л н о с т ь ю .

Р е ш е н и е з а д а ч и ( 2 . 1 ) м о ж е т з н а ч и т е л ь н о у с л о ж н я т ь с я в с в я з и с о б р а щ е н и е м о п е р а т о р а фо'(г^Л)+&ф/(гь), м в т о ж е в р е м я , п о п р е д п о л о ­ ж е н и ю , л е г к о о б р а т и м а его г л а в н а я ч а с т ь П о э т о м у д л я у п р о щ е -

н и я в ы ч и с л е н и й п р и м е н и м м е т о д р а с щ е п л е н и я [ 2 1 ] , [22] к з а ­ д а ч е ( 2 . 1 ) , д л я чего з а п и ш е м ее в в и д е

[E+g^hy^t' (z^k ) ф⁰' (Zh) ^_1 ] Ф о ' (z^h) ^ = - ф {Zk) .

Д е й с т в у я с л е в а на обе ч а с т и этого у р а в н е н и я о п е р а т о р о м Е—£ьф/ (z^h) -

• ф о Ч ^ л ) "1, п о л у ч а е м

ф о ' ( ZA) Vh-lgkySiZk) ф о ' ( 2А) ~l] 2ф о ' (zh) V^k=

^-[E-g^i (z^h)фо'(z^h)-^l]ф(zft).

Е с л и С в (1.7) — достаточно м а л о е ч и с л о , то м о ж н о п р е н е б р е ч ь вто­

р ы м ч л е н о м в л е в о й ч а с т и п о с л е д н е г о у р а в н е н и я . В. итоге п о л у ч а е м ( 2 . 9 а ) Ф О ' ( < К⁽⁰⁾= - Ф Ы ,

(2.96) <po'(z^h)v^h=-<p(z^k)--g^hqⁱ'(z^k)v^h(0).

А н а л о г и ч н ы й п р и е м и з в е с т е н д л я д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й п о д н а з в а н и е м м е т о д а п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р и б л и ж е н и й , п р е д ­ л о ж е н н о г о Ф о к с о м [ 2 3 ] . С п о м о щ ь ю п р е д и к т о р а v^h{0) по (2.96) д е л а е т с я к о р р е к ц и я к в е л и ч и н е v^k. И т е р а ц и о н н у ю ф о р м у л у (2.9) м о ж н о е щ е у п р о с т и т ь , е с л и в к а ч е с т в е v^h{0) в з я т ь не р е ш е н и е у р а в н е н и я ( 2 . 9 а ) , -a v^h-i и з п р е д ы д у щ е й и т е р а ц и и . Т о г д а (2.9) в ы г л я д и т т а к :

( 2 . 1 0 а ) 4o(z^k)v^k=-y(z^h)--gk<piiz^k)v^k-^u

<2.10б) z^h+l=z^k+x^hv^h, Л - 0 , 1 , . . . .

И з и з л о ж е н н о г о в ы ш е я с н о , что и т е р а ц и о н н ы й п р о ц е с с (2.10) сходит­

с я и с п р а в е д л и в о ( 2 . 3 ) , е с л и z⁰^S и в ы п о л н я ю т с я у с л о в и я (1.7) и ( 2 . 2 ) в D\ с достаточно м а л о й С. Н а л и ч и е п а р а м е т р о в т^к в и т е р а ц и и ( 2 . 1 0 ) п о з в о л я е т у п р а в л я т ь ее с х о д и м о с т ь ю . В ы б о р х^к о с у щ е с т в л я е т с я л и б о и з п р и н ц и п а м и н и м и з а ц и и н е в я з к и ' [5] у р а в н е н и я ( 1 . 1 ) , л и б о о п т и ­ м а л ь н ы м о б р а з о м [ 6 ] . П о л о ж и м б „ ( т ) = (ц)(г^п+ти^п), q)(zⁿ+xvⁿ)). С л е ­ д у я [ 6 ] , л е г к о п о л у ч а е м о п т и м а л ь н ы й ш а г :

- гг-. ^бп ( 0) - ( ф( 2^п) , ф1/( - « ) (Vn-gnVn-r))

Т л 6 n ( 0 ) + 6ⁿ( l ) ~ 2 (⁹( 2ⁿ) ,^{9 l ,}( zⁿ) (^Z;ⁿ-^{? n}i ;ⁿ_¹) )

Отсюда в и д н о , что е с л и к о н с т а н т а С в (1.7) достаточно м а л а , то т^п б л и з к а к о п т и м а л ь н о м у ш а г у в н. а. м. Н . [ 6 ] . И з ( 2 . 1 0 ) с л е д у е т , что с к о р о с т ь сходимости э. н. п. и п. а. м. Н . о д и н а к о в а в м а л о й о к р е с т н о с т и р е ш е н и я .

§ Зо О с о б е н н о с т ь п р и м е н е н и я и т е р а ц и о н н о й с х е м ы д л я з а д а ч на с о б с т в е н н ы е знатеимдо

П р о д е м о н с т р и р у е м одно в а ж н о е свойство и т е р а ц и й ( 2 . 1 0 ) д л я з а д а - ч и на с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я :

( 3 . 1 ) (L-kE)y=0, 8

г д е

(d²/dx²+p{x)d/dx+q{x)-X, а^х<Ь, L-XE=\ a^l{X¹x)+$ⁱ(X,z)d/dx, x=a,

\aⁱ(X,x)-j-^²(X,x)d/dx¹ x = 6 , П р е д п о л о ж и м , что з а д а ч а (3.1) имеет простое, и з о л и р о в а н н о е в н е к о т о ­ рой окрестности собственное з н а ч е н и е L — о г р а н и ч е н н ы й о п е р а т о р и з С2[а, Ъ] в С[а, Ь]. Р а с с м о т р и м д и с к р е т н у ю з а д а ч у , с о о т в е т с т в у ю щ у ю з а д а ч е ( 3 . 1 ) :

(3.2) V^{4 )}- X , £ = 0 ,

г д е i V^{4 )} — р а з н о с т н ы й о п е р а т о р , а п п р о к с и м и р у ю щ и й оператор L с п о ­ р я д к о м точности 0(h^k) н а р а в н о м е р н о й с е т к е с ш а г о м h. П р е д с т а в и м

о п е р а т о р L^h{i) в виде с у м м ы ,

(3.3) L /⁴> = V²> + ( L .^{( 4 )}- L ,^{( 2 )}) ,

в которой т р е х т о ч е ч н ы й р а з н о с т н ы й о п е р а т о р L/»( 2 ) я в л я е т с я г л а в н о й частью о п е р а т о р а L /^{4 )} и л е г к о обратим. П у с т ь X^h{z) и Х^{Л ( 4 )} — собствен­

н ы е з н а ч е н и я р а з н о с т н ы х операторов L^{h{2) :}и 1 /^{Л ( 4 )} соответственно. Тогда,, очевидно, в ы п о л н я ю т с я с о о т н о ш е н и я

(3.4) X^h{2)=X*+0(h²), Х ,^{( 4 )}- Г + 0 ( Л⁴) , X ,^{( 4 )}- V^{2 )}+ 0 ( f e²)^{i ;}

И т е р а ц и о н н ы й процесс (2.10) д л я з а д а ч и (3.2) с оператором ( 3 . 3 ) выглядит, т а к :

( 3 . 5 а ) (U²⁾-X^flhE)Q^h=u^h,

(3.56) (U²⁾-X^hhE)w^k=-(L^h^-L^

( 3 . 5 в ) v^h=- u^k+ ii^kQh+ Wh, u^k+ i—uk+ x^kv^h, X,^lh+i =--Xh^k+ x^k\i^h,

l+(uk,uh)-2(uk,wk) 2{u^h,Q^h)

П у с т ь и т е р а ц и о н н ы й процесс (3.5) с х о д и т с я . Тогда п р и к-+&> и м е е т место р а в е н с т в о [ 5 ] , [24]

В силу ( 3 . 4 ) , (X^h(2)— X^hk)~ⁱ^O(h^²)¹ и, с л е д о в а т е л ь н о , з а д а ч и (3.5) до­

с т а т о ч н о у с т о й ч и в о р е ш а ю т с я в окрестности р е ш е н и я Я°. Т а к и м обра­

зом, в в е д е н и е ф у н к ц и и в к л ю ч е н и я в н. а. м. Н . обеспечивает, к р о м е по­

в ы ш е н и я точности, устойчивость в ы ч и с л и т е л ь н о г о процесса ( 3 . 5 ) . В к а ч е с т в е числового п р и м е р а р а с с м о т р и м р е ш е н и е у р а в н е н и я Л е - ж а н д р а

2х , X ^л

1-х² 1-х²

с к р а е в ы м и у с л о в и я м и

У'- — У=0, * = - 1 , / + — # = - - 0 , x=L X X

9

Таблица 1

n h

1 - 2 . 0 0 0 0 0 0 0.1

2 - 6 . 0 0 0 0 0 0 0.1

3 - 1 2 . 0 0 0 0 0 0 0.1 7 - 5 5 . 9 9 9 9 3 3 0.0125 9 - 8 9 . 9 9 9 3 6 8 0.0125

Таблица 2 u(x)

a

/ i = 0 . i Л/2 Л/4

0 0 0 0 0

0.2 0.52325786 0.52379584 0.52382977 15.85

0.4 0.82226234 0.82310774 0.82316106 15.85

0,6 0,67276009 0.67345179 0.67349542 15.85

0.8 -0.14950226 - 0 . 1 4 9 6 5 5 9 5 - 0 . 1 4 9 6 6 5 6 5 15.84 1.0 - 1 . 8 6 8 7 7 8 1 - 1 . 8 7 0 6 9 9 4 - 1 . 8 7 0 8 2 0 6 15.85

Хн - 1 2 . 0 0 0 0 0 0 -12.000000 - 1 2 . 0 0 0 0 0 0

(Q\u) 0.831 3.02 11.2

К а к и з в е с т н о , его с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я и с о о т в е т с т в у ю щ и е и м собст­

в е н н ы е ф у н к ц и и и м е ю т в и д Хп=—п(п+1),

—у-)

Р^п(х),

||Р„<*)||-1,

« = 0 , 1 , . . . З д е с ь Р^п{х) — п о л и н о м Л е ж а и д р а , у д о в л е т в о р я ю щ и й р е к у р р е н т н о м у с о ­ о т н о ш е н и ю

(n+l)Pn+i{x)-(2n+l)xP

ⁿ

{x)+nP

ⁿ

-

^t

{x)=0,

P⁰( * ) = i Pi(x)=x⁴ и = 1 , 2

CI п о м о щ ь ю и т е р а ц и й (3.5) в ы ч и с л е н ы н е с к о л ь к о п е р в ы х с о б с т в е н н ы х з н а ч е н и й и с о б с т в е н н ы х ф у н к ц и й и р е з у л ь т а т ы п р и в е д е н ы в т а б л . i и 2, В т а б л . 2 п р и в е д е н ы с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я и с о б с т в е н н ы е ф у н к ц и и с н о м е р о м и = 3 , в ы ч и с л е н н ы е н а п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с е т о к . З д е с ь ч и с ­ л о о о п р е д е л е н о ф о р м у л о й

0 = | (uh—Uh/zy/iuhn—ил/О |;

т е о р е т и ч е с к и з н а ч е н и е его д о л ж н о б ы т ь р а в н ы м 16 ( с м . [251) д л я с х е ­ м ы т о ч н о с т и О ( А⁴) . В п о с л е д н е й ее с т р о к е т а к ж е п р и в е д е н о з н а ч е н и е с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и я ((?, и ) , которое п о д т в е р ж д а е т о ц е н к у

10

§ 4 . €штт е М-трщоеттт

Д л я п о д т в е р ж д е н и я у с т о й ч и в о с т и и з л о ж е н н о г о а л г о р и т м а у к а ж е м ,' на с в я з ь р а с с м о т р е н н о г о н а м и э. н. и. и н е п р е р ы в н о г о а н а л о г а ^ - п р о ­ цесса ньютоновского т и п а I 2 6 J . Когда q>'U) в у р а в н е н и и ( И ) б л и з о к к в ы р о ж д е н н о м у , он п р е д с т а в л я е т з а д а ч у К о ш и

(4.1) - ^ ^ « Ч Ф Ч * < 0 ) + Г < 0 1 ^

at

где г(t) — н е к о т о р ы й л и н е й н ы й о п е р а т о р ( | | r ( 0 | | ^ 0 , J - *^{0 0}) , называемый"

р е г у л я р и з а т о р о м . В р а б о т а х | 2 б ) , }27] п р е д л о ж е н ы р а з л и ч н ы е т и п ы р е г у л я р и з а т о р о в , в ч а с т н о с т и э к с п о н е н ц и а л ь н о у б ы в а ю щ и е и л и и з м е ­

н я ю щ и е с я по н о р м е в соответствии с и з м е н е н и е м н е в я з к и ||cp(z(£))||- Ч т о б ы п р и м е н и т ь э. н. п. д л я у р а в н е н и я (1.1) с у к а з а н н ы м о г р а н и ч е н нием, п р е д с т а в и м ф у н к ц и ю ф ( г ) в в и д е

Ф U ) =<p (z) - ф , ( z ) + ф , (г) ==фо( z) + ф , ( z ) ,

где ф Д г ) — н е к о т о р а я н е л и н е й н а я ф у н к ц и я , у д о в л е т в о р я ю щ а я с ф о р м у ­ л и р о в а н н ы м в ы ш е у с л о в и я м , а о п е р а т о р ф⁰' (²) ^стан(>^вится р е г у л я р н ы м . В в о д я н е п р е р ы в н ы й п а р а м е т р /, 0 < £ < < » , и ф у н к ц и ю g(t) из ( 1 . 5 ) , строим д л я ф у н к ц и и ф ( / , z(t))=*y⁰(z(t))+g{t)<pi(z(t}) э . н. п., о п и с ы в а е м ы й у р а в н е н и е м

(4.2) (dldt)<f(t, *(t)) = -<f(t, 2 ( 0 ) , 2 ( 0 ) = 2⁰, ф( 0 , 2 ( 0 ) ) = » ф о ( 2 о ) . И з него с л е д у е т , что

(4.3) . | | ф( * , г . ( * ) ) 1 Н « -,1 1 ф . Ы И И

(4.4) —Р-- = - 1 ф о ' ( 2 (О) +g (0 ф,'.(г ( О ) ] "¹ X at

Х[ф.(*<0)+*<0ф.(*(0)-*'(0ф.(*<0)],

2 ( 0 ) - г⁰. Е с л и у ч е с т ь ( 1 . 5 ) , то и з у р а в н е н и я (4.4) с л е д у е т

( 4 . 5 )

•^---[ф'(*(0)-«-

^,

Ф.'(*<0)]-

^,

фХ4(0),

z ( 0 ) = z⁰.

И з с р а в н е н и я у р а в н е н и й (4.1) и (4.5) следует, что г(1)=—е~^гу1 {z(t)).

У ч и т ы в а я это с о о т н о ш е н и е , а т а к ж е з а в и с и м о с т ь н е в я з к и ( 4 . 3 ) , з а к л ю ­ ч а е м , ч т о э. н. п. н е п о с р е д с т в е н н о п р и в о д и т к й - п р о ц е с с а м ньютоновско­

го т и п а с р е г у л я р и з а т о р а м и у к а з а н н ы х в ы ш е т и п о в .

Р а с с м о т р е н н ы й э в о л ю ц и о н н ы й п р о ц е с с м о ж е т с л у ж и т ь к а к осно­

вой д л я теоретического о б о с н о в а н и я р а з л и ч н ы х и з в е с т н ы х методов р е ш е н и я н е л и н е й н ы х заДач, т а к и д л я п о с т р о е н и я э ф ф е к т и в н ы х ите­

р а ц и о н н ы х схем. К а к б ы л о п о к а з а н о , он о б л а д а е т свойством р е г у - . л я р и з а ц и и . П о э т о м у д а н н ы й метод м о ж е т б ы т ь у с п е ш н о п р и м е н е н

к п о с т р о е н и ю в ы ч и с л и т е л ь н ы х с х е м а н а л и з а р а з н о о б р а з н ы х н е л и н е й ­ н ы х у р а в н е н и й .

И

Список литературы

I. Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных м е т о д о в / / И з в . вузов. Сер. матем. 1958. Т. 5 ( 6 ) , С. 1 8 - 3 1 .

2. Жидков Е. П., Макаренко Г. //., Пузынин И. В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах ф и з и к и / / Ф и з . элементарных частиц и ат. ядра.

1973. Т. 4. Вып. 1. С. 1 2 7 - 1 6 5 .

3. Жидков Е. П., Хоромский Б. II. Некоторые нелокальные условия сходимости непрерывного аналога метода Ньютона: Препринт Р5-8244. Дубна: ОИЯИ, 1974.

4. Жидков Е. П., Хоромский Б. II. О локальной сходимости приближенных методов решения операторных уравнений: Препринт Р5-9598. Дубна: ОИЯИ, 1976.

5. Пузынин И. В. Непрерывный аналог метода Ньютона для численного решения задач квантовой механики: Автореф. дис. ... докт. физ.-матем. наук. Дубна:

ОИЯИ, 1978. 11-12016.

6. Ермаков В. В., Калиткин II. II. Оптимальный шаг и регуляризация метода Нью­

тона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. Т. 21, № 2. С. 4 9 1 - 4 9 7 .

7. Melezhlk V. Puzynin I. V., Puzynlna Т. P., Somov L . M. Numerical solution of a system of integrodifferential equations arising from the quantum mechanical three-body problem with Coulomb interaction // J. Comput Phys. 1984. V. 54. JNTs 2.

P. 2 2 1 - 2 3 6 .

8. Гареев Ф. А . , Гончаров С. А . , Жидков E. П. и др. Численные решения задач на собственные значения для интегродифференциальных уравнений в теории ядра Н Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т. 17. № 2. С. 4 0 7 - 4 1 9 .

9. Vinitsky S. I., Puzynin I. V. Energy levels of mesic molecules // J. Muon Catalyzed Fusion. 1988. № 3. P. 3 0 7 - 3 2 0 .

10. Blum E. K.t Chang A . F. A numerical method for the solution of the double eigen­

value p r o b l e m / / J . Inst. Math. Appl. 1978. V. 22. P. 2 9 - 4 2 .

I I . Виницкий C. H.f Гочева А . Д., Пузынин И. В. Итерационная схема решения ин- тегро-дифференциального уравнения на основе вариации параметра и метода Ньютона: Препринт Р11-81-837. Дубна: ОИЯИ, 1981.

12. Виницкий С. И.f Пузынин И. В., Смирнов Ю. С. Решение задач рассеяния на основе многопараметрических ньютоновских схем. Одноканальное рассеяние //

Ядерная физ. 1990. Т. 52. Вып. 4 ( 1 0 ) . С. 1 1 7 6 - 1 1 8 9 .

13. Давиденко Д. Ф. О приложении метода вариации параметра к теории нелиней­

ных функциональных у р а в н е н и й / / У к р . матем. журнал. 1955. Т. 7. № 1. С. 1 8 - 28.

14. Киржниц Д. А . , Такибаев П. Ж. Новый подход в задаче трех и более т е л / / Я д е р ­ ная физ. 1977. Т. 25. Вып. 3. С. 7 0 0 - 7 1 0 .

15. Жанлав Т., Пузынин И. В. Численное решение задачи рассеяния с комплекс­

ным потенциалом: Препринт Р11-89-643. Дубна: ОИЯИ, 1989.

16. Жанлав Т., Пузынин И. В. Многоканальная задача рассеяния в постановке н е ­ линейной граничной задачи: Препринт Р11-90-382. Дубна: ОИЯИ, 1990.

17. Barahenkov I. V"., Boyadjiev Т. L . , Puzynin /. V.t Zhanlav T. Stability of moving bubbles in a system of interacting bosons / / P h y s . Letts A. 1989. V. 135. № 2. P. 1 2 5 - 128.

18. Barashenkov I. V., Bogdan M. M., Zhanlav T. Instabilities and soliton structures in the driven nonlinear Schroedinger equation: Preprint E5-89-817. Dubna: JINR,

1989.

г

19. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

20. Жидков Е. П., Пузынин И. В. Применение непрерывного аналога метода Нью­

тона для приближенного решения одной нелинейной граничной задачи // Докл.

АН СССР. 1968. Т. 180. № 1 С. 1 8 - 2 1 .

21. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

22. Самарский А : А . Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

23. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Д ж . Холла, Д ж . Уатта. М.: Мир, 1979.

24. Кат о Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

25. Марчук Г. i/., Шайдуров В. В. Повышение точности решения разностных схем.

М.: Наука, 1979.

26. Александров Л. Регуляризованные вычислительные процессы Н ь ю т о н а - К а н т о ­ ровича II Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. И . № 1. С. 3 6 - 4 3 .

27. Александров Л. Регуляризованные траектории приближения ньютоновского типа для решения нелинейных уравнений // Дифференц. ур-ния. 1977. Т. 13. № 7.

С. 1 2 8 1 - 1 2 9 2 .

Поступила в радакцию 15.02.91

12