Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. С. Климов, Многоточечная краевая задача для системы диф- ференциальных уравнений, Дифференц. уравнения, 1969, том 5, номер 8, 1532–1534

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:33:48

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е УРАВНЕНИЯ

А В Г У С Т 1969 г., Т О М V, № 8

УДК 517.934

МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ З А Д А Ч А

ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В. С. КЛИМОВ В работе изучается дифференциальное уравнение

x(n) = f(t, х, х(п-*)). (1)

Здесь х (/) — вектор-функция со значениями в m-мерном пространстве R^m; правая часть /(?, x^lt ..., х^п) непрерывна по совокупности переменных при t£[0, Т], xi£R^m(i =

= 1, . . . , я).

Нас будут интересовать решения дифференциального уравнения (1), удовлетворяющие краевым условиям вида

х(а¹) = х(а²) = . . . = * ( а^л) 0 , (2) где а^1} а², а^п — некоторые числа из отрезка [О, Т]. Краевая задача ( 1 ) — ( 2 ) изуча­

лась во многих работах. Особенно хорошо исследована двухточечная краевая задача. Типич­

ным условием, гарантирующим разрешимость краевой задачи (1) — (2), является требование подстеленного характера роста правой части (1) по старшим производным. Ниже разреши­

мость краевой задачи ( 1 ) — (2)) устанавливается при условиях типа односторонних оценок роста правой части (1) по переменной х^п, благодаря чему функция / может иметь сущест­

венно нестепенной характер роста.

1. Пусть R^mn — пространство размерности пгп с евклидовой метрикой. Вектор z £ R^mn мы будем иногда записывать как строку ( г^ь z², . . . , zⁿ), где z; £ R^m (i = 1, . . . , tt).

В этом пункте мы будем предполагать, что решения дифференциального уравнения (1) однозначно определяются начальными значениями Коши и продолжимы на весь отрезок [О, Т]. Как известно, при сделанных предположениях решения уравнения (1) непрерывно зависят от начальных данных.

Обозначим через Q(t, z) решение дифференциального уравнения (1) с начальным значе­

нием z£R^mn. Пусть Р (t, z) — интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами a^lt а², ...

..., а^п для функции Q(t, z). Это означает, что

Р (ty, z) = Q(a^ir z), i = l, /г.

Определим в пространстве R^mn векторное поле Ф равенством

<Dz = ( P [ 0 , z], Р ' [ 0 , г], PC1"1) [0, z]). (3 Векторное поле Ф, очевидно, непрерывно. Далее, точка z£R^mn тогда и только тогда

является начальным значением решения краевой задачи (1) — (2), когда она является нуле­

вой точкой векторного поля Ф. Это непосредственно вытекает из единственности интерполя­

ционного многочлена Лагранжа.

Если на границе L некоторой ограниченной области Й вращение у (Ф, L) векторного поля (3) отлично от нуля, то, как известно (см. [1]), внутри 2 существуют нулевые точки векторного поля Ф. Задача вычисления вращения у(Ф, L) весьма сложна, но у ж е простей­

шие теоремы в этом направлении дают новые условия существования решения краевой за­

дачи ( 1 ) - ( 2 ) .

Точку z£Rmn назовем точкой неосцилляции, если для произвольных п чисел blt

b², bⁿ из отрезка [О, Т]

п

М Н О Г О Т О Ч Е Ч Н А Я К Р А Е В А Я З А Д А Ч А Д Л Я С И С Т Е М

1533

Т е о р е м а \. Пусть все точки границы L ограниченной области Q g / ?^{m r t}, содер­

жащей начало координат, являются точками неосцилляции.

Тогда краевая задача (1)—(2) имеет решение при любых a^t из отрезка [О, Т].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Краевую задачу (1)—(2) включим в семейство краевых задач, зависящих от параметра A g [ 0 , 1]. Д л я этой цели будем стягивать точки a^t, задающие краевые условия (2), в одну точку, например, по следующему закону: а1(Х) = (\—А) а,- (* = !,' п).

По точкам a^t(X) построим векторные поля Ф(г, X), определяя их по способу, анало­

гичному заданию поля Ф по точкам щ. Векторные поля Ф ( г , X), как нетрудно видеть, непрерывно зависят от параметра X £ [ 0 , 1 ] и

П т Ф ( г , X) = г (5)

для любого Z £ Rmn.

На границе Q векторные поля Ф(г, А) невырождены в силу условий теоремы 1. Из непрерывной зависимости Ф (г, А) от параметра А следует, что векторное поле (3) гомотопно на L векторному полю Ф ( г , I) = Iz ~ г. Гомотопные поля, как известно, имеют одинако­

вое вращение, поэтому

у(Ф, L) = y(I, L) = l. (6) Равенство у (I, L) = 1 вытекает из того, что область Q содержит начало координат про­

странства R^nm.

Как уже отмечалось ранее, отличие вращения у (Ф, L) от нуля влечет существование решения краевой задачи (1)—(2).

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Используя методику, основанную на сглаживании правых частей (см.

[2]), можно показать, что утверждение теоремы 1 спрдведливо и без предположения един­

ственности решения задачи Коши.

2. Основная трудность, возникающая при применении теоремы 1 , заключается в по­

строении множества Q, граница которого состоит из точек неосцилляции. Приведем пример такого построения в случае, когда х (t)—скалярная функция ( т = 1 ) .

Т е о р е м а 2. Пусть г и R — некоторые положительные числа. Пусть функция f(t, x^{l t} х^п) удовлетворяет следующим условиям:

при \х^п\ — г и произвольных Xi(i—\, ..., п — 1) fit,

х1, . . . , хп) > 0 , (7)

при | х^п | > R а произвольных Х[ (i -— 1 , . . . , п — 1)

XnfV, *i xn)<Kx2n + L, (8)

где К и L — некоторые постоянные.

Тогда краевая задача (1)—(2) имеет решение при любых щ£ [О, Т] (i = I , . . . , п).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В условиях теоремы все решения уравнения (1) продол жимы на отрезок [О, Т]. Более того, из неравенства (8) следует, что если х (t) — решение уравне­

ния (1) и | х(^п~¹) (0) | < г^п, то существует такая постоянная М = М (г^п, К, L), зависящая лишь от гп, К, L, что для всех t£[0, Т] \ х(п~л) (t) \ < М.

Пусть г^п > г и М — М (г^п, К, L) — постоянная, о которой шла речь в предыдущем абзаце. Пусть Q — параллелепипед в пространстве Rⁿ, заданный неравенствами \ x^t \ < г^{ (i = 1, 2 , . . . , п), причем постоянные r^{l 5} г², г^п_^х связаны с постоянной М следую­

щим образом:

М - Т^п'К

Покажем, что все точки границы L области Q являются точками неосцилляции. Пусть

z = (^zu z², . . . , zⁿ) — некоторая точка границы L. Если \г^п \ — г^п, то из неравенства (7)»

и простейших теорем о дифференциальных неравенствах (см. [2]) следует, что для всех t£:

£[Q, Т] \ Q(ⁿ~^l) (t, z) \ > г. Если бы функция Q(t, z) при некоторых числах bi (i = 1 2 , , . ..

..., п) из отрезка [0, Т] обращалась в нуль, то в силу теоремы Ролля существовала' точка т , в которой Q(ⁿ~^l)(z, z) = 0. Полученное противоречие показывает, что ^сли | zⁿ 1=-

=г^п, то точка z = (z^lt г², . . . , zⁿ) является точкой неосцилляции.

Пусть теперь z = (z¹, г², zⁿ) — точка границы L, в которой "| z^t |. = r^t (1 < г <

< п—1). Если решение Q(t, z) обращается в нуль в п точках, то в силу неравенства Валле-Пуссена (см. [3])

\Q^)(t, г) \ < ^М Tn-i.

(n — i)\

1534

Легко видеть, что последнее неравенство противоречит определению постоянных r^t, согласно которому

| Q ( ' -^I) ( 0 , z ) | = r^f> — ^ — Тпч (n — i)\

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Анализируя проведенное доказательство, нетрудно увидеть, что для справедливости теоремы 2 достаточно потребовать, чтобы условия 1 и 2 выполнялись лишь на некотором ограниченном множестве. Это позволяет существенно расширить область при­

менения теоремы 2.

3. Приведем пример построения множества точек неосцилляции в m-мерном простран­

стве. Д л я простоты ограничимся уравнениями второго порядка

x" = f(t, х, х') (9) и краевыми условиями вида

х (0) = х (Г) = 0. (10) Замкнутую ограниченную область Q£R^m назовем канонической, если Q задана конеч­

ным числом неравенств

Ъ(у)4£1 = 2 , s),

где функции Hi непрерывно дифференцируемы и Н^£ (0, 0, 0) < 1, н е с л и каждая компонента связности множества М[ = {у \ Н^£ (у) > 1} является выпуклым множеством.

Как нетрудно видеть, любой многогранник, содержащий начало координат пространг ства R^m, является канонической областью.

Т е о р е м а 3. Пусть Q — каноническая область в пространстве R^m и Н^г, Н², ...

H^s—определяющие область Q функции. Пусть решения x(t) дифференциального уравнения (9) с начальными данными х ( 0 ) ' = 0, х' (0) £ Q продолжимы на отрезок [0, Т]. Пусть

( W * / ( * 2 ) . *²) ) > 0 ( / = 1 , S), (11) если Hi (х²) = 1.

Тогда краевая задача (9)—(10) имеет решение.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть L — граница множества Q. Если мы докажем, что реше­

ние х (/) дифференциального уравнения (9) с начальными данными х (0) = 0, х'(Ь)£Ь при t£[0, Т] не обращается в нуль, то, повторяя рассуждения первого пункта, нетрудно установить существование решения краевой задачи (9)—(10).

Итак, пусть х' (0)£L. Существует такой индекс i, что Hi \х' (0)] = 1. И з неравенства (11) находим, что Н\ \х' (t)] > 0, если Я / [х' (/)] = 1. Применяя теоремы о дифференциаль­

ных неравенствах (см. [2]), получаем тогда, что Hi [х' (t)]> 1 при t£[0, Т].

Следовательно, значения вектор-функции х' (t) лежат в компоненте связности множе­

ства М/, которая является выпуклым множеством и удалена от начала координат на поло­

жительное расстояние. Так как

t

х (t)

=*- I

то из сказанного выше следует, что x(t) ф 0 при t£(Q, Т].

Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что для уравнений /г-го порядка можно сформулировать утвержде­

ния, подобные теореме 3.

В заключение автор выражает благодарность своему руководителю М. А. Красносель­

скому за постановку задачи.

Литература

1. К р а с н о с е л ь с к и й М. А. Топологические методы в теории нелинейных инте­

гральных уравнений. М., Гостехиздат, 1956.

2. К р а с н о с е л ь с к и й М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных

• уравнений. М., Физматгиз, 1966.

3. С а н с о н е Д ж . Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2. М., И Л , 1954.

Поступила в редакцию 17 июня 1968 г.

Воронежский государственный университет