УДК 517.929
КОНУС УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Т.Н. Хохлова
Построена некоторая поверхность в трехмерном пространстве, назы
ваемая конусом устойчивости. Доказано необходимое и достаточное условие
асимптотической устойчивости матричного уравнения x(t) + Ax(t) + Bx(t - τ) = 0 для матриц произвольного порядка, которое связано с тем, находятся ли вспомогательные точки, зависящие только от собственных чисел матриц А и В и величины запаздывания, внутри ко
нуса устойчивости. От матриц А, В требуется совместная триангулируе
мость.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с запаздыванием, асимпто
тическая устойчивость, конус устойчивости.
Введение
Рассматривается задача об асимптотической устойчивости уравнения
34 Вестник ЮУрГУ, № 30, 2010
Хохлова Т.Н. Конус устойчивости для линейного матричного дифференциального уравнения с запаздыванием
Две другие системы точек, соответствующие действительным собственным значениям мат
рицы А, образуют прямые, каждая из которых один раз пересекает конус устойчивости, а затем находится вне его.
Согласно теореме 2 для асимптотической устойчивости требуется, чтобы внутри конуса на
ходились все точки Поэтому уравнение (1) с матрицами (12) неус
тойчиво при любом т.
Литература
1. Gu, К. Stability of time-delay systems / К. Gu, V. Kharitonov, J.Chen. - Springer, 2003. - 376 c.
2. Idels, L. Stability criteria for a nonlinear nonautonomous system with delays / L. Idels, M. Kip- nis // Applied Mathematical Modelling. - 2009. - V. 33. - Issue 5. - P. 2293-2297.
3. Кирьянен, А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения / А.И. Кирьянен.
- Изд-во СПбУ. - 1994. - 235 с.
4. Кирьянен, А.И. Устойчивость уравнения с комплексными коэф
фициентами / А.И. Кирьянен, К.В. Галунова // Уравнения в частных производных, ЛГПИ им.
А.И. Герцена, 1989. - С. 65-72.
5. Mori, Т. Simple stability criteria for single and composite linear systems with time delay / T. Mori, N. Fukuma, M. Kuwahara // Int. J. Control. - 1981. - V. 34. - P. 1175-1184.
6. Mori T. Stability of x{t) = Ax(t) + Bx(t - r) / T. Mori, H. Kokame // IEEE Trans. Autom. Con
trol, 1989. - V. 34, № 4. - P. 460-462.
7. Shuenn-Shyang Wang Further results on stability of x(t) - Ax(t) + Bx(t - r) // Sys- tems&Control Letters. - 1992. - V. 19. - Issue 2. - P. 165-168.
8. Рехлицкий, З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Изв. АН СССР. - 1956. - Т. 111. - С. 29-32.
9. Matsunaga, Η. Stability Regions for Linear Delay Differential Equations with Four Parameters / H. Matsunaga // International Journal of Qualitative Theory of Differential Equations and Applications, 2009. - V. 3, № 1-2. - P. 99-107.
10. Horn, R. Matrix Theory / R. Horn, С Johnson // Cambridge Univ. Press. - 1986. - 561 с 11. Азбелев, H.B. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом / Н.В. Азбелев, П.М. Симонов // Изв. вузов. Математика. - 1997. -№ 6. - С. 3-16.
Поступила в редакцию 28 июня 2010 г.
36 Вестник ЮУрГУ, № 30, 2010
Хохлова Т.Н. Конус устойчивости для линейного матричного дифференциального уравнения с запаздыванием
STABILITY CONE FOR THE RETARDED LINEAR MATRIX DIFFERENTIAL EQUATION
Some surface in the three-dimensional space, named a stability cone is constructed. The necessary
and sufficient condition of asymptotic stability of the matrix equation for random order matrixes which is connected with whether there are the auxiliary points which depend
only on A and В matrix eigenvalues and on retardation value in a stability cone is proved. The ma
trixes А, В are required a joint triangulability.
Keywords: retorted differential equations, asymptotic stability, stability cone.
Hohlova Tatyana is Post-graduate Student, Mathematical Analysis Department, South Ural State University.
Хохлова Татьяна - аспирант, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государ
ственный университет.
