Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. К. Исаев, В. В. Сонин, Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач, Ж. вычисл.

матем. и матем. физ., 1963, том 3, номер 6, 1114–1116

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:54:38

В частности, мы можем взять это решение в виде 1

г

t

i

Тогда

^Rf (z

- X) -

( i :

(2 - X)

X

) 711 <

< 2 я

* - * e l l l / | ISi

т. е., решая «плохо обусловленную» систему ( Г ) , мы найдем вектор, близкий к некото­

рому решению ( 1 ) . | Д л я фактического решения ( Г ) воспользуемся формулой (2). Раз­

делим контур / на 7i частей точками деления z^k. Будем приближенно вычислять х по формуле

R

к

f, (3)

•где z^{k + 1 / z} = (z^k + z^k+1)/2.

Д л я оценки ошибки можно воспользоваться неравенством /. п—1

\ / (z) dz — 2 / (z Л ( z^{k + 1}- z^k) < _ L 1 Л max I / " (*) J max | z^{k + 1} - z^& |%

I k=o Kk+ 2 2 D *

D — область, содержащая контур I, \ I \ — длина кривой / . Формула (3) довольно громоздка, зато[ она нечувствительна к тому, что определитель (!') близок к 0. Контур / можно выбирать^ произвольно, но так, чтобы он был замкнут, содержал внутри точки ⁰ 1^Q, X и не содержал других точек спектра А.

Поступила в редакцию 10.09.1962

Цитированная литература

1. Ф, Р и с е , Б. С. Н а д ь. Лекции по функциональному анализу. М . , Изд-во и н . лит., 1954.

У Д К 518:517.948 ОБ ОДНОЙ М О Д И Ф И К А Ц И И МЕТОДА Н Ь Ю Т О Н А

ЧИСЛЕННОГО Р Е Ш Е Н И Я К Р А Е В Ы Х З А Д А Ч В..К. ИСАЕВ, В. В. СОНИН

(Москва)

Большой круг задач оптимального управления с помощью принципа максимума .Л. С. Понтрягина приводится к решению краевых задач. Если при этом систему урав­

нений оптимального движения удается проинтегрировать, краевая задача редуцирует­

ся к системе алгебраических или трансцендентных уравнений. В противном случае решение собственно краевой задачи сводится к последовательному решению задач Коши.

В обоих случаях в процессе решения краевой задачи приходится выполнять опе­

рации, с помощью которых по конечным формулам или путем численного интегриро­

вания находятся в первом случае—конечное положение точки в расширенном фазовом пространстве, а во втором — вся траектория целиком. (В расширенном фазовом про­

странстве координатами служат фазовые координаты, сопряженные переменные и время г. Не нарушая общности, будем дальше считать, что отрезок [0, Т] является -фиксированным. В противном случае для его определения имеется дополнительное условие и пределы интегрирования находятся по любому из граничных условий.)

•Отсюда ясно, что основная задача состоит в определении (или доопределении) началь- 1114

ной точки в расширенном фазовом пространстве, при котором исходящая из нее тра­

ектория в момент t = Т удовлетворяет всей совокупности граничных условий.

Для решения краевых задач применяется метод Ньютона, который при отсутствии достаточно хорошего первого⁴ приближения часто расходится. Обратимся к простей­

шему примеру. Требуется найти нуль непрерывной кусочно гладкой функции одной переменной (фиг. 1):

. ( — 4

9 ( * ) = ' j - 2 * + 13,

I

1 . 2

1 i

1 Г'3-4 S 9 10 ft П X

Фиг. 1 Фиг. 2

Этот пример относится к первому из описанных выше типов задач, и на нем хо­

рошо заметны интересующие нас особенности.

В качестве исходного приближения примем хо = 5 . По очевидной формуле

vk+i — ^хк + ^ек ~ ^хк

У(^хк)

[(2) dy (х^к) I dx

найдем последовательность дальнейших приближений:

xi — 9, хг = 2, хз = 9, х^А = 2, . , . .

Бросается в глаза циклический характер итеративного процесса, убеждающий в бессмысленности продолжения поиска по правилу (2).

Легко указать случаи, в которых попытка применения метода Ньютона также обречена на неудачу: итеративный процесс либо зацикливается в окрестности искомо­

го решения, либо расходится.

Причина неудачи с примером (1) заключается в том, что на отдельных этапах ите­

раций величина шага 8^{f c} оказывается слишком большой.

Последнее связано с тем, что метод Ньютона использует информацию только об исходной точке итерации.

На основании этой информации, дающей, по существу, представление о функции в малой окрестности исходной точки, прогнозируется положение нуля и по найден­

ному направлению производится следующий шаг.

В то же время точность тейлоровского разложения, положенного в основу фор­

мулы (2), падает по мере удаления от исходной точки.

В некоторых случаях преодолеть подобные противоречия помогает введение кор­

рекции на определенных этапах поиска. При этом, разумеется, не обойтись без привле­

чения дополнительной информации о ходе процесса, хотя объем ее должен быть по возможности минимален.

Будем вводить ^коррекцию в зависимости от распределения величины невязки по граничным] условиям в дискретных точках луча, соединяющего две последующие точки итерации. Рассмотрим функцию «промаха» (невязки),

Ф (Л, а) =

] / У

1115

Здесь к — номер шага итерации; а — параметр (0 < а < 1), линейно возрастаю­

щий по} длине луча lx^k_^v х^к]\ г^к — длина к-то шага итерации (длина [x^k_^v х^к] для одномерного случая определяется по формуле (2)). При а = 0 и а =-1 формула (2>

дает невязку для (к— 1)-го и к-то шагов соответственно: Ф (к, 0) = Ф (к — 1,1) и Ф (к, 1). При появлении на к-м шаге признаков расходимости схемы Ньютона Ф ( А , 0 ) < Ф (/с, 1) дополним классическую схему, вычислив значение невязки в одной или нескольких точках луча [x^k_^v х^к]. Выбор количества N^k и оптимального — с точки зрения| сходимости метода — расположения с^, / = 1, . . N^k, этих точек на луче представляет собой сложную и нерешенную задачу.

На практике достаточно универсальным оказался следующий прием. Выбрав а = - | , вычислим невязку Ф (к, в середине луча. Если Ф (к, 0 ) , Ф (к, ^{И ;} Ф 1) образуют выпуклую вниз функцию дискретного аргумента, построим по трем точкам параболу, аппроксимирующую Ф (/с, а ) , и найдем точку минимума а* интерполяцион­

ного полинома Лагранжа:

З Ф ( * , 0 ) - 4 Ф ( * , {-) + Ф ( * , 1)

а* = — —^—LL . (3)

4 [ Ф ( / с , 0 ) - 2 Ф ( / с , | ) + Ф ( /^с, 1)]

Если условие выпуклости вниз не удовлетворяется или а* 0, описанные выше операции повторяются, но уже на половине исходного луча, 0 ^ а ^ К и т. д .

Когда ах ^найдено, вместо (2) используется соотношение х^к_^_^г = ## + ^а* е & . Применив указанный прием к примеру (1), получим (фиг. 2)

y ( * e + j e o ) = y ( 7 ) = - l ,

(

' | ) =

-

*=1>

9 после чего процесс немедленно доводится до конца по классической схеме е¹= — — ; х² = 4 г^г — 6 ^ — ^ = 6 - | ; Ф (2, 1)• = 0. Аппроксимация параболой, очевидно, не единственный способ осуществления коррекции в зависимости от резуль­

татов «прощупывания» «внутренности шага». На практике полезным оказался также следующий простейший алгоритм:

1) делается «классический шаг»; 2) вычисляются Ф (к, 0) и Ф (к, 1); 3) при усло­

вии Ф (k^f 1) < Ф (/с, 0) сохраняется классическая схема, в противном случае вычис­

ляется Ф -£-); 4) при условии Ф (/с, у ) < Ф (/с, 0) вновь используется схема Ньютона, в противном случае находится Ф (/с, ^{и т}- Д., при этом а* = 1 , - | - , - •

Д л я случая определения корней алгебраического уравнения аналогичный прием изложен в [ 1 ] .

Данная модификация метода Ньютона без труда переносится на многомерный случай.

З а м е ч а н и е . При решении краевых задач 2-го типа, во-первых, целесообразно привести уравнения к безразмерному виду, чтобы значения расширенных фазовых координат оказались одного порядка; во-вторых, важно учитывать, что расходимость процесса может наступить при уменьшении точности счета траектории.

Отработка путей улучшения сходимости метода Ньютона при численном решении двухточечных краевых задач высоких (10-го — 14-го) порядков проводилась авторами, начиная с 1961 г.; число параметров, по которым производилась «стрельба», достигало шести. Предложенная авторами модификация метода|Ньютона апробирована такжц в В Ц А Н СССР В. Н . Лебедевым.

Поступило в редакцию 1.04. 1963

Цитированная литература

1. Д ж . Н . Л а н с. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М . , Изд-во ин. лит., 1962.

1116