А. А. Курочкин, Задача размещения с ограниченными объ¨емами производства на случайных входных данных, Дискретн. анализ и исслед. опер., 2014, том 21, выпуск 5, 23–39

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Курочкин, Задача размещения с ограниченными объ¨емами производства на случайных входных данных, Дискретн. анализ и исслед. опер., 2014, том 21, выпуск 5, 23–39

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и со- гласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:07:38

Сентябрь—октябрь 2014. Том 21, № 5. C. 23–39

УДК 519.8

ЗАДАЧА РАЗМЕЩЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЪ¨ЕМАМИ ПРОИЗВОДСТВА НА СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ ДАННЫХ ^∗)

A. A. Курочкин

Аннотация. Рассматривается задача размещения с ограничения- ми на объ¨емы производства на случайных входных данных. Пред- полагается, что элементы матрицы транспортных расходов заданы независимыми случайными величинами с равномерной функцией распределения на целочисленном сегменте [1, r]. Для задачи с оди- наковыми ограничениями на объ¨емы производства построен при- ближ¨енный алгоритм решения и провед¨ен вероятностный анализ его работы. Представлены условия, при которых алгоритм является асимптотически точным и имеет временную трудо¨емкостьO(nlnm), гдеn— число потребителей, m— число возможных пунктов произ- водства. Для задачи с произвольными ограничениями построен ал- горитм с трудо¨емкостью порядкаO(n^2(1−θ)m)и определены условия его асимптотической точности для некоторого θ < ¹₂.

Ключевые слова:задача размещения производства, полиномиаль- ный алгоритм, вероятность, асимптотическая точность.

Введение

Задача размещения производства является известной NP-трудной проблемой даже в простейшей постановке без ограничений на объ¨емы производства [13]. Поэтому для задачи с ограничениями на объ¨емы про- изводства наиболее актуальны исследования по построению приближ¨ен- ных полиномиальных алгоритмов с гарантированными оценками каче- ства. Стоит отметить, что для некоторых специальных подзадач воз- можно построение точных полиномиальных алгоритмов решения. Одна- ко в литературе известно не так много подобных примеров. Например,

∗)Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фон- да фундаментальных исследований (проекты 12–01–00093, 12–01–00631, 13–07–00070 и 12–01–33028–мол-а-вед), целевой программы Президиума РАН (проект № 227) и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 7Б.

c 2014 Курочкин А. А.

в [8] для задачи с одинаковыми ограничениями на объ¨емы производ- ства на путевом графе (когда множества пунктов производства и спро- са являются вершинами, лежащими на одном пути) предложен точный алгоритм с трудо¨емкостью O(m⁵n² +m³n³). Позднее в [1] была пред- ложена модификация этого алгоритма, имеющая на порядок меньшую трудо¨емкость O(m⁴n²).

В то же время существует достаточно много работ, посвящ¨енных при- ближ¨енным методам решения задачи. Для самой распростран¨енной мет- рической постановки задачи размещения с ограничениями в [12] предло- жен алгоритм с оценкой точности 6(1 +ε). Он является модификацией алгоритма из [15], имеющего точность8(1 +ε) и основанного на методе локального поиска. Достаточно широко исследовалось решение задачи размещения с помощью различных эвристических методов [9, 10, 16].

Интересна также постановка задачи на входных данных, заданных случайным образом, которая становится особенно актуальной с ростом размерности рассматриваемой задачи. Так, в [17] подробно исследует- ся метрическая постановка, в которой множество клиентов подчиняет- ся некоторому вероятностному распределению в заданной области. Об- зор по основным методам вероятностного подхода можно также найти в [14]. В данной работе исследуется задача размещения с ограничениями на объ¨емы производства, в которой транспортные расходы по достав- ке продукции задаются как значения независимых случайных величин, равновероятно принимающих значения из целочисленного сегмента[1, r].

Ранее подобная задача рассматривалась в [2], где провед¨ен е¨е вероятност- ный анализ и построен приближ¨енный алгоритм решения. Показано, что предложенный алгоритм асимптотически точный, но при условии нало- жения достаточно ж¨естких ограничений на входные данные задачи. Та- кая задача рассматривалась и в [5], где предложен другой приближ¨енный алгоритм решения, но и в ней условия асимптотической точности получе- ны при введении серь¨езных ограничений на входные данные: предпола- галось, что функция спроса потребителей является кусочно-постоянной с точками разрыва, кратными определ¨енной величине. В настоящей ра- боте предлагается новый алгоритм, условия асимптотической точности которого не накладывают столь существенных ограничений на входные данные задачи, как в [2, 5].

В работе рассматриваются две постановки задачи размещения: с оди- наковыми и произвольными ограничениями на объ¨емы производства.

Для задачи с одинаковыми ограничениями построен приближ¨енный ал- горитм решения и провед¨ен вероятностный анализ его работы. Представ-

лены условия, при которых алгоритм является асимптотически точным и имеет временн´ую трудо¨емкость O(nlnm), где n — число потребите- лей, а m — число возможных пунктов производства. Для задачи с про- извольными ограничениями построен алгоритм с трудо¨емкостью поряд- каO(n^2(1−θ)m)и определены условия его асимптотической точности для некоторого значения θ < ¹₂.

1. Задача размещения с одинаковыми ограничениями на объ¨емы производства

1.1. Описание задачи.Дадим общую формулировку задачи разме- щения с ограничениями на объ¨емы производства. Пусть J = {1, . . . , n} иI ={1, . . . , m}— множества пунктов потребления некоторого продукта и возможных пунктов размещения предприятий соответственно. Извест- ны затратыg⁰_i на размещение предприятия и ограничения d_i на объ¨емы производства в пункте i∈I. Для каждого пункта потребленияj∈J за- дан требуемый объ¨ем b_j спроса продукта. Также заданы транспортные затраты g_ij, связанные с доставкой единицы продукции из предприя- тияi∈I в пункт потребленияj∈J.

Требуется определить пункты размещения производства и транспорт- ные потоки между производителями и клиентами таким образом, чтобы удовлетворить потребности всех потребителей и минимизировать общие затраты на размещение производства и поставку продукции. Математи- ческая формулировка задачи: минимизировать суммарные затраты

C(x) = Xm

i=1

g⁰_ix_i+ Xm i=1

Xn j=1

g_ijx_ij (1)

по переменнымx_i, x_ij при выполнении условий Xm

i=1

xij =bj, j ∈J, (2)

Xn j=1

xij 6dixi, i∈I, (3)

x_ij >0, x_i ∈ {0,1}, i∈I, j∈J, (4) где xi, i ∈ I, — переменные выбора предприятий (если xi = 1, то в со- ответствующем решении предприятие i ∈ I является открытым), x_ij, i ∈ I, j ∈ J, — транспортные переменные, задающие объ¨ем продукта,

поставляемый предприятиемi∈I в пункт спросаj∈J в соответствую- щем решении.

Будем считать, что объ¨емы производства всех предприятий одинако- вы:

d_i =d, i∈I. (5)

В данной работе исследуется задача (1)–(5) в предположении, что транспортные расходы g_ij, i∈ I, j ∈ J, заданы независимыми случай- ными величинами из класса U[1, r] (класс случайных величин, равнове- роятно принимающих значения из целочисленного сегмента [1, r], r — целое).

Без ограничения общности всюду далее будем считать, что пред- приятия в I и пункты спроса в J перенумерованы таким образом, что g⁰₁ 6. . .6g_m⁰ и b1 6. . .6bn.

1.2. Некоторые определения и вспомогательные утвержде- ния. Будем опираться на определение асимптотической точности, вве- д¨енное в [6]. Будем говорить, что алгоритмAeимеет оценки точности(ε_n, δ_n) в классеKn задачи минимизации размерности n, если

P

C(x^Ae)−C(x^∗) C(x^∗) > ε_n

6δ_n,

где x^∗ — оптимальное решение для индивидуальной задачи I_n, x^Ae — решение, полученное при помощи алгоритмаAe,P{S} — вероятность со- бытияS,ε_n— относительная погрешность,δ_n— вероятность несрабаты- вания алгоритма Ae.

Алгоритм называется асимптотически точным в классе задач K= ^∞S

n=1Kn, если существуют оценки (ε_n, δ_n) такие, что ε_n →0, δ_n → 0 при n→ ∞.

Решение задачи будем называть допустимым, если оно удовлетворя- ет всем ограничениям задачи (2)–(5). Поскольку рассматриваемые ал- горитмы не всегда приводят к допустимым решениям, для задачи I_n размерности nопределим индикаторную функцию

ν_n(x) =





1, еслиx является допустимым решением, 0 в противном случае.

Оценку вероятности несрабатывания алгоритма можно провести та- ким образом:

P

(C(x^Ae)−C(x^∗) C(x^∗) > ε_n

)

=P

(C(x^Ae)−C(x^∗)

C(x^∗) > ε_n |ν_n(x^Ae) = 1 )

P{ν_n(x^Ae) = 1} +P

(C(x^Ae)−C(x^∗)

C(x^∗) > ε_n |ν_n(x^Ae) = 0 )

P{ν_n(x^Ae) = 0} 6P

(C(x^Ae)−C(x^∗)

C(x^∗) > ε_n |ν_n(x^A) = 1 )

+P{ν_n(x^Ae) = 0}. (6)

Другими словами, для доказательства асимптотической точности ал- горитма достаточно доказать, что относительная погрешность постро- енного допустимого решения и вероятность построения недопустимого решения стремятся к нулю при n→ ∞.

В дальнейшем для решения задачи понадобится быстрый алгоритм поиска совершенного паросочетания в случайном двудольном графе.

А именно, пусть дан двудольный граф G(n, p) с множеством вершин V = S∪T, |S| = |T| = n. Каждое ребро, соединяющее произвольную вершину s ∈ S с вершиной t ∈ T, появляется независимо от других р¨ебер с вероятностью p. Необходимо найти совершенное паросочетание вG(n, p), т. е. определить подмножество попарно не смежных р¨ебер, по- крывающих все вершины графа G(n, p). В [5] представлен асимптоти- чески точный алгоритм GK, который позволяет находить совершенное паросочетание в случайном графе G(n, p), а также доказана следующая оценка.

Теорема 1. Приp > ^λln_nⁿ, λ > 4, алгоритм GK c временн´ой слож- ностьюO(nlogn)находит совершенное паросочетание в случайном дву- дольном графеG(n, p)с вероятностью, стремящейся к1приn→ ∞. Ве- роятность несрабатыванияGK на графах такого вида равна O(n^−λ−64).

Стоит отметить, что в [11] также предлагался приближ¨енный алго- ритм отыскания совершенного паросочетания с аналогичной временн´ой трудо¨емкостью. Однако, оценки точности данного алгоритма установле- ны только в неявном виде, что существенно ограничивает возможность его аналитического использования.

Введ¨ем некоторые дополнительные обозначения. Обозначим черезm₀ минимальное количество предприятий, необходимое для удовлетворения потребностей всех пунктов спроса. Другими словами,m₀=lP

i∈J

b_j/dm .

Если заданного подобным образом значения m₀ не существует, то очевидно, что задача является несбалансированной и решения не суще- ствует, т. е. суммарный спрос пунктов спроса больше суммарной мощно- сти предприятий. Поэтому всюду далее будем считать, что P

i∈I

d=md>

P

j∈J

b_j и значение m₀ определено. Обозначим через I₀ первые m₀ пред- приятий множества I,I0 ={1, . . . , m0}.

Положим n = km₀ +t для некоторых целых k > 0, m₀ > t > 0, и разобь¨ем множество J на k+ 1 подмножеств J₁, . . . , J_k+1 следующим образом: J1 ={1, . . . , t}, Js={t+ (s−2)m0+ 1, . . . , t+ (s−1)m0}, 26 s6k+ 1.Тем самым множество J₁ состоит изt элементов, а множества J₂, . . .,J_k+1 состоят изm₀ элементов каждое.

1.3. Идея и описание алгоритма A. Опишем общую идею алго- ритма. Открыв предприятия в пунктах из I0, получаем транспортную задачу по доставке продукта из пунктов множества I₀ в пункты множе- стваJ. Рассмотрим транспортные задачи(I₀, J_s), 16s6k+1, в каждой из которых требуется поставить продукт изI0 вJs. Решение каждой за- дачи (I₀, J_s), 16s6k, будем искать, используя только коммуникации единичной стоимости, прич¨ем ищем решение такое, что каждый произ- водитель из I0 обслуживает ровно одного потребителя изJs, 16s6k, и полностью удовлетворяет его спрос. Другими словами, в каждой стро- ке и в каждом столбце таблицы(g_ij)для(I₀, J_s), 16s6k, должен быть выбран ровно1элемент (рис. 1). Если таким образом построим решение для всех задач (I₀, J_s), 1 6 s 6 k, то построим оптимальное решение транспортной задачи

I₀, S^k

s=1

J_s

.

b₁

J₁ J_k J_k+1

1 1

1 1

1

1 1

1

1 1 1 1 1 1

1 1

I₀

bt+m0 . . . b_{t+(k−2)m0 +1} b_t+(k−1)m0 bn

J₂

1 1

1 1 1

bt bt+1

. . .

Рис. 1. Таблица(gij)i∈I₀, j∈J

Транспортную задачу на (I0, J_k+1) будем решать, используя любой из известных полиномиальных алгоритмов. Объединение решений для задач (I₀, J_s), 16s6k+ 1, даст решение задачи (I₀, J).

Теперь перейд¨ем к более формальному описанию работы алгорит- маA.

Начало работы. Перед началом работы алгоритма имеем множе- стваI иJ, занумерованные так, чтоg⁰₁ 6. . .6g⁰_m иb₁ 6. . .6b_n, числа m₀,k,tи множестваI₀, J₁, . . . , J_k+1, заданные следующим образом:m₀= lP

i∈J

b_j/dm

, k = ⌊n/m₀⌋, t =n−km₀, I₀ =

1, . . . , m₀ | g⁰₁ 6 . . . 6 g⁰_m0 , J₁ ={1, . . . , t}, J_s={t+ (s−2)m₀+ 1, . . . , t+ (s−1)m₀}, 26s6k+ 1.

Шаг 1.Решаем транспортную задачу(I₀, J₁). Обозначим черезG₁= (V₁;E₁) двудольный граф на множестве вершин V₁ = I₀ ∪J₁ с множе- ством р¨ебер E_s = {(i, j) | i ∈ I₀, j ∈ J₁, g_ij = 1}. Обозначим через J₁^′ произвольное множество, состоящее из m₀ −t вершин, и рассмотрим двудольный граф G^′₁ = (V₁^′;E₁^′) на множестве вершинV₁^′ =I₀∪(J₁∪J₁^′) с множеством р¨ебер E₁^′ = E₁ ∪ {(i, j) | i ∈ I₀, j ∈ J₁^′}, т. e. граф G^′₁ получается из G₁ добавлением произвольных m₀−tвершин, каждая из которых соединяется р¨ебрами со всеми вершинами I₀. Поскольку в дву- дольном графе G^′₁ обе доли состоят из одинакового числа вершин, при- меняем алгоритмGKдля построения совершенного паросочетания в G^′₁. Если паросочетание построить не удалось, то алгоритм останавливает свою работу с констатацией несрабатывания алгоритма. Если такое па- росочетание удалось построить, то обозначим его через P₁^′. Положим P₁=P₁^′ ∩E₁ и переходим на следующий шаг.

Замечание. Для упрощения понимания этого шага можно пред- ставить, что решаем транспортную задачу (I₀, J₁) следующим образом:

добавляем множествоJ₁^′ изm₀−tфиктивных клиентов, каждый из кото- рых имеет нулевой спрос (b_j^′ = 0, j^′ ∈J₁^′) и находится на минимальном расстоянии до любого пункта производства из I₀ (g_ij^′ = 1, i ∈ I₀, j^′ ∈ J₁^′). Очевидно, что оптимальное решение транспортной задачи (I₀, J₁) совпадает с оптимальным решением задачи (I0, J1∪J₁^′).

Шаг s, 26s6k. Решаем транспортную задачу(I₀, J_s). Обозначим черезG_s = (V_s;E_s) двудольный граф на множестве вершинV_s=I₀∪J_s с множеством р¨ебер Es = {(i, j) | i ∈ I0, j ∈ Js, gij = 1}. Используем алгоритм GK для построения совершенного паросочетания в графе G_s. Если такое паросочетание удалось построить, то обозначим его через P_s и переходим на следующий шаг. Если паросочетания построить не уда- лось, то алгоритм останавливает свою работу с констатацией несрабаты- вания алгоритма.

Шаг k+ 1. Вычисляем значения d^′_i = d− P

{j |(i,j)∈ Sk s=1

Ps}

b_j для всех

i ∈ I0. Неформально говоря, d^′_i — мощность, которая осталась у пред- приятия i ∈ I₀ после прохождения первых k шагов алгоритма (удовле- творения спроса клиентов из J₁, . . . , J_k). Рассмотрим транспортную за- дачу (I0, J_k+1), в которой потребности клиентов J_k+1 заданы входными данными исходной задачи размещения, а мощности предприятий зада- ны как d^′_i, i ∈ I₀. Находим допустимое решение этой задачи методом северо-западного угла (см., например,[7]). Обозначим это решение через (xe_ij, i∈I₀, j∈J_k+1).

Завершение алгоритма.После успешного прохождения предыду- щихk+1шагов алгоритма имеем паросочетанияP₁, . . . , P_kи допустимое решениеex_ij задачи(I₀, J_k+1). Построим решениеx^A_i , x^A_ij исходной задачи размещения следующим образом:

x^A_i =





1 приi∈I₀,

0 в противном случае,

x^A_ij =

















b_j при(i, j)∈ S^k

s=1

P_s,

e

x_ij приi∈I₀, j ∈J_k+1, 0 в остальных случаях.

1.4. Анализ алгоритма A.Обозначим через pвероятность появле- ния единичного ребра в нашей исходной задаче (т. е. вероятность собы- тия g_ij = 1 для произвольных i ∈ I, j ∈ J). В силу введ¨енных ранее определений p= 1/r.

Оценку погрешности и вероятности несрабатывания алгоритма будем проводить, используя неравенство (6). А именно, найд¨ем оценки для обо- их слагаемых в правой части неравенства.

Лемма 1. При p > ^λlnm_m0 ⁰, λ > 4, и m₀ = n^θ для θ ∈ (6/(λ+ 2),1) алгоритмAстроит допустимое решение задачи с вероятностью, стремя- щейся к 1 приn→ ∞.

Доказательство. Докажем, что P{ν_n(x^A) = 0} → 0 при n → ∞. Для начала покажем, что алгоритм работает корректно и мощности предприятий можно разделить указанным в алгоритме способом. Убе- димся, что для любого решения x^A, построенного алгоритмом, будут выполняться ограничения (3): P

j∈J

x^A_ij 6d, i∈I₀.

В терминах нашего алгоритма достаточно показать, что на (k+ 1)-м шагеd^′_i>0для всех i∈I₀, т. е. P

j∈S^k

s=1

Js

x^A_ij 6d, i∈I₀.

По построению алгоритма A для фиксированногоi∈I₀ решение x^A_ij на каждом множестве Js, 2 6 s 6 k, принимает нулевые значения во всех точкахJ_s, кроме одной, в которой принимает значение из множества {b_{t+(s−2)m0+1}, b_{t+(s−2)m0+2}, . . . , b_t+(s−1)m0}. На множестве J₁ решение x^A_ij принимает также нулевые значения во всех точках J₁, кроме, может быть, одной, в которой принимает значение из множества{b₁, b₂, . . . , b_t}. Посколькуb₁ 6. . .6b_n, имеем

X

j∈ Sk s=1

Js

x^A_ij 6bt+bt+m0+. . .+b_t+(k−1)m0.

В силу согласованности задачи верно неравенство P

j∈J

bj 6m0d.

В то же время X

j∈J

b_j = X

j∈J1

b_j+X

j∈J2

b_j +. . .+ X

j∈Jk+1

b_j > X

j∈J1

b₁+X

j∈J2

b_t+1

+. . .+ X

j∈Jk+1

b_{t+(k−1)m0+1}=tb₁+m₀b_t+1+. . .+m₀b_{t+(k−1)m0+1}

>m₀(b_t+b_t+m0 +. . .+b_t+(k−1)m0).

Таким образом, b_t+b_t+m0+. . .+b_t+(k−1)m0 6d, следовательно, X

j∈ Sk s=1

Js

x^A_ij 6d, i∈I₀.

Поэтому ограничения (3) не нарушаются ни на одном из шагов и алго- ритм работает корректно.

Получение недопустимого решения возможно только на этапе реше- ния подзадач (I₀, J_s), 1 6 s 6 k, при использовании алгоритма GK. Поскольку выполнены все условия теоремы 1, вероятность несрабаты- вания алгоритма GK для каждой задачи (I0, Js) оценивается величи- нойO(m⁻₀^(λ−4)/6). В силу независимости событий успеха решения каждой изkподзадач(I₀, J_s), 16s6k, напрямую следующей из независимости

элементов входной матрицы транспортных затрат, имеет место оценка

P{νn(x^A) = 0}=kO(m⁻

λ−4

0 6 )6O n

m₀^λ+26

=O(n^1−θλ+26 ).

Замечание. Очевидно, что вероятность несрабатывания алгорит- ма GK на первом шаге алгоритма A не превосходит вероятности несра- батывания на последующих шагах, поскольку из m₀ вершин в J₁ ∪J₁^′ у m−t₀ вершин с вероятностью 1 существует ребро, соединяющее их с вершинами из I0, в то время как на последующих шагах s, 26s6k, все р¨ебра между m₀ вершинами J_s и I₀ существуют лишь с вероятно- стьюp61.

Таким образом, поскольку1−θ^λ+2₆ <0в силу условия леммы, имеет место

P{ν_n(x^A) = 0} →0 при n→ ∞. Лемма 1 доказана.

Докажем, что P_C(x^A_)−C(x^∗₎

C(x^∗) > ε_n |ν_n(x^A) = 1 также стремится к 0 при n→ ∞. Обозначим черезB(n) максимальную потребность пунктов спроса, B(n) = max

j∈J b_j.

Лемма 2. При p > ^λlnm_m0 ⁰, λ > 10, m0 = n^θ для θ ∈ _λ+2⁶ ,¹₂ и B(n) = o(n^1−2θ) относительная погрешность построенного алгорит- момA допустимого решения стремится к0 при n→ ∞.

Доказательство.Отметим, что по построению алгоритма Aверна следующая оценка стоимости решения:

C(x^A) = Xm i=1

g⁰_ix^A_i + Xm i=1

X

j∈ Sk s=1

Js

x^A_ijg_ij + Xm

i=1

X

j∈J_k+1

x^A_ijg_ij

6

m0

X

i=1

g⁰_i + X

j∈ Sk s=1

Js

b_j+ X

j∈J_k+1

b_jr.

Оптимальное решение, очевидно, оценивается снизу таким образом:

C(x^∗) = Xm i=1

g_i⁰x^∗_i + Xm

i=1

X

j∈J

x^∗_ijgij >

m0

X

i=1

g⁰_i +X

j∈J

bj.

Тогда для относительной погрешности построенного решения имеем

C(x^A)−C(x^∗) C(x^∗) 6

P

j∈J_k+1

b_jr− P

j∈J_k+1

b_j P

j∈J

b_j 6r

P

j∈J_k+1

b_j P

j∈J

b_j .

Учитывая, что b_j >1, j ∈J, последнее неравенство можно переписать в виде

r P

j∈Jk+1

b_j P

j∈J

b_j 6rm0B(n)

n 6 m0

λlogm₀

m0B(n)

n 6 m²₀B(n)

n 6 B(n)

n^1−2θ.

В силу условия леммы 1−2θ >0. Таким образом, получаем C(x^A)−C(x^∗)

C(x^∗) 6 B(n)

n^1−2θ = o(n^1−2θ)

n^1−2θ →0 приn→ ∞. Лемма 2 доказана.

Из лемм 1 и 2 непосредственно вытекает справедливость следующей теоремы, которая указывает условия асимптотической точности алго- ритма.

Теорема 2. При p > ^λln_m^m0

0 , λ > 10, m₀ = n^θ для θ ∈ _λ+2⁶ ,¹₂ и B(n) = o(n^1−2θ), алгоритм A решения задачи размещения (1)–(5) на входных данных, заданных случайными величинами из класса U[1, r], имеет трудо¨емкостьO(nlogm₀), относительную погрешность _n^B(n)1−2θ и ве- роятность несрабатыванияO(n^1−θλ+26 ).

Доказательство. Действительно, в силу леммы 1 существует по- следовательность δ_n¹ → 0 при n → ∞ такая, что P{νn(x^A) = 0} 6 δ_n¹. Более конкретно, согласно доказательству леммы 1 в качестве оценкиδ¹_n можно взять O(n^1−θλ+26 ).

В силу леммы 2 имеем

P

C(x^A)−C(x^∗)

C(x^∗) > B(n)

n^1−2θ |ν_n(x^A) = 1

= 0.

Выберем в качестве оценок относительной погрешности и вероятно- сти несрабатывания алгоритма A последовательности ε_n = B(n)/n^1−2θ и δ_n=δ_n¹. В силу условия теоремы и предыдущих рассужденийε_n→0, δn→0 приn→ ∞, а также выполняется оценка

P

C(x^A)−C(x^∗) C(x^∗) > εn

6P

C(x^A)−C(x^∗)

C(x^∗) > εn |νn(x^A) = 1

+P{ν_n(x^A) = 0}60 +δ¹_n=δ_n. Тем самым алгоритмA асимптотически точный с оценками(ε_n, δ_n).

Трудо¨емкость каждого из k первых шагов алгоритма A по теоре- ме 1 не превышает O(m₀logm₀), трудо¨емкость (k+ 1)-го шага не пре- вышает O(m₀), и трудо¨емкость всего алгоритма оценивается величиной kO(m₀logm₀)6O(nlogm₀). Теорема 2 доказана.

2. Задача с произвольными ограничениями на объ¨емы производства

В предыдущих разделах рассмотрена задача размещения (1)–(5), где условие (5) накладывает одинаковое ограничение на производственные мощности всех предприятий. Большой интерес представляет и общая по- становка задачи, когда предприятия могут иметь различные мощности.

В этом разделе привед¨ем модификацию алгоритма A, которая будет на- ходить решение задачи с произвольными мощностными ограничениями.

Таким образом, рассматриваем задачу размещения (1)–(4)

C(x) = Xm

i=1

g_i⁰x_i+ Xm i=1

Xn j=1

g_ijx_ij −→ min

xi,xij

,

Xm i=1

x_ij =b_j, j ∈J,

Xn j=1

x_ij 6d_ix_i, i∈I,

xij >0, xi ∈ {0,1}, i∈I, j∈J,

с тем же предположением относительно вероятностного распределения значений транспортных расходов, что и ранее: gij, i∈I, j ∈J, — значе- ния, заданные независимыми случайными величинами из классаU[1, r].

Без ограничения общности будем считать, что предприятия и пункты спроса занумерованы так, что d₁ 6. . .6d_m иb₁ 6b₂ 6. . .6b_n.

2.1. Описание алгоритма. Дадим описание алгоритма Aeрешения данной задачи.

Начало работы.Найд¨ем множество I₀, заданное следующим обра-

зом: X

i∈I0

g_i⁰= min

I^′⊂I

nX

i∈I^′

g_i⁰ | X

i∈I^′

d_i>X

j∈J

b_jo .

Это частный случай обратной задачи о ранце и для е¨е решения будем ис- пользовать метод динамического программирования (см., например,[4]).

Без ограничения общности перенумеруем предприятия таким образом, что I₀ ={1, . . . , m₀} для некоторогоm₀6mи d₁ 6. . .6d_m0.

Шаг 1.Находим значения d^′_i =d_i−d₁,i∈I₀,

n^′ = arg max

s

(

s6n|X

i∈I0

d^′_i 6 Xn j=s

b_j )

.

Обозначим черезJ^′множество пунктов спроса{n^′, n^′+ 1, . . . , n}. Рас- смотрим транспортную задачу (I₀, J^′), в которой потребности клиентов заданы какb^′_j =bj, j∈J^′, а мощности предприятий заданы какd^′_i,i∈I0. Находим допустимое решение этой задачи методом северо-западного уг- ла, в результате чего останется только один клиент из J^′, чья потреб- ность не была удовлетворена в полном объ¨еме. Обозначим это решение черезx^′_ij, i∈I₀, j∈J^′.

Шаг 2. Рассмотрим транспортную задачу (I₀, J^′′), заданную следу- ющим образом:I₀ ={1, . . . , m₀}, J^′′ ={1, . . . , n^′}, d^′′_i =d₁, i∈I₀,

b^′′_j =





b_j при j < n^′, Pn

i=n^′

b_j − P

i∈I0

d^′_i при j=n^′.

Задача(I0, J^′′)является задачей размещения с одинаковыми ограничени- ями на объ¨емы производства. Поэтому для её решения применяем алго- ритмA, построенный в разд. 1. Обозначим полученное решение черезx^′′_ij, i∈I0, j∈J^′′.

Завершение алгоритма.После успешного прохождения предыду- щих шагов алгоритма имеем допустимые решения соответствующих под- задач x^′_ij, i∈I0, j∈J^′, иx^′′_ij, i∈I0, j∈J^′′.

Построим теперь решение x^A_i^e, x^A_ij^e исходной задачи размещения сле- дующим образом:

x^A_i^e=

1 при i∈I₀,

0 в противном случае,

x^A_ij^e=









x^′′_ij приi∈I0, j < n^′, x^′_ij +x^′′_ij приi∈I0, j =n^′, x^′_ij приi∈I₀, j > n^′, 0 в остальных случаях.

На этом работа алгоритма завершена.

2.2. Анализ алгоритма. Определим условия, при которых постро- енный алгоритм будет асимптотически точным. Для этого введ¨ем допол- нительные обозначения: обозначим черезDmax(n)и Dmin(n) максималь- ную и минимальную мощность предприятий изI соответственно (в силу нашего предположенияD_max(n) =d_n иD_min(n) =d₁).

Теорема 3. При p > ^λln_m^m0

0 , λ > 10, m₀ = n^θ для θ ∈ _λ+2⁶ ,¹₂ и B(n) = o(n^1−2θ), Dmax(n)−Dmin(n) = o(n^1−2θ) алгоритм Ae решения задачи размещения (1)–(4) на входных данных, заданных случайными величинами из класса U[1, r], имеет трудо¨емкость O(n^2(1−θ)m), относи- тельную погрешность ^{B(n)+(Dmax(n)−Dmin(n))}

n^1−2θ и вероятность несрабатыва- нияO(n^1−θλ+26 ).

Доказательство. Очевидно, что вероятность построения недопу- стимого решения стремится к 0 (рассуждения полностью аналогичны доказательству леммы 1). Покажем, что относительная погрешность ал- горитма также стремится к 0с ростом n.

По построению алгоритмов Aeи A верна следующая оценка стоимо- сти решения:

C(x^Ae) = Xm i=1

g⁰_ix^A_i^e+ Xm i=1

Xn j=1

g_ijx^A_ij^e=

m0

X

i=1

g_i⁰+

m0

X

i=1 n^′

X

j=1

g_ijx^A_ij^e

+ Xm i=1

Xn j=n^′+1

g_ijx^A_ij^e6

m0

X

i=1

g_i⁰+

n^′X−m0

j=1

b_j+

n^′

X

j=n^′−m0+1

rb_j+ Xn j=n^′+1

rb_j.

Оптимальное решение оценивается снизу:

C(x^∗) = Xm i=1

g_i⁰x^∗_i + Xm

i=1

Xn j=1

gijx^∗_ij >

m0

X

i=1

g⁰_i + Xn j=1

bj.

Для относительной погрешности построенного решения имеем следу- ющую цепочку соотношений:

C(x^Ae)−C(x^∗) C(x^∗) 6

n^′P−m0

j=1

b_j+ ⁿ P′

j=n^′−m0+1

rb_j+ Pⁿ

j=n^′+1

rb_j− Pⁿ

j=1

b_j Pn

j=1

b_j

=

(r−1) ⁿ P′

j=n^′−m0+1

b_j+ (r−1) Pⁿ

j=n^′+1

b_j Pn

j=1

b_j

6(r−1)

m₀B(n) +

m0

P

i=1

d^′_i Pn

j=1

b_j

6 m₀ λlogm₀

m₀B(n) +m₀(D_max(n)−D_min(n)) Pn

j=1

bj

6 m²₀B(n)

n +m²₀(D_max(n)−D_min(n))

n .

В силу условий теоремы верно неравенство C(x^Ae)−C(x^∗)

C(x^∗) 6 B(n) + (D_max(n)−D_min(n))

n^1−2θ 6 o(n^1−2θ) n^1−2θ .

Таким образом, относительная погрешность построенного алгоритма стремится к0 с ростомn.

Трудо¨емкость Ae определяется начальным шагом алгоритма, когда находим множествоI₀и значениеm₀(трудо¨емкость остальных шагов ал- горитма не превышает трудо¨емкостиA). Применяем метод динамическо- го программирования, который имеет трудо¨емкость порядкаO P

j∈J

b_jm (см., например, [4]). В силу условий теоремы

X

j∈J

b_jm6nB(n)m6o(n^2−2θm).

Таким образом, трудо¨емкость алгоритмаAeне превышаетO(n^2(1−θ)m).

Теорема 3 доказана.

Заключение.

В данной работе рассматривалась задача размещения производства на входных данных, заданных независимыми случайными величинами, имеющими равномерное распределение на целочисленном сегменте. Про- ведены исследования двух постановок задачи — с одинаковыми и про- извольными ограничениями на объ¨емы производства предприятий. Для