В. А. Курчатов, Об условиях применения одного мето- да линейной интерполяции для решения функциональных уравнений, Изв. вузов. Матем., 1975, номер 8, 55–63

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. А. Курчатов, Об условиях применения одного мето- да линейной интерполяции для решения функциональных уравнений, Изв. вузов. Матем., 1975, номер 8, 55–63

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 16:00:05

1975 МАТЕМАТИКА М 8 (159)

УДК 517.948 В. А. Курчатов

ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНЕНИЯ ОДНОГО МЕТОДА ЛИНЕЙНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

В [1] предложен новый метод приближенного решения функ­

циональных уравнений. Была доказана сходимость метода к точному решению, если начальные, приближения хг, х0 достаточно близки к нему.

В данной статье определены условия, позволяющие в окрест­

ности выбранного начального приближения хх установить существо­

вание точного решения и сходимость к нему исследуемого про­

цесса. Установлена область, где точное решение, к которому сходится итерационный процесс при начальных приближениях хъ х0, единственно. Приведены оценки погрешности получаемых прибли­

женных решений. Рассмотрено применение доказанных теорем к решению систем уравнений /г(Нь ... , Sm) = 0, i = l , 2 , . . . , т, на случай которых предлагаемый метод, обладая простотой и скоростью сходимости одного из основных методов решения упомянутых уравнений — метода Ньютона, требует вычисления значений т функций ft(iv ... , lm), в то время как по методу Ньютона прихо­

дится находить не только значения т указанных функций, но и, вообще говоря, т2 производных df-t (?,, ... , £m)/<%, что связано не только с большой вычислительной работой, но и сильно загружает оперативную память ЭВМ, при этом выражения производных могут оказаться настолько громоздкими, что использование метода Ньютона становится невозможным. Рассмотрено также применение доказанных теорем к решению интегральных уравнений

1

.x(s)—[K(s, t, x(t))dt = 0.

о

Аналогично, как и в предыдущем случае, исследуемый метод можно применять и тогда, когда применение метода Ньютона, в силу упомянутых причин, становится затруднительным.

1°. Пусть

Р(х)==0 (1.1)

— нелинейное функциональное уравнение с трижды дифференци­

руемым по Фреше оператором Р(х), действующим из нормирован­

ного пространства X типа В в нормированное пространство Г того же типа. Построим метод приближенного решения уравнений (1.1) следующим образом.

56 В. А. Курчатов

Заменим нелинейный оператор Р(х) в некоторой выпуклой окрестности гг, содержащей элементы хг, х0, 2х1 — х0 (начальные приближения), линейным Q(x):

Р(х)« Q(x) = P(Xl) + Н(х0, хх) (x-xj,

где Н(х0, Xi) — оператор такой, что погрешность приближения оценивается неравенством

: №(x)-Qm<\\x-x ^l \\{tx-x ^l up"(x)\ ^ri +:

+ jlx¹-x⁰f\P'»(x)lⁱ}. (1.2) В качестве Н(х0, хх), при котором условие (1.2) выполняется, можно

взять, напр., разделенную разность (см. [2]) Н(2х1 — х0, х0) опера­

тора Р(х). За приближенное значение к точному решению нелиней­

ного уравнения Р(х) = 0 примем решение х2 линейного Q(x) = 0, которое, в случае существования обратного оператора Н~х (xQ, хх), определяется по формуле

х2 = хх — Н*1 (х0, хх)Р(хх). (1.3) Этот процесс — процесс определения последующих приближений

через предыдущие, продолжаем и далее, при этом последовательные приближения определятся по формулам, аналогичным (1.3). Таким образом мы приходим к следующему методу:

*я+1 = хп - н~1 (хп-и хп) Р(хп), (1.4) где Н(хп_х, хп) — Нп — линейный оператор; для которого

\\Р(х)-Р(ха)-Н(хп_х, хп)(х-хпЦ<

< } \х-хп\ { l ^ - x J | P " ( x ) l1 + } k „ - ^ _1| |2| PwW t , } . (1.5) Условие (1.5) можно заменить на равносильное ему, состоящее в том, что

ip'ixJ-HiXn-uXj^jlXn-Xn-lflP^Ml. , ( 1 - 6 )

Построенный метод для случая вещественных уравнений с одним неизвестным имеет простую геометрическую интерпретацию: за приближенное значение корня уравнения принимается корень интерполяционного многочлена первой степени, построенного с помощью элементов хп, хп_х и удовлетворяющего условию (1.5) или (1.6). При Нп = Н(2хп — хп_и хп_х) получим частный случаи метода (1.4):

xn+i = хп — Н (2хп — хп_х, хп_1)Р(хп).

В этом случае за приближенное значение корня принимается корень интерполяционного многочлена, построенного по узлам

*Хп Xn-U Хп-\- ,

Условия сходимости метода (1.4) устанавливают следующие теоремы.

Т е о р е м а 1. Пусть для элементов хх, x0 выполнены условия:

1) оператор Нх имеет обратный НГ1, причем известна оценка его нормы

\Н~Ч<ВХ\ (1-7)

2) элемент хх приближенно удовлетворяет уравнению (1.1), при этом

\НТ1РЛ<Ъ, (1.8)

и, кроме того, начальный элемент х0 выбран близким к хь

а именно

8*i-*oll = 7io<Y)b (1-9)

3) операторы Я2 (х, Ах) и Я3 {х, Ах) — аналоги разностных отношений второго и третьего порядков, для которых при Дх—>-0

||Я2 (х, Ах) - Р" (х) || - 0, 1Я3 (х, Ах) - Р'" (х) | - 0, (1.10) ограничены

\ Я2 (х, Ах) 1 < М, | Я3 (х, Ах) || < N (1.11) для всех х из области (1.16) # Дх£Х такого, что

0 < | | Д х | | < е , (1.12) где s — произвольно малое положительное число;

4) постоянные щ, Bv M, N удовлетворяют неравенствам

0 < Pl = 1 - /г {2 -f в, (/, + 1/Х)} < 1, (1.13)

0 < ^ = X VA< 1 , (1.14)

в которых H^2NlZBlMi, ll = ~BlM'i\l, a X — положительный ко- оень уравнения

( l - 2 /1- £1/ ? ) X2- ( l + E1/1) X - £ i = 0. (1.15) Тогда уравнение (1.1) в окрестности хь точнее в области

Гг-Нх-х.К-^—щ), (1.16) имеет решение х* и к нему сходится итерационный процесс (1.4),

начиная с приближений х0, хх, я./ш этом погрешность получаемых приближенных решений оценивается неравенством

\хп-х*\< ~^r-qf~1-1 4i, « = 1 , 2,... (1.17)

1—A?i

Д о к а з а т е л ь с т в о . ' Покажем, что при переходе от х0, х, к х,, х2 условия 1) — 4) теоремы не нарушаются. Прежде всего отметим, что элементы х2 и 2х2 —х, лежат в области rv Установим существование оператора Щх. Для этого сначала оцениваем норму

W1-H2\\<\\Hl-P'(xl)\\ + lH2-P'(x2)\ + \\P'(xl)-P,(x2)\\<

<j(t + Ч§) 1Р'" (•*) I + m sup || Р" (I) |.

0<в<1

Далее, по третьему условию теоремы || Р" (х) \ < М, | Р'" (х) ^ < N, поэтому, приняв во внимание, что для элемента х0 выполняется щ<-ц1} имеем \HTl(Hl-Hi)\<ll{2 + el(ll + 1/Х)} = 8 , < 1 . Отсюда согласно известной теореме Банаха можно сделать вывод о суще­

ствовании оператора {/ — НТХ {Нх — Я2)}- 1 = 5Г1, и, следовательно, оператора ( Я Д )- 1 =. Я^1,; причем ||Я2-11| < В1/р1 = 52. Поэтому ус­

ловие 1) для элементов хь х2 выполняется.

58 В. А. Курчатов

Оценим теперь \\Н2~1Р2}- Полагая я = 1 т&х — х2 в (1.5), получим IIРix2)II < - у IъМ + — f^Nl, откуда после несложных преобразо­

ваний приходим к оценке ||//^1Р28< M i + l)/fh/A < (l+elX""1)/i'V/'r Поскольку X —корень уравнения (1.15), то

( l ; +ei A ) / Tl e s> - (1.18) Учитывая (1.18), окончательно имеем f/Z^PJ < A/,7)1=7j2. УсловиеЗ)

будет выполнено и для элемента х2, т. к. соответствующий ему шар, как мы убедимся ниже, не выходит за пределы шара (1.16).

Далее, т. к. В2 > Вь то е2 < въ к тому же

поэтому 0 < рх < /»2 < 1 и 0 < q2 < ^ < 1 и, следовательно, условие 4 не нарушается.

Перейдем теперь к проверке третьего условия теоремы. Для этого покажем, что r2arv Пусть z — произвольный элемент шара г2. Тогда в силу того, что ^2^2 == ^^2 < ^Л =/'i9'i' имеем неравенство

\г - Л] ||< || z - *2| + ||л;2 - х, || < — 2 — т|2 + -»ji <

/ Л I 2Wi \ ^ 2

< ( 1 + - L— ) ^ < - 7]Ь

из которого и следует, что ^ c z r j .

Процесс нахождения приближений хп можно продолжить, при этом получим числа \ , Вп, М, N, связанные соотношениями:

% = К-Яп-1> (1-19) ln = UUlPl. (1.20) Из формул (1.19) и (1.20) вытекает, что rfln = p"~'1 q2"~ - 1 "4t, ri=\, 2, ...

Далее, т. к. \\ха+1 — лп||<7]я, # = 1 , 2 , . . . . , то имеем неравенство

К + , - * J < S

4»

/<4^r

^""

-

s'tafTV, (i.2i)

свидетельствующее о сходимости последовательности {хп} к неко­

торому пределу х*, при этом, устремляя v—»oo, приходим к оценке

\\хп-х«\\<—£^ ^ Г1-1^ , , й - 1, 2, ... (1.22) Докажем теперь, что предел х*, к которому сходится после­

довательность {хп}, является решением уравнения (1.1). Согласно (1.4) имеем .

\\P(xn)\\<x\mi (1.23)

Убедимся, что |Я„|— ограниченная величина:

В силу ограниченности \НЦ\ правая часть неравенства (1.23) стре­

мится к нулю при п—>оо, поэтому 0—LimP(xn) = P(x*). Наконец, полагая д = 1 в неравенстве (1.22), получим, что решение л;* нахо­

дится в области гу. Доказательство теоремы завершено.

З а м е ч а н и е . Условие (1.8) можно заменить на более просто формулируемое условие, состоящее в выполнении неравенства 1^(^01 < 4 i . т- к- ПРИ э т о м условие (1.8) будет выполнено с постоян­

ной tjl = fi1ii"i>||//r1/,i|[- В соответствии с этим условие 4) теоремы запишется с /г =-— МВщх.

Отметим, что условие (1.8) допускает запись •>], == | х , — х{ \\, часто более удобную в применениях.

Т е о р е м а 2. Пусть s — первый номер итерации, начиная с которого выполняется неравенство

-_*('4^ + — ^ « Г о - (1.24)

х Тогда в области

1—Pi<fi

г," (»*-*,!< Pl д_г ?f \ \ (1.25) I 1 —Pie? I

точное решение х*, к которому сходится процесс (1.4) при на­

чальном приближении х0, xlf единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего отметим, что согласно (1.22) точное решение x*£rs. Установим теперь, что решение х*

единственно в области г,. Для этого предположим противное:

полагаем, что в области rs существует еще решение х. Покажем сначала существование оператора [P'ix)]"1 при любом x£rs. В пре­

дыдущей теореме установлено, что гп+1сги /г = 1, 2, ... Учитывая это, имеем неравенство

tH74Hs-P' (xm<Bs{\\Hs-P's\\ + \\P's~F (x)\}<as<l, из которого согласно теореме Банаха следует существование тре­

буемого оператора при любом x£rs.

Далее, для каждого линейного функционала L по формуле конечных приращений имеем

L{P(x*)-P(x)} = L{P'(х + ъ*(х*-~х))(х*-х)}, (1.26) где t* — некоторое число из интервала [0,1]. Так как Р(х*) = 0

и Р{х) — 0, то из (1.26) получим

L {Р' (х + ?* (х* - х)) (х* - х)} = 0. (1.27) Поскольку равенство (1.27) справедливо для каждого линейного

функционала, то

Р'(х + т* (х* - jc)) (х* - х) = 0. (1.28) Элемент z = х + т* (х* — х) согласно неравенству

\г-ха\<\*(х*-хЛ) + (1-*)(х-ха)\<

<тал(\х*-ха\, \х-ха\)<—&—

о1 —Ps4s

принадлежит области rs, поэтому оператор [Р' (г)]-1 существует и вследствие этого из (1.28) окончательно получаем х* — х=0.

Теорема доказана.

60 В. А. Курчатов

2°. Рассмотрим некоторые применения приведенных : теорем,.

Пусть (1.1) — вещественное уравнение. Выбрав

п//„ v \ Р \2хп хп—\) — Р \хп—i)

приходим согласно (1.4) к следующему методу решения упомянутых уравнений:

х

= х

~ [Р^п-^-Р^у

по отношению к которому теоремы 1, 2 формулируются очевидным образом.

В случае системы т вещественных уравнений с т неизвестными

/ , ( * , , . . . , U = 0, i=l, 2 , . . . , т, (2.2) последовательные приближения определяются из системы уравнений

для поправок

т

S hjf (f

- If) = -//*>, i = 1, 2, ... , т, (2.3)

где

h(n):e

Л(е1">, - , 2 £ f - ^ - ' > , . . . , ^)~fj^,....,#-'>, - , ' е Ь

причем по добавочному условию функция h\f,l$\ ... , im}) при усло­

вии \f ==1ГХ) Равна д / , ^ , ... , &я ))/#; :

Отметим, что при решении конкретных задач в случае 1у") = 5у"-1'" с целью избежания вычисления производной

<?/ft (?|л), ... , $т)1д%], при сложном аналитическом выражении ее, можно вместо приближения %f\ равного lf~l\ взять любое ^f\, близкое к £/*_1), что, очевидно, не окажет существенного влияния на скорость сходимости итерационного процесса.

Обозначим через АД- конечную разность, построенную по пе­

ременной lj, используя узлы £,-.•—£, %j + \ для некоторой функции

^ ( 1Ь ... , lm). Тогда Н2(х, Дх), Ня(х, &х) представятся матрицами вида

|ДНД*ФЛ)} II

Н

{х,Ьх)-\±Ш.

853 II . . . А £, Л /==1,2, ... , т. ... ...

Рассмотрим систему (2.2) как одно уравнение Р(х) = в, в ко­

тором оператор Р переводит /га-мерное пространство в /га-мерное.

Используя метрику Ет (евклидово пространство), из теорем 1 и 2 получим следующую теорему.

Т е о р е м а 3. Пусть для элементов x1 = (^i\ ... , $?), x0 = (t,?\... , Ф) выполнены, условия:

1) матрица \hf}\ имеет обратную \\ Ап/А\\ (Д — определитель матрицы, Ап — алгебраические дополнения ее элементов), причем

• т • .

w O W * * - ••••'

'

2). элемент хх

системе (2.2) и

(Г,

&(2)

, &т) приближенно удовлетворяет

а элемент х0 = (Щ. ⁽⁰⁾ , 5JJ?) выбран так, что

т

г = 1

ft, г , ; = 1

#» J. <Л*2, ^

m.

ММАуЛ)П* <N2 (2.5) для всех элементов x = (!j, ... , lm) из области (2.6) и каждого % из интервала 0 < 11 | < е, где е — произвольно малое положитель­

ное число;

4) постоянные ч\х, Вх, М, N удовлетворяют неравенствам (1.13)-(1.14).

Тогда в области

'.-!/"§«.-«-)•<

/ т.

У 5'

^{< л}

п-1 on—1

•Р1Ч1

, 1 - 1 ,

при этом решение, к которому сходится процесс, будет един­

ственно в области, определяемой неравенством .

I / т s_^\

^1

Доказательство теоремы состоит в простой проверке условий теорем 1 и 2.

З а м е ч а н и е . При использовании приведенной теоремы для решения конкретных1 систем уравнений установить оценки (2.5) можно, напр., следующим образом. Выбирается произвольное число %, достаточно близкое к,нулю, и оцениваются суммы по всем x = (£j, ... , lm) из области (2.6). Затем, несколько завысив получен­

ные оценки, в силу непрерывности частных производных функций /Д?1, ... , Sm) и близости S к нулю, получим числа М и N, удовле­

творяющие условию (2.5).

Рассмотрим теперь нелинейное интегральное уравнение

Р(х) = x{v)-~ ]K{v, t; x(t)) <#-.=.• 0, (2.7)

62 В. А. Курчатов

где К {v, t, x (t)) —непрерывная функция своих аргументов, трижды дифференцируемая по х. В этом случае приближение хп+1 (v) опре­

деляется из линейного интегрального уравнения

о

(2.8) где

0

Обозначим через Д^фО*:) конечную разность, построенную по переменной х, используя узлы х — Дл, х + кх для некоторой функции ф(л:). Если рассматривать оператор Р как оператор из С в С, то приходим к следующей теореме.

Т е о р е м а 4. Пусть выполнены, условия:

1) для элементов Xi(v), x0(v) ядро

K(v,t, 2MQ - *о (0) - * (P. f. -УО (0) /:(л /,. д

•2(лг,(0-*о(0) ' имеет резольвенту О (v, t), причем

1

j |G (г», t)\dt<B;

о

2) элемент хх{р) приближенно удовлетворяет уравнению (2.7), I -*2 С°) ~ •*! С0) I <• ^l' а элемент xQ(v) выбран так, что \ xt (v) — - Хо (v) | < щ;

3) ^Д*(АхЮ

4Д*2 <Af, . М М М О }

8Дл:3 : N в области, определяемой неравенством (2.9);

4) постоянные г[ь В, М, N удовлетворяют условиям 0<.р1 =

— 1 - /, {2 +-е, (/,+ 1/Х)} < 1, 0 < ql = */,//>, < 1, где /, = 1 Af (1 + 5) ч„ е1:=2./у/3(1 + В)М2, а X — положительный корень уравнения (1.15).

Тогда уравнение (2.7) в области

г, =»f| *(*>)-.*, (*>)!< 1 - 2 — 4 i } (2.9) имеет решение л;* (г»), А: которому сходится процесс (2.8) с быстро­

той, характеризуемой оценкой

\x4v)-xn(v)\<—^zr « Г ' " ' * ,

1—/>i?i

«j7M э/гаол* получаемое решение будет единственно в области, опре­

деляемой неравенством

\x(v)-xs(v)\< Pl s_- gf ' " Ч -

l—p^xq\

Доказательство теоремы, как и выше, сводится к непосредствен­

ной проверке условий теорем 1 и 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. К у р ч а т о в В. А. Об одном методе линейной интерполяции решения функциональных уравнений. ДАН СССР, т. 198, № 3, 1971, с. 524—526.

2. С е р г е е в А. С. О методе хорд. Сиб. матем. журн., т. II, № 2, 1961, с. 282—289.

г. Казань Поступила 28 III 1972