А. А. Абрамов, Л. Ф. Юхно, Нелинейная спектральная задача для уравнения типа Штурма–Лиувилля со связанными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1999, том 39, номер 7, 1119–1133

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Абрамов, Л. Ф. Юхно, Нелинейная спектральная задача для уравнения типа Штурма–Лиувилля со связанными граничными условиями, зависящими от спектрального параметра, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1999, том 39, номер 7, 1119–1133

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:20:29

1

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 1999, том 39, № 7, с. 1119-1133

УДК 519.6242

НЕЛИНЕЙНАЯ

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я З А Д А Ч А Д Л Я У Р А В Н Е Н И Я

ТИИА

Ш Т У Р М А - Л И У В И Л Л Я С О С В Я З А Н Н Ы М И Г Р А Н И Ч Н Ы М И У С Л О В И Я М И , З А В И С Я Щ И М И О Т С П Е К Т Р А Л Ь Н О Г О

П А Р А М Е Т Р А ¹ )

©1999 г. А. А. Абрамов*. Л. Ф. Юхно**

i (*117967 Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН;

**125047 Москва, Миусская пл., 4а, МММ РАН) Поступила в редакцию 19.03.98 г.

Для задачи, указанной в названии, предлагается и исследуется метод вычисления числа соб­

ственных значений (СЗ), лежащих на заданном отрезке изменения спектрального параметра (СП), и метод вычисления СЗ с заданным номером. Выясняются также некоторые свойства общей самосопряженной спектральной задачи для гамильтоновой системы произвольного порядка.

1. П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И Рассматривается скалярное уравнение

[p(t, Х)У - r(t^; X)yJ + Ht, Х)У + q(t, Х)у = 0, 0 < t < Т. (1.1) З д е с ь p n q - в е щ е с т в е н н ы е функции независимого переменного t и С П X, А{ < Х< А2 (не исклю­

чена возможность А\ = - о о или Л² = +<*>), непрерывные по (г, X), г - комплексная непрерывная функция (t, X); р > 0.

Уравнение (1.1) дополняется связанными граничными условиями У(0)

У(Т)

= 0, (1.2) р ( 0 , Х)у'(0)-г(0, Х)у(0)

-р(Т, Х Щ Г ) + г(Г, Х)у(Т)

г д е / и g - комплексные (2 х 2)-матрицы, непрерывно зависящие от X, rank||/, g|| = 2⁹fg* = gf*.

Далее на характер зависимости р, q, r,f, g от X накладываются ограничения типа монотонно­

сти.

Используя результаты [1], мы даем метод вычисления числа С З задачи (1.1), (1.2), лежащих на заданном отрезке [Х\ Xй], без вычисления самих С З , а в случае, к о г д а / и g не зависят от X, - определение номера С З и метод вычисления С З с заданным номером, игнорируя другие С З . Приводятся результаты численных экспериментов.

Классическая спектральная задача Штурма-Диувилля со связанными граничными условия­

ми, не зависящими от СП, исследовалась неоднократно. В [2] приводятся теоремы о взаимном расположении С З такой задачи и С З некоторой вспомогательной задачи с разделенными гра­

ничными условиями. В [3] эти результаты обобщаются на широкий класс задач. В пакете про­

грамм SLEIGN2 реализован, в частности, численный метод определения С З и соответствующей собственной функции (СФ) с заданным номером; соответствующие публикации и программы до­

ступны через Интернет (http : //www.math.niu.edu/-zettl/SL2).

Предлагаемая работа использует методы, отаичные от методов упомянутых работ. Рассмат­

риваемая здесь задача является более общей. Ода допускает более общий вид уравнения, воз­

можность нелинейного вхождения СП, возможность зависимости от него граничных условий.

Последнее существенно отличает предлагаемую работу от [4].

^ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов

*99-01-00331, **99-01-00958).

1119

1120 АБРАМОВ, ЮХНО

2. С Л У Ч А Й О Б Щ Е Й Г А М И Л Ь Т О Н О В О Й С И С Т Е М Ы

Рассмотрим спектральную задачу для гамильтоновой системы обыкновенных дифференци­

альных уравнений со связанными граничными условиями.

2.1. Пусть задано векторное уравнение

Л = A(t,X)z, 0<t<T. (2.1) Здесь z: [0, 7] —+ С²" при фиксированном X, А: [0, 7] х (А^ь Л²) — ^х . 2 ^ Д _ ^?д непрерывна

по совокупности аргументов,

/ 0

I- единичная (п х /?)-матрица.

Далее в случае надобности мы разрезаем матрицы на блоки, представив размер 2п в виде п + я.

Так,

^ 1 2

^ 2 1 ^ 2 2 ^ 2

и система (2.1) записывается в виде

—Z2 — ^ 1 1 ^ 1 + ^ 1 2 ^ 2 » ^ 1 = ^ 2 1 ^ 1 + ^ 2 2 ^ 2 ' (2.2)

ГДС Aⁿ = Afj , А22 = А*2 ' ^ 1 2 = ^ 2 1 •

Дополним уравнение (2.1) граничными условиями

/а)

^{z,(0) z2(0)}

^{= о,}

^(2.3)

-z²(T)

г д е / и g - комплексные (2п х 2гс)-матрицы, непрерывно зависящие от X, rank||/, g\\ = 2я. Предпо­

ложим, что

. / * * = (2.4) Граничные условия (2.3), удовлетворяющие соотношениям (2.4), - самые общие самосопря­

женные многоточечные краевые условия для гамильтоновой системы (2.1).

Отметим, что если умножить м а т р и ц ы / и g слева на одну и ту ж е невырожденную (2п х 2п)- матрицу, то смысл условия (2.3), rank/, rankg, rank||/, g|| и соотношение (2.4) сохраняются.

2.2. Используем метод сведения задачи для системы обыкновенных дифференциальных урав­

нений со связанными граничными условиями к задаче с разделенными граничными условиями, предложенный в [5].

Введем для 0 < t < Т/2 функции Ац(0 = А^Т-f), z^x (t) = z^x(T-1)⁹ z² (0 = -z²(T-1) (минус перед z²(T-i) взят для того, чтобы непосредственно применять результаты [1]). Получим в дополнение к (2.2) систему

-z² - A n i l - A12Z2, z\ = - A²\z^{ + A^{2 2}i². (2-⁵) Введя

z, = , z

²

=

^z2

Z-2

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999

1 1

НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА объединим (2.2) и (2.5) в единую гамильтонову систему:

1 1 2 1

-z; = z; =

Аи Q

Z, + А^{1 2} 0 0 Аи 0 - А ¹² А^п 0 А^{2 2} 0 0 - A i l Г'О А^{2 2}

z

²

, z

²

.

(2.6)

Очевидно, z и z (z = \\z], z²\ ) связаны при t = 7/2 соотношениями z , ( 7 V 2 ) . = £i(7V2), z²(7V2) = - i²( 7 Y 2 ) , что может быть записано в виде

0 0

Z^{(T/2) + 0 0 Z²(T/2) = 0. (2.7) Граничное условие (2.7) самосопряженное:

-/1 0 0 *

0 0 - / / 0 0 ,

II

^{/ /}

II

^{0 0}

Условие (2.3) имеет вид

//.,(())^{+ g}Z²{0) = 0 • (2.8)

и т а к ж е является самосопряженным в силу предположения (2.4).

Тем самым задача (2.1), (2.3) со связанными граничными условиями приведена к самосопря­

женной задаче (2.6)-(2.8) на [0, Г/2] с разделенными граничными условиями.

2.3. Для возможности применения метода, предложенного в [1], дополнительно наложим сле­

дующие ограничения:

А²² > 0; • i

А не убывает по Я (Х²> Х^{ => A(t, Х²) > A(t, Я,));

для вещественного со, удовлетворяющего условию det(/> cog) Ф 0 на некотором интервале из­

менения X, эрмитова матрица (/"+: (Og)~^lg не возрастает по X на этом интервале (для случая, когда / и g дифференцируемы по Я, это условие эквивалентно следующему: эрмитова матрица -fig* -

- grf* неотрицательно определена);

каждое С З задачи (2.6)-(2.8) изолированное.

Легко видеть, что при сделанных предположениях матрица объединяющей гамильтоновой системы (2.6) не убывает по Я и ее правый нижний (2п х 2гс)-блок положительно определен.

Приведем результаты [1], которыми будем пользоваться, формулируя их для задачи (2.6)- (2.8).

Определение. Точка Г*, 0 < t* < Г/2, для взятого значения Я называется точкой, сопряженной левому концу (ТСЛК),\..если существует нетривиальное решение задачи (2.6), (2.8), удовлетворя­

ющее условию Z^x(t*) = 0; число таких линейно независимых решений называется кратностью этой Т С Л К . Аналогично определяется понятие точки, сопряженной правому концу (ТСПК).

Возьмем какое-либо значение Я, не являющееся С З задачи (2.6)-(2.8). Возьмем точку t, не яв­

ляющуюся для этого Я ни ТСЛК, ни Т С П К . Условие (2.8), перенесенное в t с помощью уравне­

ния (2.6), приводится к виду

z

²

(t) = fi;(?)z,(/),

условие (2.7) - к виду

Z²(?) = B^r:(?)Z¹(?);

здесь В^ги В^Г - некоторые эрмитовы матрицы, det(#^r - B^t) Ф 0.

5 ЖУРНАЛ В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И Т О М 39 № 7 1999

1122 АБРАМОВ, ЮХНО

Пусть ki - число Т С Л К с учетом их кратности, лежащих на (0, t),k^r- число Т С П К с учетом их кратности, лежащих на (?, Г/2) (при сделанных предположениях к^{ и к^г конечны), и пусть к⁰ - по­

ложительный индекс инерции эрмитовой матрицы В^г-В^{. Составим число

N(X) = k^t + k^r + k⁰. (2.9)

Оказывается, N(X) не зависит от выбора t.

Функция N(X) при А^{2 2} > 0 имеет следующую интерпретацию. Составим для Я, не являющегося С З задачи (2.1), (2.3), вспомогательную линейную спектральную задачу

-^z\ = ( A^{1 1 +} p / ) .^{Z l}+ A^{1 2}z², ^z\ = A^2]Z]+A²²z² (2.10) с граничными условиями (2.3); здесь р является СП. Тогда N(X) равно числу отрицательных С З

этой задачи с учетом их кратности.

Рассмотрим сначала случай, к о г д а / и g не зависят от X. Возьмем X и А,", X < Х\ не являющиеся С З задачи (2.6)-(2.8). Тогда N(X") - N(X) равно числу С З , лежащих на [Х\ X^й]; здесь каждое С З считается с учетом его кратности (кратность С З - это число линейно независимых решений за­

дачи (2.6)-(2.8)). Номером С З X* задачи (2.6)-(2.8) называется каждое число к, удовлетворяющее условию

N(X*-0)+-l<k<N(X* + 0)\ (2.11) тем самым кратное С З имеет несколько номеров. Очевидно, С З является неубывающей функ­

цией своего номера.

Для линейной спектральной задачи (2.10), (2.3) номер С З р - это его место при перечислении С З слева направо с учетом их кратности.

Возможность вычислять N(X) и монотонность этой функции позволяют организовать стрель­

бу по X для нахождения С З с заданным номером.

Вычислив нужное С З , получим соответствующую СФ, используя для отыскания нетривиаль­

ного решения уравнения (2.6) с разделенными граничными условиями (2.7), (2.8) известные ме­

тоды (см., например, рекомендации [1]).

Е с л и / и g зависят от X, то м ы в общем случае не вводим понятие номера С З . Для определения числа С З , лежащих на [Х\ X^й], к величине N(X") - N(X) добавляется число ТСЛК, ушедших с (0, Т/2) через левый конец при изменении X от X до А" (так как граничное условие (2.7) не зависит от X, то соответствующий учет на правом конце отпадает). Число Т С Л К , ушедших с (0, Т/2) че­

рез левый конец, вычисляется следующим образом. Разбиваем [Х\ X'] на части, на каждой из ко­

торых можно брать постоянное со такое, что det(/*+ cog) Ф 0; вычисляем разность отрицательных индексов инерции эрмитовых матриц ( / > cog)^{_ 1}g, взятых на концах каждой из частей; суммируем полученные таким образом для отдельных частей числа.

В [1] дается способ (далее он не понадобится) определения числа Т С Л К и числа Т С П К , лежа­

щих на заданном интервале изменения независимого переменного t, без вычисления самих этих точек. В [6] дается обобщение предложенного в [1] метода (оно т а к ж е далее не понадобится) на случай А^{2 2} > 0.

2.4. Тем самым задача (2.1), (2.3) при сделанных предположениях полностью укладывается в класс задач, к о т о р ы е могут быть решены методом из [1]. Однако имеет смысл рассматривать за­

дачу (1.1), (1.2) как самостоятельную, хотя она и приводится к виду (2.1), (2.3), так как для нее ряд этапов метода из [1] может быть реализован проще, чем в общем случае, допуская в некоторых случаях аналитическое решение.

3. П Е Р Е Н О С Г Р А Н И Ч Н О Г О У С Л О В И Я

При фиксированном значении X перенос условия (2.7) по всему отрезку [0, Г/2] можно осуще­

ствить в виде

а : [ 0 , 7 7 2 ] — £^{2 п х 2 п}. (3.1)

= а Z\

= а z² ~Zl

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999

НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

1123

Для а = а „ _«12 а^{2 1} а^{2 2}

получаем обычным путем уравнение

а' - а / А + ГАа = О, А = Ап - А 12 -А.21 А^{2 2}'

(3.2)

Уравнение (3.2) линейное, что всегда бывает при применении метода [5] к линейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, а не нелинейное - типа Риккати, как получается при переносе граничных условий общего вида. Соотношение (2.7) дает для а ( 0 начальное усло­

вие вида

а(Т/2) = I О

о -/

^(3.3)

В силу линейности уравнения (3.2), решение задачи Коши (3.2), (3.3) определено и может быть э ф ф е к т и в н о вычислено для О < t < Г/2.

Т С П К выделяются, как видно из (3.1), соотношениями

О = a .^{1 2}i², z² - o c^{2 2}i², (3.4)

где z² * 0 или z² Ф 0. Тем самым Т С П К выделяются соотношением d e t a^{1 2} = 0.

Условие (2.7), перейесенное в точку t - 0, принимает вид z(0) = a ( 0 ) i ( 0 ) , что с учетом условия (2.3) дает

Rz(0) = 0, где

R = / п ^8и «(()) + /.2 8 и

/21 821 822

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8) fij и g^tj - соответствующие блоки м а т р и ц / и g. Поэтому для нетривиальной разрешимости (2.1),

(2.3) необходимо и достаточно, чтобы ,

D(k) = detR = 0; (3.9) при этом число 2п - mnkR(X) равно кратности этого X как С З задачи (2.1), (2.3).

Вычислив нужное С З , получим возможность вычислить z (0), взяв фундаментальную систему решений системы (3.7), а затем вычислим z(0) по (3.6). И м е я z(0) и г(Г), выбираем из этих 4п ве­

личин 2п таких, чтобы получающаяся для уравнения (2.1) краевая задача (или задача Коши) бы­

ла численно устойчивой. Решая эту задачу, находим соответствующую СФ исходной задачи.

Для переноса условия (2.7) с помощью уравнения (2.6) использовался простейший способ в ви­

де (3.1), что привело к задаче К о ш и (3.2), (3.3). При этом если в исходную задачу входят большие величины, могут появиться быстро растущие решения. Ч т о б ы избежать этого, можно перено­

сить условие (2.7) каким-либо другим вариантом метода прогонки и получать в результате ли­

нейную связь между z\{t\ z²(i), z^{ (t), z² (t). Для выделения Т С П К , полагая z\(t) = z^x (/) = О, в каче­

стве условия нетривиальной совместности соотношений для определения z²(t) и z² (t) вместо (3.5) получаем аналогичное соотношение - равенство нулю определителя некоторой квадратной ма­

трицы. Н е останавливаясь на этом подробнее, для переноса условия (2.7) ограничимся решением задачи (3.2), (3.3). В проведенных численных экспериментах (см. ниже) эта задача решалась чис­

ленно устойчиво.

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999 5*

1 1 2 4 АБРАМОВ, ЮХНО

4. М Е Т О Д Р Е Ш Е Н И Я З А Д А Ч И ДЛЯ Г А М И Л Ь Т О Н О В О Й

С И С Т Е М Ы П Р И л = 1 • Перейдем теперь к конкретизации выписанных формул для п = 1, что будет иметь место для

исходной задачи (1.1), (L2) после приведения ее к гамильтоновой системе.

4.1. Проиллюстрируем понятия, введенные в п. 2.3, на примере, когда граничные условия (2.3) не связаны, т.е. к о г д а / и g - диагональные матрицы. В этом случае для исследования и числен­

ного решения задачи удобным является ф а з о в ы й метод (см., например, [2], [7], [8]).

Используя (2.4), получаем, что о т н о ш е н и я /п : gu и /2 2: g22 вещественны. Отсюда легко полу­

чить, что и отношение z2 : Z\ вещественно. Введем функцию 0(0 равенством (преобразование П р ю ф е р а )

tanO = z²/z^x\.

получим для 0 уравнение

0 4 A^{2 2}s i n²e + ( A^{1 2} + A^{2 1})sinOcos0-f A^uc o s²0 = 0, 0<t<T; (4.1) напомним, что Ап, А2 2, А1 2 + А2 1 вещественны, А2 2 > 0.

Возьмем 00, для которого t a n 00 = -fu/gn и

в ( 0 ) = 0^О. (4.2)

Решение задачи К о ш и (4.1), (4.2) существует, единственно и продолжимо на весь [0, 7]; обозна­

чим его 0/(0- Т С Л К - это точки, в которых cos 0/ = 0, каждая Т С Л К некратная. Так как при сде­

ланных предположениях 0) < 0 в Т С Л К (см. (4.1)), то число Т С Л К на каком-либо интервале из­

менения t легко определяется по значениям 0/ в концах этого интервала. Аналогично, беря

0 ( Г ) = 0Г, (4.3)

где tan 0^r= /^{2 2}/ g^{2 2}, получаем 0^Г(0 - решение задачи К о ш и (4.1), (4.3). Т С П К - э т о точки, в которых c o s 0r = 0. С З А задачи (2.1), (2.3) выделяются условием: в какой-либо точке 0, и 0Г различаются слагаемым, кратным к (тогда этим свойством обладает любая точка).

Пусть X не является С З задачи. Б е р я какую-либо точку ?, в которой cos Q0) Ф 0 и cos0r(?) Ф 0, определяем к⁰ = { sign[ tan0^r(?) - tan0/(?)] + 1 }/2 и получаем по формуле (2.9) значение N(X).

Е с л и / и g непрерывно зависят от X и м ы берем 0О и 0Г непрерывными функциями X, то при сделанных предположениях 0О и 0/ 0 не возрастают по X, а 0^ и 0^Г(0 не убывают; число Т С Л К , ушедших через левый конец при X < X < А", равно числу точек вида тс/2 + sn, где s - целое, лежа­

щих на [0^О(А^М), 0^О(Я')); аналогичный ф а к т имеет место для Т С П К .

С учетом всех этих фактов формула для вычисления числа С З , лежащих на [А', А"], X < Х\ где

X и X" не являются С З задачи, становится очевидной. i Е с л и / и g не зависят от X, то определение номера С З , даваемое формулой (2.11), очевидно,

превращается в следующее: номер С З равен увеличенному на единицу числу нулей Z\ на (0, Т) для соответствующей СФ. Несложно построить пример задачи (2.1), (2.3), в которой при сделанных предположениях - о о < X < +°° и задача имеет С З с номерами, например, с пятого по семнадцатый.

М ы не останавливаемся на деталях стрельбы по А, для получения нужного С З : они описаны,

например, в [7], [8]. \ 4.2. Вернемся к случаю связанных граничных условий. П р и п - 1 соотношение (3,5) превра­

щается в

ос12 = 0. Г (4.4)

Каждая Т С П К является некратной, так как здесь пространство решений системы (3.4) одномер­

но. О практических аспектах вычисления числа Т С П К см. разд. 5.

Дадим способ вычисления N(X).

Пусть для взятого А, не являющегося С З задачи, точка 0 не является Т С П К , т.е. ос12(0) Ф 0 (это основной случай). В качестве той точки t, в которой вычисляются k^hk^r и к⁰, будем брать л = 0, если 0 не является Т С Л К , и точку i, бесконечно близкую к нулю, если 0 является Т С Л К . Тогда во втором случае к⁰ будем вычислять, учитывая нужные члены в соответствующих разложени­

ях; в обоих случаях к{ = 0, кг равно числу нулей а ,2 на (0, Г/2).

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 19?9

z² 1 a^{2 2} - A

~z²

" a

^{1 2} • 1 - a „

II

НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА 1125

где А = d e t a . Матрица

является эрмитовой (см. [1]), в разд. 5 это будет выяснено дополнительно. Поэтому 1

1 _{« 2 2} - А

« 1 2 1

в, =

а 12(0)

ос^{2 2}(0) - Д ( 0 ) 1 ~ aⁿ( 0 )

+ 0(t).

Граничное условие (2.8), перенесенное в точку t, имеет вид u(t)Z^x(t) + v(t)Z²(t) = 0, где в качестве u(t) и v(t) можно взять решение задачи К о ш и

и + и

V +и

А^2{ 0 0 -Ап А²² 0

0 А 22

- у

V

Аи 0 0 Аи А^{1 2} 0

0 - А , 2

= о,

о,

и(0) = / , у ( 0 ) = g.

Отсюда для малых t имеем

" О = f-'f

v(t) = g-tf

А^{2 1}( 0 ) 0

0 - A 2 i ( 0 )

А^{2 2}( 0 ) 0 0 А^{2 2}( 0 )

+ tg А^п( 0 ) 0 0 А,,(()) А^{1 2}( 0 ) 0

0 -А ,²( 0 )

+ о ( 0 ,

+ o(t).

(4.5)

Для вычисления B^tink⁰ рассмотрим три случая»: rankg = 2, rankg = 0, rankg = 1.

Случай rankg = 2. Возьмем / = 0. Тогда B^t = - g ' / и к⁰ - положительный индекс невырожденной эрмитовой матрицы

1

« 1 2 ( 0 )

а^{2 2}( 0 ) - А ( 0 ) 1 - « i, ( 0 )

- 1 с

+ g /•

Случай rankg - 0. Здесь м ы имеем задачу с разделенными граничными условиями. Конечно, ее можно решать более простыми методами (см. п. 4.1). М ы рассматриваем этот случай в рамках излагаемого здесь метода для единообразия. Здесь det/Ф 0, так как rank|[/; g|| = 2, и из (4.5) для малых t имеем

v(t) = - tf

u{t) = f + 0(t).

A^{2 2}( 0 ) 0 0 A^{2 2}( 0 )

в -^{1 1}

Вi - - v и = - t

A^{2 2}( 0 ) 0 0. A 22(0)

+ o(t),

+ o(l/t).

ЖУРНАЛ В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999

При a^{1 2} * 0 соотношение (3.1) может быть разрешено относительно z² и z² - Получим

1126 АБРАМОВ, ЮХНО

Поэтому, так как А^{2 2} и А²² - положительные функции, для малых t получаем В,-В,<0

и, следовательно, к⁰ = 0.

Случай rankg = 1. Для упрощения выкладок считаем, что у м н о ж е н и е м / и g слева на о д н у и ту ж е невырожденную (2 х 2)-матрицу при фиксированном X м ы получили g^{2 1} = g²² = 0. Т а к как rankg сохраняется, то | gⁿ|² + | g ,²|² > 0; так как rank||/, g|| сохраняется, то \f^2l\² + | /^{2 2}|² > 0.

И з (4.5) имеем

и ( 0 = f-tf А^{2 1}( 0 ) 0 0 - А^{2 1}( 0 )

+ t g , A , ( 0 ) g ,²A „ ( 0 ) 0 0

+ o(t),

v(t) = g^u( l + M^{1 2}( 0 ) ) g^{1 2}( l - / A^{1 2}( 0 ) ) Это дает

0

-v (t)u(t) = -

V

# 1 1 8\2

f²ⁱA²² ( 0) /^{2 2}А^{2 2}( 0 ) 0

+ tf А^{2 2}( 0 ) 0 0 А^{2 2}( 0 )

+ o(t).

-i ^f

1 0 v(t) 1 0 u(t) 0 l/t J V 0 l/t J

+ 0( 1 ) ^{/ l l} f\2

f^2l/t f²²/t + o(\)

Матрица

« 1 1 8l2

/ ² И ^{2 2} ( 0) /2 2А^{2 2}( 0 )

обратима. Действительно, из (2.4) получаем gⁿ/²i + g i²/^{2 2} = 0. Отсюда

/ 2 2 = <*£u> ^/21 = - < * ! i 2 >

Поэтому

= o ( A^{2 2}( 0 ) | g^{1 I}|² + A^{2 2}( 0 ) | g^{1 2}|²) ^ 0

8и 8 п.

/^{2 1}А^{2 2}( 0 ) /^{2 2}А^{2 2}( 0 )

в силу того, что А^{2 2} > 0, А 2 2 > 0, | gⁿ|² + | g^{1 2}|² > 0. Таким образом, получаем tB-tB, = t

8п 812

/^{2 1}А^{2 2}( 0 ) /^{2 2}А^{2 2}( 0 )

г ' а^{1 2}( 0 )

+ о ( 1 )

8и 8\2

/^{2 1}А^{2 2} ( 0) /^{2 2}А^{2 2}( 0 )

а^{2 2}( 0 ) - А ( 0 )

; 1 - « „ ( 0 )

о о

/²1 / 2 2

. V1

+ о(1)

+1 / 1 1 / 1 2 Л

+ o(t)

0 0 ₎

{

0 0 +

^ fix ^{/ 2 2}

« 1 2 ( 0 )

£ l l # 1 2

/², А^{2 2}( 0 ) /^{2 2}А^{2 2}( 0 )

а^{2 2}( 0 ) - А ( 0 ) 1 - « „ ( 0 )

Л + t ^{/ 1 1 / 1 2} + o(t)

0 0

)

(4.6)

(4.7)

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999

i

НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА 1127

Используя (4.6), можно показать, что при t товой матрице

О (правая часть равенства (4.7) стремится к эрми-

-1

0 0

/ 2 1 ^ 2 2 ( 0) / 2 2 ^ 2 2 ( 0 ) / 2 1 , / 2 2 SxiSxx \g\i\²

Отсюда видно, что М⁰ вырождена и неположительно определена. Поэтому одно из С З матрицы М0 отрицательно, другое равно нулю. Следовательно, для малых t одно из С З матрицы Вг -В{ от­

рицательно. Вычислим главный член второго С З матрицы t(Br - Bt), пользуясь теорией возму­

щений. Отметим, что м ы хотим получить представление второго С З с погрешностью o(t), поль­

зуясь равенством (4.7), в правой части которого наряду с членами порядка t имеются члены о{\).

Правая часть (4.7) имеет вид (Мх + QX)[M2 + t(M3 + £>2)], где Qx = я(1), Q2 = о(1) при t — 0 . Пусть

Wx + Q\)W2 + t{M^Q2)\Z> = v £ , (4.9)

где v — 0 и 2; — • ^⁰ при t — • 0, ^⁰ - собственней вектор (СВ) матрицы М⁰ = М^ХМ², соответст­

вующий нулевому С З ; = | | |п, g1 2| |г, как видно из (4.8). Матрица (Мх + QX)M2 вырождена, т а к как в рассматриваемом случае М2 вырождена (см. (4.7)), и для малых t одно из ее С З близко к нену­

левому С З матрицы М0, а другое равно нулю. Возьмем левый СВ £ этой матрицы, отвечающий нулевому С З , С^>(М^Х + Q^X)M² = 0, £ — - Q при t — 0 . Умножив слева обе части равенства (4.9) на

получим Отсюда

v = f

СМ,Мз^ ^{+ 0}( 1 )

Так как

£ 1 1 £ 1 2 / 2 1 ^ 2 2 ( 0) /^{2 2}А 2 2 ( 0 )

м

³

= м,

« 1 2( 0 )

а

^{2 2}

( 0 ) - Д ( 0 ) 1 - а

^п

( 0 )

+1 fxX fll

0 0

(4.10) то, опуская сходные с проделанными выкладки, получаем

v = ' ( { [ а^{2 2}( 0 ) |^{§ 1}/ + ^ ^ ^

+ / l l ^ l l + / l 2 ^¹2 } / ( k l l |²; + | . < ? 1 2 |²) + ^ ( l ) ) -

И з общих соображений следует, что выражение в правой части (4.10) вещественно. П р и этом в ы р а ж е н и е fngn +fX2gX2 вещественно в силу (2.4), на вещественности другого слагаемого оста­

новимся в разд. 5.

Преобразуя выражение в правой части (4.10) и опуская выкладки, окончательно получаем, что при малых t одно из С З матрицы Вг - В{ отрицательно, а другое с погрешностью о(1) равно

да) « 1 2 ( 0 ) / и # 1 2 fl\ 811

8хх fxi Six fll

(4.11) Выражение

fll 811 + ^{8xx fxi}

fix 811 Six fn

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999

АБРАМОВ, ЮХНО

получилось из G ( | gⁿ|² + |.gi²|²) с учетом равенства g^2[ = g²² - 0. ;

П р и выводе выражения (4.11) использовалось предварительное преобразование граничного условия (2.4), состоящее в одновременном умножении м а т р и ц / и g слева на некоторую одну и ту ж е невырожденную (2 х 2)-матрицу. Однако значение выражения

f

fll g\2

fll g\2 + ^{8х\ f\2}

/ 2 1 с? 22 82\ fll )

при таком преобразовании не меняется, т а к к а к числитель и знаменатель умножаются на опре­

делитель упомянутого невырожденного множителя. Поэтому выражение (4.11) верно с погреш­

ностью 0(1) для второго С З матрицы B^r-Btn без указанного преобразования граничного усло­

вия. П р и этом возможность такого преобразования гарантирует, что fix 8x1 + 8хх ^fx2 Ф0

fll 812 82Х fl2

Выражение (4.11) конечно и отлично от нуля в силу того, что ос12(0) Ф 0, т а к как, по предположе­

нию, точка 0 не есть Т С П К ; D(k) Ф 0, т а к как, по предположению, взятое значение А, не есть С З исходной задачи.

Окончательный результат в рассматриваемом случае таков: к0 = 1, если значение выражения (4.11) положительно, к⁰ = 0, если э т о значение отрицательно.

М ы предполагали, что а^{1 2}( 0 ) Ф 0. Можно провести сходное исследование и в случае а^{1 2}( 0 ) = 0, представив нужным образом ос12(0 для малых t, однако проще немного изменить значение X и провести вычисления для этого случая. Сходным образом, если окажется, что D(X) = 0, т о для определения номера этого С З (в случае, к о г д а / и g не зависят от X) проще всего взять два близ­

ких значения X, одно из которых больше, а другое меньше исходного, и воспользоваться форму­

лой (2.11). В частности, проводя такие вычисления, м ы узнаем кратность этого С З ; ответ на во­

прос, является ли полученное С З двукратным (более высокая кратность, очевидно, невозмож­

на), следует т а к ж е из того, будет ли R(X) = 0 (см. (3.8)).

4.3. Е с л и / и g зависят от X, т о для вычисления числа С З задачи (2.6), (2.7), (2.8), лежащих на [Х\ А,"], кроме вычисления N(X') и N(X") нужно еще вычислить число Т С Л К , ушедших с (0, Г/2) при изменении X от X до X" (см. п. 2.2). П р и практической реализации нужно подыскивать значе­

ние со так, ч т о б ы det(f+ cog) Ф 0 на возможно большем отрезке изменения X. В [1] приведены не­

к о т о р ы е рекомендации, использование которых требует вычисления (хотя бы с невысокой точ­

ностью) С З эрмитовых (2п х 2я)-матриц. П р и п - \ такая задача решается явными формулами.

5. П Р Е О Б Р А З О В А Н И Е З А Д А Ч И

При п=\ в системе (2.6) можно сделать такую замену искомых функций, что система, оста­

ваясь гамильтоновой, будет иметь только вещественные к о э ф ф и ц и е н т ы .

Именно, перейдем в (2.2) от Z\, z² к функциям w^{ = (3(0zi, w² = (3(0z². Получим систему -w2 •= A1 1w1 + (A^{1 2}-+p'/(3)w², V j = ( Л^{2 1}- p ' / p ) w¹ + A2 2w2.

Здесь Aⁿ, A^{1 2}, A^{2 1}, A^{2 2}, P - скалярные функции, А^п и А^{2 2} - вещественные, А^{1 2} = А^{2 ]}. Очевидно, для достижения поставленной цели достаточно взять

Р(0 = ехр

L Т/2

Аналогично, замена w^{ = \b(t)z^{, w² = $(t)z², где

-z J ImA[2(x)dx (5.1)

P(0 '= exp / J lmA-n(i)d%

T/2

(5.2) приводит систему (2.5) к нужному виду. После указанной замены в системе (2.6) все к о э ф ф и ц и ­ енты получаются вещественными (у них просто отбрасывается мнимая часть).

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № Л 1999

НЕЛИНЕЙНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ^{1 1 2 9} Граничное условие (2.7) после такой замены нр меняется. В граничном условии (2.8) в м е с т о / и g появляются, соответственно,

1/(3(0) О О 1/(3(0)

Т а к как |Р| = |р | = 1, то соотношение (2.4) сохраняется. Матрица а перейдет в Ра/Р и станет ве­

щественной, так как уравнение (3.2) будет иметь вещественные к о э ф ф и ц и е н т ы , а начальное ус- ловие (3.3) вещественно. Матрица R перейдет в /?/р (0), D(k) перейдет в D(A/)/p (0). П о э т о м у зна­

чение выражения (4. Ц ) не изменится.

И з этих рассуждений видна, в частности, вещественность некоторых величин, используемых в п. 4.2, которую мы отметили, ссылаясь на общие результаты [1].

Переход посредством указанной замены к случаю вещественного а весьма существен для практической реализации метода. Т С П К новой и старой гамильтоновых систем, очевидно, сов­

падают, а численное решение задачи К о ш и (3.2), (3.3) становится проще. Существенным упро­

щением с вычислительной точки зрения является учет нулей функции ос1 2, которая после преоб­

разования становится вещественной.

Отметим т а к ж е следующее. И з (3.2) в случае вещественных А^{1 2} и А^{2 1} прямыми выкладками получается равенство

Д'(0 = 0, а так как Д(Г/2) = - 1 , то имеем

А = - 1 ;

для исходной комплексной системы А = ~Р /р2. Поэтому в тех точках, где а1 2 = 0 (см. (4.4)), имеем апа2 2 = - 1 . И з (3.2) в этих точках имеем

ос^{] 2} = — 0Cj] А^{2 2} + о с^{2 2}А^{2 2}.

Поэтому в таких точках

|ос,²| > 2 Д / А^{2 2}А^{2 2},

а значит, выделение этих точек не представляет вычислительных трудностей.

Отметим, что м ы сводим нужные операции для исходной задачи к операциям для преобразо­

ванной задачи, подразумевая, что сделанные предположения (см. п. 2.3) выполнены для исход­

ной задачи. Это не эквивалентно выполнению данных предположений для преобразованной за­

дачи (так, если в исходной з а д а ч е / и g не зависят от X, то в преобразованной они могут зависеть).

Конечно, если указанные предположения выполнены для преобразованной задачи (и, может быть, не выполнены для исходной), то все последующие действия т а к ж е обоснованы.

1/(3(0) о 0 1/р(0)

и ]g

6. В О З В Р А Щ Е Н И Е К И С Х О Д Н О Й З А Д А Ч Е

Результаты разд. 4, 5 справедливы для произвольной гамильтоновой системы при п = 1. Вве­

дением переменных Zi = у, z2 = РУ -гу исходное уравнение (1.1) приводится к системе -z2 = (q + rr/p)zl + (r/p)z2, z\ = {r/p)z\ + (l/p)z2,

а граничные у с л о в и я - к виду ' z,(0)

+ 8 ^МО) -Z²(T)

= о,

т.е. именно к тому виду, который использовался'в дальнейших рассмотрениях. Тем самым для полного применения результатов разд. 2-5 требование монотонности А по Я превращается в тре­

бование, чтобы эрмитова матрица

q + гг/р г/р

?/р 1/р

ЖУРНАЛ В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999

изо

АБРАМОВ, ЮХНО

не убывала,по X (при г - 0 это соответствует тому, что р не возрастает по X и q не убывает по А,).

Если р9 qm г дифференцируемы по X, то это соответствует требованию

s р^х<0⁹ (q + rr/p)^x>0⁹ p^xq^x+\r^x\²<0.

П р и этом если в одном из первых двух условий выполняется строгое неравенство, то второе из них можно не проверять. Требования к граничным условиям остаются неизменными.

7. З А М Е Ч А Н И Я К Р А З Д . 2-6

7.1. Предполагалось, что каждое С З задачи изолированное. Очевидно, при тех слабых пред­

положениях о монотонности по X, к о т о р ы е были сделаны, может оказаться, что, например, це­

л ы й отрезок оси А, состоит из С З . Таким образом, в стороне остался важный вопрос: при каких ограничениях имеет место изолированность С З . Для задачи (2.1), (2.3), например, достаточно, чтобы А была возрастающей функцией Х⁹ т.е. чтобы при А,² > Х^г б ы л о А(/, Х²) > А(/, Х{). М ы т а к ж е не интересовались осцилляционными свойствами СФ, соответствующей С З с заданным номе­

ром, а интересовались только одним: как вычислить нужное X.

7.2. Имея в виду численную реализацию метода, мы избегали рассмотрения случаев выполне­

ния точных равенств, например в п. 2.3 вводили N(X)⁹ считая, что X не является С З исходной за­

дачи, при выводе формулы для N(X) в случае rankg = 1 предполагали, что нуль не является Т С П К , т.е. что ос¹²(0) ^ 0 .

Однако в п. 4.2 м ы разделили случаи rankg = 1, rankg = 1, rankg = 2, предполагая тем самым получить точное значение rankg, что некорректно, если элементы g заданы приближенно. Изве­

стно, что эта неприятность неизбежна.

Действительно, рассмотрим спектральную задачу

у" + Ху = 0⁹ 0 < г< тг, у(0) = 0, y(7i) = ;еу\п)⁹

где 8 - малое вещественное число. Нужно вычислить первое С З этой задачи. М ы имеем сингу­

лярно возмущенную краевую задачу. Здесь при 8 = 0 первое С З равно 1, ему соответствует СФ sin/; при 0 <- 8 < ^ 1 первое С З меньше 1, близко к 1, ему соответствует СФ sin JX~t⁹ близкая к sin/, не имеющая нулей на (0, к); при 0 < 8 <^ 1 первое С З отрицательно, велико по абсолютной вели­

чине, ему соответствует СФ sh J-X t; второе С З в этом случае больше 1, близко к 1, соответст­

вующая ему СФ sin*fXt имеет один нуль на (0, к) и близка к sin/.

Тем самым непрерывная зависимость матрицы R от элементов матриц / и g (см. формулу (3.8)) может б ы т ь причиной того, что при малом изменении элементов g корень уравнения (3.9), т.е. само С З , меняется мало, но номер этого С З может измениться.

7.3. Поясним требование монотонности по X граничных условий, накладываемое в п. 2.3.

Рассмотрим линейную задачу на С З *

- Jz' + A(t,X)z = pz, 0<t<T⁹ (7.1)

с граничными условиями '

" 9Wz,(0) + x W z 2 ( 0 ) = 6, y(X)Zl(T) + (o(X)z2(T) = 0. (7.2) Здесь, как и в п. 2.3, обозначено z = \z}9 zlf; А = А * , ||ф, %\\ и ||\|/, со|| - матрицы полного ранга, (р%* =

= %ф*, \|/со* = оо\|/*; все функции достаточно гладкие. Условия (7.2) при сделанных предположе­

ниях можно заменить следующими:

^ ( 0 ) = Х*и, г2( 0 ) = - ф * и , zx{T) = co*v, z2(T) = - \ | / * v , где unv- произвольные векторы.

В этой задаче р - искомое С З , а X - вещественный параметр задачи. Эта задача имеет дис­

кретный спектр, и С З р = р(^) могут б ы т ь заданы гладкими функциями. Используя т е о р и ю воз­

мущений, для каждой такой функции можно получить

Ж У Р Н А Л В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й М А Т Е М А Т И К И И М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й Ф И З И К И том 39 № 7 1999