All Russian mathematical portal

(1)

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

D. V. Valovik, Propagation of TM waves in a layer with arbitrary nonlinearity, Zh.

Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 2011, Volume 51, Number 9, 1729–1739

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 139.59.245.186

November 6, 2022, 06:37:50

(2)

ВВЕДЕНИЕ

Задачи распространения поляризованных электромагнитных волн в нелинейных волноведу3 щих структурах приводят к краевым задачам для системы уравнений Максвелла (см. [1]–[12]).

Рассматривать такие задачи естественно как нелинейные краевые задачи на собственные значе3 ния для обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, основной интерес в та3 ких задачах представляет нахождение тех значений постоянных распространения (по сути, соб3 ственных значений), при которых волна в рассматриваемой структуре распространяется. Такие задачи достаточно сложны математически, так как кроме того, что уравнения являются нелиней3 ными относительно входящих в них функций, оказывается, что спектральный параметр входит нелинейно как в сами уравнения, так и в граничные условия.

Относительно простой оказывается задача лишь для ТЕ3волн, распространяющихся в слое с

керровской или обобщенной керровской нелинейно3

стью, ее решение было получено в [2]. Однако использованная там техника не может быть легко распространена (если вообще может) на более общие нелинейности. Уже в случае ТМ3волн и керровской нелинейности (а это простейший случай для ТМ3волн) задача значительно усложня3 ется. По этому поводу опубликовано довольно много работ (см. [1], [3]–[7] и библиографию там). Эта задача была решена в [5]–[7]. A posteriori стало ясно, почему сравнительно легко удалось решить эту задачу для ТЕ3волн и почему такие трудности вызывала задача для ТМ3волн. В случае ТЕ3волн решение дифференциального уравнения выражалось через эллиптические функции, а решение для ТМ3волн выражается через гиперэллиптические функции. В первом случае (ТЕ3волны) в [2] уравнение было проинтегрировано, а уже потом искали дисперсионное уравне3 ние. Во втором случае (ТМ3волны) найти явную формулу (с которой можно работать) для реше3 ний получающейся системы оказалось трудно (она так и не была построена), поскольку периоды искомой функции были функциями параметров задачи и вычислить их не представлялось воз3 можным. А без значений периодов решение было бы лишь формальным выражением, которое вряд ли возможно будет проанализировать и использовать при расчетах. Если же рассматривать

(

^{ε = ε}^const⁺^a^E²

) (

^{ε = ε}^const ⁺âÊ²⁺^bÊ⁴

)

ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМВОЛН В СЛОЕ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

¹⁾

(440026 Пенза, ул. Красная, 40, ПГУ) e&mail: dvalovik@mail.ru Поступила в редакцию 08.09.2010 г.

Переработанный вариант 01.11.2010 г.

Рассматривается краевая задача для системы уравнений Максвелла, описывающая распро3 странение электромагнитных ТМ3волн в нелинейном диэлектрическом слое с произвольной нелинейностью. Слой расположен между двумя линейными полубесконечными средами.

Проблема приводит к нелинейной краевой задаче на собственные значения для системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Получено дис3 персионное уравнение для собственных значений задачи (постоянных распространения).

При заданной функции нелинейности дисперсионное уравнение позволяет исследовать за3 дачи как аналитически, так и численно. Сформулировано достаточное условие существова3 ния по крайней мере одного собственного значения. Библ. 14.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача на собственные значения для системы уравне3 ний Максвелла, нелинейный слой, дисперсионное уравнение, численно3аналитический ме3 тод решения.

УДК 519.634

1)Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ по ФЦП “Развитие потенциала высшей школы” № 2.1.1/1647, гранта Президента – контракт МК32074.2011.1.

(3)

эту задачу как задачу на собственные значения, то можно сосредоточиться на поиске дисперси3 онного уравнения для собственных значений и не пытаться решать уравнения. Тем более что после того, как найдены собственные значения, сами уравнения легко решаются численно (см. [8], [9]).

Задача распространения ТЕ3волн в слое с произвольной нелинейностью решена в [12].

В [3] получено дисперсионное уравнение для случая ТМ3волн, распространяющихся в нели3 нейном полупространстве, а также получен первый интеграл в задаче, о которой идет речь ниже.

Кроме того, эта работа содержит некоторые интересные обсуждения. Работа [4] посвящена зада3 чам распространения ТЕ3 и ТМ3волн в слое с произвольной нелинейностью, однако никаких конкретных результатов в общем случае в ней получено не было (вопрос об отыскании диспер3 сионного уравнения вообще не ставился).

Также большое внимание привлекают задачи распространения ТЕ3 и ТМ3волн в нелинейных цилиндрических волноводах. Эти задачи гораздо более сложные по сравнению с только что рас3 смотренными. И в первую очередь (с точки зрения автора), это связано с тем, что в случае вол3 новода получающиеся обыкновенные дифференциальные уравнения не являются автономными (в отличие от случая слоя). Поэтому не удается применить метод, рассмотренный в этой работе.

Дело в том, что указанный метод позволяет с общей точки зрения рассматривать большинство задач по распространению ТЕ3 и ТМ3волн в нелинейном слое. Но неавтономность уравнений является серьезной помехой для применения метода в неизменном виде к случаю цилиндриче3 ских волноводов. Тем не менее методами теории интегральных уравнений получены дисперси3 онные уравнения (для достаточно малых значений коэффициента нелинейности, обеспечиваю3 щих сходимость метода сжимающих отображений) для ТЕ3 и ТМ3волн в цилиндрических волно3 водах с керровской нелинейностью (см., [10], [11], постановка задачи есть также в [1]).

В настоящее время проблема нахождения дисперсионных уравнений для собственных значений для ТЕ3 и ТМ3волн в цилиндрическом волноводе с произвольной нелинейностью является от3 крытой. И даже в случае керровской нелинейности хотелось бы получить дисперсионные урав3 нения для более широкого диапазона значений коэффициента нелинейности.

Метод, использованный в этой работе, был предложен Ю.Г. Смирновым и автором (см., на3 пример, [5]–[9]).

1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, анизотропный, не3 магнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя полупространствами и в декартовой системе координат . Полупространства заполнены изотропной немаг3 нитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость и соответственно, где – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду – магнитная проницаемость вакуума.

Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде (см. [1])

где – круговая частота; – вещественные искомые функции. Образуем ком3 плексные амплитуды полей и :

, . Везде ниже множители и будем опускать.

Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диагональным тензором ,

где , . Компонента εyy в силу выбранной поля3

ризации электромагнитных волн не попадает в анализируемые уравнения, поэтому явный вид выражения для εyy не конкретизируется. Здесь , – постоянные со3 ставляющие диэлектрической проницаемости . Функции и считаем анали3

0 x<

x > h O xy z

1 0

ε ≥ ε

3 0

ε ≥ ε ε0

^sinω^t^;

E E E H=H₊+iH₋ cosωt sinωt

0 0

xx yy

zz

⎛ε ⎞

⎜ ⎟

ε =⎜⎜⎝ ε ε ⎟⎟⎠

(

² ²

)

0 ,

xx f f Ex Ez

ε = ε + ε ^{ε = ε + ε}^zz ^g ⁰^{g E}

(

^x²^, ^E^z²

)

(

¹ ³

)

max ,

ε >f ε ε ^{ε >}^g ^max

(

^{ε ε}¹^, ³

)

ε f = f u( , )v g =g u( , )v

(4)

тическими (т.е. разлагающимися в сходящийся ряд Тейлора) в нужной нам области и такими, что выполняется соотношение . Такое условие на компоненты тензора указано в [3], где авторы утверждают, что многие типы нелинейностей удовлетворяют указанному условию.

Приведенное условие можно обобщить, если использовать интегрирующий множитель (об этом упоминается в [3]). Считаем, что . Кроме того, функции и должны удовлетворять еще некоторым условиям, указанным ниже.

Электромагнитное поле , удовлетворяет уравнениям Максвелла

(1.1) условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред и и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при в областях и . Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

Рассмотрим ТМ3поляризованные волны , , где ,

, и – операция транспонирования. Легко показать, что ука3 занные компоненты на самом деле не зависят от переменной . Волны, распространяющиеся вдоль границы раздела сред (а мы ищем именно их) гармонически зависят от . Таким образом, получаем, что компоненты полей имеют вид , , , где – неизвестный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

С учетом этого из (1.1) получаем систему уравнений (см. [1], [5]–[9])

(1.2) Введем обозначения с и выполним нормировку в соответствии с формулами

, , , ( ), , . Переобозначаем , и,

опуская значок тильды, систему (1.2) приводим к виду

(1.3) Будем искать те значения спектрального параметра (по сути, собственные значения), для которых существуют не равные тождественно нулю действительные решения , си3 стемы (1.3), полагаем действительным (так что не зависит от z) и удовлетворяющим усло3

вию ²⁾.

Считаем, что функции , дифференцируемы так, что³⁾

.

Подробный вывод уравнений (1.3) из уравнений (1.1) представлен, например, в [6], [8], [12].

Только что указанные условия на непрерывность и дифференцируемость функций X и Z про3 диктованы физическим содержанием задачи.

Система (1.3) – это на самом деле система уравнений в анизотропном слое, однако из нее лег3 ко получаются системы уравнений для изотропных полупространств, нужно только положить εxx≡ ε и εzz≡ ε, где ε отвечает уже изотропной среде (полупространству).

f g u

∂ ∂/ v =∂ ∂/ ε

xx 0

ε > ^f g

E H

rotH= − ωεi E, rotE = ωμi H, 0

x = x = h

x → ∞ ^x <⁰ x > h

(

^E^x^{, 0,}^E^z

)

=

E ^т ^H⁼

(

^0,^H^y^{, 0}

)

^т ^E^x ⁼^E^x

(

^{x y z}^{, ,}

) (

^{, ,}

)

z z

E = E x y z ^H^y ⁼ ^H^y

( )

( ) ( ) ( ( ) )

2

2 2

' '' ,

' .

x z zz z

x z xx x

iE x E x E x

iE x E x iE x

γ − = ω με

γ − γ = ω με

2 2

k = ω με0 µ = µ0

x = k x d d dx =kdx

k

γ = γ

0 i

i ε

ε = ε i =1, 2

0 f f

ε =ε ε

0 g g

ε =ε

ε ^E^z ^≡^{Z x}

( )

^iE^x ^≡ ^{X x}

( )

2 2

, 1 .

zz xx

d Z dX dZ

Z X X

dx dx

−dx + γ = ε − + γ = ε γ

γ ^{X x}

( )

^{Z x}

^;

)

¹

(

^{; 0}

]

¹

[ ]

^0; ¹

[

^;

)

^,

2 2 2

; 0 0; ;

C C h C h

∩ −∞ ∩ ∩ + ∞

2)Это условие соответствует классической задаче распространения ТМ3волн в линейном слое. Оно естественно воз3 никает в указанной задаче, и поэтому мы придерживаемся его при выводе дисперсионного уравнения для нелиней3 ного слоя.

3)Под принадлежностью функции соответствующему множеству понимается, что сужение рассматриваемой функ3 ции принадлежит указанному классу функций.

(5)

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В полупространствах и диэлектрическая проницаемость в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение и соответственно. Учтем это при использовании системы уравнений (1.3) для этих полупространств. Мы получаем системы линейных уравнений в каждом случае, которые легко решаются (подробности см. в [12]).

Для в полупространстве x < 0 из (1.3) получаем систему

Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение последней системы в виде

(2.1)

Для в полупространстве x > h из (1.3) получаем систему

Учитывая условие излучения на бесконечности, получаем решение последней системы в виде

(2.2)

В (2.1) постоянная А определяется условиями сопряжения, а постоянная В в (2.2) считается заданной.

Внутри слоя 0 < х < h система (1.3) принимает вид

(2.3)

Дифференцируя второе уравнение по x, получаем

где , (далее эти производные понимаются в этом смысле, пока явно не будет оговорено иное); используя последнее уравнение, систему (2.3) можно переписать в виде

(2.4)

Видно, что система (2.4) является автономной системой в нормальной форме. Мы предпола3 гаем функции f(u, v) и g(u, v) аналитическими функциями своих переменных и, кроме того, по3 лагаем, что ≥ 0. Тогда правые части системы (2.4) тоже будут аналитическими функциями от переменных X, Z во всякой ограниченной области изменения переменных X, Z. Известно (см., например, [13]), что решения X, Z такой автономной системы сами являются аналитиче3 скими функциями независимой переменной. Причем ясно, что решения X(x) и Z(x) будут анали3 тическими функциями при x ∈ (0, h). Этот факт окажется очень важным при выводе дисперси3 онных уравнений.

0

x < x > h ε

ε1 ε3

ε = ε1

2

' , ' 1 .

X = γZ Z =γ − ε X γ

( ) ( )

2 1 2

1 2

1

exp ,

exp .

X x A x

Z x A x

= γ − ε

γ − ε

= γ − ε

γ ε = ε3

2

' , ' 3 .

X = γZ Z = γ − ε X γ

( ) ( ( ) )

2 3 2

3 2

3

exp ,

exp .

X x B x h

Z x B x h

= − − γ − ε

γ − ε

= − − − γ − ε

γ

( )

2

2 ,

1 .

g

f

d Z dX g Z

dx dx

dZ X f X

dx

− + γ = ε +

− + γ = ε + γ

( ) ( )

1 1

'' ' 2 ' _u' 2 ' _f ',

Z X XX f ZZ f X f X

− + γ = + + ε +

γ ^v γ

' '2

u X

f = f f_v' = f_Z'²

( ) ( )

( )

2 2 2

2

2 '

,

2 '

1 .

g f

u f

f

g f X f

dX Z

dx X f f

dZ f X

dx

γ ε + + ε − γ +

= γ + ε +

= γ − ε − γ

v

f_u '

(6)

Из (2.4) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

(2.5)

Перепишем его в симметричной форме

, где

, .

Легко проверить, что выполняется соотношение . Таким образом, урав3 нение (2.5) представимо как уравнение в полных дифференциалах. Найдем его решение ; поскольку , то получаем

. Интегрируя по частям первое слагаемое, получаем

. Теперь, учитывая, что , получаем

, отсюда вытекает равенство

.

Далее, интегрируя по Z, получаем ; в первом инте3

грале меняя порядок интегрирования (теорема Фубини), получаем

. Значит,

; приводя подобные слагаемые и интегрируя (что можно проинтегрировать явно), имеем

. Делая замену , получаем окончательно

.

( ) ⁽ ⁾ ( )

( )

2 2 2

2

2 ' .

1

g f

u f

f

g Z f X Zf

X f f dX

dZ f X

γ ε + + ε − γ +

γ + ε + =

γ − ε − γ

v'

0 MdX +NdZ =

(

2X ^f f ^f f XdX Z

= − γ − ε − + γ

∫

γ − ε − + ϕ

U Z N

∂ /∂ =

( ) ^{( )}

2 2 2

2 _f ' 2 '

U Z X Z f f XZ f dX Z

∂ ∂ =^/ γ − ε − ^v − γ

∫

^v^' + ϕ =

( ) ⁽ ⁾

(

² ² ^f ^{f X f}² ^' ² ^g ^g

)

( )

²

( ) ⁽ ⁾

2 2 2 2 2 2

1

2 ^f ^f ^g

2 ^f 2 ^f ^g

U = − X γ − ε − f +γ γ − ε X − ε Z − γ

∫

ZgdZ Z2 = s

( )

²

( ( ) ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

f f g ,

U = X ε − γ + f + γ ε − γ X + ε Z + γ

∫

g X s ds ≡C

(7)

Функция U(X, Z) является первым интегралом системы (2.4); будем использовать первый ин3 теграл в следующей форме:

, (2.6)

где и C – постоянная интегрирования.

3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ

Как известно, касательные составляющие электромагнитного поля непрерывны на границе раздела сред. В рассматриваемом случае касательными составляющими являются компоненты

и . Тогда получаем

(3.1)

где постоянная считается известной. Пусть , , , . То3 гда из (3.1) получаем

(3.2) В соответствии с (2.3) в слое имеем

. (3.3) Тогда для х = h из (3.3) получаем

, (3.4) причем если (а мы можем так считать), то, как легко видеть из (3.4), , так как .

Используя первый интеграл (2.6), находим значение постоянной :

, (3.5) где . Заметим, кстати, что при сделанных предположениях относительно функций f, g и знака имеем .

Для того чтобы найти значения и , необходимо решить систему двух уравнений, полу3 ченную с использованием формулы (3.3) в точке х = 0 и первого интеграла в этой же точке:

(3.6)

Из второго уравнения системы (3.6) видно, что и могут входить в это уравнение с про3 извольными знаками. В то же время из первого уравнения видно, что и должны быть либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными, так как (этот факт окажется очень важным в дальнейшем).

Нормальные компоненты электромагнитного поля, как известно, имеют разрыв I рода на гра3 нице раздела сред. В рассматриваемом случае нормальной компонентой является . Также из3 вестно, что произведение непрерывно на границе раздела сред.

( )

²

( ( ) ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

f f g ,

X ε − γ + f + γ ε − γ X + ε Z + γ G X Z ≡C

(

²^, ²

) ( )

²^,

G X Z ≡

∫

g X s ds

Ez H_y

( ) ( )

^{( )}

( ) ( )

^{( )}

( ) ( ) ( )

^{( )}

( ) ( ) ( )

^{( )}

0

0 0

0 , 0 0 0 ,

' 0 , 0 ' 0 0 0 ,

h

z z z z

h

y y y y

Z h E h E Z E E

i i

X h Z h H h H X Z H H

= + = = − =

μ μ

γ − = + = γ − = − =

ε ε

( )^h

Ez ^X⁰^:⁼ ^X

( )

⁰ ^X^h^:⁼ ^{X h}

( )

^Z⁰ ^:⁼^Z

( )

⁰ ^Z^h ^:⁼^{Z h}

( )

( ) 3 ( )⁰ 1

2 0 2

3 1

, .

h

y h y

H = −Z ε H =Z ε

γ − ε γ − ε

( ) ( )

¹

( ) ( )

' _f

Z x X x f X x

− + γ = ε +

γ

( )

(

² ²

)

3 2

3

h f h, h h

Z γε f X Z X

− = ε +

γ − ε

h 0

Z > X_h <0 ε >_xx 0

C≡Ch

( )

²

( ( ) ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

h h f h f h h g h, h

C =X ε − γ + f + γ ε − γ X +Z ε +G X Z

(

²^, ²

)

h h h

f ≡ f X Z

Zh C_h >0

X0 Z₀

( )

( ) ( ( ) ) ( )

2 2

1

0 0 0 0

2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

, ,

, , .

f

f f g h

Z f X Z X

f X Z X X Z G X Z C

γε = ε + γ − ε

ε − γ + + γ ε − γ + ε + =

X0 Z₀

xx 0 ε >

Ex

ε

(8)

Из условий сопряжения для компонент поля Е и Н следуют условия сопряжения для искомых функций:

, , , , (3.7)

где обозначает скачок функции в точке .

Считаем, что функции X(x) и Z(x) также удовлетворяют условию

и при . (3.8)

Пусть

и и ,

где и , а и являются правыми частями уравнений системы (2.4). Число γ является спектральным параметром. Перепишем задачу, используя введенные обозначения.

Для полупространства , получаем

. (3.9)

Внутри слоя , , , и система принимает вид

. (3.10)

Для полупространства , получаем

. (3.11)

Сформулируем краевую задачу (задачу сопряжения). Требуется найти собственное значение γ и соответствующий ему ненулевой вектор F такой, что F удовлетворяет уравнениям (3.9)–(3.11), условиям сопряжения (3.7), компоненты вектора F удовлетворяют условию (3.8) и , удовле3 творяют уравнениям (3.6).

Определение 1. Число , при котором существует ненулевое решение F задачи (3.9)–(3.11) при условиях (3.6)–(3.8), будем называть собственным значением задачи. Решение F, которое со3 ответствует собственному значению, будем называть собственным вектором задачи, а компо3 ненты X(x) и Z(x) вектора F – собственными функциями.

Замечание 1. Определение 1 является неклассическим аналогом известного определения характеристического чис3 ла линейной оператор3функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра (см. [14]). Введенное определение является, с одной стороны, распространением классического определения собственного значения на случай нелиней3 ной оператор3функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, с другой стороны, соответствует физиче3 ской природе задачи⁴⁾.

4. ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ Введем новые переменные

, . (4.1)

0 0 0 0

lim lim

x x x x x x

f ₌ f x f x

→ − → +

= − x = x0

( )

¹

X x O x

= ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ ^{Z x}

( )

^O ¹

x

= ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠ x → ∞ 0

0 D d dx

d dx

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

(

^{X Z}^,

)

_{= ⎜ ⎟}^{⎛ ⎞}^X_Z

F ⎝ ⎠

( ) ( )

( )

1 2

, ,

, F G

G

⎛ γ ⎞

γ = ⎜⎝ γ ⎟⎠ G F

F

( )

X ≡X x ^Z ^≡^{Z x}

( )

^G¹ ^G²

0 x < ε = ε1

2 1

0 0 0 D

⎛ γ⎞

⎜ ⎟

−⎜⎜⎝γ − εγ ⎟⎟⎠ =

F F

0< <x h ^{ε = ε +}^xx ^f ^{f X}

(

²^,^Z²

)

^{ε = ε +}^zz ^g ^{g X}

(

²^,^Z²

)

( )

^,

( )

^, ⁰

L F γ ≡DF−G F γ = x > h ε = ε3

2 3

0 0 0 D

⎛ γ⎞

⎜ ⎟

−⎜⎜⎝γ − εγ ⎟⎟⎠ =

F F

X0 Z₀ γ = γ0

( )

^x ^f ^X²

( )

^x

τ = ε +

( ) ( )

x X x x η = Z x τ

4)Подчеркнем, что введенное определение собственного значения не связано с определением точки бифуркации для нелинейной спектральной задачи, поскольку мы не ищем малых по норме решений нелинейной задачи в окрест3 ности собственного значения линеаризованной задачи.

(9)

Из (4.1) получаем , , .

Найдем вид системы (2.4) и первого интеграла (2.6) в новых переменных. Последовательно получаем

из первого уравнения получаем

, где .

Преобразуем второе уравнение:

. Теперь, используя τ', получаем

. Окончательно получаем

(4.2)

здесь и далее

, .

Первый интеграл примет вид

. (4.3)

Уравнение (4.3) является в общем случае трансцендентным уравнением относительно τ и η. Будем предполагать функции f и g таковыми, что правая часть второго уравнения системы (4.2) положительна. На первый взгляд, это условие может показаться достаточно жестким, однако это не так. Например, если f и g – многочлены от двух переменных с положительными коэффициен3 тами, то этого достаточно для выполнения данного условия. Как известно, вектор поляризации в материальных уравнениях Максвелла раскладывается в ряд по степеням компонент электриче3 ского поля, значит, многочлены в качестве f и g являются достаточно общим типом нелинейности.

Нужно учитывать, что условие ∂f/∂v = ∂g/∂u накладывает ограничения на вид многочленов f и g.

Теперь мы можем найти знаки выражений η(0) и η(h):

и , (4.4)

так как мы выяснили ранее, что и имеют одинаковые знаки, а и – противоположные.

2

X = τ − εf Z² = τ²2

(

τ − εf

)

η ^XZ ⁼_η^τ

(

^{τ − ε}^f

)

( )( ) ( ⁽ ⁾ ( ) )

( ) ( )

2 2 2 2 2

2 2

2 ' ' 2 2 ,

' 2 ,

u f g f

f

X f f X g f X f XZ

Z f XZ

γ + ε + = γ ε + + ε − γ +

= γ − ε − γ

v'

( )

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2 ' ' 2 2 ,

' 2

,

f u f f g f

f f f

f f g f f

f

γ τ − ε + ε + τ = τ τ − ε γ ε + + τ ε − γ + η

⎛τ τ − ε ⎞ = τ τ − ε γ − ε −

⎜η ⎟ γ η

⎝ ⎠

v'

( )

' 2τ _f

τ = τ − ε χ γ η

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

2 '

g f f

f u f

g f f

f f

γ ε + + τ − ε ε − γ +

χ = τ − ε + ε +

2

1 1

3 3 _f ' _f f

⎛ ⎞

τ ⎜γ τ − ε χ − η = γ − ε −⎟ γ

η ⎝ ⎠

( )

f, f

f f g

f

G

f C

⎛τ − ε τ τ − ε ⎞

⎜ ⎟

⎛ τ ⎞ ⎝ η ⎠

ε − γ + + γ ⎜⎝ ε − γ + ε η ⎟⎠+ τ − ε ≡

( )

⁰

(

⁰²

)

0

0 X _f 0

Z X

η = ε + >

( )

^h

(

^f ^h²

)

⁰

h

h X X

η =Z ε + <

X0 Z₀ X_h Z_h

(10)

Как нетрудно видеть, правая часть второго уравнения системы (4.2) строго положительна, значит, функция η(x) монотонно возрастает на интервале (0, h). Учитывая знаки выражений (2.4), по3 лучаем, что функция η(x) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0; h), а необхо3 димо имеет точку разрыва. Пусть это будет . Причем и , так как функции X и Z аналитические и поэтому не может быть разрывов I рода.

Пусть

, где выражается из уравнения (4.3).

Полагаем, что функция η(x) на промежутке (0, h) имеет несколько точек , в кото3 рых она обращается в бесконечность, причем

, где . (4.5)

Будем искать решение на каждом из (полу)интервалов , , …, :

(4.6)

Подставляя х = 0, , в уравнения (4.6) (в первое, второе и третье соответственно) и учитывая (4.5), находим постоянные :

(4.7)

С учетом (4.7) уравнения (4.6) примут вид

(4.8)

Введем обозначение . Из формулы (4.8) следует, что = . Отсюда следует сходимость несобственного интеграла (далее мы докажем этот факт из других соображе3 ний). Теперь, полагая x в уравнениях (4.8) таким, чтобы все интегралы слева обратились в нуль (т.е. , , ), сложим все уравнения (4.8) и получим

( )

x*∈ 0;h ^η

(

^x^*^{− → +∞}⁰

)

^η

(

^x^*^{+ → −∞}⁰

)

( )

¹ ²

(

^f ²

) ⁽

³ ² ^f

⁾

¹

w w f

⎡ η ⎤−

≡ η =⎢⎣γ τ ε − γ + + τ − ε χ⎥⎦

( )

τ = τ η

0, 1, ..., _N

x x x

(

^xⁱ ⁰

)

^,

η − = +∞ ^η

(

^xⁱ^{+ = −∞}⁰

)

ⁱ ⁼^0,^N

[

^{0, x}⁰

] [

^{x x}⁰^, ¹

] [

^x^N^,^h

]

( ) ( )

0

0 0

1 1

1

, 0 ,

, , 0, 1,

, .

i

N

x

x x

i i i

x x

N N

x

wd x c x x

wd x c x x x i N

wd x c x x h

η

η η

+ +

η η

+ η

− η = + ≤ ≤

η = + ≤ ≤ = −

η = + ≤ ≤

∫

1

x= xi₊ x = xN

1, 2, ..., _N 1

c c c ₊

( )

( ) 0

0

1 1

1

,

, 0, 1,

.

i i

h N

c wd

c wd x i N

c wd h

+∞

η +∞

+ +

−∞

η +

−∞

= − η

= η − = −

= η −

∫

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

0

0 0

1 1

, 0 ,

, , 0, 1,

, .

i

N

x

x x

i i i

x

x h

N x

wd x wd x x

wd x wd x x x x i N

wd x wd h x x h

η +∞

η η

η +∞

+ +

η −∞

η η

η −∞

η = − + η ≤ ≤

η = + η − ≤ ≤ = −

η = + η − ≤ ≤

∫ ∫

:

T ^+∞wd

=

∫

−∞ η ⁰^<^xⁱ⁺¹⁻^xⁱ ^T ^<^h x = x0 x = xi x = xN