В. И. Половинкин, Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах одномерных функций, обладающих дробными производными Римана–Лиувилля, Матем. тр., 2002, том 5, номер 2, 178–202

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. И. Половинкин, Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах одномерных функций, обладающих дробными производными Римана–Лиувилля, Матем. тр., 2002, том 5, номер 2, 178–202

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

4 ноября 2022 г., 20:47:06

2002, том 5, №2, 178-202

П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н О С Т И Ф У Н К Ц И О Н А Л О В С П О Г Р А Н И Ч Н Ы М С Л О Е М

В П Р О С Т Р А Н С Т В А Х О Д Н О М Е Р Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й , О Б Л А Д А Ю Щ И Х Д Р О Б Н Ы М И П Р О И З В О Д Н Ы М И Р И М А Н А — Л И У В И Л Л Я

В. И. Половинкип

Исследуется асимптотика погрешностей усложненных квадратурных фор­

мул и формул с пограничным слоем на функциях, обладающих суммируе­

мыми в некоторой степени дробными производными Римана — Лиувилля.

В частности, устанавливается, что такие формулы являются асимптотически наилучшими по порядку сходимости среди формул с произвольными узлами и коэффициентами. Результаты иллюстрируются на примере усложненных квадратурных формул трапеций и прямоугольников.

Ключевые слова и фразы: квадратурные формулы, дробные производные, функционалы ошибок.

Теория дробных производных представляет собой развитый раздел математического анализа [9]. Во многих работах приближенное интегри­

рование функций «промежуточной гладкости» исследовалось, главным образом, для классов функций, определяемых через модули непрерыв­

ности [2] или через коэффициенты рядов [3,15].

Изучение квадратурных формул для функций, обладающих суммиру­

емыми в некоторой степени дробными производными Римана — Лиувил­

ля, начато в работах [8,10,11] и в выполненной под научным руководством автора настоящей статьи диссертации [12]. Центральное место в упомя­

нутых работах занимает получение асимптотических выражений норм в пространствах L^*(a, Ъ) функционалов ошибок усложненных квадратур­

ных формул, формул С.Л.Соболева с регулярным пограничным слоем и квадратурных формул с пограничным слоем. Эти результаты обобщены в теоремах 1 и 2 данной работы. Опираясь на эти теоремы, мы доказыва­

ем ниже ряд утверждений о квадратурных формулах, главным образом, решетчатых.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­

ных исследований (код проекта 99-01-00765).

© В.И.Половинкин; 2002

Данная статья состоит из четырех параграфов. В § 1 приводятся обо­

значения, определения, формулируются некоторые важнейшие результа­

ты, которые затем устанавливаются в § 3. Второй параграф посвящен лем­

мам, необходимым для доказательства результатов §3,4. Выводы преды­

дущих параграфов применяются к исследованию квадратурных формул в §4.

Введение

Пусть а, 6, а, р, q, n, h — действительные числа, а < b; a > 0 и не целое; р, q e (1, ос), p~l + q~l — 1; п — натуральное число, h = (b — а)/п.

Пусть Л — действительное число, тогда функция х+ равна х при х > 0 и нулю при х < 0.

Если к — целое неотрицательное число, то через Р обозначим мно­

жество многочленов степени не выше /с, через L — совокупность функ­

ционалов, определенных на Р и равных на нем нулю.

Интегральный оператор 1%+ определим равенством

(1^<р)(х) = {Т{а)уЧ\х - t)

^a

-\(t)dt = ( I » )

^{- 1}

/ (х - t)%-\(t)dt,

J a J a

где х е [а, 6], Г означает гамма-функцию Эйлера. Обозначения 7"+ ис­

пользовались ранее в монографии [9], результаты которой будут далее неоднократно применяться.

Через Wp(a,b) обозначим множество функций / , представимых на [а, Ь] в виде

f = P + i2+<P, PepW, (1.1) где [а] — целая часть а, (р — функция, суммируемая на [а, Ь] в степени р.

Функция (р со свойством (1.1) определяется однозначно (см. [9, лемма 2.5]), называется (левосторонней) производной Римана — Лиувилля и обозна­

чается через f(a\ Полунорма

заданная на W^(a, 6), определяет банахово пространство L^(a, 6). При

ра > 1 (1.2) функции из Wp(a,b) непрерывны на [а, 6], а функционалы из l}a\ ли­

нейные и ограниченные на банаховом пространстве непрерывных функ­

ций С[а, 6], т.е. принадлежащие С*[а, 6], содержатся в сопряженном к

Lp(a,b) пространстве L^*(a, 6) (см. [9, с. 64]). Условие (1.2) далее всегда предполагается выполненным.

Дальнейшие выводы, относящиеся к квадратурным формулам, будут описываться как результаты, связанные с функционалами ошибок этих формул.

Все рассматриваемые далее функционалы, если не оговорено против­

ное, принадлежат D-a\ и имеют вид

в N

(IJ)= f f(x)dx-^2ckf(xk), [ Д Б ] с [ а , 6 ] , (1.3)

JA * = I

где А < В, c i , . . . , сдг = ci, сдг, х\, хдг — постоянные, х\, хдг £ [а, Ь].

Определение 1. Последовательность функционалов {/ } называ­

ется последовательностью функционалов с пограничным слоем, если су­

ществуют число К > 0, целое неотрицательное г, функционалы /, /Q, /^ £ LAa\, удовлетворяющие условиям

supp / С [—г, г + 1], supp /0 С [а,а + Kh], supp ln С [b — Kh, b], / G C*[-r, r + 1], /J G C*[a, a + Kh], /J G C*[6 - А7ь, 6], :i.4)

n—r—1 /fc—/ — ± / \

/^)=zS(x) + x; ⁱ {^r ~ ^j ) +to> (L5)

loWiriaJb) = 0{ha), \\lhn\\Lr(a,b) = o{ha) ПРИ h - > 0. ( 1 . 6 )

Определение 2. Если {/ } — последовательность функционалов с пограничным слоем, / — функционал, соответствующий ей в определе­

нии 1, то / называется сопутствующим функционалом для {/ }.

Определение 1 введено в статьях [4-6] и (в одномерном случае) об­

общает понятие последовательности функционалов с регулярным погра­

ничным слоем, данное С.Л.Соболевым в [13,14], или, выражаясь более точно, понятие последовательности функционалов с регулярным погра­

ничным слоем при фиксированных порядке, толщине и оценке [13, гл. 16,

§ 5]. Понятие сопутствующего функционала также фигурирует в [4-6].

Примеры последовательностей функционалов с пограничным слоем дают последовательности функционалов ошибок усложненных квадратур­

ных формул (см. [2]). В этом случае функционалы /Q, /^, как и число г из определения 1, равны нулю.

Если а < 2, а {/ } и {Щ} — последовательности функционалов оши­

бок усложненных квадратурных формул трапеций и прямоугольников,

т. е.

f(x)dx — h

n-l

(/(a) + /(6))2-

1

+ 5 ] / ( a + /

i

7)

7=1 ,1

{lHJ)= /

J a

/

b n-l

f(x)dx-hY,f(a + hj + 2-1h),

7=0

то их сопутствующие функционалы 1 и 1\ имеют вид (/,/) = / f(x)dx-2-1(f(0) + f(l)),

Jo

(hj)= [ f(x)dx-f(1/2).

Jo

Если / — функционал вида (1.3), то обозначим

оо

ф(т)=ф(1,т)= Y1 ШЛл + 'У-г)Г1)-

7=—оо

(1.7)

(1.8)

(1.9) (1.10)

(1.11) Везде далее ряд (1.11) рассматривается в случаях, когда он сходится абсолютно (если все его члены определены), функция ф принадлежит Lq(0,l)*M\\Lq{0tl)?0.

Формулируемые ниже теоремы 1 и 2, центральные в данной работе, будут доказаны в § 3.

Теорема 1. Пусть {I } —последовательность функционалов с погра­

ничным слоем, I — ее сопутствующий функционал, ф — функция (1.11).

Тогда при h —> 0 имеет место равенство

lLg*(a,b) /г-(6 - ^ ^ ( г С с ) ) -1! ! ^ ! ! , ( о д ) + о(/г-). (1.12) Теорема 2. Существует функция G, обладающая тем свойством,

что для последовательности функционалов {/ } с пограничным слоем и сопутствующим функционалом I при h —>> 0 имеет место равенство

\\lh\\ir(ajb) = (Г(«))_ 1Ла(6 - « )V1 (/(»/), G(V - г)) \\Lq{Q1) + o(ha).

Отметим, что в § 3 для функции G будет приведено явное выражение.

§ 2. Леммы

Лемма 1. Пусть функционал I Е LAa\ имеет вид (1.3) или

N

(*'Я = 5^сл/(жА;)» ^ЬЗД e [а, 6], (2.1)

где ci, сдг — постоянные. Тогда справедлива формула

WihrM = (гиГ^Ш^-^г ¹ )!!^)- (2-2)

Формула (2.2) остается верной при замене 1{х) на l(h~lx — <f), где d — число, a supp l(h~1x — d) С [а, 6].

Данная лемма доказывается аналогично сходному с ней утверждению для функций с обычными (не дробными) производными ([7, с. 211-212], см.

также [2, §4]). Близкий к лемме 1 результат приводится в [8, с. 88-89].

З а м е ч а н и е 1. Анализируя доказательства утверждений, сделан­

ных в настоящей работе, можно убедиться в том, что соответствующие результаты справедливы не только для функционалов / вида (1.3) и (2.1), но и для линейных функционалов I — l{rf) E L ^ , определенных на С [а, 6], а при a < 1 и на функциях (77 — т)+~ почти при всех т Е (—ос, ос), если только эти функционалы ограничены на С [а, Ъ] и для них верна лемма 1.

Именно такие функционалы, если не оговорено противное, будут рассма­

триваться в данной работе.

Для проверки условий (1.6) в случаях, когда /Q, /^ — функциона­

лы ошибок квадратурных формул, полезны следующие далее леммы 2-5.

В них числа ттг, сг, е такие, что

О < £ < сг < 1, a — р~ = m + сг,

а через К с различными числовыми индексами обозначаются положитель­

ные постоянные, не зависящие от h.

Л е м м а 2 [9, гл. 1, § 3]. При х, х + h Е [а, 6], <р Е Ьр(а, 6) справедливо неравенство

|(#

⁺

¥>)

^(га)

(* + Л) - (/«»

^{( W )}

(*)| < ВДМ1

^М

«,Ь)' (2-

³

)

З а м е ч а н и е 2 (см. [9]). Если число a — р~1 — не является целым, то формула (2.3) верна при е — о.

Л е м м а 3. Пусть р е [a, b — K^h\ и K<i выбрано таким образом, что lh G С*[л р + K2h]n ХДа1. Тоща при некоторой К%, не зависящей не только от /г, но и от р, выполняется неравенство

\Ы\ьр{а]Ь) ^ ^KZ^hm+£\\^lh\\c*[afiY

Доказательство. Пусть условия леммы выполнены. Представим функцию / е Wp(a,b) в виде (1.1) с <р = f(a\ Далее, разложим / "+( / ^ ) в сумму:

# + ( /( а )) = ^ + 0 , (2-4)

где Pi e Р[ а ], a

#(fc)(p) = 0 при к < [а]. (2.5)

Поскольку а > т, равенства (2.5) верны при всех к < т.

Из формулы (2.5) и леммы 2 вытекает, что

х

е^к

²

щ{\

^9{х)

\} ~ ^

^{+ r a}

I M I w ) = ^

^{e +}

n i / l l

^W

) (2-6)

при некотором К±. С другой стороны, так как l^ e L ^ , равенства (2.4) и (1.1) с у? = f(a) приводят к соотношению

(ih,f) = (ih,g). (2-7) Применяя формулы (2.6) и (2.7), получаем лемму 3. •

Л е м м а 4. Пусть выполнены условия леммы 3 и при некотором К§

справедлива оценка

Ыс*[аЦ < Kbh. (2.8) Тогда при h —> 0 равномерно относительно р имеем

Ыь$*(а,Ъ) = o(ha).

Доказательство. Выберем число е G (0, а) так, чтобы выполнялось неравенство о — е < q . Тогда

т + е + 1 = т + а+ р~1 - (а - е) - р~1 + 1 = а - (а - е) + q~l > a. (2.9) Лемма 4 является непосредственным следствием неравенств (2.8), (2.9) и леммы 3. •

Лемма 5. Пусть функции Л(0, /г), A(n,/i), /i(0,/i), p(n,h), 7V(/i) if функционалы Щ, /^ из Z^aJ таковы, что

а+Л(0,/г) ЛГ(Л)

(/J, /) = / /(x)dx - J ] c^°Д4'°), ^i'°. • • •, Жвд e [a, a + //(0, h)],

( 4 / ) = / /ИЙЖ - Y^ ^ck'ⁿf(^Xk'^U)> ^Х1^{, П}' • • • ' ^ХЩН) ^ei^b~ M™> ^h)i ^b] '

b-\(n,h) k=1

/г,0 /г,0 /г,п /г,п

где cx , . . . , с^у/^ч, cx , . . . , с^у/^ч — постоянные, и при этом

0 < А(0, Л), А(п, Л), /х(0, Л), /х(п, К) < K6h < Ъ - а, (2.10)

7V(/i) 7V(/i)

£ 1 # ° 1 < * 7 Л , Е 1 4 '

^В

| < ^ Л . (2.11)

Тогда с некоторым К > 0 для /Q IT /^ верны формулы (1.6) и (1.4).

Данный результат является следствием леммы 4. Утверждение лем­

мы 5 относительно функционалов Щ вытекает из леммы 4, если в леммах 3 и 4 положить р = a, lh = IQ. Для функционалов /^ достаточно взять там

ж е lh — Im Р — b ~ Кф. •

Отметим, что по условию леммы 5 для /Q, /^ верны формулы (1.4) с константой К — KQ.

Считаем далее 7 целым числом, функционал / и функцию ф^ такими, что

supp/ С [-г,г + 1], / е Ь^а\ (2.12)

^7(г) = (/(гу),(гу + 7 - г ) Г1) . (2.13) Для функционалов /, рассматриваемых в статье, предполагаем верной

формулу (2.2). Следовательно, для любых чисел А, В, —ос < А < В < ос, имеет место включение

^(T)€Lq(A,B). (2.14)

Из формул (2.12) и (2.13) следует Лемма 6. Пусть т G [0,1]. Тогда

•ф^т) = 0 при 7 < -г - 1, (2.15)

^7(г) = (/(??),(??+ 7 - ^ )a _ 1) яри 7 > г + 1. (2.16)

Следующий результат доказывается методом, близким к способу до­

казательства леммы XV.2 из [13].

Лемма 7. Пусть числа s,y,r удовлетворяют условиям: s > 0, 7 >

r + s + 2, т G [0, s]. Тоща существует постоянная В > 0 такая, что

\ф,(т)\ < ^B^~^[a]~²\\l\\c*l-r,r⁺l]-

Доказательство. Пусть условия леммы выполнены, т\ е [—г, г + 1].

Определим функцию переменной т\ следующим образом:

ФъЛл) = (l + V- ТГ+-1 = (l + V- r)a-\ (2.17) Разложим ipj^T по формуле Маклорена

^ Ы = Е Л! ^ + (Ы + 1)!

⁷⁷

'

⁽²

-

¹⁸⁾

где -ф$- = (ФЪт)^к\ к = 0, [а] + 1, число 0 G (0, г/). Так как I £ l}a\ из формул (2.13) и (2.18) находим

V

⁷

(r) = (1ШъЛч)) = ( / Ы , ^

^{+ +}

\

⁽

^

^{м + 1}

Отсюда вытекает, что

!^

^(т)|

- ^ м + У

^{1 1}

'

^{1 1}

^ ^ ' ! | £ & {l^°

^1+l)

Wl} • <

^2Л9

>

Дифференцируя ([a] + l) раз равенство (2.17) и учитывая, что гу — т + 9 > 1 при |0| < г + 1, получаем оценку

max j | 4 5 r] + 1V ) | ) < 5 i7 a"W"2, (2.20) где £?i — некоторая постоянная. Лемма 7 следует из (2.19) и (2.20). •

Из формул (1.11) и (2.13) вытекает, что

оо оо

Ф(Т)= J2 (m,(v+i-r)r

¹

)= J2 ^ w - (2-

²¹

)

7=—оо 7= —° °

Учитывая (2.21), (2.15) и (2.16) получаем при г е [0,1] следующее равен­

ство:

г+2 оо

^о-) = Ё (/(»/), (»/+7 - г)г

^х

) + £ 0 ^ fo+^ -

^r

)

^a_1

) • (

²

-

²²

)

7=—г 7=^+3

Применяя к слагаемым в правой части (2.22) лемму 7, в формулировке которой берем 5 = 1, приходим к следующему заключению.

Лемма 8. Ряд в правой части формулы (2.22) сходится абсолютно и равномерно относительно т Е [0,1].

Из леммы 8, формулы (2.21) и включения (2.14) вытекает

Лемма 9. Функция ф является периодической на (—ос, ос) с перио­

дом 1 и локально суммируемой там в степени q.

П р и м е р . Пусть а < 2, / — функционал (1.9), являющийся сопут­

ствующим функционалом последовательности {/ } функционалов ошибок усложненной квадратурной формулы трапеций (1.7). Тогда

(1 + у-т)%-(у-т)%

Ф(Т)=

Y1

7=—оо а

- £ ( ( 1 + 7 - г ) Г

¹

+ ( 7 - г ) Г

¹

)

Отсюда следует, что при т € [0,1] имеет место предельное соотноше­

ние где

ф(т) = Jim фм(т),

N

(2.23)

Г(т)

uN ⁼ ( i Y + 1" T ) a - £ ( 7 - г ) " "1 - > + 1 - г ) " "1. (2.24)

OL £ 7= 1

Если а < 1, то (7V+1 — т)а 1 —>> 0 при N —>> ос, и выражение т/А вида (2.24) может быть заменено в формуле (2.23) следующим:

N

фК(т) = a-\N + 1 - r)a~l - 5 ^ (7 - т)а-\ (2.25)

7= 1

§ 3. Асимптотика норм функционалов

Доказательство теоремы 1. Предположим, что последовательности функционалов {/ } с пограничным слоем соответствует в определении 1 сопутствующий функционал / и число г. Тогда из формул (1.5) и (1.6) получаем

п—г—1

\\L IILg*(a,b) - Обозначим

7=г

Е Н—Г-

^{/ х — а} _h " 7 ^o(ha) при /г -)• 0. (3.1)

L£*(a.6)

/ ( * )

п—г—1

Е

7=т

^ ~ а _ . \ , „ „ ч а - 1

/г - 7 , ( ? 7 - ^

+ Из (3.2) и (2.2) следует, что (3.1) равносильно равенству

\\1к\\ьг(а,Ъ) = ( Г ( « ) )_ 1| | / | |Ь з ( в,6 ) + o(ha) при а -+ 0.

(3.2)

(3.3)

Л е м м а 10. Существует функция a[h) такая, что a[h) —ь 0 при h —>> 0.

При этом для любого целого числа j , г < j < п 1, выполняется неравенство

H?LJL-y),(r,-

x

)°-i

Lq(a,b)

< a{h)ha. Доказательство. Из леммы 1 вытекает, что

h j),(v-x)+ Г(а)

" ^ - _ЬГ(а,Ъ) • (3-4)

Lq(a,b)

Кроме того, при некоторой постоянной К > 0 справедливо равенство г] — а

h ⁷ Kh.

C*[a,b]

Применяя лемму 4, в условии которой полагаем lh(r]) = l((r] — a)h 1 — j), и учитывая формулу (3.4), получаем лемму 10. •

Л е м м а 11. При h —> 0 имеем \\gh\\bq(b-sh,b) — o(ha).

Доказательство. Обозначим через B(s,h) множество тех целых чи­

сел 7? для которых слагаемые в правой части (3.2) не равны нулю при всех х е (Ъ — sh, b). Тогда

\n^h\\ <Г V ^

\9 \\Lq(b-shfi) S / J

jeB(s,h) h

\ \T ]~ a ~.\ (~ ^ a - l

i\M-

^x

)

^c

-

^(3.5)

Lq(afi)

Количество элементов B(s,h) ограничено постоянной, не зависящей от h.

Следовательно, неравенство (3.5) и лемма 10 дают лемму 11. • Считаем при доказательстве теоремы 1 число s натуральным.

Л е м м а 12. При h^O имеем \\gh\\Lq(a,a+sh) = o(ha).

Доказательство. Выберем натуральное число А > 2 + s + r и при малых h представим g в виде суммы g — g\ + g\, где

A-l

&•{*:

7 = r n—r—1

= E

7 = A

T] — a

*) = E HV-Tl-ii-r

_h

TJ — a

h

-r),(v-x)T

1

Аналогично лемме 11 устанавливается, что

hl\\Lq{a,a+sh) = 0(ha) ПРИ h - > 0.

Докажем асимптотическое равенство (3.6) для д\.

Если 7 > А, х е (а, а + s/i), то

(3.6)

п ^ - т и » ? - ^ -

/l _'+ ¹

/г(г(г/),(/гг/ + /г7 + а - ж )а _ 1) Л°М(Ч), 7 + 4 a; — a

h

a—1N

(3.7)

При ж £ (а, а + sh), rj G [—г, г + 1] по лемме 7 существуют постоян­

ные В,В\ > 0 такие, что если j > А, то

(/(r/),(7 + » 7 - ( z - a ) / i T *) ^ ^ I H I c - I - r . r + l i y - ^ - ^ B i y a—[a]—2 TD a—[a]—2

Отсюда и из формулы (3.7) заключаем, что

оо

7 = А

(3.8)

Из неравенства (3.8) следует справедливость оценки (3.6) для функ­

ции д\ {х). •

Считаем далее n > s + 2г и //[s] = ||fif/l|llg(a+2r/l^_s/l+/l)- Непосред­

ственным следствием лемм 11 и 12 является следующая Л е м м а 13. При h —>> 0 имеем

9n\\9LtM=As] + o(h^). (3.9) Пусть п(5) = гг — г — 5 — 1 и

Л]

<5=2г'

п(6)

7=—оо

dr, (3.10)

где функции ф^ определяются формулой (2.13).

Лемма 14. Справедливо равенство fih[s] = haq+1t/;h[s].

Доказательство. Из определения fih[s] имеем

11> О л

As] = £ /

5=2rJa

n—s r

£/

n-s ra+hd+h

S=2r*

n-s rCi+h5+h

S=2r*

n—r—1

£

n—r—1

г] — а h

7 , (77 - x) ^{a - l}

^ ^ ( / ( ^ Д ^ + ^Т + а-х)^"¹)

7 = r

dx

dx. (3.11) Заменяя переменные интегрирования х = hS + hr + а в правой части формулы (3.11), получаем

n—s „ n—s »i

0

haq+l S=2r

n—s ri n—r—1

Yl ^J-d(r)

S=2r

7 = r n—r—1—S

7=r—S

dr

dr.

Тем самым лемма 14 следует из (3.10) и (2.16). •

Лемма 15. Существует монотонно невозрастающая последователь­

ность {s(h)} натуральных чисел такая, что при h —> 0

hs[h) —>> 0, s[h) —>> оо,

^^hHh)]-\\9^h\\^qLq{a,^b)\=o(h^),

^^h[s(h)}h^⁺¹-\\gX^q{afi)\=o(h^)

(3.12) (3.13) (3.14) Доказательство. Число s в (3.9) может быть взято сколько угодно большим. Поэтому существование последовательности |s(/i)}, удовлетво­

ряющей условиям (3.12) и (3.13), вытекает из леммы 13. Формула (3.13) и лемма 14 показывают справедливость асимптотической оценки (3.14). •

Согласно (3.3) и лемме 15 для завершения доказательства теоремы 1 достаточно установить равенство

Ф^н[8(Н)]=(Ъ-а)к-¹\\ф\\1^{0>1) + №, ^(3.15) где функция /3(h) такова, что h/3(h) —>> 0 при h —>> 0. Докажем (3.15).

Пусть 5 — целое и, как и прежде, п(5) — п — г — 5 — 1. Обозначим ф^ — 5^7=-оо^7 и ^5 — Ф ~ Ф^ • Тогда (3.10) принимает следующий

вид

n—s(h) д=2г

Л е м м а 16. При h —> 0 норма \\ф^ \\ь (0 1) стРемится к нулю равно­

мерно относительно S e [2r, n — s(h)].

2,/г

Доказательство. По определению ^ ' имеем

у * :

<5 llL,(0,l) ^2,h\

МОД)

(3.17)

Е *>

7=п(£)+1

При всех S из [2r, n — s(h)] имеем n(5) > s(h) — г — 1. Кроме того, ряд в (2.22) сходится равномерно на (0,1). Отсюда и из равенства (3.17) следует лемма 16. •

Число слагаемых в сумме (3.16) равняется

n-s(h)-2r + l = (b-a)h~1(l + o(l)) при h -> 0.

Поэтому если функция ф = 0, то лемма 16 влечет равенство (3.15). Если

Ж е IHIL,(0,1) ^ 0 , ТО

II^IL

^e

(o,i) = H^llL

^e

(o,i) (1 + °(1))

^П

Р

^И

^ ° > (3-18)

причем о(1) стремится к нулю при h —ь 0 равномерно по 5 е [2r, n — s(/i)].

Подставляя (3.18) в (3.16), находим

/n-s(h) \

^ № ] = Е ii^iii

9

(o,i) (i+«(i))

V 5=2г /

= (п _ S(h) - 2г + 1) ||</>||W ) (1 + 0(!))• (З-19) Из формул (3.19) и (3.18) следует (3.15) и теорема 1. •

З а м е ч а н и е 3. В работах [5,8,10-12] рассматриваются некоторые, удовлетворяющие условиям теоремы 1, последовательности функциона­

лов ошибок квадратурных формул. Для них установлены аналогичные теореме 1 утверждения, сформулированные без использования понятия сопутствующего функционала.

Положим при натуральных t

I*{z) = тГ

¹

+ Е

^{( а}

"

^{1 ) ( а}

"

^{2 )}

, Г "

^{Х ( а}

" ^

⁾

7 Г "

¹

^ (3-20)

к=1 гь.

Также обозначим

Р7° = Р7°(г) = 7« -1. (3.21) Если \z\ < 7? т 0 функции Pl(z) совпадают с многочленами Маклорена степеней t относительно переменной z от функции (7 + z)a~l.

Пусть

оо

G(z)= J2 [(Т + ^ Г 1 - ^ ) ] - (3-22)

7=—оо

Установим теорему 2 в предположении, что функция G в ее форму­

лировке имеет вид (3.22).

Доказательство теоремы 2. Аналогично лемме 7 устанавливается Лемма 17. Если 0 < К\ < К^-, то существует постоянная К% такая, что при \z\ < K\, Yf\ > К2 справедливы неравенства

\{^ + z)a+~l - p\a\z)\ < ^ з 7а _ Н"2-

Согласно лемме 17 ряд (3.22) сходится абсолютно и равномерно, если z = г] — т, т е (0,1), 77 е supp/. Так как I Е 1Ла\ функция ф из (1.11) может быть преобразована к виду

оо

Ф(т)= Yl (l(v),(v + 'T-r)%-1-P\%-T)) = (l(V),G(v-r)).

7=—00

Отсюда и из теоремы 1 вытекает теорема 2. •

Теорема 3. Пусть число /i, функционал I и последовательности {I }, {№} функционалов с пограничным слоем таковы, что 1{х) — сопутству­

ющий функционал для {lh}, а 1{х — /л) — сопутствующий функционал для {/^}. Тогда при h —> 0

г

^o(ha).

где

\ЬГ(а,Ъ) \Г»\\Ь$*(а,Ъ)\

Доказательство. Применяя к {/И теорему 1, получаем при h —> 0

11^11ьг(«,б) = (6-а)1 /^ (ГИ ) "1| 1 ^ 1 1 ь9( о д ) + ^а) ' (3-23)

ОО

МТ) = Е ( ^ - »)> (Л + -У - r) +_ 1) = Ф{т ~ М). (3-24)

7=—оо

По лемме 9 функция ф периодическая с периодом 1. Поэтому

\ф(т- \х

МОД) = Ы{т МОДГ

Далее, из формул (3.23), (3.24) и теоремы 1 следует теорема 3. •

§ 4. Квадратурные формулы

Доказательство следующей ниже теоремы 4, решающей вопрос о наи­

лучшем порядке стремления Ь®*(а, 6)-норм функционалов ошибок квадра­

турных формул к нулю при неограниченном возрастании числа узлов, кратко намечено в заметке [7]. В этом доказательстве используется метод

«шапочек» для вывода нижней оценки погрешности интегрирования, при­

мененный ранее в других ситуациях Н. С. Бахваловым и С.Л.Соболевым (см. [13, гл. XV, лемма XV.1]).

Теорема 4. Существуют постоянная А > 0 н последовательность функционалов {I } С L^ вида

N

(l

^N

J)= f f(x)dx-^f(x^), (4.1)

Ja k=i

где c^, к = 1, N, — постоянные, x^, x^ e [a, b], такие, что

\\lN\\ < AN~a(b - r/Wg + a

lLg*(a,b)

Кроме того, найдется число К > 0 такое, что для любой последователь­

ности функционалов {I } С Z^aJ вида (4.1) выполняется неравенство

\n\

^Lr{

a,b)>

^KN

-

^a

(

^b

-

^a

)

^1/q+a

-

Доказательство. Пусть {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, где / — функционалы ошибок квадратурных фор­

мул. При этом {/ } удовлетворяет условиям определения 1 при соответ­

ствующем выборе чисел / с и г и функционалов /, /Q И /^. Пусть также N = N(h) — количество узлов квадратурной формулы с функционалом ошибок / . Например, в качестве / можно рассмотреть функционал оши­

бок усложненной квадратурной формулы Ньютона — Котеса, точной на многочленах степени не выше [а]. Тогда при h —> 0 получаем

N = B(b- a)h~l (1 + о(1)), (4.2)

где В — некоторая положительная постоянная, и оценка сверху в теоре­

ме 4 следует из теоремы 1 и формулы (4.2).

Установим оценку снизу.

Пусть задана последовательность функционалов {/ } С L^ вида (4.1).

Положим h = h(N) = (b-a)2~1N-1, и пусть //(TV) — совокупность целых чисел i е [О, 27V — 1] таких, что интервалы (a + hi,a + hi + h) не содержат точек х^,... ,х^, Q(N) = Ц<Е//(ЛГ) (a + hi,a + hi + h).

Зададим на [0,1] функцию д, обладающую непрерывными до порядка [а] + 1 производными, такую, что д(0) = д'(0) = • • • = д[а]+ 1(0) = д{1) = t / ( l ) = . . . = ffM+l(l)=0H ,

/ #(x)dx > 0. (4.3) Jo

Положим также

з(^1Г ~ 0 п р и ^ е М^О? х е (а + hi,a + hi + h)\

9h(x) =gh(N)(x) , c f , н М л 1,0 при x e [a, 6J \ S2(iv).

По построению функции д^ обладают на [a, 6] непрерывными до порядка [а] + 1 производными. Если натуральное число г не превосходит [а] + 1, то

( \{т\< ч Г ^ "Г^( г )( т -г) ПРИ г G М^0> * ^ (а + Ы , а + Ы + Л);

I 0 при х е [а, 6] \ f i ( i V ) . Из формулы (4.3) вытекает, что

r*b r ra+hi+h (lN,9h)= gh(x)dx = gh(x)dx= V / 9\—? 4dx

J a JQ(N) ie^N)Ja+hi ^ J

= mestt(N) g(x)dx > (b - a)2~l I g(x)dx > 0. (4.5) Jo Jo

Оценим сверху ЦрдЦ^а^м. Пусть (р — непрерывная на [0,1] функция

1Я, ЧТО

/ ip(x)dx = 0, ср(0) = ср(1) = 0. (4.6) Jo

Функцию (рь определим на [0, ос) следующим образом:

(р(х — г), если г £ /i(iV) и х е (г, г + 1);

такая, что

4>h{x) = , п

[ U в противном случае.

По построению (рь непрерывна на [0, ос) и, кроме того,

\<Ph(x)\ < Ki ПРИ х ^ [0, ос). (4.7) Здесь и далее в доказательстве теоремы 4 через К с цифровым индексом

обозначается постоянная, не зависящая от /i, a, 6.

Из первого равенства (4.6) выводим неравенство

/ (ph(x)dx < К2 при 0 < t < х < ос, (4Л

где К2 не зависит от t и х.

Пусть /3 е (0,1), с, d, z G [О, ос) и с < d. Тогда полагаем

Лемма 18. Существует постоянная К% такая, что для всех z > О имеет место неравенство | А^ h | < i^3 •

Доказательство. Так как /3 < 1, из неравенства (4.7) вытекает, что при некоторых К^ К§ справедливы соотношения

\Az^h\<K4 при ze[0,2), (4.9)

\A\h\ < Къ и | ^ _1 ) h| < К5 при z e [2,оо). (4.10) Кроме того, при z > 2 имеем

Согласно равенству (4.11) и неравенствам (4.9), (4.10) для доказательства леммы 18 достаточно установить существование постоянной KQ такой, что

\Ai~h\ <кь ПРИ z^2- (4-12)

При фиксированном z > 2 функция (z — т)~@ непрерывна, неотрицательна и монотонно возрастает относительно переменной г на [1,2:- 1]. Учиты­

вая еще, что функции (рн(т) ПРИ т > 1 непрерывны, применим формулу Бонне (см. [16, с. 119])

[ Нт)ф(т)(1т = № [ ф(т)(1т, Ve[a,b].

J a J 7]

Полагая здесь а = 1, Ъ — z — 1, ф = (p^j / ( т ) = (z — т)~@ и учитывая неравенство (4.8), получаем оценку (4.12) и лемму 18. •

Лемма 19 [9, с. 43]. Если f — непрерывно дифференцируемая на [а, Ь]

функция, то

/ ( / 3 ) ( ж )" г ( 1 - / 3 )

Да) , Г №

_{+ / , \ads}

_(х — a)P Jа (х — s)P Лемма 20. Существует постоянная K-j > 0 такая, что

\gh(x)\ < K-jh~a при х е [а,Ь].

(4.13)

Доказательство. Полагая в (4.13) (3 = a —[a], f(x) = (днг, обозна­

чая (Г(1 — а + М ) ) через Kg и используя (4.4), выводим Ы( а )( * ) = К8 Г(9h)^+1Hs)(x - s)-Pds

J a

/

a+hi+h

{gh){[a]+l\s){x-s)^ds

ie»(iV -^+hi

= K,h-^-1 V [a+ht+hg(W+1)(S-^-t)(x-s)-Pds

K8h-M J2 f д([а]+1\т-г)(х-а-тН)-Р(17

K8h~

iefi(N)'

~

^a

E f

⁺

\^

^]+1

hr-i){^-ry

^P

dr. (4.14)

Применяя к правой части формулы (4.14) лемму 18 с (р = g l H + v , получаем лемму 20. •

Непосредственно из леммы 20 следует Л е м м а 2 1 . Справедливо неравенство

\Ы\ща,ъ)<К9(Ъ-а)1Н-а. Из леммы 21 и формулы (4.5) находим

(lN,9h)/\\9h\\majb) > K™(b ~ a)lkha > KnN~a(b - a)l'^a. Отсюда вытекает справедливость нижней оценки в формулировке те­

оремы 4. •

З а м е ч а н и е 4. В силу теоремы 4 существует постоянная К > 0 такая, что для любой последовательности функционалов {/ } С LAa\ вида

f(x)dx-Y,4f(a + kh), (4.15)

fc=0

где CQ , . . . , с^ — постоянные, имеет место неравенство

ih

l ^ ^ ^ r f i - a )

¹

/ '

Определение 3. Последовательность {lh} функционалов вида (4.15) называется решетчатой квадратурной последовательностью функциона­

лов с пограничным слоем, если она удовлетворяет всем условиям определе­

ния 1 и, кроме того, функционалы из формул (1.4)—(1.6), соответствующие ей в определении 1, имеют вид

( / , / ) = / f(x)dx- £ > * / ( * ) >

J° k=-r

/

a+rh t

f{x)dx-YJclhf{a + kh), (4.16)

fc=0

(&/) = [ f(x)dx-J24,hf(b-kh),

k=0

где t — фиксированное натуральное число, c^h, c ^ , k = 0,t, c&, k =

—r, r + 1, — постоянные.

Чтобы функционалы Щ и /^ в (4.16) удовлетворяли условиям (1.6) определения 1, согласно лемме 5 достаточно предположить существова­

ние постоянной К такой, что для всех рассматриваемых h выполняются неравенства

t t

Y,\

c

lh\<

Kh и

Т,\

с

Ы <

Kh

-

k=0 k=0

Непосредственным следствием теоремы 1 и замечания 4 является Теорема 5. Пусть {lh} —решетчатая квадратурная последователь­

ность функционалов с пограничным слоем и сопутствующим функциона­

лом I вида (4.16). Тогда при h —>> 0 имеем

\\lh\\Lr(a,b) = (Ь-а)1 / 9(г(«))_ 1|1^1к(0,1)Ла(1 + о(1)), где функция ф вида (1.11) и |H|L g ( 0,i) Ф 0.

Теорема 6. Пусть {^}, {1%} —решетчатые квадратурные последо­

вательности функционалов с пограничным слоем. Тогда I™ { 11^1 llLg*(o,b)/11^2 llLg*(a,b)| = L

Доказательство. Заметим, что {/^ — 1\} является последовательно­

стью функционалов с пограничным слоем и сопутствующим функциона­

лом Д е L'al следующего вида

га+1

k=—m

Здесь т — натуральное число, a&, к — —ш, т + 1, — постоянные, 5(х) — обобщенная функция Дирака.

Из теоремы 1 заключаем, что при h —>> 0 справедливо равенство

К - li\\Lr(ajb) = h°(b ~ « ^ ( Г Н Г ' Н ^ М О Д ) + o(ha), (4.17) где

со

<р(т)= Y1 ( А Ы Д т + ^ - г ) " -1) .

7=—оо

Покажем, что равномерно на (0,1)

оо

Y^ fA(?|))(7 + 1 - ^ ) + "1) ^ ° ПРИ ^ ^ о о . П (4.18)

7=—оо

Л е м м а 22 [13, с. 707]. Существует такой функционал

m k=—m

ще &&, k = —m, m, — постоянные, что А (ту) = До(?7 — 1) — Ао(ту).

Если [a] > 0, то Ао е 1 > Ь 1 . По лемме 22 имеем

N N

£ ( Д Ш Т + ^ Г

¹

) = Е (До(»7-1)-ДоШ7 + »7-'г)Г

¹

)

7=—оо 7= —° °

7V

7=—оо

= (A0(r/),(iV+l + r/- r ) r1) - Отсюда следует, что

ф ) = lim (AO(V), (N+l + V - Г ) " "1)

= lim ( A o ^ ^ i V + l + r z - r ) " -1) . (4.19)

Если а < 1, то из (4.19) следует формула (4.18). Пользуясь (4.18), (4.17) и теоремой 5, получаем теорему 6 (при а < 1).

Пусть а > 1, а многочлен Р,у определен одной из формул (3.20) и (3.21) при t —[а\ — 1. Тогда

( A o ^ M i V + l + r z - r ) " -1)

= ( Д о М , (7V + 1 + / 7 - т Г "1 - P\t\v ~ г)). (4.20) Так как функционал До финитен, то из равенства (4.20) по лемме 17 сле­

дует справедливость соотношения (4.18) и при а > 1. Поэтому теорема 6 справедлива при всех а > 0. •

З а м е ч а н и е 5. В работах [4,5] изучаются вопросы, близкие к ис­

следуемым в данной статье. Там «параметр гладкости» а считается нату­

ральным числом, a p G [l,oo]. Результаты этих работ, а также теорема 6 позволяют сделать вывод, что в задачах, связанных с асимптотическими оценками норм в L^*(a, Ъ) функционалов из решетчатых квадратурных последовательностей с пограничным слоем, пары чисел р, а делятся на три группы (а), (б), (в).

В случаях (а) и (б) а равно натуральному числу т и для всех ре­

шетчатых квадратурных последовательностей {/ } функционалов с погра­

ничным слоем нельзя выбрать одинаковых (в смысле равенства главных членов) асимптотических выражений ||/ \\ьт*(а,Ь)-

(а) Если р G (1,ос], то главный член асимптотического выражения

||/ \\ьт*(а,Ь) зависит от «сопутствующего числа»

х = (Ь - a)'1 lim [(lh(x), xm)h-m], которое всегда существует (см. [4,5]).

(б) При р = 1 сопутствующее число не определяет однозначно глав­

ный член асимптотического выражения ||/ ||ьт*(аМ-

(в) Число а не является натуральным и, как показывает теорема 6, главные члены асимптотических выражений ||/ ||ьа*(аМ можно выбрать одинаковыми для всех решетчатых квадратурных последовательностей {/ } функционалов. На этот выбор не будет влиять принадлежность {/ } к некоторому классу последовательностей квадратурных формул Соболева с фиксированной толщиной и оценкой. В этом случае нет необходимости в исследованиях, аналогичных проведенным в [17], где рассматривалась задача об асимптотической минимизации норм в L^*(a, b) функционалов из решетчатых квадратурных последовательностей, сведенная к решению

некоторого трансцендентного уравнения, связанного с многочленами Бер- нулли.

В следующем ниже утверждении последовательности функционалов {/ } и {Щ} таковы, что {/ } удовлетворяет условиям определения 3 и теоремы 6, а {/^} им не удовлетворяет.

Теорема 7. Пусть а < 1, {lh} и {1^} — последовательности функ­

ционалов ошибок квадратурных формул трапеций (1.7) и прямоуголь­

ников (1.8) соответственно, функция ф определена равенствами (2.23) и (2.25). Тогда

(Ь-а^^Ца))-1^^^ = ||/л||ьГ ( а,Ь)(1 + /31(Л))

= 11«1||ьг(а,ь)(1 + /32(Л)), (4.21) где функции /3i(h) и /32(h) стремятся к нулю при h —>> 0.

Доказательство. Первое из равенств (4.21) следует из теоремы 5, а также из уже доказанных равенств (2.23) и (2.25) для функционалов ошибок формул трапеций. Чтобы установить второе из равенств (4.21), воспользуемся следующим представлением:

п-2

7=1 L

/ f(r)dr-hf(a + hj) + ( & / ) , (4-22) где

ra+0.bh

pa-\-\j.on

( # > / ) = / f(r)dr-0.5hf(a),

J a

rb

(t f) = / f(r)dr - hf(b -h)- 0.5/г/(5).

Jb-l.bh rb

'6-1.5/1

Если /i — функционал (1.10), то

х - а 1 \ . , Л /"«+Л7+0.5Л

И

l h " " 7 + о Ш = / f(r)dT-hf(a + hj).

h 2 / / 7а+^7-0.5Л

Кроме того, /Q , /^, / e I/°. Таким образом, как вытекает из (4.22), {/^} мож­

но рассматривать как последовательность функционалов с пограничным слоем и сопутствующим функционалом 1\{х + 0.5). Поскольку 1\ — со­

путствующий функционал последовательности {Щ} вида (1.8), теорема 3 влечет второе из равенств (4.21) и теорему 7. •