Приводится формулировка законов Кеплера, по к о т о р ы м э т о движение происходит, и даже упоминается, ч т о э т и законы следуют из закона всемирного т я г о т е н и я и "второго" закона Ньютона

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Рубинштейн, О законах Кеплера и Ньютона, Матем. обр., 2011, вы- пуск 1(57), 40–44

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 07:02:13

О з а к о н а х К е п л е р а и Н ь ю т о н а А. И. Рубинштейн

В статье, при помощи дифференциального исчисления, показано, что законы Кеплера со­

гласуются с законом всемирного тяготения Ньютона. Статья доступна студентам первого курса технического ВУЗа, а также школьникам, обучающимся в школах с углубленной про­

граммой по физике и математике.

В школьных курсах природоведения, физики, астрономии сообщается о строении солнечной системы, о движении Земли (Т) вокруг Солнца (S). Приводится формулировка законов Кеплера, по к о т о р ы м э т о движение происходит, и даже упоминается, ч т о э т и законы следуют из закона всемирного т я г о т е н и я и "второго" закона Ньютона.

Иоганн Кеплер (1571—1630) сформулировал первые два закона движения планет в 1609 году в книге "Новая астрономия или физика неба, излагаемая в комментариях к движению планеты М а р с " . В о т они.

Первый закон: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов к о т о р ы х находится Солн­

це (рис. 1).

Рис. 1

В т о р о й закон: радиус-вектор Солнце-планета в равные п р о м е ж у т к и времени з а м е т а е т рав­

ные площади (рис. 2).

О законах Кеплера и Ньютона 41 Кеплер установил э т и законы феноменологически, путем осмысления р е з у л ь т а т о в многочи­

сленных точнейших (по тому времени) наблюдений Тихо Б р а г е (1546—1601).

В 1665 году величайший ученый Исаак Ньютон (1643—1727) нашел закон всемирного т я г о ­ тения:

на к а ж д у ю из двух (точечных) масс m и М действует сила F, направленная встречно по прямой, соединяющей массы, равная по величине

F тМ

= 7"

где г — расстояние между массами, а 7 — коэффициент — постоянная всемирного т я г о т е н и я . Однако к н и г а Ньютона "Математические начала натуральной философии", содержащая и формулировку закона всемирного т я г о т е н и я , и м е т о д ы дифференциального и интегрального исчисления, была опубликована лишь в 1687 году. Л мысль, ч т о сила т я г о т е н и я обратно пропор­

циональна к в а д р а т у расстояния между массами -K^j в 1683 году была высказана Р о б е р т о м Гуком, Христофером Реном и Эдмундом Галлеем. К н и г у же об основах дифференциального и интегрального исчисления на несколько лет ранее Ньютона опубликовал Г о т ф р и д Лейбниц.

В книге "Математические начала натуральной философии" Ньютон геометрическим путём выводил из законов Кеплера закон всемирного т я г о т е н и я и н а о б о р о т¹. Проделаем э т о (скорее всего в энный раз) с помощью дифференциального исчисления. Точнее, покажем, ч т о законы Кеплера согласуются с законом всемирного т я г о т е н и я . Знаниями, необходимыми для понима­

ния последующего, обладают студенты первого курса технического В У З а и даже школьники, обучающиеся в школах с углубленной программой изучения физики и м а т е м а т и к и .

Выберем прямоугольную систему координат (ж, у) в плоскости эклиптики (плоскость дви­

жения Земли) т а к , ч т о эллипс о р б и т ы в ней имеет уравнение в каноническом виде. В одном из фокусов э т о г о эллипса находится Солнце (первый закон Кеплера). С т р о г о говоря в р а м к а х "за­

дачи двух тел" система Земля-Солнце движется вокруг общего центра масс. Но т а к к а к масса Солнца равна ^ • 10⁶ масс Земли, радиус Солнца ^ 7 • 1 0⁵ км, а расстояние от Земли до Солнца около 15 • 1 0⁷ км, т о центр масс системы Земля-Солнце о т с т о и т о т центра Солнца менее, чем на 500 км и вполне можно принять первый закон Кеплера. Тогда закон движения Земли даётся соотношениями

ж = ж(£) = —с + a cos ip(t)

У = y(t) = Ъ sin ip(t) с = V a² b² (1) где a > b — величины полуосей эллипса, a ip(t) — закон изменения во времени полярного угла Земли относительно центра эллипса, см. рис. 1.

T « и ( t ) - A t

Рис. 3

1 K . i H . M H i i i i - i i i И.А., Астрономия вчера и сегодня, Наукова Думка, Киев, 1977, стр. 140—149.

Если т о ч к а движется в плоскости по закону f(t) = (x(t),y(t)), т о её мгновенная скорость v(t) равна (x'(t),y'(t)) = (^j§S ^jf)- Обратимся к рис. 3.

Очевидно, ч т о Т^Т w v(t) • At и площади a (STtTt+&t) и a (^STtT^j криволинейных треуголь-

е л

At — 0. Но площадь a (STtf^j т р е у г о л ь н и к а STtf равна

1 x(t) y(t) 2

По второму закону Кеплера dx

dt At • A t .

x{t)^-—y{t)^- = A ' dt ' ' dt

(2) Из (2) и (1) следует

(acos<p(t) ^ ^ ^ s t^- — bs'mip(t)a (— s'm<p(t)) ^ = ab (l — — cos <pj dtp dtp dt

if-, f w dip , ab(l — s cos <p\t)) — = A,

где e = § — эксцентриситет эллипса. Эксцентриситет о р б и т ы Земли равен 0,017, т а к ч т о орбита Земли п р а к т и ч е с к и круговая. Из последнего равенства

(1 — scosip(t)) dip = — dt, (3) откуда

ip(t) — е sin ip(t) = —t + В.

ab

He имеет значения, какую т о ч к у о р б и т ы п р и н я т ь за начальную, т а к ч т о можно с ч и т а т ь (р(0) = 0 и

ip(t) — ssimpit) = —t

ab (4)

Э т о уравнение принципиально позволяет определить закон изменения (p(t) — закон движе­

ния Земли по орбите. Если п р и н я т ь г = 0, т о ip(t) = -^t — круговое движение происходит с постоянной угловой скоростью. По второму закону Н ь ю т о н а

d²r -> .

mdf = ^F ®

а по закону всемирного т я г о т е н и я

F(i) = — 7-г=з-*Ч*) тпМ

И"

где m и М — массы Земли и Солнца соответственно. Из (5) и (6) получаем

d2f (d2x d2y

dt² dt² ' dt² — У

3 1 3 ( Ж²+ У²) 2 ( Ж²+ У²) 2

(7)

О законах Кеплера и Ньютона 43

= — -уМ- at

J2„

ж

dry _ dt2

—

ж + у

У_

2\2

(ж + у

В принципе, решая э т у систему дифференциальных уравнений, получим решение "задачи двух тел" и определим закон движения Земли вокруг Солнца. Однако аналитически р е ш и т ь систему (8) проблематично. Вместе с т е м можно получить т а к называемый "промежуточный интеграл" системы (8) (см., например, А. П. К а р т а ш е в , Б . Л. Рождественский "Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления", изд. второе. Наука, М., 1980, с т р . 12). Для э т о г о умножим первое уравнение в (8) на

р е з у л ь т а т ы . Получим

второе на ^dy dt И СЛОЖИМ

откуда

( Ж² + У2) 2 ^{М V}

1

( f

f

2 \\~dt) + \dl.

Э т о закон сохранения энергии!

Подставляя соотношения (1) в (9), получаем

-уМ л/ ж² + у²

= С. (9)

- ( a2 s i n2 (p(t) + b2 c o s2 (f(t))

JL \ С1Ъ

Т а к к а к по (3)

7 M

—

= С.

dip

—

А

ab

т о

А"2

la2 (sin2ip(t) + (1 — е2) ( 1 — s i n2 ip)) ^ J ^ r

2 (1 ^—e c o s < p ) ( (^a2 — tf) <p — 2accos<p + a²) 2

1 / / A² 1 ^

2 \ b j ^ ~ ' ' ' 7 - 7 Q - e c o s ^( l - e c o s < p ) ( e2 (. 2 _ 2 - -2c o s2( p - 2 e c o s ( p + l) ) j L 2

1 l - e²c o s²^ ffi

2 W ( 1—e c o s < p )2 ( £2c o g2 —2 e Co s < p

/ /

2 ~ Ш / Л 2⁷М Ь² 1 - е cos if \ \ aA2

Последнее возможно лишь при условии

7 M b2 _ (

aA2 ~

1 -к— + е cos ip ) = С.

т о есть, если

11 С 1⁷м

(10) 2 а

При выполнении соотношений (10) согласуются законы Кеплера и Ньютона и определяются п а р а м е т р ы о р б и т ы Земли.

Рубинштейн Александр Иосифович, профессор кафедры высшей математики

Московского Государственного Университета Леса, профессор кафедры высшей математики

Национального исследовательского ядерного университета (МИФИ), доктор физ.-мат. наук.