сб. , 1963, том 61(103), номер 4, 418–425

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. Б. Барбан, “Плотность” нулей L -рядов Дирихле и зада- ча о сложении простых и “почти простых” чисел, Матем.

сб. , 1963, том 61(103), номер 4, 418–425

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 18:56:28

«Плотность» нулей L-рядов Дирихле и задача о сложении простых и «почти простых» чисел

М. Б. Барбан (Ташкент)

В настоящей работе доказывается, что закон распределения простых чисел интервала (1, я) выполнен для всех классов вычетов /modD,

3

8 8

(I, D) = 1, и «почти» всех модулей D, D^x , где е — сколь угодно мало, но фиксировано.

А именно, имеет место

Т е о р е м а 1*. При любом сколь угодно большом, но фиксированном А выполняется неравенство

2 И2Ф) m a x L ( ^ D , 0 - - 1^ U o ( rV V (I)

Т /(modD)| ф ф ) VOg* Х) L _Е </, £>)= 1

Соединение теоремы 1 с решетом А. Сельберга приводит к следующей теореме.

Т е о р е м а 2. Всякое достаточно большое четное число представимо в виде суммы простого числа и числа, имеющего не более 4 простых множителей.

Несколько слов по поводу истории вопроса.

В 1947 г. А. Реньи [1], [2] доказал теорему, являющуюся серьезным приближением к еще нерешенной бинарной проблеме Гольдбаха:

Существует такая абсолютная константа R, что всякое достаточно большое четное число представимо в виде суммы простого числа и числа, имеющего не более R простых множителей.

* Примечание при корректуре.

Теорема 1 была доказана автором в августе 1961 г. Подсчет константы Реньи R с помощью этой теоремы осложнялся тем, что статья Ван Юаня [5] с наилучшим известным результатом по «одномерному» решету А. Сельберга была опубликована на китайском языке и использование ее результатов требовало громоздких вычислений.

Б. В. Левин любезно сообщил мне, что неравенство R ^ 4 следует с помощью теоремы 1 из его новых работ по решету А. Сельберга [16], [17], а затем Ван Юань подтвердил, что из работы [5] с помощью теоремы 1 следует то же самое. Подробно это изложено в добавлении к переводу статьи [5] на английский язык [18]. Оказалось также, что независимо от автора аналог теоремы 1 (не в терминах функции л(х, D, /), а в терми­

нах «взвешенных» сумм) получил Pan Chin Tong, что тоже позволяет доказать тео­

рему 2 (но не теорему 3).

Автор благодарит Ван Юаня и Б. В. Левина за систематическое любезное сообщение об их результатах.

О сложении простых и «почти простых» чисел 419

Константа А. Реньи R зависела от многих констант из аналитических лемм работы Ю. В. Линника [3]. Подсчет ее, сложный в техническом

^отношении, приводит к огромному значению этой константы.

В работе [4], применяя метод А. Реньи и современные теоремы о «плот­

ности» нулей L-рядов Дирихле, автор доказал, что оценка теоремы 1 выпол-

1 8

няется, если суммирование идет по D ^ / . Это уже давало R = 9.

Принятие расширенной гипотезы Римана приводит к R = 3 (см. [5]).

Дальнейшее продвижение связано с улучшением «плотностной» теоремы для L-рядов.

Пусть N(cc, T) — общее число нулей всех L-функций modD в области

< х < ( 7 < 1 , | / | < 7 \ (2) засчитываемых с соответствующей кратностью.

Анализ рассуждений, приведенных в статье [4], показывает, что наличие оценки

Щ<*> т) < TClDa (1~a) log'2 DT (3) (а, сг и с2 — абсолютные константы) позволяет доказать соотношение (1) при

1 8

суммировании по D<^xa (см. [19]).

Несмотря на то, что Ю. В. Линник недавно решил новым «дисперсионным методом» проблему делителей Е. К. Титчмарша [6] и проблему Харди—Литтль- вуда [7], на наш взгляд, небезынтересно отметить, что в известных условных решениях этих проблем [8], [9] появляется возможность замены гипотезы Римана «плотностной» гипотезой, соответствующей выбору а=2 в оценке (3).

В работе [4] мы пользовались «плотностной» теоремой Т. Татуцава [10], которая соответствует а = 6 в оценке (3).

Теорема 1 настоящей работы получается, с одной стороны, за счет улучшения теоремы Т. Татуцава, и, с другой стороны, за счет привле­

чения нового глубокого результата Ю. В. Линника [7] об оценке шестого момента L-рядов на половинной прямой.

Мы начнем со вспомогательных лемм.

Л е м м а 1. Пусть 0 < ^ а < р < 2 , a f(s) — аналитическая функция, действительная для действительных s, регулярная для а > а всюду, кроме точки s=l. Пусть, далее, |Re/(2 + it)\ > m > 0

и

\f(G' + it')\<M(y,t (о'>в, ! < * ' < * ) . Тогда, если Т не является ординатой нуля функции f(s), то

для а > р.

Доказательство общеизвестно (см. например, [11], стр. 210—211).

largf(a + * T ) l < / * fln;Ha,r + 2 + l n - ) + ^

Введем обозначения:

Qz(s, %)= ^V(n)%(n)n-^Sy fz(s,x) = L(s,%)Q²(s,%)—l, Az(s,x)= l-fl(s,%), Kz(a,T)= max J\:\h(e + it, %)\

\t \<т 'LJ

n<z

,./„ ..4 v ,~ ^ max y;:\fg(a + it, %)*

\t\-

Л

Все нули функции L(s, %) являются также нулями функции hz(s, %). По­

этому N (а, Т)^Л^!(а, Т), где Л^(а, Г) — число нулей в области (2) функ­

ции Hz(s)=T\hz(s, %). Применим к этой функции известную теорему Литтльвуда. Пользуясь невозрастанием функции Л^(а, Т) при воз­

растании а, получим:

а 2

Л/^а, Г ) < 6_ 1 \ Niio, T ) d a < 6_ 1 С Л^(а, T ) d a =

а—б а—б

_ г

= ^ Г § Oog 1 Я2(а — в + «) | — log | Я2(2 + «) |} Л +

—г

_ 2

+ V ^ ^ { a r g t f z C o + ^ - a r g t f H c T - i T ^ a + OCS-1). (4)

а—б

Параметр б будет выбран позднее.

В дальнейшем подразумевается, что D — достаточно велико, 2 > D . Для а > 1 имеем

оо

fz(s,X)=%n-*2li(d)%(d)x(^)-l =

„ti tfn \

I

d<z

= 2 X ( « ) " -s2 |*(d)= 2 5C(«)««"~S' | a « l < f ( n ) ,

где x(n) — число делителей п.

Поэтому

I f г (2 + a,) x) к 2 * («) "~

< 2 и

*"

<

~

>

так как т(п) = О (я8) для любого фиксированного е.

Теперь мы можем к соотношению (4) применить лемму 1, выбрав в качестве

f(s)-+Hz(s), а->(ос — 26), р_>(а —6).

То, что функция H^z (s) вещественна при вещественных s, следует из поло­

жительности коэффициентов ее ряда Дирихле (см. [10], стр. 301).

Далее,

ReHz(2 + it)=Rel[{\-fl(2 + it, %)} =

О сложении простых и «почти простых» чисел 421

>

= 1 +Re|П(1 - П)~ 1} > 1 - 1Ш

- f*) -

1

поэтому в качестве т можно взять —.

И, наконец,

!Яг(5)КГ1(1+|/г(5,%)|2)<ехр2|/2(5,Х)|2.

г х поэтому за Ma,t можно принять exp max /Cz(cr, t).

а < а ' < 2

Если теперь еще учесть, что | Hz(2 + it)\ > ReHz(2 + it) > — , \ и собрать все оценки, то получим нижеследующую лемму.

Л е м м а 2. При z^D

N(a, Г ) < б ~2Г max /Cz(<r, Г + 2).

а — з б < а < 2

Для оценки /С2(а, Г) мы будем применять классический прием — теоремы о выпуклости аналитических функций. Начнем с оценки /(2(1+6, Г).

Л е м м а 3. При z>D, 0 < 6 < 3 / ^ ( 1+6 , Г ) < ^ . Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем

2 I M I + S + *Y,X)I

= 2 2 -г*§5г2И<02 и<*)(^)"<

X т , я > 2 ( т , £>)=i (m / l) d/m rf/л V У

я = т (mod £>) d < z d < z

^ T V ; Zj 1+6 Z j 1 +6 ' m > z m n = m (mod D) "

(m, D ) = i /z>z

где Ьг(п)= 21-

z

Если теперь произвести перегруппировку по Абелю с применением оценки ( К £>)=!)

2 мп)= 2 2 i= 2 2

<

п<х п^х d/n х л<л:

п - m (mod D) " < J" я = m (mod D) -< л /г = о (mod d)

- A - l o g X

< 2 ( s + ' K ^ + 7 ^

то получим, ч т о

*.<'+«• т)<% S j$<%^+ *)<%•

m^>z

Лемма отсюда следует немедленно, так как 6 log z <^ z6.

<МТС° для всех Л е м м а 4. Пусть z = D и max \L I \- it, %

\t\<T\ \ 2

X(modD). Тогда

Kz(~, T J < M2 f ° 9(D)logD.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что

< M * 7 * * max <p(D) 2 2 M O T ) t l 1 (")( ^ "

m, n<z (m, D)=l n — m (mod D) ( M f

Ho z = D, поэтому сравнение превращается в равенство, и лемма стано­

вится очевидной.

Л е м м а 5. Пусть z = D, T > 2 . Тогда в обозначениях леммы 4 (Т^2С° {МЮ}^{2 (1}~^a) log⁵ D f 1 < о < 1

/ C z ( a , T ) < V²

llog5D ( 1 < ( T < 4 ) . Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя теоремы о выпуклости аналитических функций (ср. [10], стр. 309—310) и пользуясь леммами 3 и 4, получим

( - < < т < 1 + 6 V что

i + 6 - q -5(q" l )

1_ , « / 1 , с \

^2 (a, 7) < {M2T2Co Ф (D) log D) 2 6 U ^ .

Таким образом, первая половина леммы получается, если выбрать

1

-1 —

5 = - — - и вспомнить, что, согласно известным оценкам L-рядов, M<^D2 .

logD

Вторая половина следует из леммы 4.

О с н о в н а я л е м м а . Пусть max

\t\<r

L ( - + *'/, X < MT^C° для всех X(modD). Тогда

Для а > ¹

N (а, Т) < Т1+2С° {МЮ}2 (1"а) log7 D.

лемма следует из лемм 2 и 5.

2 logD

Д л я 0 < а < 1 лемма следует из грубой оценки N (а, Т)<^ 1 3

< D T l o g D T .

В частности, взяв М = D⁴ log D (возможность такого выбора М следует

О сложении простых и «почти простых» чисел 423

из «приближенного функционального уравнения» для L-рядов; ср., например, [12]), получим оценку (3) с а = 3.

Однако для «почти всех» D значительно лучший результат дает оценка шестого момента L-рядов Ю. В. Линника, что и используется в дальнейшем*

Согласно замечанию, сделанному в начале работы, для доказательства

Q

теоремы 1 достаточно иметь оценку (3) с а = \- е.

о

Воспользуемся оценкой Ю. В. Линника шестого момента L-рядов (см. [7]):

Отсюда немедленно следует

Л е м м а 6. Для всех Д D1< D < D1( l H ^ ), за исключе-

\ log Dx J наем не более чем D{~~s, имеет место оценка

1

max U ( j + *Y,

)|<D

V l + l ) '

.

% (mod D) I V 2 J \

Таким образом, для D, не являющихся «исключительными» в смысле

о

леммы 6, основная лемма и дает оценку (3) с а = \- е. Уже упоминав-

о

1

шийся результат работы [4] позволяет ограничиться случаем D > х1 . Пусть штрих означает суммирование по D, «исключительным» в смысле леммы 6. Тогда

2 ' fi2(D) max | л ( * , Д / ) - — | < У]' - <

<* 2 2 i <

Я < l o g2 2 X 1 1

7* / 1 \п 7~ / 1 ч Л + 1 х (»+Т55НТ) <°<* ( ^{1 +}Т ^ )

^ « l o g2 2* ^ Л + _ 1 _ ^ 1 1 10g *

l o g2 0 Л" У 7 / 1 \п<п<1 (л. 1 чЯ+1

Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2 с помощью теоремы 1 по методу решета А. Сельберга проводится либо по схеме Ван Юаня [5], либо по схеме Б. В. Левина [16].

^ Т е о р е м а 3. Число пар простых чисел близнецов (р и р + 2 — про­

стые), не превосходящих N, оценивается величиной

(«+e)2T](l--!—)-»- (5) I з ; i i v ( P - 2 ) 2 / io^g2^ ^{v ;}

яра Л/ >Аг 0(е).

Наилучший известный в этом направлении результат принадлежал А. Сельбергу [13] и соответствует замене — в выражении (5) на 8. Не-16

о

безынтересно отметить, что А. Сельберг высказывает вполне обоснованные соображения в пользу того, что его результат является пределом для

«чистого» метода решета.

Здесь же следует вспомнить альтернативу А. И. Виноградова [15], что либо теорема 3 верна с оценкой, где — заменено даже на 8—2е, либо 16

о

существует бесчисленное множество почти простых близнецов, имеющих не более двух простых множителей.

Нам понадобится решето А. Сельберга, которое мы приведем в виде леммы.

Л е м м а 7. Пусть имеется последовательность целых чисел

Cli, ( 22, . . • , Q>N>

причем

ап=° (mod d)

где функция f(d) мультипликативна и —— = 0 ( 1 ) . f\P)

Если через Nz обозначить количество тех чисел ап, которые не делятся ни на какое простое число, меньшее или равное z, то

Nz< ^Г-Г +

?А

0((1п1п2)с 2 p4d)\R(d)\T(d)\.

где f± (т) есть обращение по Мёбиусу от f (m), a x(d) — число дели­

телей d.

Изложение решета А. Сельберга имеется, например, в [10]. Теперь для доказательства теоремы 3 следует в лемме 7 в качестве последователь­

ности {ап} взять последовательность {р — 2}, где р пробегает простые

3 8

числа, меньшие или равные Л/, а в качестве z — величину N г16

Расчет главного члена можно провести многими известными методами {см., в частности, [14]).

Остается оценить сумму

|i»(d) n(n,d,2) — x(d).

d<N d"=:\ (mod \

О сложении простых и «почти простых» чисел 425

Теорема 1 показывает, что часть суммы по d, удовлетворяющим нера-

А

венству т (d) < log2 N, есть <g: — — .

log2 N

Оставшаяся часть оценивается величиной

# а / Л х ^ / Л ч ^ Л Г V V>*(d) „ . , ; , X(d) ^ N

<

>»(<о *(*)<"

™t

-if-<

*i-_8 f - e l o g2 TV l o g2 JV

t (d) > log ² TV

Так как А можно выбрать произвольно большим, то теорема становится очевидной.

(Поступило в редакцию 20/1II 1962 г.)

Литература

1. А. Р е н ь и , О представлении четных чисел в виде суммы простого и почти простого числа, Изв. АН СССР, сер. матем., 12 (1948), 57—78.

2. А. Р е н ь и , О представлении четных чисел в виде суммы простого и почти простого числа, ДАН СССР, т. VI, № 5 (1947), 455—458.

3. Ю. В. Л и н и и к, Об L-рядах Дирихле и суммах по простым числам, Матем. сб., 15 (57) (1944), 3—12.

4. М. Б. Б а р б а н, Новые применения «большого решета» Ю. В. Линника, Труды Ин-та матем. АН УзССР, теория вероятн. и матем. стат., вып. 22, Ташкент, 1961 г.

5. W a n g Y u a n , On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime, Acta math, sinica, 10, № 2 (I960), 168—181.

6. Ю. В. Л и н н и к, Новые варианты и применения дисперсионного метода в бинар­

ных аддитивных задачах, ДАН СССР, т. 137, № 6(1961), 1299—1302.

7. Ю. В. Л и н н и к, Асимптотическая формула в аддитивной проблеме Гарди — Литтль- вуда, Изв. АН СССР, сер. матем., 24 (1960), 629—706.

•8. Е. T i t c h m a r s h , A divisor problem, Rendiconti circolo mat. Palermo, 54 (1930), 414—429.

9. С. Н о о 1 e y, On the representation of a number as the sum of two squares and a prime, Acta math., 97 (1957), 189—210.

10. К. Р г а с h a r, Primzahlverteilung, Springer — Verlag, 1957.

11. E. К. Т и т ч м а р ш , Теория дзета-функции Гимана, Москва, ИЛ, 1953.

12. Ю. В. Л и н н и к, Все большие числа — суммы простого и двух квадратов (О проб­

леме Гарди —Литтльвуда), II, Матем. сб., 53 (95) (1961), 3—83.

13. A. S е 1 b e r g, On elementary methods in prime number theory and their limitations, Den 11-te Skandinaviske Matematikerkongress, 1952, 13—22.

14. H. И. К л и м о в , Комбинирование элементарного и аналитического методов в тео­

рии чисел, Успехи матем. наук, т. XIII, вып. 3 (81) (1958), 145—164.

15. А. И. В и н о г р а д о в , Об оценках для бинарных задач, Вестник ЛГУ, № 7 (1959), 26—31.

16. Б. В. Л е в и н , Распределение «почти простых чисел» в целозначных полиноминаль­

ных последовательностях, ДАН УзССР, № 11 (1962), 7—9.

17. Б. В. Л е в и н , Распределение «почти простых» чисел в целозначных полиноминаль­

ных последовательностях, Матем. сб., 61 (ЮЗ) (1963), 389—407.

18. W a n g Y u a n , On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime, Sci. sinica, XI, № 8, (1962), 1033—1054.

4 Математический сборник, т. 61 (103), № 4