Н. А. Дюжина, Плотность сумм сдвигов одной функции в простран- ствах Харди в полуплоскости, Матем. заметки , 2019, том 106, вы- пуск 5, 669–678

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. А. Дюжина, Плотность сумм сдвигов одной функции в простран- ствах Харди в полуплоскости, Матем. заметки , 2019, том 106, вы- пуск 5, 669–678

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12262

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 18:56:11

(2)

Математические заметки

Том 106 выпуск 5 ноябрь 2019

УДК 517.547.54+517.982.256

Плотность сумм сдвигов одной функции в пространствах Харди в полуплоскости

Н. А. Дюжина

Доказывается, что существует функция, определенная в замкнутой верхней полуплоскости, для которой суммы действительных сдвигов плотны во всех пространствах 𝐻𝑝 Харди для 2 6 𝑝 < ∞, а также в пространстве функций, аналитических в верхней полуплоскости, непрерывных в ее замыкании и стре- мящихся к нулю на бесконечности.

Библиография: 7 названий.

Ключевые слова: приближение, суммы сдвигов, плотность, пространства Харди.

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12262

В работе [1] была доказана

Теорема A. Существует функция 𝑓: R→R, для которой суммы сдвигов

𝑛

∑︁

𝑘=1

𝑓(𝑥−𝑎_𝑘), 𝑎_𝑘 ∈R, 𝑛∈N, (1)

плотны во всех действительных пространствах 𝐿𝑝(R) при 2 6 𝑝 < ∞, а так- же в действительном пространстве 𝐶0(R) непрерывных функций, стремящихся к нулю на ±∞.

Естественным образом возникает вопрос о возможности доказательства аналога теоремыAдля пространств Харди𝐻𝑝 в верхней полуплоскости и соответствующего пространства функций, непрерывных на замкнутой полуплоскости и аналитических внутри нее.

Дадим необходимые определения.

Пусть 0 < 𝑝 < ∞. Функция 𝐹, аналитическая в полуплоскости Π₊ = {𝑧 ∈ C : Im𝑧 > 0}, принадлежит классу 𝐻_𝑝(Π₊), если существует такая константа 𝐶, что при всех 𝑦 > 0 выполнено

∫︁

R

|𝐹(𝑥+𝑖𝑦)|^𝑝𝑑𝑥6𝐶.

Функции, аналитические и ограниченные в Π+, составляют класс 𝐻∞(Π+).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследо- ваний (проект № 18-01-00333а).

○c Н. А. Дюжина, 2019

669

(3)

Класс 𝐻_𝑝(Π₊) является линейным пространством. При 1 6 𝑝 < ∞ на нем вво- дится норма

‖𝐹‖^𝑝_𝐻

𝑝(Π+)= sup

𝑦>0

∫︁

R

|𝐹(𝑥+𝑖𝑦)|^𝑝𝑑𝑥, а в 𝐻_∞(Π+) вводится норма

‖𝐹‖_𝐻_∞_(Π₊₎ = sup

𝑧∈Π+

|𝑓(𝑧)|.

Функция 𝐹: Π+ → C стремится к 𝑤0 ∈ C при 𝑧, стремящемся к 𝑡0 ∈ R по некаса- тельным направлениям, если при всех 0< 𝜃 6𝜋/2 выполнено

𝑧→𝑡lim0, 𝑧∈𝑆𝜃

𝐹(𝑧) =𝑤0, где 𝑆𝜃 ={𝑧 =𝑟𝑒^𝑖𝜙:𝑟>0, 𝜃 6𝜙6𝜋−𝜃}.

Будем обозначать это следующим образом:

𝑧−lim→

^ 𝑡₀𝐹(𝑧) =𝑤0. Отметим, что верна

Теорема B [2; гл. VI, § C]. Пусть 𝐹 ∈ 𝐻𝑝(Π+), 1 6 𝑝 6 ∞. Тогда при почти всех 𝑡∈R предел

𝑧lim−→

^ 𝑡𝐹(𝑧) =:𝑓(𝑡) существует и

𝑓 ∈𝐿_𝑝(R).

Функция 𝑓: R → C принадлежит классу 𝐻𝑝(R), если в пространстве 𝐻𝑝(Π+) существует такая функция 𝐹(𝑧) =𝐹(𝑥+𝑖𝑦), что для почти всех 𝑥∈R выполнено

𝑧lim−→

^ 𝑥𝐹(𝑧) =𝑓(𝑥).

Это определение корректно в силу теоремыB.

Класс 𝐻𝑝(R) является линейным подпространством комплексного пространства 𝐿𝑝(R). При 𝑝 > 1 на нем вводится норма, совпадающая с нормой в 𝐿𝑝(R), отно- сительно которой пространство 𝐻𝑝(R) является полным (см. [3; гл. II, § 1]). Кроме того, пространства 𝐻𝑝(Π+) и 𝐻𝑝(R) изометричны (см. [3; гл. II, § 3]).

При 1 < 𝑝 < ∞ фактор-пространство 𝐿𝑞(R)/𝐻𝑞(R), где 𝑞 = 𝑝/(𝑝−1), является сопряженным к пространству 𝐻𝑝(R)(см. [2; гл. VII, § A]).

Класс функций, аналитических в Π+, будем обозначать через 𝐴(Π+).

Функция 𝐹, аналитическая в Π+, принадлежит классу 𝐴𝐶0(Π+), если 𝐹 непре- рывна в Π+, а также

lim

𝑧→∞, 𝑧∈Π+

𝐹(𝑧) = 0.

На классе𝐴𝐶₀(Π₊)вводится равномерная норма‖𝐹‖_𝐴𝐶₀ = max_𝑧∈Π

+|𝐹(𝑧)|, отно- сительно которой 𝐴𝐶₀(Π₊) является банаховым пространством.

Из принципа максимума модуля следует, что‖𝐹‖_𝐴𝐶₀ = max_𝑥∈_R|𝐹(𝑥)|.

(4)

ПЛОТНОСТЬ СУММ СДВИГОВ 671

Функция 𝑓: R → C принадлежит классу 𝐴𝐶₀(R), если в пространстве 𝐴𝐶₀(Π₊) существует такая функция 𝐹(𝑧), что для всех 𝑥∈R выполнено 𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥).

На классе 𝐴𝐶₀(R) вводится такая же норма, как и на 𝐴𝐶₀(Π₊), относительно которой 𝐴𝐶₀(R) является замкнутым подпространством в 𝐶₀(R).

Пусть 𝑝 > 1. Функция 𝑓 ∈ 𝐿_𝑝(R) принадлежит подпространству 𝐿_𝑝(R+), если 𝑓(𝑥) = 0 для почти всех 𝑥 <0.

В дальнейшем для функции 𝑓 ∈ 𝐿_𝑝(R) ее 𝐿_𝑝(R)-норму будем обозначать через

‖𝑓‖_𝑝.

Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема 1. Существует функция𝑓: R→C,для которой суммы действитель- ных сдвигов (1) плотны во всех пространствах 𝐻_𝑝(R) при 2 6 𝑝 < ∞, а также в пространстве 𝐴𝐶₀(R).

Доказательство идейно повторяет доказательство теоремы A, но технически во многом отличается от него.

1) Нам понадобится

Теорема C [1; теорема 1]. Существует последовательность тригонометриче- ских многочленов

𝑄_𝜈(𝑥) =

𝑠𝜈

∑︁

𝑠=1

𝑚^(𝜈)_𝑠 𝑒^𝑖𝑘^(𝜈)^𝑠 ^𝑥, (2) где 𝑘𝑠^(𝜈) – различные целые числа, 𝑚^(𝜈)𝑠 – натуральные числа, сходящаяся к нулю почти всюду на R.

По теоремеCсуществует последовательность{𝐸_𝑛}замкнутых множеств и после- довательность многочленов {𝑝𝑛} вида (2), обладающие следующими свойствами:

(a) 𝐸𝑛 ⊂[0, 𝑛],𝑛∈N; (b) 𝐸𝑛 ⊂𝐸𝑛+1, 𝑛∈N;

(c) 𝜇([0, 𝑛]∖𝐸𝑛)<1/2^𝑛, 𝑛∈N; (d) ‖𝑝𝑛‖_𝐶(𝐸_𝑛₎<1/𝑛², 𝑛∈N,

где 𝜇(𝐸) – мера Лебега множества𝐸 ⊂R.

Действительно, свойства (a), (d), а также свойство 𝜇([0, 𝑛]∖𝐸𝑛) <1/2^𝑛+1 могут быть получены применением теоремы Егорова к отрезку[0, 𝑛]и последовательности многочленов 𝑝𝑛 из теоремыA. Заменив 𝐸𝑛 на ⋂︀∞

𝑘=𝑛𝐸𝑘, получаем свойства (a), (b), (c), (d) для новых множеств 𝐸𝑛. Свойство

𝜇(𝐸𝑛+1∖𝐸𝑛)<2, 𝑛∈N, (3)

выводится из свойств (a) и (с).

2) Пусть𝐼𝑛 – индикатор множества 𝐸𝑛∖𝐸_𝑛−1, где 𝑛∈N, 𝐸0 =∅. Положим 𝑔=

∞

∑︁

𝑛=1

𝑑𝑛𝐼𝑛,

где {𝑑_𝑛} – последовательность таких положительных чисел, что 𝑑_𝑘‖𝑝_𝑛‖_𝐶_(𝐸_𝑘_∖𝐸_𝑘−1₎ < 1

𝑘², 𝑛= 1, . . . , 𝑘−1, 𝑘 ∈N, (4)

𝑑_𝑛 < 𝑒^−2𝑛, 𝑛∈N. (5)

(5)

Функция 𝑔 обладает следующими свойствами:

(A) 𝑔 равна нулю всюду на (−∞,0);

(B) 𝑔 отлична от нуля почти всюду на [0,+∞);

(C) 𝑔∈𝐿₁(R)∩𝐿₂(R)∩𝐿_𝑞(R), где 𝑞=𝑝/(𝑝−1).

Действительно, свойство (А) получается по определению 𝑔 и свойству (a) мно- жеств 𝐸_𝑛, свойство (B) следует из свойства (c) множеств 𝐸_𝑛, (С) следует из нера- венств (3) и (5).

Искомую функцию𝑓 определим как обратное преобразование Фурье функции 𝑔:

𝑓(𝑥) =

̂︀

𝑔(𝑥) = 1

√2𝜋

∫︁

R

𝑔(𝑡)𝑒^𝑖𝑡𝑥𝑑𝑡.

По теореме Титчмарша [4; гл. IV, § 4.1] обратное преобразование Фурье – огра- ниченный оператор, действующий из 𝐿𝑞(R) в 𝐿𝑝(R), с нормой, не превосходящей 1.

Значит, 𝑓 ∈𝐿𝑝(R). По теореме Планшереля 𝑓 ∈𝐿2(R).

3) Проверим, что 𝑓 ∈𝐻_𝑝(R). Рассмотрим функцию 𝐹(𝑧) =𝐹(𝑥+𝑖𝑦) = 1

√2𝜋

∫︁

R

𝑔(𝑡)𝑒^{𝑖𝑡(𝑥+𝑖𝑦)}𝑑𝑡=

\

𝑔(𝑡)𝑒^−𝑡𝑦. По теореме Титчмарша при 𝑦 >0 имеем

‖𝐹(·+𝑖𝑦)‖_𝑝 =⃦

⃦

\ 𝑔(𝑡)𝑒^−𝑡𝑦⃦

⃦_𝑝 6‖𝑔(𝑡)𝑒^−𝑡𝑦‖_𝑞 6‖𝑔‖_𝑞. Нам понадобится

Теорема D [5; гл. VIII, § 5]. Пусть𝛼 > 𝛽 – действительные числа,𝑞(𝑥)𝑒^𝛼𝑥 →0 при 𝑥→+∞,𝑞(𝑥)𝑒^𝛽𝑥 →0 при 𝑥→ −∞. Тогда функция

𝑄(𝑧) =𝑄(𝑥+𝑖𝑦) = 1

√2𝜋

∫︁

R

𝑞(𝑡)𝑒^{𝑖𝑡(𝑥+𝑖𝑦)}𝑑𝑡

определена и является аналитической в полосе {𝑧 ∈C:−𝛼 <Im(𝑧)<−𝛽}.

Из условия (5) и свойства (A) функции 𝑔 получаем, что теорема D применима для 𝑞 = 𝑔, 𝛼 = 1 и всех 𝛽 < 0. Следовательно, 𝐹(𝑧) является аналитической в полуплоскости {𝑧 ∈C:−1<Im(𝑧)<+∞}.

Таким образом, функция𝐹, непрерывная вΠ₊и совпадающая на действительной прямой с 𝑓, принадлежит пространству𝐻_𝑝(Π₊). Следовательно, 𝑓 ∈𝐻_𝑝(R).

4) Многочлены {𝑝𝑛} можно представить в виде

𝑝𝑛(𝑡) =

𝑗_𝑛

∑︁

𝑗=1

𝑒^−𝑖𝑎^(𝑛)^𝑗 ^𝑡,

где {𝑎^(𝑛)_𝑗 }^𝑗_𝑗=1^𝑛 – целые не обязательно различные числа. При этом можно считать 𝑎^(𝑛)₁ = 0, поскольку свойства многочлена 𝑝_𝑛 не изменятся при умножении на 𝑒^𝑖𝑘𝑡 при любом 𝑘.

Сумма

𝑗𝑛

∑︁

𝑗=1

𝑓(𝑥−𝑎^(𝑛)_𝑗 )

(6)

является обратным преобразованием Фурье функции 𝑝_𝑛𝑔. По теореме Титчмарша

⃦

𝑗𝑛

∑︁

𝑗=1

𝑓(𝑥−𝑎^(𝑛)_𝑗 )

⃦

𝑞

𝑝

6‖𝑝_𝑛𝑔‖^𝑞_𝑞 =

∫︁

𝐸_𝑛

|𝑝_𝑛𝑔|^𝑞𝑑𝑦+

∞

∑︁

𝑘=𝑛+1

∫︁

𝐸_𝑘∖𝐸𝑘−1

|𝑝_𝑛𝑔|^𝑞𝑑𝑦

< 𝑛 (︂ 1

𝑛² )︂𝑞

max𝑗 𝑑^𝑞_𝑗 +

∞

∑︁

𝑘=𝑛+1

2𝑑^𝑞_𝑘‖𝑝_𝑛‖^𝑞_𝐶(𝐸

𝑘∖𝐸𝑘−1)

6 max𝑗𝑑^𝑞_𝑗 𝑛^2𝑞−1 + 2

∞

∑︁

𝑘=𝑛+1

1

𝑘^2𝑞 →0, 𝑛→ ∞ (6)

(использовали свойство (d) и неравенства (3) и (4)).

Так как выше было отмечено, что 𝑎^(𝑛)₁ = 0 для каждого 𝑛, из (6) получаем, что

−𝑓 ∈𝐺, где

𝐺= {︂ ^𝑁

∑︁

𝑘=1

𝑓(𝑥−𝑎𝑘), 𝑎𝑘 ∈R, 𝑁 ∈N }︂

(замыкание в пространстве 𝐻_𝑝(R)).

Следовательно, функция −𝑓(· − 𝑎) принадлежит 𝐺 для всех 𝑎 ∈ R, т. е. 𝐺 – замкнутая аддитивная подгруппа в 𝐻_𝑝(R).

5) Оценим интегральный модуль непрерывности 𝜔_𝑝(𝑓, 𝛿) = sup

06𝑟6𝛿

(︂∫︁

R

|𝑓(𝑥+𝑟)−𝑓(𝑥)|^𝑝𝑑𝑥 )︂1/𝑝

, используя теорему Титчмарша:

(︂∫︁

R

|𝑓(𝑥+𝑟)−𝑓(𝑥)|^𝑝𝑑𝑥 )︂^1/𝑝

=‖𝑓(𝑥+𝑟)−𝑓(𝑥)‖𝑝 6‖𝑒^𝑖𝑟𝑡𝑔(𝑡)−𝑔(𝑡)‖𝑞 6

∞

∑︁

𝑛=1

𝑑𝑛‖(𝑒^𝑖𝑟𝑡−1)𝐼𝑛(𝑡)‖𝑞

=

∞

∑︁

𝑛=1

𝑑𝑛

(︂∫︁

𝐸𝑛∖𝐸𝑛−1

|𝑒^𝑖𝑟𝑡−1|^𝑞𝑑𝑡 )︂1/𝑞

=

∞

∑︁

𝑛=1

𝑑𝑛

(︂∫︁

⃒

∫︁ 𝑟 0

𝑒^𝑖𝑡𝑠(𝑖𝑡)𝑑𝑠

⃒

𝑞

𝑑𝑡 )︂1/𝑞

6

∞

∑︁

𝑛=1

𝑑𝑛

(︂∫︁

(𝑛𝑟)^𝑞𝑑𝑡 )︂1/𝑞

6

∞

∑︁

𝑛=1

𝑑𝑛2^1/𝑞𝑛𝑟.

Учитывая (5), получаем

𝜔𝑝(𝑓, 𝛿) =𝑂(𝛿), 𝛿 →0. (7)

6) Нам понадобится

Теорема E [6; теорема 4]. Пусть 𝐺 – замкнутая аддитивная подгруппа равно- мерно гладкого пространства 𝑋 с модулем гладкости 𝑠(𝜏),и непрерывное отобра- жение𝜙: [0,1]→𝐺имеет такой модуль непрерывности𝜔_𝜙(𝛿),что𝑠(𝜔_𝜙(𝛿)) =𝑜(𝛿) при 𝛿→0. Тогда 𝐺 содержит замкнутое R-линейное подпространство 𝐿, порож- денное элементами вида 𝑢−𝑣,где 𝑢, 𝑣∈𝜙([0,1]).

(7)

Пусть 𝑓_𝑎(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑎). Для произвольного 𝑎 ∈ R рассмотрим отображение 𝜙: [0,1] → 𝐻_𝑝(R), 𝜙(𝑡) = 𝑓_𝑎𝑡. Его образ 𝜙([0,1]) содержится в подгруппе 𝐺, а его модуль непрерывности оценивается с помощью (7):

𝜔𝜙(𝛿) = sup{‖𝜙(𝑡+𝑟)−𝜙(𝑡)‖𝑝 : 06𝑡61−𝑟, 06𝑟 6𝛿}

= sup{‖𝑓_𝑎𝑟−𝑓‖_𝑝 : 06𝑟 6𝛿}=𝜔_𝑝(𝑓,|𝑎|𝛿) =𝑂(𝛿), 𝛿→0.

При26𝑝 <∞модуль гладкости𝑠(·)пространства𝐻𝑝(R)не превосходит модуля гладкости пространства 𝐿𝑝(R), т. е. 𝑂(𝜏²), 𝜏 →0. Следовательно, 𝑠(𝜔𝜙(𝛿)) =𝑂(𝛿²), 𝛿 → 0, и по теореме E подгруппа 𝐺 содержит замкнутое R-линейное подпростран- ство 𝐿, порожденное элементами вида 𝑓𝑎−𝑓, 𝑎 ∈R.

7) Покажем, что 𝐿 совпадает с 𝐻_𝑝(R). Если это не так, то найдется такая функ- ция ℎ ∈ 𝐿_𝑞(R), что соответствующий ей элемент ℎ+𝐻_𝑞(R) фактор-пространства 𝐿_𝑞(R)/𝐻_𝑞(R) = (𝐻_𝑝(R))^* является ненулевым, а также

Re

∫︁

R

(𝑓_𝑎(𝑥)−𝑓(𝑥))ℎ(𝑥)𝑑𝑥≡0, 𝑎 ∈R

=⇒ Re

∫︁

R

𝑓₋(𝑎−𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥= Re(𝑓₋*ℎ)(𝑎) = Re(𝑓₋*ℎ)(0)≡const

=⇒ 1

2(𝑓₋*ℎ+𝑓₋*ℎ)(𝑎)≡const, (8)

где 𝑓₋(𝑥) =𝑓(−𝑥).

Так как 𝑓₋, 𝑓₋ ∈ 𝐿₂(R), ℎ, ℎ ∈ 𝐿_𝑞(R), по другой теореме Титчмарша [4; гл. IV,

§ 4.7, теорема 78], при𝑞 <2свертки𝑓₋*ℎ, 𝑓₋*ℎ определены и принадлежат 𝐿_𝑃(R) с 𝑃 = 2𝑞/(2−𝑞) ∈ (2,+∞) (следовательно, при 𝑞 < 2 имеем const = 0 в (8)), а их преобразования Фурье имеют вид

𝑓\−*ℎ=√

2𝜋𝑓̂︁−̂︀ℎ, 𝑓\−*ℎ=√

2𝜋𝑓̂︁−̂︀ℎ. (9) При 𝑞= 2 имеем 𝑓₋, ℎ∈𝐿₂(R),

𝑓−*ℎ, 𝑓−*ℎ∈𝐶0(R)

и равенства (9). Следовательно, при всех𝑝>2равенстваconst = 0в (8) и (9) верны.

Применим к равенству (8) преобразование Фурье:

𝑓̂︁−̂︀ℎ+𝑓̂︁−̂︀ℎ≡0 =⇒ 𝑔−(𝑡)̂︀ℎ(𝑡) +𝑔(𝑡)ℎ(𝑡)̂︀ ≡0 (10) (здесь учли, что в силу определения 𝑓 и действительнозначности функции 𝑔 спра- ведливы равенства 𝑓̂︁₋ =𝑔₋, 𝑓̂︁₋ =̂︀

̂︀𝑔= ̂︁

𝑔̂︁₋ =𝑔).

Тождество (10) при 𝑡 <0 и свойства (A) и (B) функции 𝑔 приводят к тождеству

̂︀ℎ(𝑡) = 0, 𝑡 < 0.

Тогда согласно [3; гл. II, “Упражнения и дальнейшие результаты”, п. 2], для любой функции 𝑢 ∈𝐻𝑝(R) выполнено равенство

∫︁

R

ℎ(𝑡)𝑢(𝑡)𝑑𝑡= 0.

(8)

Это означает, что элементℎ+𝐻_𝑞(R)фактор-пространства 𝐿_𝑞(R)/𝐻_𝑞(R) = (𝐻_𝑝(R))^* задает нулевой функционал на 𝐻_𝑝(R), что противоречит предположению.

Таким образом, подпространство 𝐿, а вместе с ним и подгруппа 𝐺 совпадают с 𝐻_𝑝(R).

8) Условия, наложенные в п. 2 на функцию 𝑔, могут оказаться недостаточными для доказательства плотности сумм (1) в пространстве 𝐴𝐶0(R). Заменим (5) на более сильное условие

𝑑₁ 61, 𝑑_𝑛 6 𝑑_𝑛−1

𝑛³ , 𝑛= 2,3,4, . . . (11) и рассмотрим функции 𝑔 = ∑︀∞

𝑛=1𝑑𝑛𝐼𝑛 ∈ 𝐿1(R⁺) и 𝑓 =

̂︀

𝑔 ∈ 𝐴𝐶0(R), определенные выше.

Заметим, что в работе [1] в пункте 7 доказательства теоремы 2 допущена неточ- ность при определении 𝑑_𝑛: вместо 𝑑_𝑛 = 1/𝑛! должно быть 𝑑₁ = 1, 𝑑_𝑛 6 𝑑_𝑛−1/𝑛, 𝑛= 2,3, . . . .

Полагая 𝑝=∞и 𝑞 = 1 в (6), получаем

⃦

𝑗𝑛

∑︁

𝑗=1

𝑓(𝑥−𝑎^(𝑛)_𝑗 )

⃦

⃦∞

6‖𝑝_𝑛𝑔‖₁ 6 1 𝑛 + 2

∞

∑︁

𝑘=𝑛+1

1

𝑘² →0, 𝑛→ ∞.

Аналогично части 4) доказательства заключаем, что замыкание 𝐺 множества сумм (1) в равномерной норме является замкнутой аддитивной подгруппой в про- странстве𝐴𝐶₀(R). ТеоремаE не применима в этом случае, поэтому докажем равен- ство 𝐺=𝐴𝐶₀(R) непосредственно.

9) В силу условия (11) имеем 𝑡𝑔(𝑡) ∈𝐿₁(R+). Значит, производная 𝑓^′(𝑥) опреде- лена и принадлежит 𝐴𝐶0(R).

Для любых 𝑏, 𝑥, 𝜆∈R имеем

⃒

⃒ [︂𝜆

𝑏 ]︂

(𝑓(𝑥+𝑏)−𝑓(𝑥))−𝜆𝑓^′(𝑥)

⃒

=

⃒

⃒ [︂𝜆

𝑏 ]︂ 1

√2𝜋

∫︁

R

𝑔(𝑡)(𝑒^𝑖𝑏𝑡−1)𝑒^𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡− 𝜆

√2𝜋𝑖

∫︁

R

𝑡𝑔(𝑡)𝑒^𝑖𝑥𝑡𝑑𝑡

⃒

= 1

√2𝜋

⃒

∫︁

R

𝑔(𝑡)𝑒^𝑖𝑥𝑡 (︂[︂𝜆

𝑏 ]︂

(𝑒^𝑖𝑏𝑡−1)−𝜆𝑖𝑡 )︂

𝑑𝑡

⃒

⃒ 6 1

√2𝜋

∫︁

R

|𝑔(𝑡)|

⃒

⃒ 𝜆

𝑏(𝑒^𝑖𝑏𝑡−1)− {︂𝜆

𝑏 }︂

(𝑒^𝑖𝑏𝑡−1)−𝜆𝑖𝑡

⃒

⃒ 𝑑𝑡 6 1

√2𝜋

∫︁

R

|𝑔(𝑡)|

(︂⃒

⃒

⃒ 𝜆

𝑏(𝑒^𝑖𝑏𝑡−1−𝑖𝑏𝑡)

⃒

+|𝑒^𝑖𝑏𝑡−1|

)︂

𝑑𝑡 6 1

√2𝜋

∫︁

R

|𝑔(𝑡)|

(︂⃒

⃒

⃒ 𝜆 𝑏

⃒

|𝑏|²|𝑡|²

2 +|𝑡||𝑏|

)︂

𝑑𝑡

= |𝑏|

√2𝜋

∫︁

R

|𝑔(𝑡)|

(︂|𝜆|𝑡² 2 +|𝑡|

)︂

𝑑𝑡→0, 𝑏→0.

Таким образом, подгруппа𝐺содержитR-линейное подпространство𝐿, порожденное функциями 𝑓^′(𝑥−𝑎), 𝑎 ∈R.

Наша цель – доказать, что 𝐿 плотно в 𝐴𝐶₀(R).

(9)

10) Пусть {𝜙_𝑛} – такое семейство функций в 𝐿₁(R⁺), что множество {𝑡𝜙_𝑛(𝑡)}

плотно на единичной сфере пространства 𝐿₁(R⁺) и 𝜙_𝑛 = 0 почти всюду на R⁺ ∖ (𝐸_𝑛 ∖[0; 1/𝑛]), 𝑛 = 1,2, . . . . Множество {𝜙_𝑛(𝑡)} можно получить, например, взяв произвольное всюду плотное в𝐿₁(R⁺)множество{𝛼_𝑘}^∞_𝑘=1и должным образом зану- меровав функции

𝛼𝑘𝐼_𝐸_𝑚_{∖[0;1/𝑚]}

𝑡· ‖𝛼_𝑘𝐼_𝐸_𝑚_{∖[0;1/𝑚]}‖₁ , 𝑚, 𝑘 = 1,2, . . . . Тогда

‖𝜙_𝑛‖₁ =

∫︁

𝐸_𝑛∖[0;1/𝑛]

⃒

𝑡𝜙_𝑛(𝑡)· 1 𝑡

⃒

𝑑𝑡6𝑛‖𝑡𝜙_𝑛(𝑡)‖₁ =𝑛.

Отсюда и из определения функций 𝑔 и 𝜙𝑛 получаем

⃦

⃦ 𝜙𝑛

𝑔

⃦

⃦_𝐿

1(𝐸_𝑛)

=

∫︁

𝐸𝑛

⃒

⃒ 𝜙𝑛(𝑡)

𝑔(𝑡)

⃒

⃒ 𝑑𝑡6

∫︁

𝐸𝑛

|𝜙𝑛(𝑡)|

𝑑_𝑛 𝑑𝑡= ‖𝜙𝑛‖1

𝑑_𝑛 6 𝑛 𝑑_𝑛, т.е. функции 𝜙_𝑛/𝑔, 𝑛= 1,2, . . ., принадлежат пространству 𝐿₁(R+).

Рассмотрим функцию 𝜓𝑛(𝑡), определенную на R следующим образом:

𝜓_𝑛(𝑡) =

⎧

⎪⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩ 𝜙_𝑛(𝑡)

𝑔(𝑡) , 𝑡>0, 𝜙𝑛(−𝑡)

𝑔(−𝑡) , 𝑡 <0.

Пусть

𝑟_𝑛(𝑡) =

𝜈_𝑛

∑︁

𝜈=−𝜈𝑛

𝑎^(𝑛)_𝜈 𝑒^{𝑖𝜋𝜈𝑡/𝑛}

– 2𝑛-периодические полиномы с комплексными коэффициентами, приближающие функции 𝜓𝑛 на отрезке [−𝑛, 𝑛]:

‖𝑟𝑛−𝜓𝑛‖_𝐿₁_{[−𝑛,𝑛]} 6 1 𝑛².

Тогда полиномы𝑞𝑛(𝑡) = (𝑟𝑛(𝑡) +𝑟𝑛(−𝑡) )/2имеют действительные коэффициенты и также приближают функции 𝜓𝑛(𝑡) = (𝜓𝑛(𝑡) +𝜓𝑛(−𝑡) )/2 на отрезке [−𝑛, 𝑛]:

‖𝑞𝑛−𝜓𝑛‖_𝐿₁_{[−𝑛,𝑛]} 6 1 𝑛² . Имеем

‖𝑞_𝑛‖_𝐿₁_{[−𝑛,𝑛]} 6‖𝜓_𝑛‖_𝐿₁_{[−𝑛,𝑛]}+ 1 𝑛² = 2

⃦

⃦ 𝜙_𝑛

𝑔

⃦

⃦𝐿1[0,𝑛]

+ 1

𝑛² 6 2𝑛 𝑑𝑛

+ 1

𝑛² 6 3𝑛 𝑑𝑛

.

Отметим также, что при всех𝑛, 𝑘 ∈N выполнено (2𝑘+ 1)𝑛²(𝑛!)²

(((2𝑘−1)𝑛+ 1)!)² 63.

(10)

Используя три последние оценки и условие (11), получаем

‖𝑡𝑞𝑛(𝑡)𝑔(𝑡)−𝑡𝜙𝑛(𝑡)‖1

=

⃦

⃦ 𝑡𝑔(𝑡)

(︂

𝑞𝑛(𝑡)− 𝜙_𝑛(𝑡) 𝑔(𝑡)

)︂⃦

⃦

⃦_𝐿

1[0,𝑛]

+∑︁

𝑘∈N

‖𝑡𝑞𝑛(𝑡)𝑔(𝑡)‖_𝐿₁[(2𝑘−1)𝑛,(2𝑘+1)𝑛]

6𝑛· 𝑑1

𝑛² +

∞

∑︁

𝑘=1

(2𝑘+ 1)𝑛𝑑_{(2𝑘−1)𝑛+1}‖𝑞𝑛‖_𝐿₁_{[−𝑛,𝑛]} 6 1 𝑛 +

∞

∑︁

𝑘=1

(2𝑘+ 1)𝑛𝑑_{(2𝑘−1)𝑛+1}·3𝑛 𝑑𝑛

6 1 𝑛 + 3

∞

∑︁

𝑘=1

(2𝑘+ 1)𝑛(𝑛!)³𝑛 (((2𝑘−1)𝑛+ 1)!)³ 6 1

𝑛+ 9

∞

∑︁

𝑘=1

𝑛!

((2𝑘−1)𝑛+ 1)! →0, 𝑛→ ∞.

Это означает, что действительные линейные комбинации функций 𝑡𝑒^𝑖𝑎𝑡𝑔(𝑡), 𝑎 ∈ R, плотны в 𝐿1(R⁺).

11) Нетрудно показать, что обратное преобразование Фурье любой функции из 𝐿₁(R+) лежит в 𝐴𝐶₀(Π₊). Докажем плотность образа указанного вложения в про- странстве 𝐴𝐶₀(Π₊).

Рассмотрим функции 𝑔_𝛼,𝛽(𝑡) =𝑒^{(−𝛼+𝑖𝛽)𝑡} ·𝐼_[0,∞)(𝑡) при всех 𝛼 > 0 и 𝛽 ∈ R, опре- деленные на R. Имеем𝑔_𝛼,𝛽(𝑡)∈𝐿₁(R+) и

̂︂

𝑔_𝛼,𝛽(𝑧) = 𝑖

√2𝜋 · 1 𝑧+𝛽+𝑖𝛼.

Таким образом, достаточно доказать, что линейные комбинации функций 1

𝑧−𝑐, Im𝑐 <0,

плотны в 𝐴𝐶₀(Π₊). Это, в свою очередь, равносильно тому, что линейные комбина- ции функций

𝑧−1

𝑧 −𝑑, |𝑑|>1

плотны в пространстве 𝐴𝐶0(𝐷,1)функций, аналитических в единичном круге 𝐷= {𝑧 ∈ C : |𝑧| < 1}, непрерывных в 𝐷 и равных нулю в точке 1, с равномерной нор- мой ‖ · ‖𝐷.

По теореме Мергеляна для любой 𝐺 ∈𝐴𝐶0(𝐷,1) и для любого 𝜀 >0 существует такой многочлен 𝑃̃︀, что ‖𝐺−𝑃̃︀‖_𝐷 < 𝜀. Тогда |𝑃̃︀(1)|< 𝜀, и для многочлена 𝑃(𝑧) = 𝑃̃︀(𝑧)−𝑃̃︀(1) выполнено

‖𝐺−𝑃‖𝐷 <2𝜀.

Кроме того, существуют такие комплексные {𝜆_𝑗}^𝐽_𝑗=1 и {𝑑_𝑗}^𝐽_𝑗=1 ∈C∖𝐷, что

⃦

⃦ 𝑃(𝑧) 𝑧−1 −

𝐽

∑︁

𝑗=1

𝜆_𝑗 𝑧−𝑑𝑗

⃦

⃦𝐷

< 𝜀.

Следовательно, так как |𝑧−1|62 при 𝑧 ∈𝐷,

⃦

𝐺(𝑧)−

𝐽

∑︁

𝑗=1

𝜆_𝑗 𝑧−1 𝑧−𝑑𝑗

⃦

⃦𝐷

6‖𝐺−𝑃‖_𝐷+

⃦

𝑃(𝑧)−

𝐽

∑︁

𝑗=1

𝜆_𝑗 𝑧−1 𝑧−𝑑𝑗

⃦

⃦𝐷

<4𝜀, что и требовалось доказать.

(11)

Учитывая результат пункта 10, получаем, что действительные линейные комби- нации функций 𝑓^′(𝑥−𝑎), 𝑎 ∈R, плотны в пространстве 𝐴𝐶₀(R).

Теорема доказана.

Отметим, что не существует функции 𝑓 ∈ 𝐻_∞(R), для которой суммы (1) были бы плотны в 𝐻_∞(R). Действительно, рассмотрим ограниченный линейный функ- ционал Lim, называющийся банаховым пределом [7; гл. II, § 3], определенный на действительном 𝐿_∞(R) и обладающий следующими свойствами:

1) если 𝑓(𝑥)>0 почти всюду на R, то Lim(𝑓)>0;

2) Lim(𝑓 ≡1) = 1;

3) Lim(𝑓(· −𝑎)) = Lim(𝑓) для всех 𝑎∈R.

Для каждой функции 𝑓 ∈ 𝐻_∞(R) все суммы (1) принадлежат одному из полупро- странств {𝑔 : Lim(Re𝑔) > 0} или {𝑔 : Lim(Re𝑔) 6 0}, следовательно, они не могут быть плотны во всем пространстве.

В связи с доказанным результатом естественно возникает задача: при 16 𝑝 <2 существует ли функция𝑓 ∈𝐻𝑝(R), для которой суммы сдвигов (1) плотны в𝐻𝑝(R)?

Автор благодарен П. А. Бородину за постановку задачи и полезные замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] P. A. Borodin, S. V. Konyagin, “Convergence to zero of exponential sums with positive integer coefficients and approximation by sums of shifts of a single function on the line”, Anal. Math., 44:2 (2018), 163–183.

[2] П. Кусис,Введение в теорию пространств𝐻^𝑝 с приложением доказательства Вол- ффа теоремы о короне, Мир, М., 1984.

[3] Дж. Гарнетт, Ограниченные аналитические функции, Мир, М., 1984.

[4] Э. Ч. Титчмарш,Введение в теорию интегралов Фурье, ГИТТЛ, Л., 1948.

[5] Дж. Мэтьюз, Р. Уокер, Математические методы физики, Атомиздат, М., 1972.

[6] П. А. Бородин, “Плотность полугруппы в банаховом пространстве”, Изв.РАН. Сер.

матем., 78:6 (2014), 21–48.

[7] С. Банах, Теория линейных операций, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001.

Н. А. Дюжина

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

E-mail:natasha17954@yandex.ru

Поступило 25.11.2018 После доработки 29.03.2019 Принято к публикации 22.05.2019