сем. ЛОМИ, 1987, том 163, 166–185

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Д. Р. Яфаев, Эйкональное приближение для быстро убывающих потенциалов. I, Зап. научн.

сем. ЛОМИ, 1987, том 163, 166–185

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 17:01:31

Д.Р.Яфаев

ЭЙКОНАЛЪНОЕ ПНШПИЖЕНИЕ ДЛЯ БЫСТРО УБЫВДЩИК ПОТЕНЦИАЛОВ. I Цель настоящей работы состоит в нахождении асимптотик вол­

новой функции уравнения Шредингера и соответствующих амплитуды и сечения рассеяния при больших значениях константы связи О и высоких энергиях 1<г . При д 1 сн— > 0 решения этих задач даются

U - 4] борновским приближением (теорией возмущений). Случай 9= |30 ' 90 =^W^ ' эквивг1лентен так называемому квазиклассичес­

кому предельному переходу, когда к нулю стремится постоянная Планка, а остальные параметры задачи фиксированы. В этом случае асимптотику волновой функции удается построить лишь в терминах канонического оператора Маслова (см. книгу [5]). Обоснование

этой асимптотики требует предположений о соответствующей класси­

ческой системе, а потенциал взаимодействия й ( х ) считается в [б] финитным. Из-за неэффективности построения асимптотики вол­

новой функции вывод из нее асимптотики сечения рассеяния пред­

ставляет собой нетривиальную задачу, решенную в 0 . Оказалось, что полное квантовое сечение рассеяния сходится при Q = Q o ^ к удвоенному классическому сечению, причем предельный переход приходится понимать в усредненном (по энергии) смысле.

Мы рассматриваем перечисленные выше задачи в случае, когда q1?" —*-0 , но ак"¹ —t o⁰ . Этот случай существенно проще квазиклассического, но теория возмущений к нему тем не менее: не применима. Асимптотическое представление для волновой функции строится в виде лучевого разложения, причем в области (Ж~ -*-0 в качестве его фазовой функции можно взять простое явное, но лишь приближенное решение уравнения эйконала. Аналогичным образом, вместо точных решений уравнений переноса мы пользуемся их явными аппроксимациями. Такое асимптотическое разложение волновой функ­

ции мы называем эйконалышм. Его главный член в "промежуточном"*

случае qfc* = cOH*t- был найден в [7]. В отличие от [7] мы стро­

им здесь полное асимптотическое разложение волновой функции и рассматриваем всю область д1с"1 — » 0 (а не только случай

q\C* = COWfc ). Это потребовало убывания потенциала CJ,(x) (вместе со всеми производными) быстрее любой степени |хГ • От­

метим, что в случае Q = OWUfc наши разложения сводятся к фор­

мулам работ [2, 3 ] . Обоснование построенного асимптотического разложения волновой функции основано^ на применении априорной оценки для резольвенты (функции Грина), полученной в удобных для нас терминах в [73.

166

Отметим еще, что результаты статьи Н о случае Qk'^h =C0fWt послужили модельными для изучения в [7 - 9] асимптотики полного сечения рассеяния для потенциалов со степенным убыванием на бес­

конечности. Для таких потенциалов асимптотику сечения рассеяния удалось найти в очень широкой области изменения параметров 1с и а , включающей в себя всегда область, где Cjlc"1-*-ежз) 0 ^ Q o ^

(для любого О^о > 0 ).

Коль скоро установлена асимптотика волновой функции, для амшштуды рассеяния получается представление в виде суммы неслож­

ных осциллирующих интегралов. Главный член асимптотики амплитуды рассеяния вперед и, следовательно, полного сечения рассеяния оп­

ределяется первым из этих интегралов. Его асимптотика качествен­

но зависит от поведения потенциала на бесконечности. Здесь мы ог­

раничиваемся нахождением асимптотики амплитуды рассеяния вперед лишь в полуэффективном виде (см. равенство (4.7)). Полученное представление выполняется для произвольного потенциала со сверх- стеаенным убыванием на бесконечности. Вывод из него асимптотики амплитуды рассеяния вперед для конкретных классов потенциалов

(финитных или с экспоненциальным убыванием) откладывается до вто­

рой части работы.

§ I. Предварительные сведения Рассмотрим уравнение Шредингера

- Д Ч ^ ty(*)¥ = 1сг¥, х е К1, С]>0,1с > 0 , (i.i) с вещественным потенциалом й ( х ) из класса Шварца.

Именно, будем предполагать, что функция CL-lx) беско­

нечно дифференцируема и

где X = (at,,,..., Яд) - произвольный вектор с целочисленными неотрицательными компонентами, a d - сколь угодно большое число.

Через С и С обозначаем различные положительные постоянные, точное значение которых безразлично.

Волновой функцией ty (х, СО ; 1с , й) , отвечающей направ­

лена) Ы € & падающей плоской волны Ч*0 (^,со•, 1с) =

= езср(гк< С0,Х>) (или, по другой терминологии, потока кван­

товых частиц), называется такое решение уравнения (I), что 167

+ 0 ( | х | ~ ^ ) , Х = Х | х Г \

(1.3)

при 1x1 —*• °° . Решение с такой асимптотикой существует и един­

ственно, если оценка (1.2) выполняется при Ж = 0 и oi>cl . Ко­

эффициент СЦ (8, СО', 1С, fl) при расходящейся сферической волне в (1.3) называется амплитудой рассеяния в направлении 9 и является по крайней мере непрерывной функцией переменных

§,C0eS и 1<>0. Наряду с СЦ нам удобно ввести функцию

отличающуюся от а-, лишь на числовой множитель. Функцию (1.4) также называем амплитудой раасеяния. Для нее справедливо интег­

ральное представление

a(e,w;k,<j)=-g(afe)"M ^(х)^(х,<лг,цН(ос,е;1с)с1х.

. ъ )

Полное сечение рассеяния <3 (lO;1c,Gl) определяется равенством

к

tf(w;i,C}) = J. d_4la4lip,w;fct<})I cL(f (1.6)

В силу так называемой оптической теоремы эта величина выражается

через амплитуду рассеяния вперед

tf(u-,1c,Q)=aIma(cj,u;1c,G) a.?)

Зависимость различных объектов от направления падения W e ТР , волнового числа ]с>0 и константы связи g > 0 часто опускает-

При заданном направлении падения 60 6 3 мы часто применяем в (R координаты ( Z , D ) , где Z = <CJ,x> a fe=X-<C0,x>U) -проекция х на Л

, ортогональное до­

полнение В (R^ К JJO . ,

Для 4

^ Г (^ ) полагаем Q = ЬЩ*? Ц, , а че­

рез Q

обозначаем проекцию Q на плоскость^ /\

. Кроме того, через Q

обозначаем множество тех Х - { ^ , Ь ) . для которых при некоторой точке X=(z,e)feU выполнено P = D ,

168

а н » 2 . Тем самым Ц

состоит из Q и его тени при рассеянии плоской волны exp (tic < 60, х >) на "препятствии"

Q .

Нам понадобится ввести в рассмотрение класс оценочных функ­

ций с анизотропным поведением на бесконечности. Именно, через

<2Х = чХ/

обозначим множество локально ограниченных функций о Ц о с ) , убывающих при |эо| - > о о быстрее любой степени

loci"

вне произвольного конуса н > с Д | , О > 0 . Внутри таких конусов предполагается, что оъе^Х, растет разве лишь степен­

ным образом, т.е. |ol(x)l< С |ССI для какого-либо о(> О Пусть Н о

Д ,H=H((l)

-A + Qfy - самосопряженные опе­

раторы в гильбертовом пространстве ^ " L ^ S R ) Мы не де­

лаем различий в обозначениях функции (например, (X ) и операто­

ра умножения на нее в % . Рассмотрим резольвенту R (1с, Q', ^)=

=

(H(Q)

k - t y ) > 7-^ ^ оператора H(fl) и резольвенту

® о ^ ' ъ) -а оператора Н о . Пусть Х л - оператор умножения на (-l + lxl) . П р и p > * k оператор-функция XpR ("Ic^',^) Х^, непрерывна по норме по параметрам >j> > 0 (или У£ 4 0 ) и

1с>0 . Допуская в обозначениях некоторую вольность, полагаем Ш , ( \ ) = к [ Щ ', + 0) и, аналогично, £

(1с) =fi

(t;+0).

Оператор J3

(1с) является интегральным, причем его ядро

R

(х ,х'; 1с) - Й "

(tortlclx-x'rWltlx-x'l), av=d-a,

выражается через первую функцию Ханкеля Д . порядка V. — Отметим резольвентное тождество

Волновая функция Ф удовлетворяет уравнению Липпмана- Швингера

^ = 4^-9^^^ (1.10) и может быть найдена с помощью резольвенты

V-VgfyM',. (1Д1)

Заметим, что определение волновой функции равенством ( I . I I ) сохра­

няет смысл, если условие (1.2) выполнено при Х = 0 и a d > d + i Следующая эффективная оценка для резольвенты получена в Н . ПРЕДЛОЖЕНИЕ I . I . Предположим, что функция 0} дважды диффе­

ренцируема по радиальной переменной |Х| и функции С|Дх)

|х1эЯ7э|Х| и I x f ^ / a l c c l1 равномерно ограничены. Пусть 169

величина е = CJ {% 1с ]Г достаточно мала (в зависимости от ty ). Тогда при достаточно большой величине \с справедлива равномерная по g оценка

1Х^£(1с,9^)Хр|<С1с-\ Ц>А. (I.I2)

Наряду с R0 , нам придется рассмотреть интегральный опера­

тор Сг^ , ядро которого^строится из (1.8) с помощью следую­

щей процедуры. Пусть t € С~(К ) , t ; ( x ) = \ при)л^2,

£ ( х ) = 0 при |<&|»3 и ^г( х ) = £,(г"1ОС) Параметре всвду считаем большим, точнее X > t0 > 0 . Рассмотрим ядро

Сч ( х , х ' ; 1с) = a V ^ R o l x . x M O V C J x ' )+

+ R

( x , x ' ; f c ) A ^ ( x O .

Учитывая асимптотическое разложение функции Ханкеля в (1.8) при 1 с 1 х - х ' | -> <=°, нетрудно доказать следующее утверждение.

ЛЕММА 1.2. При любом И- > 0 ядро (I.13) допускает пред­

ставление

Сг( х , х ' ; 1 с ) -

- 1ь«¥ е

ZJ Ц,

(х,х')1с-

1

,

(х,х'-Л),

Р

(I.I4)

где при I x l ^ t для всех мультииндексов -X

^ ^ х ' - Л ^ С Ж ^

.i5)

причем постоянные С не зависят от 1/ ^ 1/0 > 0.

Пусть С*г - интегральный оператор с ядром G4,(x,X-,1c^.

Через Х ^ обозначаем характеристическую функцию шара

В = { x e R - L x K ~ t } Согласно лемме 1.2 оператор Ъ^% &%0ч корректно определен и ограничен в % . Ниже при интегрировании по всей области изменения переменных (например, [£ ) обозна­

чение, области интегрирования часто опускается.

Нам понадобится также соотношение

jkW A.

получаемое прямым интегрированием по частям. Это равенство кор­

ректно, если функция Г достаточно быстро убывает при- li^l

*

и V f * 0 на носителе F .

Обсудим еще коротко рассеяние классических частиц на потен­

циале CLty * И о

будем считать финитным, и пусть QL

Bei

. Предположим, что в начальный момент времени^ t

= 0 частица мас­

сы % находится в точке X

= ( z

, S

) .

Д

2„<-Х

и имеет им­

пульс f>(0) = ро

, P Q * ^ >

Д

Ро = Е -• энергия частицы. При отсутствии потенциала траектория частицы имеет вид

x(t) = X

+Jlp

wi , а ее импульс постоянен P(t) = p

<*\

То же верно и в общем случае до тех пор пока х (t) ф Q . При о

^ Q

частица уйдет на бесконечность, так и не "заме­

тив" потенциала. Напротив, при Ь

€ Q^ потенциал влияет на движение частицы таким образом, что в ситуации общего положения она имеет при больших t траекторию x(t) = Х^ +2р

Ф Ь ,

pit) = U)Q , где 8 f W . Кроме того, в исключитель­

ных случаях частица может быть захвачена потенциалом или уйти на бесконечность по направлению 6 = со . Тем самым, за исключени­

ем этих особых случаев, при больших t движение частицы в потен­

циале Q

q, отличается от движения свободной частицы тогда и только тогда, когда CQ^Q^ . Лебегова (размерности cL—1 ) мера I Qco 1 множества Q

и принимается за полное сечение рассеяния в классической механике.

§ 2. Построение асимптотики волновой функции Мы будем изучать асимптотику волновой функции уравнения (I.I) в области изменения параметров 1c,ft , где О ^ С к .

^ а у > 0 - какое-либо фиксированное число. Положим N = Q t U c )

,

g. = Q(2.iu ) . Иногда вместо пары (ICQ

) мы пользуемся на­

бором (1с, 6-) • Параметр Ъ является в рассматриваемой области малым, причем £ < С 1с"^ . В этом параграфе наша цель состой^ в построении; для любого fl>0 приближенного) решения

Ф = V*, , удовлетворяющего уравнению (I.I) с точностью до чле­

нов порядка 1с" *.

171

Стандартный способ нахождения функции М7 состоит в постро­

ении: ее в виде лучевого разложения

л ^ т

У (х,со; 1с,&)= ejcp(i1e(p(x,w;e))Z2 u j x ^ & X t l c ) " , (р=7р.

™* (2.D

рования, найдем, что при р^ = -\ - %Щ соответствующая не­

вязка равна

М М

(2.2) где надо считать 11^ = 0 . Приравнивая в правой части нулю коэффи­

циенты при- различных степенях ifc , получим уравнение эйконала для (D и уравнение переноса для 1/Цц, :

(VipfH-a&q,, (2.з) Л ф ' Ч п + ^ - ^ + Д и ^ о , т = ол...,М.

Уравнение эйконлала не линейно и, вообще говоря, не имеет глобаль­

ного решения. Наличие в задаче малого параметра £ позволяет из­

бежать точного решения уравнений (2.3), (2.4). Вместо этого мы по­

строим их приближенные, но зато явные решения.

С этой целью будем искать функции ф и Ш ^ , в виде рядов по степеням £ :

<Р(Х,СО;&) - g t y f o w ) ^ , U j x / ^ ) = C ^ M ^ . (2.5)

При таком (0 коэффициенты разложения [ЧIf) - р^б по степеням £;

0 ^ 1^ L равны соответственно

AV(

Po^

fcv(f

vif

_

, * a < L .

Приравняем нулю все эти коэффициенты. В качестве решения, уравне­

ния (\7ф

) *• \ возьмем функцию ip

(oc,tj) = <о),х> = Ъ. Це­

лесообразность такого выбора станет ясной в § 3 при обосновании асимптотики волновой функции. Теперь V ( ^ Vlf, = !=&• и усло­

вие равенства нулю функций (2.6) дает уравнения

В качестве их решений можно взять функции Z

-оо

Это определение корректно, поскольку при условии (1.2) все функ­

ции Ц>р и их производные принадлежат классу ч Х

<^

.Ъ этом легко убедиться по индукции. При определении If равенствами (2.5),

(2.8) имеет место оценка

КУф)

-р

и^

(х)&

\ oi

*U.

-

Совершеннно аналогично рассматривается и вторая сумма в пра­

вой части (2.2). Подставляя в нее выражение (2.5) для 1 L

, най­

дем, что коэффициент при (-Ut)

'

равен

(2.10) Поскольку ДЦ>0 = 0 и Vl^VU^j, = -32s » Равенство нулю коэффициента при £? , 4 < U < L ' дает уравнение

2 ^ ^ • - e ^ * 1 ^ . * + a V ^ 7 , U w ^ " A U m - 1 » ' (2Д1)

для функции 1A-

g . Положим ^ o Q - ^ ^ n , ^ ^ при Щ И , Тогда не зависящее от & слагаемое в правой части (2.10) обратит­

ся в нуль. Функции U ^ U , , . . . , ^ будем теперь строить последо­

вательно, начиная с U-

. Коль скоро функции 1Д,р при р ^ W - 1 и 1 L , е

Р

^* ^ построены, уравнение (2.II) решается от­

носительно t l

(k :

173

2 Ц

-оо

(2.12) При таком определении функций

выражение (2.10) оценива­

ется через CM/

(x)&

*'

, где по-прежнему 0 i ,

t 4X . Соберем вместе полученные результаты.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть q, удовлетворяет при любых # и d ус­

ловию (1.2). Определим функцию т = Ч '

равенствами (2.1), (2.5). Коэффициенты ^ D зададим равенством (f>(x)=3 и рекур­

рентными соотношениями (2.8). Коэффициенты "ХЦ^ £ зададим ра­

венствами u

f , U

0 при Уп> 4 и рекуррентными соотно­

шениями (2.12),'где надо'считать Л-Щ» - 0 . Тогда все функции ф„ и U ^ g бесконечно дифференцируемы и вместе со всеми сво­

им^ производными при & > -I принадлежат классу -QJC^j

причем

|^(х,ы;к,&) - exp (ijc

оЦос) , а е Q X

. (2.13) для невязки i o = Ю ^ ц > определенной равенством (2.2),

справедлива оценка

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть q« C k * * , f > 0 а ft - произволь­

ное натуральное число. Тогда: при M = U , L»(ft+^~^H%

4J^

для

" Ш ^ Т А ^ ^ выполнено неравенство

|Д>,С0;М^И1<Г\ OLeU

. C2.I4)

TV ' - --)

Из (2.13) вытекает, в частности, что для некоторого ск^>0

|Ф

(л»ы;Ы<С*(4+1*|Г* ^ (2,15)

Поясним, что при Jty 6 для О С ^ б ц ) выпол­

нены точные равенства? Ф (х,со;1с,&) = €Xp(tk<6j,x>),"U)(x) = 0 .

§ 3. Оправдание асимптотики

л

В этом параграфе мы установим, что построенная в § 2 функция

^ ( x . U i l c , ^ ) дает асимптотику волновой функции Ф(х,6>;1с,&) при ic-

^£<Ck"*. Рассмотрим с этой целью невязку

174

Я-Оч^НгЧ* ^(зл)

А

от^ечагацую Wⁿ в уравнении Липпмана- Швингера 0^10). Через яО = "^V нетрудно выразить искомую разность Ч' ~ ч ^ • в самом деле, сравнивая (1.10) с (3.1), найдем, что W ^ I + q R ^ ^ i y ) . Применяя к этому равенству оператор I - a R a и учитывая ре­

зольвентное тождество (1.9), получим представление

оо Л

Выразим теперь VJ через невязку 1X1 в дифференциальном с яд- Согласно уравнении (I.I). Рассмотрим интегральный оператор G^(.1c) ром (I.I3) и.положим £>i,=i~t*\., "1/С^ ~ % ч , » Согл

(2.5), ^ Ф = ( А + Ка) . ( ф - Ф0) + - W , а потому

В первом слагаемом в правой части проинтегрируем двазды по частям и учтем равенство (Ax^t1<l)R0(x,x';1c) = -6'(oc-x') (здесь

5 (•) - дельта-функция), Тогда в соответствии с определением (I.I3)

%дац(л^)(Ф-Ф

)=хА^хН)-х

(Ф-Фо).

Подставляя это равенство в (3.3), а (3.3), в свою очередь, в (3.1), найдем,что

•^W^A" (3.4)

Оценим теперь в отдельности каадое из слагаемых в правой час­

ти (3.4). В силу оценок (2.14) для невязки ~Wⁿ и (I.I2) для сво­

бодной резольвенты Я0(1с) при любом U

«x

&

iic)cAft

CW^i<-

-

'

для некоторого числа о 1 ^ > 0 .

Ввиду сверхстепенного убывания потенциала Q, , из (2.15) вытека­

ет, что при любых а и а > 0

glX^

l1c)cv40

lkC(u,a)<

N. ©.б)

175

Рассмотрим теперь первое слагаемое в правой части (3.4).

Пусть Я € С ° ( % ) , ^ ( ф ) = \ в окрестности точки 60 e S и пусть supp if) содержится на полусфере < Ф,СО > > 0 , а

У] = \~Y • Тогда, очевидно,

ХЛ( )с)(\-Ч>

) = Х А ^ ( Ч г Ч)

,Л. Л , ri где ^ понимается как умножение на функцию Т)(Х),ОС = Х | Х | .

поскольку |С5г

(х,х';1с)1< Clc^r* при |хкг,1х'1 >Лх

то

lock % 2я^|х|«3а

В силу оценки (2.13) последний супремум не превосходит С ^ А ) ^ ?

где ct - опять произвольное положительное число. Таким образом,

% 4 (3.8)

X^^(i-«fi<t(n,a)n:

1c^„

Второе и третье слагаемые в правой части (3.7) аналогичны.

Рассмотрим, например, второе. Подставим .вместо Сг^ его выраже­

ние (I.I4). Слагаемое, отвечающее ядру r va n (x,x';Jc) , со­

гласно оценкам (I.I5) для этого ядра и (2.15) для Ф ^ оценится по абсолютной величине через C('H-)1c"n+S^' "Ч- + ^ . При рассмот­

рении' членов, отвечающих первой сумме в (I.I4), подставим вместо Щ ее разложение (2.1). Тогда дело сведется к оценке интегралов

)

^ ( x ^ j u J x ' ^ C x O d

, (3.9)

х .

Для применения формулы интегрирования по частям (I.I6) положим

{ (х,х') = |х-х'| + <о),х'> и

F(x,x') = exp(iNgc

JxO£^)^^(x

x')uJ^Cx

). (зло)

Здесь мы воспользовались соотношением (2.5) для ф(х',£.) и учли, что % ( х ) = <СО,х'> . Носитель функции (3.10) по переменной X содержится в области 2 г ^ 1 х ' к З г , <х',СО> > 0 , а пере­

менная х принимает значения в шаре В ^ . При этих условиях справедливо неравенство

176

l4c'Hx,x')H^,+w|>c>o,

где С, не зависит от X . Применяя теперь соотношение (I.I6) р раз, найдем, что интеграл (3.9) оценивается через С(р)(^М) 1с *CP

где с*.р - некоторое^ (вообще говоря, большое) положительное число.

Поскольку Ы < С 1 с , ] f > 0 , при любом ТЪ за счет выбора большого р интеграл (3.9) можно- оценить через С(ти)1с ^ *" •, где o t ^ по-прежнему достаточно большое положительное число. От­

сюда, конечно, вытекает оценка и в нормег L - :

А

ч^ 4Л-1 г" '1

I^WjVW^* • ^(ЗД1)

Аналогичная оценка верна, разумеется, и для последнего слагаемого в (3.7). Соберем теперь вместе оценки (3.5), (3.6), (3.8) и (З.П) для каждого из слагаемых в правой части (3.4).

ЛЕММА 3.1. При некотором otT t>0 для любых 1 > Хо> 0 ша>0 имеет место оценка

n

\\*Z[^^+№ + ^^]№M. (3.I2)

<го

Другую оценку Х О ^ получим, исходя прямо из определения (3.1).

Тогдад помощью оценок (1.2) для С^ , (I.I2) для R0(1C)H (2.I5) для Ф ^ найдем, что при некотором Р > 0 имеет место неравен­

ство

1Х^Я>СН(ЕМ.

Комбинируя неравенства (3.12) и (3.13), легко установить, что верна

ЛИМА 3.2. При S">0 для любого Т1 найдется такое число Р>и?

что

'V

ОПусть fe^J) + Оп , где р ^ - Tojice, что„и .в (3.13). Тогда, разбивая ~W% на два слагаемых Х/„, ~Ш^ и %%~Ц0^, найдем, что

^ям^Я'^ВД.!- ^<3 - ¹⁵⁾

Слагаемые в правой части оценим соответственно с помощью (3.12) и (3.13). Положим в (3.12) "i = 1oriv, где t ^ o l ^ = S" ; тогда x01"-»^

12 Заказ 2061 177

Далее, пользуясь произвольностью а , можно добиться того, что

при некотором (Х = а^ выполнено (^ + Уу^\\с<^1/'^11<\с1Ь

Остается выбрать С ^ настолько большим, что у ^ ' ^ ^ п Ш+А^

4 1с~

Тогда в силу (3.13) и второе слагаемое в (3.

л -tt-<l+&

©ценится через 1с

15) Вернемся к оценке разности V-ty^.

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть С| < С 1с

"

, р О , S > 0 , П - произволь,- ное натуральное число, а числа £

- т е же,, что и: в лемме 3.2.

Определим функцию ф ^ равенствами (2.1), (2.5), где М = Т 1 , и>(ть+2.)у" -\ , а коэффициенты 1Д. и U ^ в - те же, что

и в теореме 2.1. Тогда '

ОВоспользуемся равенством (3.2) и предложением I.I. Считая

|

ru

/a,|>

'

/i , найдем, что

Оба слагаемых здееь оцениваются с помощью (3.14). При оценке вто­

рого надо, кроме того, учесть, что а убывает быстрее любой степе­

ни |ос| , а Н ^ 1с . Тогда левая часть (3.16) оценится через С(ть) 4c~

. Опуская последнее слагаемое в (2.1) и, возмож­

но, несколько .^латаемых в (2. 5 ) , получим оценку через С1с~

для |Х^

(Ч

-Ф

;

')1 •

Д

M'=n-<,(L'+fyf > И . Переобоз­

начая еще £

через ^ , , получим (3.16) с заменой TU на Отметим, что в определении- (2.5) функций 11^, число L можно брать зависящим от nv. При этом L ^ с ростом tit может убывать.

Отметим также, что при-доказательстве (3.16) для какого-либо фик­

сированного W, относительно q, достаточно предположить существо­

вание лишь конечного числа производных. На бесконечности- нужны оценки этих производных через некоторую зависящую от 11, степень

Ixl'i Однако с ростом % требуемое число производных q, и скорость их убывания на бесконечности возрастают.

Теорема 3.3 решает вопрос о построении асимптотики волновой функции. Однако при улучшении' приближения по 1с в (3.16) требует­

ся все большее убывание веса (4 + 10,1)

. О т §joro недос­

татка можно избавиться ценой перехода к приближению Ч-

^ более слож­

ной аналитической структуры. Именно, положим

178

Сравнивая это определение с уравнением (1.10) для Ф , найдем, что при лвбом £ > %

<ЫЦ4+|ас(Гя,(Ч1-ч1и)|.

Ввиду сверхстепенного убывания q, , из теоремы 3.3 вытекает СВДСТШЕ 3.4. Для произвольного ТЪ имеет место неравенство

Подчеркнем, что равенством (3.17) функция Ч^ отроится явно, но лишь с помощью интегрального представления.

Соотношения (3.16), (3.18) дают асимптотику волновой функции Ф в терминах L^c весом. Исходя из (3.16), (3.18) и пользуясь явным выражением (1.8) для ядра R0M и известными оценками для функций Ханкеля, можно получить асимптотику ty и в равномер­

ной метрике. Именно, для подходящих |>и и CHi^d

где SUp берется по всем ocfeKT, Поясним доказательство лишь второго из этих неравенств в случае d = 3 , когда |fi0(x,x'',1c)| =

= 0 t r t | x - x ' | Г, а €{JL = ^ . Из .tt.IO) и (3.17) следует, что

№'tx;1c

q)-?^;1c^^]lx^l^|^|i(x';1c,8)-

Остается применить к интегралу в правой части неравенство Шварца, воспользоваться (3.16) и заметить, что при oi > 3

Пх-х'Г(^|х'ГахЧо(ых|Г.

§ 4. Амплитуда и сечение рассеяния

В качестве следствия из теоремы 3.3 получим здесь асимптоти­

ки' амплитуды рассеяния вперед и полного сечения рассеяния. Будем рассматривать интеграл в определении (1.5) амплитуды рассеяния как

179

скалярное произведение в Ц Д К !¹) функций (•{ +|ос1^о (х)<

•Ф(х,Со) и (1 н-loctp* ф^о ( х ^ . г д е a o k > d . Поскольку ЯЛх) убывает быстрее любой степени | х Г⁴ , в (1.5) Ч> можно заменить ее асимптотикой ( 2 . 1 ) . Возникающая при этом ошибка в си­

лу теоремы 3.3 не превосходит СЫ 1c~^TL~'^,+a, . дри формулиров­

ке⁵ полученного результата нам удобно ввести обозначение

Ф(х,СУ,&) = Х : tf> ( х , ф

; (4.1)

тогда ф (х,С0 -,£.) = < 60,Х> + Е Ф (х7С0;&).

ПРВДСЖЕНИЕ 4 . 1 . Прш C ^ d c2^ для любого П и L>(Tl+a)-^4 справедливо разложение

а (9,ы; 1с ,ф=-Н £

(i1cT

jexp [i1c<w-9,x>+iN Ф(х,бо •, &)] •

• Q ( x ) um (x,W,£)dx + O 0 ( 1 C -U H + e f) , 8 > 0.

(4.2) Поскольку функции Ф и U m , определены явными формулами (4.1), (2.8) и (2.£ь), (2.12), а И произвольно, соотношение (4.2) решает в принципе задачу о нахождении асимптотики амплитуды рас­

сеяния с точностью до членов, убывающих степенным по 1с"' образом.

Явное вычисление этой асимптотики требует, однако, изучения осцил­

лирующих интегралов в правой части (4.2). При 0 + U главная ос­

цилляция в этих интегралах определяется членом iic <^л)-0, х.у.

Поэтому, интегрируя при- |(х) = < С О - 0 , Х > с помощью (I.I6) по частям в (4.2) неограниченное число раз и пользуясь произвольно­

стью И , установим, что верна

ТЕОРЕМА 4.2. При 0 + СО амплитуда рассеяния убывает при 1с->

—, 0° , Q « СЧС1"*" быстрее любой степени- 1с"4 , т.е. для любого U

|a(e,60;1c,Q)UC(-rt)1c-

W . 3 )

Подчеркнем, что постоянная 0 (it) в (4.3) зависит от B,CJ и обращается в бесконечность npir 9-*СО. Поэтому соотношение (4.3) нельзя проинтегрировать (с квадратом) по б , установив тем са­

мым сверхстепенное убывание сечения рассеяния (1.6). Ниже асимп­

тотика сечения будет выведена с помощью (1.7) из асимптотики ампли­

туды рассеяния вперед.

Соотношение (4.3) согласуется с полученной в книге [б] асимп­

тотикой амплитуды рассеяния при В Ф со в случае G = Q Ic2"-^ °°.

Именно, в [б] показано, что (во всяком случае для финитных потен-

180

циалов и на уровне главного члена) асимптотика а(9,Ы;1с,а) определяется рассеянием на потенциале Q0C ^ потока классических частиц (см. § I) в направлении- 9 при направлении падения СО и единичной энергии рассеиваемых частиц. Рассматриваемый нами слу­

чай отвечает малым константам связи. Для малых CJ0 все классичес­

кие частицы уходят на бесконечность по направлениям близким к to.

Поэтому можно подобрать такое CL , что по направлению 9 + со классические частицы уходить не будут совсем.

Более интересен случай 9 = со , когда главная осцилляция в (4.2) пропадает. Мы будем рассматривать амплитуду рассеяния впе­

ред при Ы — * о ° . В этом случае интегралы в (4.2) осциллируют по крайней мере за счет слагаемого К^(?с,С0) в показателе экспоненты.

Подставим в (4.2) вместо функции ц ^ ее разложение (2.5) по степеням £. и рассмотрим каждый интеграл с ^с^иД в отдельно­

сти. Покажем прежде всего, что главный член асимптотики определя­

ется только слагаемым с 1U = i = 0 . Для этого, пользуясь сверх­

степенным убыванием q, , "обрежем" область больших z , где функции Ф и Uflj, растут. Именно, при-любых j>>j>>0 и 1Ъ>0 верна оценка

Для финитного потенциала С\, при достаточно больших j> левая часть здесь равна нулю. В общем случае, полагая р = К * , найдем, что левая часть (4.4) не превосходит C(u)N" • В силу произволь­

ности tV при сколь угодно малых \) эта величина убывает быстрее любой степени N T .

В интеграле по полупространству 2 « f заменим с^ выраже­

нием через функцию- Ф . Поскольку S}^= с О + & 7 Ф и

p

H-2.eq,, то

Теперь из (2.9) следует, что

Здесь §[h, ) означает величину, не превосходящую £ ot(x) где O t f e l X . Отсюда вытекает, что при подходящем Т > 0

181

i« ^u V»* ^a ~-W ^e & ^ij »*' ¹ *-

Z^D 2«j>

В первом слагаемом в правой части проинтегрируем по частям по переменной 2 . Тогда при любом фиксированном Ъ

-оо р р

-«*» - o o

32 (4.6)

При г Ц ц б Д Х слагаемое, отвечающее z=-=•<», очевидно, про­

падает. Проинтегрировав (4.6). по S , найдем, что каждое; из двух оставшихся слагаемых в правой части для некоторого 't > 0 не пре­

восходит С j> . Поэтому для любого р > 0 найдется такое "О > О, что при Р = Л первое слагаемое в правой части (4.5) оценится через C N "

'

. Учтем еще, что в сумму (4.2) это слагаемое войдет с множителем Ц\С б . Тем самым, еслигхотя бы одно из чисел

tit или I не равно нулю, вклад этого слагаемого в (4.2) стремит­

ся к нулю при \ i - * ° ° , Ц < d c

.

В сумме по J в правой части (4.5) удобно считать, что одна из переменных совпадает с z , например, 7С^= z ; тогда осталь­

ные переменные (х,,,..., Xd._j) отвечают' разложению компоненты

% вектора х по какому-либо базису в Л

. В слагаемом с (|г^ ) » пользуясь равенством

проинтегрируем по частям по переменной X<j* при этом Xjfe(

iP) и- Х | е(-<=^

,

) , если- j f d . Поскольку

%

:

^ У э а &

принадлежат классу 4Х- , аналогично (4.6), найдем, что вся сумма в (4.5) не превосходит С Е Ы " Р* • Поэтому при $ = Ы ее вклад в (4.2) оценивается через C t r T ^ . При достаточно малом V эта величина стремится к нулю за счет множителя 6. . Наконец, последнее слагаемое в (4.5) есть ©(Ы"

) , если L достаточно велико.

182

Рассмотрим, наконец, соотношение (4.6) при tu=H=0 , когда

^о,о

^ • В

слагаемое, отвечающее 2 = - с * » , равно I, а интеграл в правой части пропадает. Учтем еще, что при вычис­

лении главного члена асимптотики в (4.1) можно опустить те слагае­

мые, для которых Ъ « Ы "

, р > 0 . Сформулируем полученный результат.

ТЕОРЕМА 4.3. При И - »

, Q^dc

"^if>0,имеет место асимптотика

a(u),w;lc,<

)=i^tl-e

*

'

]ciE

o№, (4.7)

где(см.^.]))^И)у>>1,4,=H.

,

^ достаточно мало.

Поясним, что вместо 0(A) в (4.7) можно получить квалифи­

цированную оценку остатка. В качестве вспомогательного параметра V в (4.7) выбирается любое достаточно малое (в зависимости от Т и L ^ положительное число. Интеграл в правой части (4.7) зависит от этого.параметра, однако с точностью до стремящихся к нулю членов его асимптотика при N —* °° от ^ не зависит.

В частности, в случае Q 4 С 1с , t > 0, можно положить Ц П . Поскольку при'условии (1.2) интеграл от ш ' а Д ) по полуоси-

S & l S

,

) убывает-быстрее любой степени-H~

при Н — * ° ° i то в этом случае соотношение (4.7) принимает вид

a(to,w,lc ,а)=пЛ {4-exp[HNj q,(s$cbO}<W +о\л).

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что интегрирование по всем & £ A

в (4.7) можно в силу условия tp„ & 9JC заменить на интегрирование по шару \Ь\ < N.^ , где JU, - сколь угод­

но малое положительное число. Таким образом, из теоремы 4.3 прямо вытекает

ТЕОРЕМА 4.4. Предположим, что а удовлетворяет условию (1.2), У<С\£~

,Т

>

^ ^ ^ о

• Тогда при любом р > 0 имеет место оценка

|alu,u;1c,$UC{p)N

В силу равенства (1.7) полученные результаты об асимптотике амплитуды рассеяния вперед немедленна влекут за собой следствия о полной сечении рассеяния. Именно, из теоремы 4.3 вытекает, что в ее условиях имеет место асимптотика

183

с г ( ы И с , ф = 4\ ^(i4N<P("t,B;6))cU + ( M .

Аналогичным образом, 1° силу теоремы 4.4 при любом р > 0 выполне-

но tf(u);<C,£)\<C(p)N

.

Асимптотика интеграла в правой части (4.7) зависит от конк­

ретных условий на потенциал CJ, . Так, для финитного ty интегриро­

вание в (4.7) автоматически ведется лишь по проекции Q ^ его

• носителя на плоскость Л w. В нормальных случаях осциллирующий интеграл по Q u от exf ( Ш Ф ) стремится к нулю и, следовательно, а (60,60-, 1с,д) сходится к i / l Qu| , a

с (со; \i, й ) - к 2.|QU| • Для потенциалов q, с экс­

поненциальным убыванием на- бесконечности выражение (4.7) логариф­

мически растет при N — * » « . Эти результаты будут изложены во вто­

рой части работы.

Литература

1. H u n z i k e r W. Potential scattering at high energies. - Helv.Phys.Acta, 196J, t.36, p.838-858.

2. Б у с л а е в B.C. Формулы следов и некоторые асимптотичес­

кие оценки- ядра резольвенты для оператора Шредингера в трех­

мерном пространстве. - В кн.: Проблемы матем. физики, ЛГУ, 1966, вып.1, с.82-101.

3. Б у с л а е в B.C. Об асимптотическом поведении спектральных характеристик внешних задач для оператора Шредингера. - Изв.

АН СССР, сер. матем., 1975, т.39, № I, с.149-235.

4. J e h s e n A. The scattering cross-section and its Born approximation at high energies. - Helv.Phys.Acta, 1980, t.53, p.398-403.

5. В а й н б е р г Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях ма­

тематической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982.

6. У а Л i m а К. The quasi-classical limit of scattering ampli­

tude I. Finite range potentials. Preprint. Tokyo, 1984.

7. Y a f a e v D.H. The eikonal approximation and the asympto- tics of the total scattering cross-section for Schrodinger equation. - Ann.Inst.H.Poincare, 1986, v.44» И 4» p.397- 425.

8. С о б о л е в А.В. Квазиклассическая асимптотика сечения рас- 184

сеяния для асимптотически однородных потенциалов. - В кн.:

Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 18. Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 1986, т.152, с.105-.

136.

9. Я ф а е в Д.Р. О квазиклассической асимптотике амплитуды и сечения рассеяния. - Докл. АН СССР, 1987, т.292, № 2, с.334-337.

Yafaev D.R. The eikonal approximation for quickly decreasing potentials. I.

The Schrodinger equation with a potential Q a (x), dec­

reasing quicker than any power of |x| at infinity, is consi­

dered at an energy k . The full asymptotic expansion of its wave function is constructed for k —•»•, a < C ) A , й > О . This expansion is used to derive the asymptotics of the forward scattering amplitude and of the total scattering cross-section.

185