Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Д. В. Туртин, О максимальных классах неединственности решения задачи Ко- ши для линейных уравнений, Изв. вузов. Матем., 2010, номер 9, 90–93
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 16:40:47
Краткое сообщение, представленное В.М. Миклюковым
Д.В. ТУРТИН
О МАКСИМАЛЬНЫХ КЛАССАХ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация.В полуплоскости изучаются линейные уравнения в частных производных с расту- щими коэффициентами. Получены максимальные классы неединственности решения задачи Коши для таких уравнений. Доказательство основано на новом методе получения оценки для решения двойственного уравнения с параметром.
Ключевые слова: классы единственности и неединственности, диаграмма Ньютона, задача Коши.
УДК: 517.955
Abstract. We study linear partial differential equations with increasing coefficients in a half- plane. We establish maximal nonuniqueness classes of solutions to the Cauchy problem for these equations. The proof is based on a new estimation method for a solution to the dual differential equation with a parameter.
Keywords: classes of uniqueness and nonuniqueness, Newton’s diagram, Cauchy problem.
В работе найдены точные классы неединственности решения задачи Коши (р. з. К.) для линейных уравнений с переменными коэффициентами вида
∂mu(x, t)
∂tm =
m−1 j=0
nj
k=0
qkj(x)∂k+ju(x, t)
∂xk∂tj , (1)
гдеqkj(x) — комплекснозначные непрерывные функции при начальном условии
∂ju(x, t)
∂tj
t=0=fj(x) (j= 0, m−1) (2)
в полуплоскости Π ={(x, t) :−∞< x <∞,0≤t <∞}.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, двойственное (1):
m−1 j=0
nj
k=0
qkj(x)λjdky
dxk −λmy≡ n k=0
mk
j=0
akj(x)λjdky
dxk = 0, (3)
Поступила 02.12.2009
90
О МАКСИМАЛЬНЫХ КЛАССАХ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 91
где n = max
j=0,m−1
nj, y = y(x, λ) — искомая функция, λ ∈ Λ ⊂ C, mk (k = 0, n) — целые неотрицательные числа. Уравнению (3) сопоставим характеристическое уравнение
Q(x, λ) = n
k=0 mk
j=0
akj(x)λjsk= 0. (4)
Предположим, что диаграмма Ньютона (см. [1]) многочленаQ(x, λ)при любомx∈Rимеет одни и те же узловые точки (kl, mkl) (l = 0, N, k0 = 0), определяющие N ее звеньев и (αlj, mαlj)(l= 1, N,ql=kl−kl−1,αlql =kl,j= 1, ql)— точки, соответствующие некоторым мономам многочленаQ(x, λ)и лежащие наl-м звене диаграммы Ньютона этого многочлена, причем
αl0 < αl1<· · ·< αlql.
Пусть γ1 < · · · < γN — показатели асимптотического разложения корней уравнения (4) по степеням λ в окрестности точки λ = ∞. Известно [2], что классы единственности р. з. К. (1)–(2) определяются числом p0 =
1min≤i≤lγi−1
, называемым приведенным поряд- ком ([3], с. 83) уравнения (1). Будем рассматривать регулярные (т. е. обладающие непре- рывными производными всех порядков, входящих в уравнение) решенияu(x, t) уравнения (1), имеющие по t нормальный тип, т. е. удовлетворяющие при каком-либо α > 0 оцен- ке |Dxku(x, t)| ≤ c(x) exp{αt} при (x, t) ∈ Π. В [2] показано, что класс функций {u(x, t)}, удовлетворяющих оценке
|Dxku(x, t)| ≤cexp
αt+ x
0
H(θ)dθ
(5)
(α >0,c >0,k= 0, n−1,(x, t)∈Π,H(θ) — четная неотрицательная непрерывная возрас- тающая приθ >0функция), является классом единственности р. з. К. (1)–(2) при условии, что интеграл
∞
1
[H(θ)]1−p0dθ (6)
расходится.
Для уравнений (1) с характеристическим уравнением (4), имеющим однозвенную диа- грамму Ньютона, сходимость интеграла (6) приводит [4] к тому, что класс функций, удовле- творяющих (5), становится классом неединственности р. з. К. (1)–(2). В случае многозвен- ной диаграммы Ньютона у уравнения (4) неединственность р. з. К. (1)–(2) была доказана [5] лишь при условии сходимости интеграла
∞ 1
[H(θ)]1−q0dθ, где q0 =
1max≤i≤lγi
−1
< p0, что означало образование “зазора” между классами единственности и неединственности р. з. К.
(1)–(2).
В данной работе получен результат по неединственности р. з. К. (1)–(2), ликвидирую- щий этот “зазор” и устанавливающий, что если интеграл (6) сходится, то класс функций {u(x, t)}, удовлетворяющих оценке (5), есть класс неединственности р. з. К. (1)–(2). Напом- ним, что такой же результат имеет место для систем уравнений вида (1) с постоянными коэффициентами (см. [6]).
Прежде, чем сформулировать основной результат, введем необходимые обозначения.
Положимdk=mkl−1+ (kl−1−k)γl при каждом фиксированномk:kl−1 ≤k≤kl(l= 1, N), Γ(l) ={k:kl−1≤k≤kl, mk=dk},
N
l=1
Γ(l) = Γ, Γ={0,1, . . . , n} \Γ.
Далее будем рассматривать только такие дифференциальные уравнения вида (3), у ко- торых характеристическое уравнение (4) удовлетворяет условиям
1) akmk(x)≡akmk при k∈Γ,anj(x)≡anj при0≤j≤mn;
2) уравнения
k∈Γ(l)
akmkβk−kl−1 = 0 (l= 1, N)
не имеют кратных корней иaklmkl = 0 (l= 1, N);
3) коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют оценкам sup
|x|≤r
|akj(x)| ≤hp0(dk−j)(r),
где h(r) > 0 (r > 0) — непрерывная монотонно возрастающая функция, j = 0, mk при k∈Γ,j = 0, mk−1 приk∈Γ.
Заметим, что из условий 1) и 2) следует, что диаграмма Ньютона многочленаQ(x, λ)при любомx∈Rимеет одни и те же узловые точки.
Сформулируем теорему неединственности р. з. К. (1)–(2).
Теорема 1. Пусть уравнение (1) таково, что все коэффициенты двойственного к нему уравнения(3) akj(x) удовлетворяют условиям 1)–3).
Пусть введенные ранее функции H(x) и h(x) связаны соотношением xhγNγ1 (|x|) =o(1)
x
0
H(θ)dθ (x >0), o(1)→0 приx→ ∞.
Если для H(θ) интеграл (6) сходится, то существует нетривиальное решение u(x, t) уравнения(1), удовлетворяющее нулевым начальным условиям(2) (fj(x) = 0,j= 0, m−1) и оценкам (5).
Доказательство теоремы 1 основано на оценке одного из решений уравнения (3).
Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условиям 1)–3). Тогда уравнение (3) имеет решениеy(x, λ), удовлетворяющее оценкам
dk
dxky(x, λ) ≤c1
hγNγ1 (x) +|λ|γNk
ec2
h
γNγ1 (x)+|λ|γ1
|x|
(k= 0, n−1, −∞< x <∞, Reλ≥α >0, c1 >0, c2 >0 — некоторые постоянные).
Литература
[1] Чеботарев Н.Г.Теория алгебраических функций (Гостехиздат, М., 1948).
[2] Косарев Н.Г.О единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с переменными коэф- фициентами, Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, Ярославль, Вып. 2, 141–158 (1977).
[3] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е.Обобщенные функции. Некоторые вопросы теории дифференциальных урав- нений (Физматлит, М., 1958).
О МАКСИМАЛЬНЫХ КЛАССАХ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 93
[4] Житомирский Я.И.Классы единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с расту- щими коэффициентами, Изв. АН СССР. Сер. матем. 31(4), 763–782 (1967).
[5] Косарев Н.Г.О задаче Коши для линейных уравнений с переменными коэффициентами, Научные труды ИвГУ. Математика. Вып. 2. Иваново, 86–92 (1999).
[6] Золотарев Г.Н.Нетривиальные решения задачи Коши с нулевыми начальными условиями, Учен. зап.
Ивановск. гос. пед. ин-та31, 29–36.
Д.В. Туртин
старший преподаватель, кафедра вычислительной и прикладной математики, Ивановский государственный университет,
ул. Ермака, д. 39, Ивановская область, г. Иваново, 153025, e-mail:Turtin@mail.ru
D.V. Turtin
Senior Lecturer, Chair of Calculus and Applied Mathematics, Ivanovo State University,
39 Ermak str., Ivanovo, 153025 Russia, e-mail:Turtin@mail.ru
