физ., 2007, том 47, номер 11, 1819–1829

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Б. М. Подлевский, О некоторых двусторонних аналогах метода Ньютона решения нелинейной спектральной задачи, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 2007, том 47, номер 11, 1819–1829

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочи- тали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 07:28:33

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, № 11, с. 1819-1829

УДК 519.614

О НЕКОТОРЫХ ДВУСТОРОННИХ АНАЛОГАХ МЕТОДА НЬЮТОНА РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ З А Д А Ч И

© 2007 г. Б. М. Подлевский

(79000 Львов, ул. Наукова, 3-6, ИППММ HAH Украины) e-mail: podlev@iapmm.lviv. на

Поступила в р е д а к ц и ю 20.03.2007 г.

П е р е р а б о т а н н ы й вариант 01.06.2007 г.

Рассматриваются и т е р а ц и о н н ы е алгоритмы нахождения двусторонних приближений к соб­

ственным значениям нелинейных спектральных задач для матриц, к о т о р ы е используют э ф ­ ф е к т и в н у ю численную процедуру вычисления первой и второй производных от детерминан­

та матрицы. Рассматриваются т а к ж е вычислительные аспекты использования этой процеду­

р ы в алгоритме отыскания всех собственных значений нелинейной спектральной задачи из заданной области комплексной плоскости изменения спектрального параметра. На модель­

ных задачах иллюстрируется э ф ф е к т и в н о с т ь алгоритмов. Библ. 14. Табл. 4.

Ключевые слова: нелинейные алгебраические спектральные задачи, итерационный алго­

ритм, двусторонний аналог метода Ньютона.

В В Е Д Е Н И Е

В р а б о т е предлагается численный метод решения следующей спектральной задачи. Пусть D(X) - заданная матрица размерности пхп, нелинейно зависящая от спектрального параметра X.

Требуется найти те значения параметра Хе С, называемые собственными значениями, при ко­

торых существуют нетривиальные решения х,у е С" уравнений

jt*D(X) = 0, D(X)y = 0, (1) где индекс звездочка означает сопряженное транспонирование. Искомые значения X одни и те

же для обеих задач (1) и являются решениями уравнения

/ ( X ) s d e t D ( X ) = 0. (2) Далее предположим, что э л е м е н т ы матрицы D(k) - достаточно гладкие функции скалярного па­

раметра X (дважды непрерывно дифференцируемые в действительном случае или аналитиче­

ские в комплексном) в некоторой области.

В о т л и ч и е от существующих численных методов решения нелинейных спектральных задач (см., например, [1]-[5]), в данной работе для нелинейной спектральной задачи (1) мы предлагаем итерационный процесс двустороннего аналога метода Ньютона отыскания простого действи­

тельного собственного значения к а к корня соответствующего нелинейного скалярного уравне­

ния (2), не раскрывая определителя. Это означает, что левая часть уравнения (2) в явном виде не задается, а предлагается алгоритм нахождения функций f(X),f(X) nf"(X) при фиксированном зна­

чении параметра X, используя для этого LU-разложение матрицы D(X). Кроме того, предложен­

ный а л г о р и т м позволяет, используя принцип аргумента аналитической функции, определить как число собственных значений, расположенных в заданной области G комплексной А-плоскости, так и найти начальные приближения ко всем собственным значениям задачи (1) в области G с последующим их уточнением одним из известных итерационных методов, в частности и двусто­

ронним аналогом метода Н ь ю т о н а .

1. А Л Г О Р И Т М В Ы Ч И С Л Е Н И Я f(X), f(X) И f\X)

Известно, что матрица D(X) при любом фиксированном X может б ы т ь представлена в виде

D(X) = L(X)\J(X), (3) где L(X) - нижняя треугольная матрица с единичными диагональными элементами, a U(X) - верх-

1819

1820 П О Д Л Е В С К И Й няя треугольная матрица. Тогда

п

f(X) = detL(A)detU(A) =

fJii^A.).

/ = i

Поскольку э л е м е н т ы квадратной м а т р и ц ы D(X) (а следовательно, и U(À,)) являются диффе­

ренцируемыми функциями X, т о для л ю б ы х X получаем, ч т о п п

га) = ^

а)Ци

а),

г = 1 i = 1

1ФГ

к = 1 /• = 1

1Фк

к = 1 У == 1 i = 1

j Ф к i Ф к

где vü(X) = и il (A,), a wi7(A) = v-, (X). Для определения значении vu(X) продифференцируем (3) по X.

Получим

В(Х) = M(A)U(A) + L(A)V(A), (4) где

В(А) = D'(A), М(А) = L'(A), V(À) = U'(A),

a v^{/ ;}(A) - э л е м е н т ы матрицы V(A). Теперь, дифференцируя (4) по X, получаем

С(Х) = N(X)U(X) + 2M(X)V(X) + L(À)W(A), (5) где

С(Х) = Ъ'(к), ЩХ) = М\Х\ ЩХ) = V'(A), a wu(X) - э л е м е н т ы матрицы W(À).

Таким образом, для вычисления ДА), f(X) и /"(А) необходимо при фиксированном X = Хт вы­

числить

D = LU, В = MU + LV, С = NU + 2MV + LW,

(6)

откуда

я ю = ri

"' f(K) = Х ^ П " " '

г(Ю = X

**II

»"

X

**

к=\ i= 1 к=\

1Фк

i Ф г

( \ п п

./• = 1 /• = 1

jФк 1Фк

(7)

Для вычисления элементов матриц в разложении (6) могут использоваться рекуррентные со­

отношения

г - 1, 2, и,

О Н Е К О Т О Р Ы Х Д В У С Т О Р О Н Н И Х А Н А Л О Г А Х

г- 1

urk - ^rk~^yf^Kj^ujb к ~ г,"-,п,

7 = 1

( r-l \ llr = dir — hjujr

1821

/ = r + 1, п.

7 = 1 /

v^rk = Ь^гк-^(т^г^^к + l^rjv^jk)⁹ к = г,

7 = 1

r- 1

7 = 1

r- 1

=

c

- X ( n

u

7 = 1

w

У У

u^rr, i = r + 1, n.

Ci r - X (nÜ^UJr + ^2M/ 7^V7 > + ^ ^ y r ) - ^2mi r V^rr - li S 7 = 1

Нужно отметить, что этот алгоритм м о ж е т оказаться неустойчивым и даже недействитель­

ным, если некоторый элемент и^гг = 0. Ч т о б ы исключить такие случаи, применяют при LU-разло- жении матрицы ряд перестановок строк (и/или столбцов) матрицы D с одновременным выбором главного элемента, как в методе Гаусса. В э т о м случае разложение (6) запишется в виде

PD = LU, PB = MU + LV, PC = NU + 2 M V + LW,

где P - матрица перестановок, причем detP = (-l)^q, где q - число перестановок (например, строк).

В таком случае соотношения (7) примут вид

п п п

пю = (-i)TT- = (-")"1>"П

»'

/ = 1 к = 1 / = 1

i*k

П К ) = ( - i / ' X ^ n ^ - K - o ' ^ v , ,

к = 1 i = \ i*k

к = 1 7 = 1 ' = 1

j*k i*k

Далее в работе предлагается использовать описанный алгоритм вычисления производных на основе LU-разложения матрицы D(À).

2. В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е А С П Е К Т Ы А Л Г О Р И Т М А О Т Ы С К А Н И Я Н А Ч А Л Ь Н Ы Х П Р И Б Л И Ж Е Н И Й С О Б С Т В Е Н Н Ы Х З Н А Ч Е Н И Й

Принцип аргумента неоднократно применялся при решении различных задач, связанных с определением количества собственных значений, лежащих в заданной области (см., например, [4], [6]-[8]). Так, в [6] был предложен алгоритм нахождения всех нулей аналитической функции в заданной области на комплексной плоскости. В [4], [7] и [8] б ы л и предложены модификации этого метода и его обобщение для решения нелинейных задач на собственные значения. В на­

стоящей работе, в частности, также рассматриваются некоторые вычислительные аспекты его использования.

1822 П О Д Л Е В С К И Й

Пусть характеристическая функция (2), которая по условию является аналитической, имеет в G (с учетом кратности) га нулей А^ь A^w и не имеет нулей на границе Г области G. Тогда, как известно, число нулей га ф у н к ц и и / , лежащих в G, определяется в соответствии с принципом ар­

гумента формулой

г Введем обозначения

Г

тогда (см. [9, с. 151]) имеют место соотношения m

^Х) = ^{S k 9} к = 1,2, . . . , г а . (10)

7 = 1

Таким образом, зная га и s^hk = 1, 2 , г а (см. (8), (9)), из системы (10) м о ж н о найти нули функ­

ции (2), т.е. все собственные значения задачи (1), л е ж а щ и е в заданной области G.

Остановимся подробнее на вычислительных аспектах алгоритма, а именно на той его части, где вычисляются величины s^k, к= 1,2, га.

В [4] предлагалось в качестве G выбирать круг и использовать квадратурную формулу пря­

моугольников для нахождения s^k. В [8] в качестве G предлагалось в ы б и р а т ь круг или прямо­

угольник, а подынтегральную функцию ф(А) =f(X)/f(X) аппроксимировать линейным или квад­

ратичным многочленом на каждом отрезке контура Г, предварительно разбив его на части. П р и л ю б о м способе вычисления величин s^k необходимо в ы ч и с л я т ь значения функции ф(А) в заданных точках. Для этого в [6] предлагалось использовать LU-разложение матрицы D(A) для определе­

ния функции Д А ) в заданной точке, а производную определять при помощи соотношений т-\

7 = 0

где

/а)

Jr

a-x

y

4

или воспользоваться теоремой о следе матрицы и заменить отношение f\X)/f(X) на Tr{D^{_ 1}(A)D(À)}, а нахождение Tr{D^{_ 1}(À)D(À)} свести к р е ш е н и ю систем линейных уравнений (см.

[8]). Здесь предлагается использовать LU-разложения матрицы D(X) для вычисления как ДА,), так и / ' ( А ) .

Не ограничивая общности, рассмотрим в качестве области G, ограниченной контуром Г, круг G ( A * , р) с центром в точке А* и радиусом р. Используя замену А(г) = А* + рехр(27Ш), преобразуем интеграл (9) к виду

i

s^k = jX(t)^kp^exp(2nit)^^dt. (11)

о

Разобьем отрезок [0, 1] на N равных частей и заменим интеграл (11) какой-нибудь квадратурной формулой (например, прямоугольников, как в [4]). П о л у ч и м

1 ч* Л 2 л / \ / ' ( А , )

7 = 1

где А⁷ = А* + р е х р ^ ^ , 7 = 1,2, ...,/V.

О НЕКОТОРЫХ ДВУСТОРОННИХ АНАЛОГАХ 1823 Таким образом, в (12) требуется вычислить значение функции ДА) и ее производной только

на границе области G. Это можно осуществить с помощью разложения (6). Тогда отношение

f(kj)lf(kj), используя представления

(7),

п

rayn-kj) = ( В )

r = 1

Таким образом, учитывая (13), для вычисления величин s^h к - 0, 1 , г а , получаем соотноше­

ния

(14)

Следовательно, при помощи соотношений (14) можно вычислить количество m = s⁰ собствен­

ных значений, находящихся в области G, а также правую часть системы (10), для решения кото­

рой м о ж н о применить, как в [4], метод Ньютона. В результате получим н е к о т о р ы е , вообще го­

воря, грубые приближения ко всем собственным значениям задачи (1), л е ж а щ и м в области G.

3. Д В У С Т О Р О Н Н И Е А Н А Л О Г И М Е Т О Д А Н Ь Ю Т О Н А

Для уточнения некоторых грубых приближений к собственным значениям, полученным по тем или иным соображениям, в частности и при помощи алгоритма, описанного в ы ш е , предла­

гается использовать итерационные алгоритмы двусторонних приближений. О н и обладают тем важным преимуществом по сравнению с другими приближенными методами, ч т о д а ю т возмож­

ность на каждом шаге итерационного процесса искомые решения заключать в "вилку" и тем са­

мым получать удобную апостериорную оценку погрешности последовательных приближений.

Пусть известно приближение А^{( )} к собственному значению А*, достаточное для применения двустороннего аналога метода Ньютона (см. [10])

л л / ( ^ 2 m ) /f( ^ 2 w )

^2т+\ - А2

Ач„, , ч — А<

r a

j - я к л п К п )

fiKrn+l)

m = 0 , 1 , . . . , (15)

для построения альтернирующих приближений к собственному значению А* в виде

А

< А

< ... < Х

или в виде

Х⁰ < А,, < ... < А²

„,_, < ... < А* < ... < A

< ... < А

< А

,

если начальное приближение находится слева от собственного значения. Если ж е начальное приближение находится справа от собственного значения, то, используя тот ж е итерационный процесс (15), получаем альтернирующие приближения к собственному значению в виде

А, < А

< ... < А

_ ! < ... < А* < ... < А

< ... < А

< А

А

< А

< ... < Х

_ ! < . . . < А, < А

.

Поскольку итерационный процесс (15) на каждом шаге использует значение функции ДА) и ее производных при конкретном значении параметра А, то для их вычисления используем разло-

^ 2 m + l - ^2п

( п \

у Ylh J у |YX**Y

\k = i^4k; t k = i

^2m + 2 - ^ 2 m + 1

( n - \ Vkk

m =

0, 1, ...,

^ и

\k = \ ^{k k} ;

где ukk, vkh wkk - э л е м е н т ы матриц U, V и W в разложении (6) при фиксированном X = Х2т, а икк, v a - элементы матриц U, V в разложении (6) при фиксированном X = ХЪп + \ .

Таким образом, предлагается следующий алгоритм решения нелинейной спектральной зада­

чи (1).

Алгоритм 1. Итерационный процесс альтернирующих приближений Шаг 1. Задаем начальное приближение Х0 к s-му собственному значению задачи (1).

Шаг 2. for m = 0, 1, ... до достижения точности do.

Шаг 3. if m четное.

Шаг 4. Определить величины u^kh vkh wkk из разложения (6).

Шаг 5. Вычислить Х2т + \ при помощи (17).

Шаг 6. Перейти к шагу 10.

Шаг 7. if га нечетное.

Шаг 8. Определить величины и^кЬ vkk из разложения (6).

Шаг 9. Вычислить Х2т + 2 при помощи (17).

Шаг 10. end for.

И з алгоритма видно, что для получения альтернирующих приближений на каждом ш а г е ал­

горитма нужно о б р а щ а т ь с я к алгоритму вычисления разложения (6).

Далее, модифицируем алгоритм 1 так, чтобы за одно обращение к алгоритму вычисления раз­

ложения (6) получать два приближения к собственному значению. Для этого используем другой двусторонний аналог метода Н ь ю т о н а [11] - итерационный процесс включающих приближений, т.е. итерационный процесс

Ц т⁺1 = M

V^{w +}i = Ц,

Я М

п / 4 M '

Я М А М

m = 0, 1, (18)

A M - / ( Ц1й) / " ( й « )

к о т о р ы й дает м о н о т о н н ы е включающие приближения к собственному значению в виде

H 0 < ^ 1 < Р- 2 < < Ц т < < ^ * < < V „^t< . . . < V²< V ,

или

| L l⁰< { V¹ < } V²< . . . < V^m< . . . < А , * < . . . < Ц^Ш< . . . < J 1²< | L 1¹,

используя при этом одно начальное приближение ц0 (в данном случае слева от X*), или м о н о т о н ­ н ы е включающие приближения в виде

\Li<\l²<...<\L^tn< . . . < Х * < . . . < V^W< . . . < V²< { V , } < | H⁽⁾

или

У1< У2< . . . < У Ш< . . . < А ^ < . . . < ЦМ< . . . < Ц 2< Ц 1< Ц 0,

жение (6) и соотношения (7). В результате итерационный процесс (15) примет вид

если начальное приближение \1⁰ находится справа от X*. Здесь фигурные скобки означают, что неравенство v^x < v² (соответственно, v² < Vi) может не выполняться, хотя все последующие нера­

венства v^m < v^{m +} j (соответственно, v^{m + {} < v^m) для m = 2, 3, ... выполняются всегда.

Если воспользоваться снова разложением (6), т о итерационный процесс примет вид

m + 1

V

Хм

Vit = i ^{к к}

( ^п

vm+\

(19)

^ m = 0, 1,

у Хм]J у rfX**Y-—il

где u^kh v^kh w^hh - элементы матриц U, V и W в разложении (6) при фиксированном X - | i^m. Таким образом, предлагается следующий алгоритм решения нелинейной спектральной зада­

чи (1).

Алгоритм 2. Итерационный процесс включающих монотонных приближений Шаг 1. З а д а е м начальное приближение ц⁰ к 5-му собственному значению задачи (1).

Шаг 2. for га = 0, 1, ... до достижения точности do.

Шаг 3. Определить величины и^кЬ v^kk, w^kk из разложения (6).

Шаг 4. Вычислить цт + { H V^w+1 при помощи (19).

Шаг 5. end for.

Поскольку X* принадлежит интервалам [ ц^т, v^m] или [v^m, ц^т] , га = 1, 2 , к о т о р ы е включаются один в другой, начиная по крайней мере с m = 2, то в качестве га-го приближения к X* далее пред­

лагается выбирать не один какой-то конец интервала, например |Li^w, как в алгоритме 2, а его се­

редину. В результате получаем качественно новый итерационный процесс, к о т о р ы й имеет более высокий порядок сходимости, чем (18), а именно

Теорема. Итерационный процесс

+ v„

где

= X

m = 0, 1,

ПК)

(20)

Vw + 1 - \ г .

т

Г(КУ

пюпю

Г(К) - f(K)f"(K)

нахождения простого действительного корня X* уравнения (2) представляет собой итераци­

онный процесс порядка (не ниже) 3, однако несмотря на то, что \i^m+ \ <Х^{т + {} <v^{m + {} или v^{m + i}<

< Х^{т +} ! < |U^{W +} j , монотонность последовательностей { ц^т} и {v^wJ может нарушаться, т.е. ин­

тервалы могут не вкладываться один в другой.

Доказательство. Итерационный процесс (20) можно рассматривать как частный случай мето­

да простой итерации, т.е.

К+1 = < P( ^ J . m = 0, 1,

где

ф(Х) = X-

/ ( * )

-№) f\X)²-f{X)f"(XV Как известно, итерационный процесс будет процессом /с-го порядка, если

ф'(Ь*) = 0, ф"(А*) = 0, ... ф^а~^П( А * ) = 0, ф^{а )}( А * ) * 0 .

яюпю

f(K)[f(K)(2f\K)-f\K)f"'(K))-f'(K)

r(K)]

га*г тку-яют*)]

= о,

поскольку ДА,*) = О,

Ц>'\К) - Т'(Ю Г'а*Г

.га*) га*).

= о,

V

a*) =

/ (Л*)

Таким образом, итерационный процесс (20) является итерационным процессом не ниже третьего порядка. Доказательство второй части теоремы аналогично проведенному в [11]. Теорема дока­

зана.

Если снова воспользоваться разложением (6), то итерационный процесс примет вид

— ö »

где

у

m = 0, I, ... (21)

/ п \ г /г

= А,™ — V ^{Х М}

J

V _

Vjfc= Г кк J Ц = 1

Здесь и^, v^{A A}, vv^ - э л е м е н т ы матриц U, V и W в разложении (6) при фиксированном А = Х^т. Таким образом, предлагается следующий алгоритм решения нелинейной спектральной зада­

чи (1).

Алгоритм 3. Итерационный процесс включающих приближений 3-го порядка Шаг 1. З а д а е м начальное приближение Х^{) к s-му собственному значению задачи (1).

Шаг 2. for m = О, 1, ... до достижения точности do.

Шаг 3. Определить величины u^kh v^kh w^kk из разложения (6).

Шаг 4. Вычислить двусторонние приближения ц^{ш + {} и v,„^{+ {} при помощи (21).

Шаг 5. Вычислить Хт + х = ( | i^{m +} , + v^{m +} ,)/2.

Шаг 6. end for.

Отметим, ч т о предлагаемые алгоритмы могут использоваться и в линейном случае, когда D(X) = А - AB, поскольку фактически вычисляются нули нелинейной функции ДА) = detD(A), ко­

торая является по крайней мере дважды дифференцируемой.

4. Ч И С Л О В Ы Е П Р И М Е Р Ы

Для апробации алгоритма из разд. 2 вычисления грубых оценок собственных значений рас­

смотрим квадратичную спектральную задачу из работы [12] с матрицей D(A) = А²А⁰ + АА, + А²,

В нашем случае после несложных преобразований получим

Таблица 1

р

р

р

р

р

р

X к X к X к X к X к X к

0.2423 2 -03111 4 -0.3777 28 0.6383 68 0.2383 25 2.3229 11

0.2423 0.2435 0.2423 -0.8499 0.7967

0.6386 - 0 . 3 7 7 8 -1.2261 0.6383

0.7967 -0.3878 0.2423

- 0 . 8 3 9 4 0.7956 - 0 . 3 7 7 8 0.6408 - 0 . 8 3 9 4 -1.2234 -2.6354

где

А⁰ =

( 1.00 0.17 -0.25 0.54 ^Л 0.47 1.00 0.67 -0.32 - 0 . 1 1 0.35 1.00 -0.74 0.55 0.43 0.36 1.00

А, =

0.22 0.02 0.12 0.14 0.02 0.14 0.04 -0.06 0.12 0.04 0.28 0.08

^ 0.14 -0.06 0.08 0.26

( -3.047588 -2.187912 -1.944900 -2.824296 ^Л -2.650072 -2.472484 -2.351516 -2.105384 -0.745660 -0.642364 -1.311776 -0.185240 -4.050012 -3.063188 -2.812192 -3.779440

Сначала определялось количество собственных значений, которые принадлежат некоторой области G. Для расчетов область G задавалась в виде круга G(X*, р) с центром в т о ч к е X* = 0 и радиусами р = 0.3, 0.5, 0.7, 1.0, 1.3 и 3.0. Результаты расчетов приведены в табл. 1, в которой для каждого значения р приведены количество собственных значений, принадлежащих заданной об­

ласти, и их величины X, а т а к ж е количество итераций к, необходимых для их вычисления с точ­

ностью г = Ю^{- 4}.

Полученные приближенные величины собственных значений могут не удовлетворять требу­

емому критерию точности. Для их уточнения м о ж н о использовать любой из предложенных в разд. 3 алгоритмов. В н а ш е м случае для уточнения каждого собственного значения понадоби­

лось не более двух итераций л ю б ы м из приведенных алгоритмов. Уточненные собственные зна­

чения полностью совпадают со значениями, полученными в [12].

Для проверки возможностей итерационных алгоритмов, предложенных в разд. 3, в качестве теста решалась нелинейная спектральная задача вида (см. [13])

D(X) = А + ХЕ + е^хЕ, (22)

где Е - единичная n х n-матрица, А - трехдиагональная n х ^-матрица с ненулевыми элементами:

ai~iJ = аи i + 1 ~ 1 > аИ — —2.

Для матриц размерности п = 10 вычислялись все собственные значения задачи (22) к а ж д ы м из алгоритмов 1-3. Они полностью совпали с числами, полученными в [13] другим методом. Неко­

торые результаты экспериментов приведены в табл. 2.

Кроме того, для иллюстрации работы алгоритмов и их сравнения с алгоритмом из [4], кото­

рый также тестировался на этой задаче, проведем расчеты для собственного значения X - - 3.2117827, задавая, как в [4], начальное приближение Х^{) = 3.2. Результаты сведены в табл. 3, где в последних двух столбцах приведены результаты из [4] (оригинальный алгоритм из [4] - столбец 6 и алгоритм метода дополненного вектора - столбец 7).

Из таблицы видно, ч т о у алгоритма 3 скорость сходимости выше, чем у оригинального алго­

ритма из [4]. Что касается алгоритмов 1 и 2, то у них скорость сходимости не ниже, чем у того же

Таблица 2

Ао m

А л г о р и т м 1 Алгоритм 2 Алгоритм 3

Ао m

К Vm Vm К

4.0 1 3.941742 3.843018 3.,941742 3.843018 3.941742 3.892380 2 3.885413 3.885413 3.909833 3.898350 3.899103 3.898726 3 3.900572 3.897677 3.899646 3.898718 3.898718 3.898718

4 3.898688 3.898710 3.898726 ^•

5 3.898718 3.898718 3.898718 6 3.898718

3.4 1 3.324599 3.242099 3.324599 3.242099 3.324599 3.283349 2 3.271814 3.270297 3.272956 3.271717 3.271872 3.271794 3 3.271783 3.271782 3.271784 3.271783 3.271783 3.271783 4 3.271783 3.271783 3.271783

0.5 1 0.620603 0.620603 0.663037 0.620603 0.663037 0.641820 2 0.644214 0.643877 0.644074 0.643961 0.643965 0.643963 3 0.643963 0.643963 0.643963

4 0.643963

Таблица 3 m

Алгоритм 1 А л г о р и т м 2 А л г о р и т м 3 Алгоритмы из [4]

m

Ki Vm К К

0 3.2 3.2 - 3.2 3.2 3.2

1 3.257904725 3.257904725 3.282966422 3.270435573 3.329835363 3.611807012 2 3.271988395 3.271719370 3.271866923 3.271782726 3.272452136 3.185742889 3 3.271782710 3.271782733 3.271782745 - 3.271782736 3.28268 ~ 1

4 - - - - - 3.27176 3

5 - - - - - 3.271782735

Таблица 4

m _{Vm ^ m} Ki

0 3.2 - -

1 3.257904725 3.282966422 3.270435573

2 3.271781134 3.271784319 3.271782726

алгоритма из [4], который и м е е т скорость сходимости в ы ш е квадратичной, но, кроме того, эти а л г о р и т м ы (включая и а л г о р и т м 3) на каждой итерации д а ю т еще и двусторонние оценки соб­

ственных значений, а именно: а л г о р и т м 1 дает а л ь т е р н и р у ю щ и е приближения, т.е.

К) < Aj < К

а алгоритм 2 - в к л ю ч а ю щ и е , т.е.

|И⁰ < [1{ < \ i2 < щ <

1* <

В табл. 3 для алгоритма 3 приведены т о л ь к о усредненные величины собственного значения.

Двусторонние оценки, п о л у ч а е м ы е алгоритмом 3 , приведены в табл. 4 . М ы можем говорить о

двусторонних оценках для алгоритма 3 (см. также табл. 2) в т о м смысле (согласно теореме), что

H i < ^ i < V i ,

| L l²< À²< V²,

при этом Х^{ < А² ~ А,* с точностью г = 10~⁶. В этом примере м ы получаем большее, а именно [ц², v²] cz v j , что в общем случае выполняется не всегда.

Таким образом, описанный в работе алгоритм вычисления производных от детерминанта матрицы можно применять не т о л ь к о в алгоритме вычисления как количества, т а к и грубых приближений ко всем собственным значениям в заданной области комплексной плоскости, но и для построения надежных и эффективных (в смысле двусторонних оценок и скорости сходимо­

сти) алгоритмов нахождения собственных значений как нелинейных, так и линейных спектраль­

ных задач.

В заключение отметим, что применение ортогонального преобразования к детерминанту À-матрицы и использование метода Ньютона для определения собственного значения рассмат­

ривалось в [14], но это другой подход, отличный от предлагаемого в настоящей статье.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Anselone P.M., Rail L.B. The solution of the characteristic value-vector problems by Newton's method // Numer.

Math. 1968. V. 11. № 2. P. 3 8 ^ 5 .

2. Ruhe A. Algorithms lor the nonlinear eigenvalue problem // SIAM J. Numer. Analys. 1973. V. 10. № 4. P. 674—

690.

3. Neumaier A. Residual inverse iteration for the nonlinear eigenvalue problem // SIAM J. Numer. Analys. 1985.

V. 22. № 5 . P. 914-923.

4. Картышов C.B. Численный метод решения задачи на собственные значения с нелинейным вхождени­

ем спектрального параметра для разреженных матриц // Ж . вычисл. матем. и матем. ф и з . 1989. Т. 29.

№ 12. С. 1898-1903.

5. Подлевсъкий БМ. Чисельний метод розв'язування одного класу нелшшних спектральних задач // Мат.

методи та фiз.-мex. поля. 2001. Т. 44. № 2. С. 34-38.

6. Delves L.M., Lyness J.N. A numerical method for locating the zeros of analytic function // Math. Comput. 1967.

V. 100. P. 543-561.

7. Абрамов A.A., Юхно Л.Ф. О б определении числа собственных значений спектральной задачи // Ж. вы­

числ. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 5. С. 776-783.

8. Асланян М.А., Картышов C.B. Модификация одного численного метода решения нелинейной спек­

тральной задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 5. С. 713-717.

9. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Н а у к а , 1972.

10. Подлевсъкий БМ. Про один пщхщ до побудови двостороншх {терацшних метод{в розв'язування нелшшних piвнянь // Доп. H A H Укра'ши. 1998. № 5. С. 3 7 - 4 1 .

11. Подлевсъкий БМ. Методи двостороншх наближень розв'язування нелшшних р1внянь: П р е п р и н т № 2.

Львiв.: 1ППММ H A H Украши, 2001.

12. Кублановская В.И. К спектральной задаче для полиномиальных пучков матриц // З а п . научн. семина­

ров Л О М И А Н СССР. 1981. Т. 111. С. 109-116.

13. Гулин A.B., Дроздова ОМ., Картышов СВ. Итерационный метод решения задачи на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра: Препринт № 137. М.: И П М а т е м . А Н С С С Р . 1986.

14. Кублановская В.И. О применении метода Ньютона к о п р е д е л е н и ю собственных значений À-матриц //

Д о к л . А Н СССР. 1969. Т. 188. № 5. С. 1004-1005.