Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ф. А. Гаджиев, Об алгебрах Менгера, Тр. МИАН СССР, 1984, том 163, 78–80
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
5 ноября 2022 г., 19:11:57
Труды Математического института АН СССР 1984, том 163
У Д К 5 1 5 . 1 2 2 . 4 + 5 1 2 . 5 3 6 . 1
Ф. А . ГАДЖИЕВ
ОБ АЛГЕБРАХ МЕНГЕРА
К . Менгер в работах [1, 2] ввел в рассмотрение алгебры, которые впо
следствии были названы его именем. Теории алгебр Менгера над дискретным!
множеством посвящены работы [1—71. Цель данной работы — изучить неко
торые вопросы, касающиеся алгебр Менгера над топологическим простран- с т в о м . р с е рассматриваемые пространства предполагаются ^-пространствами*
0. Пусть <М, ф> — алгебра типами -f-1, т. е. множество M с (тг + ^ - м е с т ной операцией на нем [8]. Относительно операции ф будем предполагать, что она обладает следующим свойством суперассоциативности:
(О Ф (F, Ф (Gu #l f . . ., Яп) , . . . , Ф (GN, Я1 Э . . ., Нп)) = Ф (ф (F, Gl9..., Gn)r Я1 э . . ., Нп) для любых F, Gt, . . ., Gn, Hly . . ., Нп из М.
О п р е д е л е н и е 1. Алгебра <ЛТ, ф)> типа n + 1, удовлетворяющая условию (i), называется простой п-местной алгеброй Менгера.
В дальнейшем там, где это не вызовет недоразумений, выражение «простая гг-местная алгебра Менгера» будем сокращать и писать «алгебра Менгера»
или просто «алгебра».
Алгебра Менгера <Af, ф> типа n + 1? обладающая свойством:
(и) существуют такие элементы 1г, . . ., 1п из М, что для любых F, F±, . . * . . ., Fn из M и k = 1, . . ., п выполнено
Ф (/„
Fu . . ., Fn) = Fk, Ф (F, Jl f . . ., In) = F,называется унитарной 1, элементы /х, . . ., In называются секторами, а набор /х, . . ., 1п — полным набором секторов.
П р и м е р 1. Простая 1-местная алгебра Менгера есть полугруппа.
Поэтому алгебру Менгера естественно понимать как обобщение в некотором смысле понятия полугруппы.
П р и м е р 2 . Пусть X — множество, F, Fx, . . ., Fn — отображения Xй -> X. Естественным образом определяется композиция функции F с на
бором функций F±, . . ., Fn:
F (Fu . . ., Fn) (Xl, . . ., xn) = F (F± (xx, . . ., zn) , . . ., Fn (хг, . . ., xn)). (1) Произвольное семейство A (X) отображений Zn- > Z , замкнутое относи
тельно операции, определенной по (1), и содержащее проектирования Ik • • м Яп) = & = 1, . . ., п, образует унитарную алгебру Менгера.
П р и м е р 3. Алгебра <М, ф>, где M = M (X) — совокупность всех непрерывных отображений Х^-^Х для произвольного топологического прост
ранства X, а ф—- операцЕЯ вз примера 2, есть унитарная алгебра Менгера.
i Некоторые авторы, в частности] Уайтлок [6], алгебру Менгера определяют как уни
тарную алгебру Менгера. Для ваших целей удобнее определение 1., 78
П р и м е р 4. Совокупность Ж (X) всех замкнутых многозначных ото
бражений X X для произвольного топологического пространства X о б разует унитарную одноместную алгебру Менгера (полугруппу с единицей) относительно композиции отображений.
Гомоморфизмы и подалгебры алгебр Менгера понимаются, как обычно в теории алгебраических систем.
Из условия (U) следует, что если алгебра обладает полным набором се
лекторов, то последние определены однозначно. Элемент F ЕЕ < М , ср> назы
вается левым нулем, если ср (F, F±, . . Fn) = F для любых Ft, . . ., Fn из
<М, Ф>.
1. Пусть 3 ~ категория топологических пространств и непрерывных замкнутых сюръективных отображений, Ж — категория всех одноместных ал
гебр Менгера (полугрупп) и их гомоморфизмов.
Т е о р е м а 1.1. Существует кофунктор из категории 3 в категорию 9R, сопоставляющий каждому пространству X ЕЕ 3 алгебру Ж (X) его замк
нутых многозначных отображений в себя, а каждому морфизму из 3 — неко
торый морфизм соответствующих объектов категории 3R.
Действительно, пусть X и Y — произвольные объекты из ^, ф — мор
физм X на Y. Определим отображение F (ф) : Ж (Y) ->- Ж (ХУ формулой F (ф) (/) (х) = ф~1 о/°Ф (%)• Из условий на ф и / немедленно следует, что F (ф) (/) .действительно является элементом алгебры Ж (X), и легко проверяется, что
F (Ф) (g°f) (x) = F (Ф) (g) F (Ф) (/) (x),
F (г|)оФ) (g) ( * ) = ( ^ о ф Г ^ о ф о ф ( x ) = (Ф) [F (ф) ( g ) ] ( « ) ,
F (lx) (f) (x) = f (x).
2 . В литературе широко и подробно исследован вопрос об определимости топологического пространства X некоторой полугруппой отображений S (X) (см., например, [9—15]). Исследуем вопрос об определимости пространства X построенной на нем некоторой тг-местной алгеброй Менгера однозначных функций.
Пусть X, Y — множества, M (X), M (Y) — ^-местные алгебры отобра
жений над X и Y, F (X), F (Y) — подалгебры M (X) и M (Y), состоящие из постоянных отображений. Ясно, что если £(n> Œ M (X) — постоянное ото
бражение, то оно является левым нулем для любой алгебры Менгера M ( X ) . С другой стороны, если £( п ) есть левый нуль для M (X) и M (X) содержит некоторую константу v, то £( п ) — постоянное отображение.
Любое множество X можно считать реализованным как подмножество некоторой алгебры M (X) над X, если F (X) ( Z M (X). Для этого достаточно сопоставить каждой точке x Œ X константное отображение - Х^ —>
{ # } CZ X. Очевидно, это отображение является взаимнооднозначным. Этим фактом мы часто будем пользоваться ниже.
Л е м м а 2.1. Пусть X, Y — произвольные множества, M (X) ZD F (X), a M (Y) содержит хотя бы одну константу g&> ; I : М(Х) ->- M (Y) — эпи
морфизм. Тогда существует отображение : X -> Y, являющееся сюръектив- ным, если F (Y) CZ M ( У ) ; при этом существует отображение rj* : Y X, такое, что £ * о т ] * = 1у, а отображение £ имеет вио
£ (/) = |*
о/
о(л*)
п»
г^
е(ц*)п == rj* X ... Х Г | * . Если, кроме того, I — изоморфизм, то т)* = g*"1. О п р е д е л е н и е 2. Топологическое пространство X называется допу
стимым тогда и только тогда, когда семейство т ' = {f1 (x) \ xŒ X, f —
79
любое непрерывное о тображение X -> X) образует замкнутую базу X [10, 11, 15].
О п р е д е л е н и е 3. Топологическое пространство X называется 2- транзитивным, если для любой четверки (p, q, r, s) точек из X с р Ф q суще
ствует непрерывная функция^ : X -> X, такая, 4mof (р) = г, / (g) = s [10].
Т е о р е м а 2 . 1 . Пусть X — допустимое 2-транзитивное пространст
во, Y — допустимое пространство, содержащее более одной точки, M ( X ) , M (Y) — соответствующие алгебры Менгера непрерывных отображений и
g — эпиморфизм M (X) M (Y). Тогда пространства X и Y гомеоморфны, причем отображение £ может быть записано в виде
I (/) (У» •.. , Уп) = I* о f о ( i * "1 Ы , . . . I*-1 Ы ) (2) для любой функции f Œ M (X) и любого набора (уъ . . ., уп) Œ Y71,
a |*: X -> Y — указанный выше гомеоморфизм. Обратно, всякий гомеомор
физм пространств X и Y индуцирует по формуле (2) изоморфизм соответствующих алгебр Менгера непрерывных функций.
3 . Пусть X — топологическое пространство, M (X) — алгебра Менгера непрерывных отображений Хп ->- X. Рассмотрим вопрос о конгруэнциях на алгебре M (X). Очевидно, на алгебре M (X) имеются две тривиальные конгруэнции к0 и хь именно:
F == G ( х0) тогда и только тогда, когда F — G;
F = G (xi) для любых F, G.
Т е о р е м а 3.1. Если X есть либо отрезок I, либо обобщенный канторов дисконтинуум Dx, то на алгебре M (X) нет никаких иных конгруэнции, кроме х0 и X i .
Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность А . А . Мальцеву за постоянное внимание и поддержку в работе.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Menger К.\ Algebra of analysis. — Notre Dame Math. Lect., 1944, 3.
2. Menger K. Aximatic theory of functions and fluents: The axiomatic method/Ed. by L . Henkin et al. Amsterdam: North-Holland Publ. Co, 1959, p. 454—473.
3. Skala H. Irreducibly generated algebras.— Fund.j math., 1970, 67, N i p . 31—37.
4. Langer H. Commutative quasi-trivial superassiocictive systems.— Fund, math., 1980, 109, p. 79—88.
5. Dicker R. M. The substitutive law.— Proc. London Math. S o c , 1963, 13, p. 491—510.
6. Whitlock H. I. A composition algebra of multiplace functions.— Math. Ann., 1964, 157, p. 167-178.
7. Трохименко В. С. Абстрактные характеристики некоторых алгебр многоместных функций.—Изв.| вузов. Математика, 1971, 4, с. 87—95.
8. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М . : Наука, 1970.
9. Мальцев A.A. Полугруппы непрерывных функций. I . — В кн.: Тираспольский симпозиум по общей топологии. М . : Наука, 1965.
10. Мальцев A.A. Замечание об одной теореме Гаврилова.—Тр. ТашПИ, 1966, 37.
11. Мальцев A.A., Нурутдинов Б. С. Об итеративных алгебрах непрерывных функ
ций.— Мат. весн., 1975, 12 (27), с. 203—215.
12. Нурутдинов Б. С. Топологии пространств, описываемые полугруппами отображе
ний.— Вест. М Г У . Математика, механика, 1973, 4, с. 24—29.
13. Гаврилов М. О полугруппе непрерывных функций.— Годишн. Софийского ун-та.
Мат. факт., 1964, с. 377—380.
14. Magill К. D. Homomorphic images of certain semigroups of continuous functions.—
Math. J a p . , 1968, 13, N 2, p. 133—141.
15. Шнеперман Д. Б. Полугруппы непрерывных преобразований топологических прост
ранств.— Сиб.| мат. журн., 1965, 6, № 1, с. 221—229.
