Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. И. Эстеров, Индексы 1-форм, индексы пересечения и многогранники Ньютона, Матем. сб. , 2006, том 197, номер 7, 137–160
DOI: https://doi.org/10.4213/sm1145
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 07:14:52
УДК 515.164.322+514.172.45
А. И. Эстеров
Индексы 1-форм, индексы пересечения и многогранники Ньютона
В работе индексы пересечения аналитических множеств некоторого ти- па (результантных циклов) выражаются через многогранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что главные части функ- ций находятся в общем положении. Частными случаями результантных циклов являются полные пересечения и множества падения ранга мат- риц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств явля- ются индекс особенности векторного поля Пуанкаре–Хопфа и его обоб- щения на случай многообразий с особенностями – индекс набора ростков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения Гусейн-Заде–
Эбелинга и вычет Сувы набора ростков сечений векторного расслоения.
В качестве следствия получается также известная формула Кушниренко–
Ока для числа Милнора ростка отображения в терминах многогранников Ньютона компонент. Приведено также обобщение известных фактов о ра- венстве упомянутых инвариантов особенностей размерностям некоторых локальных колец.
Библиография: 17 названий.
§ 1. Введение
В настоящей работе индексы пересечения аналитических множеств некото- рого типа (результантные циклы, см. определение13) выражаются через много- гранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что глав- ные части функций находятся в общем положении. Частными случаями ре- зультантных циклов являются полные пересечения и множества падения ранга матриц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств являют- ся индекс особенности векторного поля Пуанкаре–Хопфа, индекс набора рост- ков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения Гусейн-Заде–
Эбелинга [1], [2] и вычет Сувы набора сечений расслоения в изолированной точке их линейной зависимости [3]. В качестве следствия получается известная формула для числа Милнора ростка отображения (в случае функции – [4], [5], в случае отображения – [6]). При этом в доказательствах используется только техника гладких торических многообразий, примененная к задачам о много- гранниках Ньютона А. Г. Хованским. Также в теореме 1приведено обобщение известных фактов о равенстве упомянутых инвариантов особенностей размер- ностям некоторых локальных колец [7], [1]–[3], [8], [9].
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-00762) и Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант № НШ- 1972.2003.1).
c А. И. Эстеров, 2006
Работа состоит из следующих частей. В § 2сформулированы следствия ос- новных результатов работы для некоторых известных инвариантов особенно- стей. В § 3определяется топологический аналог групп формальных алгебра- ических циклов многообразий над C, с помощью которого удобнее будет про- водить некоторые вычисления с индексами пересечений (подробности в [10]).
В § 4 приводятся некоторые необходимые для дальнейшего соотношения для смешанных объемов многогранников и определяется смешанный объем пар многогранников (определение 7 и лемма 3). В §§ 5, 6 вводятся необходимые обозначения и одновременно напоминаются в удобной нам форме и общности некоторые факты о многогранниках и торических многообразиях из работ Хо- ванского [11], [12] и Данилова [13].
В§ 7индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многооб- разиях вычисляются в терминах многогранников Ньютона (теорема3) методом деформации уравнений, подобным примененному Д. Н. Бернштейном в [14].
В § 8 определяются результантные циклы и объясняется их связь с индекса- ми Гусейн-Заде–Эбелинга. В § 9 индексы пересечения результантных циклов представляются как индексы пересечения дивизоров на некомпактных ториче- ских многообразиях (теорема 4). Применение к этому случаю теоремы 3 дает основные результаты работы – выражение в терминах многогранников Ньюто- на индекса пересечения результантных циклов (теорема 5) и индекса Гусейн- Заде–Эбелинга 1-формы на изолированной особенности полного пересечения (утверждение 6). Кроме того, строится торическое разрешение особенностей результантного цикла (теорема6).
Автор благодарен своему научному руководителю С. М. Гусейн-Заде за по- становку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе.
§ 2. Приложения
Через Cn обозначается n-мерное комплексное пространство с системой ко- ординат(x1, . . . , xn), Zn отождествляется с множеством мономов отx1, . . . , xn, Rn =Zn⊗R, Rn+– положительный октант. Для упрощения обозначений мы не будем различать векторное пространство Rn с естественной системой коорди- нат (z1, . . . , zn)и двойственное к нему. ДляI ⊂ {1, . . . , n} обозначим черезAI пересечение множества A⊂Rn с координатной плоскостью{zi= 0, i /∈I}.
В этом параграфе все вершины рассматриваемых в Rn многогранников со- держатся вZn. Опорную грань многогранникаN ⊂Rnотносительно ковектора γ ∈ Rn будем обозначать Nγ, пусть N(γ) – значение γ на точках этой грани,
∂N – объединение ограниченных граней многогранника (его диаграмма Нью- тона),N∗– множество примитивных ковекторов, опорных к ограниченным ги- перграням многогранника, Vol(·, . . . ,·) – смешанный объем многогранников, N1+N2– сумма Минковского многогранниковN1иN2(эти определения напо- минаются в § 4). Множество многочленов (соответственно множество ростков голоморфных функций) наCn со степенями мономов (разложения в степенной ряд) изN∩Znбудем обозначатьC[N](соответственноC{N}). Сумму тех моно- мов элемента f ∈C[N] (соответственноC{N}), которые соответствуют целым точкам множества A ⊂ Rn, обозначим f|A, многочлен f|∂N назовем главной частьюf (относительно многогранникаN).
Многогранником Ньютона ростка функции f: (Cn,0) → (C,0) называется минимальный многогранник N с областью определения опорной функции Rn+
такой, чтоf ∈C{N}. Для функцииf ∈C{N} с главной частью общего поло- жения многогранник Ньютона совпадает сN, поэтому результаты этой работы (например, следствия1–3) можно рассматривать как вычисление инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона определяющих их функций.
Следствие 1. Пустьvi∈C{Ni},i= 1, . . . , n,где Ni⊂Rn+ – многогранни- ки и множества Rn+\Ni ограничены. Тогда в случае общего положения глав- ных частей функций vi индекс векторного поля (v1, . . . , vn)в нуле корректно определен и равен
(n−1)! X
γ∈(N2+···+Nn)∗
N1(γ) Vol(N2γ, . . . , Nnγ),
а в случае произвольных главных частей индекс не меньше указанного вы- ражения (или не определен). Общее положение означает, что для любого ковектора γ ∈ Rn с положительными компонентами множество {v1|Nγ
1 =
· · ·=vn|Nnγ = 0} содержится в объединении координатных плоскостей.
Это частный случай утверждения3 (нужно в обозначениях утверждения 3 положить ∆i =Rn+, ∆ei = Ni, si =fi). Заметим, что отсюда следует форму- ла Кушниренко [4] для числа Милнора особой точки голоморфной функции f(x1, . . . , xn).
Напомним определения других инвариантов особенностей, которые в насто- ящей работе выражаются в терминах многогранников Ньютона.
Определение 1. Пустьwi,j,i= 1, . . . , Ij, – сечения ростка векторного рас- слоения ранга kj > Ij на ростке (Cn,0), j = 1, . . . , J, n = P
j(kj −Ij + 1), и только в нуле для каждого j набор wi,j, i = 1, . . . , Ij, линейно зависим.
Тогда, если зафиксировать тривиализации ростков расслоений, эти сечения wi,j = (w1i,j, . . . , wi,jk
j) определяют отображение сферы S2n−1 малого радиуса вокруг нуля в Cn в многообразие C
P
jIj×kj \Σ, где C
P
jIj×kj – пространство наборов матриц размеровIj×kj, а подмножествоΣсостоит из наборов вырож- денных матриц. Из соображений размерностиH2n−1 C
P
jIj×kj\Σ
=Z. Индексом Гусейн-Заде–Эбелинга набора сечений
(w1,1, . . . , wI1,1), . . . ,(w1,J, . . . , wIJ,J)
в начале координат назовем образ фундаментального цикла сферыS2n−1в го- мологиях H2n−1 C
P
jIj×kj\Σ .
Замечание 1. Если в обозначениях этого определенияI1= 1иw1,1=· · ·= wI1,1= 0– полное пересечение, то вместо отображения
(w1,1, . . . , wI1,1), . . . ,(w1,J, . . . , wIJ,J)
сферыS2n−1 в пространство наборов невырожденных матриц можно рассмат- ривать отображение
(w1,2, . . . , wI2,2), . . . ,(w1,J, . . . , wIJ,J)
зацепления особенности{w1,1=· · ·=wI1,1= 0}. Частным случаем приk1= 1, J = 2является вычет Сувы [3] набора сечений(w1,2, . . . , wI2,2)векторного рас- слоения на ростке полного пересеченияw1,1=· · ·=wI1,1= 0.
Еще один важный частный случай определения 1 – индекс Гусейн-Заде–
Эбелинга набора 1-форм на изолированной особенности полного пересечения (см. [2], в случае одной 1-формы – [1]).
Определение 2. Пустьf1, . . . , fk– ростки голоморфных функций на(Cn,0) и f1 = · · · = fk = 0 – изолированная особенность полного пересечения, т.е.
1-формыdf1, . . . , dfk линейно независимы в точках множества {f1=· · ·=fk = 0} \ {0}.
Пусть ωi,j, i= 1, . . . , Ij, j = 1, . . . , J, Ij 6n,P
j(n−Ij+ 1) =n−k, – ростки голоморфных 1-форм на(Cn,0)и для любой точкиx∈ {f1=· · ·=fk= 0}\{0}
найдется номер j такой, что ограничения ωi,j, i = 1, . . . , Ij, на {f1 = · · · = fk= 0}линейно независимы вx.
Индексом Гусейн-Заде–Эбелинга набора 1-форм ωi,j на изолированной осо- бенности полного пересечения f1 =· · · =fk = 0назовем индекс Гусейн-Заде–
Эбелинга набора сечений
(ω1,1, . . . , ωI1,1, df1, . . . , dfk), . . . ,(ω1,J, . . . , ωIJ,J, df1, . . . , dfk),(f1), . . . ,(fk) . Следующие формулы выражают индексы Гусейн-Заде–Эбелинга в терминах многогранников Ньютона.
Следствие 2. Пусть в обозначениях определения 1 wki,j ∈ C{Nkj}, где Nkj ⊂Rn+ – многогранники и множестваRn+\Nkj ограничены. Тогда в случае общего положения главных частей функцийwi,jk индекс Гусейн-Заде–Эбелинга набора сеченийwi,j в нуле корректно определен и равен
(n−1)! X
γ∈ P
j,kNkj∗
X
16s11<···<s1k
1−I1 +16k1 ...
16sJ1<···<sJkJ−IJ+16kJ
Ns11
1(γ) Vol((Ns11
2)γ, . . . ,(NsIJ kJ−IJ+1
)γ),
а в случае произвольных главных частей индекс не меньше указанного выра- жения.
Доказательство следует из леммы 10и п. 2) теоремы 5. Пункт 1) этой тео- ремы дает ответ более сложного вида в случае, когда многогранники Ньютона функцийwki,j зависят отi.
Для выражения индексов 1-форм в терминах многогранников Ньютона нуж- ны следующие определения. Пусть N0 ⊂ Rn+ – целочисленный многогран- ник, обозначим через C⊗T∗{N0} множество ростков 1-форм ω = Pn
i=1ωidxi
на (Cn,0) таких, что ωixi ∈ C{N0}. Для множества A ⊂ N0 и 1-формы ω = Pn
i=1ωidxi ∈C⊗T∗{N0} определим 1-форму ω|A = Pn
i=1(ω|A)idxi равен- ствами (ω|A)ixi= (ωixi)|A.
Определение 3. Главной частью 1-формы ω ∈ C⊗T∗{N0} относитель- но N0 называется1-форма с полиномиальными компонентами
ω|∂N0∈C⊗T∗[∂N0]
(∂N0– объединение ограниченных граней многогранникаN0). Многогранником Ньютона ростка 1-формы ω ∈ C⊗T∗{Rn+} на (Cn,0) назовем минимальный многогранник N00 с областью определения опорной функции Rn+ такой, что ω∈C⊗T∗{N00}.
Замечание 2. Очевидно, что для любого многогранникаN0⊂Rn+ диффе- ренциал ростка функции изC{N0}содержится вC⊗T∗{N0}, т.е. многогранник Ньютона функции равен многограннику Ньютона ее дифференциала. Кроме того, многогранник Ньютона 1-формы сохраняется при мономиальных отобра- жениях (многогранник Ньютона обратного образа 1-формы при мономиальном отображении равен образу многогранника Ньютона 1-формы при соответству- ющем линейном отображении).
Определение 4. Пусть N, N1, . . . , Nk ⊂ Rn+ – целочисленные многогран- ники с областью определения опорной функции Rn+. Набор, состоящий из 1-формыω∈C⊗T∗{N}иkфункцийfi∈C{Ni},i= 1, . . . , k, на(Cn,0), назовем набором с невырожденными главными частями, если для любого ковектора γ ∈ Rn с положительными компонентами нуль является неособым значением отображения (f1|Nγ
1, . . . , fk|Nγ
k) : (C\ {0})n →Ck и ограничение 1-формыω|Nγ
на{f1|Nγ
1 =· · ·=fk|Nγ
k = 0} ∩(C\ {0})n не имеет нулей.
Очевидно, выполнение этого условия действительно зависит только от глав- ных частейω,f1, . . . , fk.
Чтобы выразить индекс Гусейн-Заде–Эбелинга 1-формы на изолированной особенности полного пересечения в терминах многогранников Ньютона компо- нент 1-формы и уравнений полного пересечения, нужны следующие обозначе- ния. Для многогранников N0, . . . , Nk⊂Rm+ определим линейную функцию
VolN0,...,Nk:R[[s0, . . . , sk]]→R равенствами VolN0,...,NkQm
j=1sij = Vol(Ni1, . . . , Nim)иVolN0,...,Nk = 0на моно- мах степени, отличной от m. Обозначим черезreseg(N0, . . . , Nk)сумму
X
γ∈(N0+···+Nk)∗
(m−1)!Nk(γ) VolNγ
0,...,Nkγ
s1· · ·sk−1
(s0+ 1)· · ·(sk+ 1)
, а черезµ0(N0, . . . , Nk)– сумму
X
γ∈(N0+···+Nk)∗
(m−1)!Nk(γ) VolNγ
0,...,Nkγ
s0· · ·sk−1 (s0+ 1)· · ·(sk+ 1)
.
Следствие 3. Пусть fi ∈ C{Ni}, ω ∈ C⊗T∗{N0}, где Ni ∈ Rn+ – много- гранники и множестваRn+\Ni,i= 0, . . . , k,ограничены. Тогда в случае невы- рожденности (определение4)главных частей функцийfiи 1-формыωиндекс Гусейн-Заде–Эбелинга ω на полном пересеченииf1 =· · · =fk = 0 в нуле кор- ректно определен и равен
(−1)n−k X
I⊂{1,...,n}, I6=∅
reseg(N0I, . . . , NkI),
а в случае произвольных главных частей индекс не меньше указанного выра- жения. Также в случае невырожденности главных частей радиальный индекс
Гусейн-Заде–Эбелинга 1-формы ω на f1 = · · · = fk = 0 в нуле (определение в [15])существует и равен
(−1)n−k−1 X
I⊂{1,...,n}, I6=∅
µ0(N0I, . . . , NkI) + (−1)n−k.
Первая часть следствия 3 – частный случай утверждения6 (там дан ответ более сложного вида для 1-формы c произвольными многогранниками Ньюто- на компонент; в данном случае этот ответ упрощается с помощью леммы 2).
Вторая часть следует из первой индукцией по k ввиду того, что индексω на f1=· · ·=fk = 0равен сумме радиальных индексовωнаf1=· · ·=fk = 0иdfk
на f1 =· · ·=fk−1 = 0. Частным случаем второй части следствия3 является формула Ока [6] для числа Милнора изолированной особенности полного пе- ресечения, так как радиальный индекс дифференциалаdg наf1=· · ·=fk= 0 равен числу Милнора отображения (f1, . . . , fk, g).
Все упомянутые инварианты особенностей можно выразить как размерности некоторых локальных колец (индекс Пуанкаре–Хопфа [7], индекс Гусейн-Заде–
Эбелинга [1], [2], вычет Сувы [3], число Милнора отображения [8], [9]). Обобще- нием этих фактов является следующая теорема, выражающая в этих терминах индекс Гусейн-Заде–Эбелинга набора сечений ростков векторных расслоений.
Пустьwi,j, i= 1, . . . , Ij, – сечения ростка векторного расслоения ранга kj >Ij на ростке (Cn,0),j = 1, . . . , J,n=P
j(kj−Ij+ 1). Тогда, если зафиксировать тривиализации ростков расслоений, эти сечения wi,j = (w1i,j, . . . , wi,jk
j) опреде- ляют ростки матриц(w··,j),j= 1, . . . , J, с голоморфными коэффициентами на (Cn,0).
Теорема 1. Индекс Гусейн-Заде–Эбелинга набора сечений (w1,1, . . . , wI1,1), . . . ,(w1,J, . . . , wIJ,J)
ростков векторных расслоений рангов kj на (Cn,0) равен размерности коль- ца O(Cn,0)/I, где O(Cn,0) – кольцо ростков голоморфных функций на (Cn,0), а I – идеал,порожденный всеми максимальными минорами матриц (w··,j), j = 1, . . . , J.Равенство также подразумевает,что левая и правая части кор- ректно определены одновременно(в частности,только приn=P
j(kj−Ij+1)).
Доказательство. Рассмотрим набор матриц (w··,j), j = 1, . . . , J, с голо- морфными коэффициентами как росток отображенияW из(Cn,0)в простран- ство наборов матрицC
P
jIj×kj. Искомый индекс равен индексу пересечения об- разаW и множества наборов вырожденных матрицΣв пространствеC
P
jIj×kj. Этот индекс пересечения равен индексу пересечения графикаW и множества Cn×Σв пространствеCn⊕C
P
jIj×kj. График – росток гладкого многообразия, а Cn×Σявляется пространством Коэна–Маколея (как произведение детерми- нантных многообразий, которые являются пространствами Коэна–Маколея [16;
теорема 3.1]). Поэтому индекс их пересечения равен размерности тензорного произведения их локальных колец [10; гл. 7].
Интересно было бы получить следствие 2 методами работы [4], используя выражение индекса Гусейн-Заде–Эбелинга через размерность локальной ал- гебры.
§ 3. Индексы пересечения
Пусть M – гладкое ориентированное многообразие размерности m (может быть, некомпактное).
Определение 5. Топологическим циклом на M назовем пару α = (K, k), где K – замкнутое подмножествоM, k ∈ Hj(K∗,∗;Z) = Hm−j(M, M \K;Z) (пара(K∗,∗)– одноточечная компактификацияKпо модулю добавленной точ- ки). Для цикла α введем обозначения: dimα = j (размерность α), |α| = K (носитель α),α~ =k.
Определим сложение “+” и пересечение (умножение) “∩” циклов по правилу
|α+β|=|α| ∪ |β|, −−−→
α+β =~α+β,~
|α∩β|=|α| ∩ |β|, −−−→
α∩β =~α ^ ~β.
Обозначим через C(M) =Lm
j=0Cj(M)и Cc(M) =Lm
j=0Cjc(M) градуирован- ное полукольцо топологических циклов на M и идеал циклов с компактны- ми носителями (градуировка – размерность циклов, нуль – O = (∅,0), еди- ница – I = (M,[M])). Отображению гладких ориентированных многообра- зий f: M → N соответствуют естественные отображения f∗: C(N)→ C(M), f∗:Cc(M)→Cc(N)(еслиf собственное, тоf∗:C(M)→C(N)).
Если многообразие M комплексное, то j-мерному комплексно аналитиче- скому множеству X ⊂ M соответствует цикл (X,[X]) ∈ C2j(M), где [X] ∈ H2j(X∗,SingX ∪ ∗;Z) = H2j(X∗,∗;Z), который будем также обозначать [X].
Для сечения s: M → E векторного расслоения E → M через [s] обозначим цикл [Ims]∩[ImM0]⊂C(M)⊂C(E), гдеM0 – нулевое сечение (это локализа- ция класса Эйлера).
Определение 6. Назовем индексоми обозначим черезindотображение pt∗:Cc(M)→Cc(∗) =Z,
где pt :M → ∗– отображение в точку.
Для росткаm-мерного расслоения на(Cm,0)и ростка его сеченияsс изоли- рованным нулем в нуле число ind[s]– индекс векторного поля s. Для ростков аналитических множеств A и B дополнительной размерности ind[A]∩[B] – индекс пересеченияAи B.
Аналогично можно определить относительные топологические циклы, рост- ки топологических циклов и действия над ними. Мы будем использовать этот топологический вариант теории пересечений вместо стандартного алгебро- геометрического (описанного, например, в [10]), чтобы избежать некоторых технических трудностей, связанных с необходимостью рассматривать на неком- пактных многообразиях несобственные пересечения (т.е. пересечения коразмер- ности, меньшей, чем сумма коразмерностей “множителей”).
§ 4. Многогранники и объемы Рациональный конус
Con(a1, . . . , am)⊂Rn,
порожденный набором a1, . . . , am ∈ Zn, – это множество {q1a1+· · ·+qmam | qi ∈R, qi >0}. Его грани – конусы, порожденные поднаборами. Простой ко- нус – это конус, порожденный частью целочисленного базиса. Веер – конечное множество конусов с вершиной такое, что
1) грань каждого конуса из веера также принадлежит вееру, 2) конусы пересекаются по общим граням.
Веер, состоящий из конусаCи всех его граней, будем обозначать черезFan(C), носитель веера Γ – через |Γ|, звезду конуса Σ∈Γ – черезStar Σ. Все упоми- нающиеся в дальнейшем веера предполагаются простыми (т.е. состоящими из простых конусов), если не оговорено обратное.
Выпуклый многогранник в Rn – множество, заданное конечным количе- ством линейных неоднородных неравенств (и равенств). Все упоминающиеся в дальнейшем многогранники предполагаются выпуклыми и целочисленными (т.е. с вершинами в целых точках), если не оговорено обратное. Объедине- ние всех ограниченных граней многогранника ∆ называется его диаграммой и обозначается ∂∆. Сумма Минковского многогранников есть многогранник Σ1+ Σ2={x+y|x∈Σ1, y∈Σ2} ⊂Rn.
Опорной для ковектора γ∈(Rn)∗ называется максимальная граньΣγ (если такая существует) многогранника Σ, на которой γ принимает минимальное значение (как линейная функция наΣ). Множество примитивных ковекторов, опорных к ограниченным гиперграням многогранникаΣ, будем обозначатьΣ∗. Опорной функцией для многогранника Σназывается функция
Σ(·) : (Rn)∗→R∪ {−∞}, Σ(γ) = min
a∈Σγ(a).
Областью ее определения назовем множество точек, в которых ее значение конечно. Веер называется совместимым с данным многогранником, если и только если на каждом его конусе опорная функция линейна, а вне его но- сителя не определена. Назовем многогранники совместимыми, если области определения их опорных функций совпадают.
В пространствеRn есть выделенная форма объема, в которой объем единич- ного куба равен 1. Назовем еецелочисленным объемоми обозначим черезVn(A) целочисленный объем многогранника A. В каждом рациональном векторном подпространстве L ⊂ Rn определена форма объема, в которой параллелепи- пед, образованный базисом решетки Zn∩L⊂L, имеет единичный объем. Эту форму объема также будем называть целочисленным объемом. Смешанный объем – симметричная функция от n многогранников A1, . . . , An, инвариант- ная относительно их параллельных переносов и мультилинейная относительно суммы Минковского:
Vol(A1, . . . , An) = 1 n!
X
I⊂{1,...,n}
(−1)|I|Vn
X
i∈I
Ai
.
Если многогранники A1, . . . , Ak ⊂ Rn содержатся в параллельных k-мерных плоскостях, то также корректно определен Vol(A1, . . . , Ak).
Следующая теорема – основной пример связи алгебраической геометрии с геометрией целочисленных многогранников.
Теорема 2 [14],[11].ПустьA1, . . . , Ak ⊂Rn– ограниченные целочисленные многогранники, fi ∈ C[Ai] – многочлены Лорана с коэффициентами общего положения. Тогда {f1 =· · · =fk = 0} ⊂ (C\ {0})n – гладкое многообразие и его эйлерова характеристика равна
n! VolA1,...,Ak
s1· · ·sk (s1+ 1)· · ·(sk+ 1)
,
где линейная функцияVolA1,...,Ak: C[[s0, . . . , sk]]→Cопределяется равенства- ми VolA1,...,AkQn
j=1sij = Vol(Ai1, . . . , Ain)и VolA1,...,Ak = 0на мономах степе- ни,отличной отn. В частности,приk=nколичество точек в множестве {f1=· · ·=fn= 0} ⊂(C\ {0})n равноn! Vol(A1, . . . , An).
Доказательство приведено в [11]. Можно также доказать это утверждение приk=nодновременно со следствием4индукцией по размерности аналогич- но [14] элементарными методами.
Замечание 3. Под эйлеровой характеристикой в настоящей работе понима- ется аддитивная эйлерова характеристика – альтернированная сумма размер- ностей гомологий одноточечной компактификации по модулю бесконечности.
Дальше понадобятся следующие соотношения для смешанных объемов.
Лемма 1. ПустьL⊂Rn– рациональноеk-мерное векторное подпростран- ство,π:Rn→Rn/L– естественная проекция,
A1, . . . , Ak⊂L, B1, . . . , Bn−k⊂Rn – ограниченные многогранники,тогда
Vol(A1, . . . , Ak, B1, . . . , Bn−k)
= k! (n−k)!
n! Vol(A1, . . . , Ak) Vol(π(B1), . . . , π(Bn−k)).
Доказательство. Рассмотрим многочлены Лорана общего положения fi∈C[Ai], i= 1, . . . , k, gj∈C[Bj], j= 1, . . . , n−k.
В подходящей системе координат (z1, . . . , zn), полученной мономиальной заме- ной, многочлены fi зависят только от z1, . . . , zk. Множество {f1 =· · · =fk = g1=· · ·=gn−k = 0} состоит из точек вида(z1(0), . . . , zn(0)), где
(z1(0), . . . , zk(0))∈ {f1=· · ·=fk= 0}, (zk+1(0) , . . . , zn(0))∈
g1|z
1=z(0)1 ,...,zk=zk(0), . . . , gn−k|z
1=z1(0),...,zk=zk(0) .
Но по теореме 2 множество {f1 =· · · =fk =g1=· · ·=gn−k = 0} состоит из n! Vol(A1, . . . , Ak, B1, . . . , Bn−k) точек, множество {f1 =· · ·=fk = 0} состоит из k! Vol(A1, . . . , Ak) точек, а {g1|z
1=z(0)1 ,...,zk=z(0)k , . . . , gn−k|z
1=z1(0),...,zk=zk(0)} для любой точки (z1(0), . . . , zk(0))∈ {f1=· · ·=fk = 0} состоит из(n−k)! Vol(π(B1), . . . , π(Bn−k)) точек (так как π(Bj) – многогранник Ньютона многочлена gj|z
1=z1(0),...,zk=z(0)k ).
Лемма 2. ПустьA0, . . . , Ak ⊂Rn – ограниченные многогранники,A – вы- пуклая оболочка
A0×(0, . . . ,0)∪A1×(1,0, . . . ,0)∪ · · · ∪Ak×(0, . . . ,0,1)⊂Rn⊕Rk. Тогда
Vol(A0, . . . , Ad−1, A, . . . , A
| {z }
n+k−d
) = (−1)n−d n!
(n+k)!VolA0,...,Ak
s0· · ·sd−1 (s0+ 1)· · ·(sk+ 1)
, где линейная функцияVolA0,...,Ak: C[[s0, . . . , sk]]→Cопределяется равенства- ми VolA0,...,AkQn
j=1sij = Vol(Ai1, . . . , Ain)и VolA0,...,Ak = 0на мономах степе- ни,отличной отn.
Доказательство. Если d > n, то левая часть равенства вычисляется по лемме1 и утверждение очевидно. Выберем многочлены Лорана общего поло- женияg1∈C[A0], . . . , gd∈C[Ad−1],fi,j∈C[Ai],i= 0, . . . , k,j= 1, . . . , n+k−d, от переменныхz1, . . . , zn. Рассмотрим множество
M ={z|g1(z) =· · ·=gd(z) = 0, rk(fi,j(z))<max =k+ 1} ⊂(C\ {0})n. Так как многочлены Лорана в общем положении, то M состоит из конечного количества точек и в каждой его точке rk(fi,j) = k. Вычисляя rk(fi,j) по строкам и по столбцам, с помощью теоремы2получаем, что количество точек в M равно соответственно левой и правой части требуемого равенства.
1) Количество точекM равно количеству общих нулей многочленов Лорана g1, . . . , gd, f0,j+µ1f1,j+· · ·+µkfk,j ∈C[A],j = 1, . . . , n+k−d, от переменных z1, . . . , zn, µ1, . . . , µk, которое по теореме2 равно
(n+k)! Vol(Ak+1, . . . , Ak+d, A, . . . , A
| {z }
n+k−d
).
2) Обозначим черезN множество
{g1=· · ·=gd= 0, λ1fi,1+· · ·+λn+k−dfi,n+k−d= 0, i= 0, . . . , k}, содержащееся в {g1 = · · · = gd = 0} ×CPn+k−d−1, где (λ1 : . . . : λn+k−d) – однородные координаты в CPn+k−d−1, и рассмотрим естественную проекцию p:N → {g1 =· · ·=gd = 0}. Если x∈M ⊂ {g1 =· · ·=gd = 0}, тоp(−1)(x) = CPn−d−1, а если x∈ {g1 =· · ·=gd = 0} \M, то p(−1)(x) =CPn−d−2, поэтому количество точек в M равно χ(N)−(n−d−1)χ{g1 = · · · = gd = 0}, где χ – эйлерова характеристика. С помощью теоремы 2 с учетом аддитивности эйлеровой характеристики легко получить, что эйлерова характеристика N равна
(−1)n−dn! VolA0,...,Ak
s0· · ·sd−1
(s0+ 1)· · ·(sk+ 1)
+ (n−d−1)n! VolA0,...,Ak
s0· · ·sd−1 (s0+ 1)· · ·(sd−1+ 1)
, поэтому количество точек вM равно
(−1)n−dn! VolA0,...,Ak
s0· · ·sd−1 (s0+ 1)· · ·(sk+ 1)
.
Далее понадобится следующий “относительный” вариант многогранников, объема и смешанного объема.
Определение 7. Парой многогранников (∆,∆)e назовем такие многогран- ники ∆e ⊂∆ ⊂Rn, что множество∆\∆e ограничено. Объемом Vn(∆,∆)e пары (∆,∆)e назовем объем множества∆\∆.e
Пусть∆ei ⊂∆i ⊂Rn,i= 1, . . . , n, – пары многогранников с областью опре- деления опорных функций Γ, не лежащей в гиперплоскости. Определим сме- шанный объем пар многогранников(∆i,∆ei)формулой
VolΓ ∆1,∆e1;. . .; ∆n,∆en
= 1 n
X
γ∈(P
i∆i+∆ei)∗ n
X
k=1
(∆ek(γ)−∆k(γ))
×Vol (∆1)γ, . . . ,(∆k−1)γ,(∆ek+1)γ, . . . ,(∆en)γ .
Суммой пар многогранников(∆1,∆e1),(∆2,∆e2)назовем пару(∆1+∆2,∆e1+∆e2).
Смешанный объем пар многогранников удовлетворяет естественным свой- ствам, например:
Лемма 3. 1) Смешанный объем пар линеен по каждому из аргументов.
2) Смешанный объем пар симметричен по всем аргументам.
3) Смешанный объемn экземпляров одной и той же пары равен ее объему.
4) Смешанный объем пар – поляризация объема пары (как функции на по- лугруппе пар многогранников):
VolΓ(∆1,∆e1;. . .; ∆n,∆en) = 1 n!
X
I⊂{1,...,n}
(−1)|I|Vn
X
i∈I
(∆i,∆ei)
.
5) Выполняется равенство
VolΓ(∆1,∆01;. . .; ∆n,∆0n)+VolΓ(∆01,∆001;. . .; ∆0n,∆00n) = VolΓ(∆1,∆001;. . .; ∆n,∆00n).
6) ПустьH – такое полупространство, что все множества ∆i\H огра- ничены и содержат ∆i\∆ei (такоеH всегда существует). Тогда
VolΓ(∆1,∆e1;. . .; ∆n,∆en) = Vol(∆1\H, . . . ,∆n\H)−Vol(∆e1\H, . . . ,∆en\H), где в правой части стоят смешанные объемы выпуклых многогранников.
В частности,если все∆i ограничены,то
Vol(Rn)∗(∆1,∆e1;. . .; ∆n,∆en) = Vol(∆1, . . . ,∆n)−Vol(∆e1, . . . ,∆en).
Доказательство можно провести прямым вычислением (довольно длин- ным для п. 2)), но связь с торическими многообразиями позволяет его упро- стить. Пункты 1) и 2) следуют из теоремы 3 и свойств индекса пересечения (линейности и симметричности). Пункт 3) очевиден из определений. Пункт 4) следует из первых трех по определению поляризации – нужно согласно 3) под- ставить в определение поляризации смешанные объемы вместо объемов, рас- крыть скобки в соответствии с 1) и привести слагаемые с учетом 2). Пункт 5)
следует из 4) и из аддитивности объема. Пункт 6) следует из 5) при ∆0i =∆ei,
∆00i = ∆i∩H =∆ei∩H и того факта, что согласно 4) смешанный объем пар (∆0i,∆00i)равен смешанному объему многогранников ∆0i\∆00i, если∆0i\∆00i вы- пуклые.
В частности, получаем известный способ вычислять обычный смешанный объем индукцией по размерности.
Следствие 4. Пусть∆i⊂Rn,i= 1, . . . , n,– ограниченные многогранники,
∗ ∈∆1. Тогда
Vol(∆1, . . . ,∆n) = 1 n
X
γ∈(∆2+···+∆n)∗
((γ,∗)−∆1(γ)) Vol(∆γ2, . . . ,∆γn).
§ 5. Гладкие торические многообразия
По каждому простому вееруΓ в Rn можно построить n-мерное гладкое то- рическое многообразиеTΓ (конструкция и ее свойства описаны в [13]). Орбиту, соответствующую конусу Σ ∈ Γ, будем обозначать T{Σ}. Для простого вее- ра Γ в Rn целочисленные функции на|Γ| ∩Zn, ограничение которых на каж- дый конус линейно, образуют группу по сложению, и фактор этой группы по подгруппе линейных функций естественно изоморфен PicTΓ (доказательство в [13]). Выбор линейной функцииφ из класса, соответствующего данному ли- нейному расслоениюI, соответствует выбору тривиализации на большом торе Γ(Tn,I) → Γ(Tn,O) = C[t1, . . . , tn, t−11 , . . . , t−1n ] (такая тривиализация всегда существует, так как PicTn = 0). Через Γ(M,I) здесь и далее обозначается группа глобальных алгебраических (аналитических) сечений расслоенияI.
Если носитель веера Γ выпуклый, а функция φ выпукла вверх (и, следо- вательно, является опорной функцией некоторого многогранника), то I по- рождается глобальными сечениями и его сечение с замыкания любой орбиты многообразияTΓпродолжается до глобального. В этом случае группа сечений описывается следующим образом.
Для целочисленного многогранника∆⊂Rnобозначим через C[∆]аддитив- ную подгруппу группового кольца C[Zn], порожденную целыми точками ∆.
Пусть Γ – совместимый с ∆ простой веер в (Rn)∗ (имеющий выпуклый но- ситель), TΓ – соответствующее гладкое торическое многообразие, I∆ – соот- ветствующее (выпуклой вверх) опорной функции многогранника ∆ линейное расслоение на TΓ с фиксированной тривиализацией ограничения на большой тор. Тогда группа глобальных сечений I∆естественно изоморфнаC[∆]. Этот естественный изоморфизм также обозначим черезI∆:C[∆]→Γ(TΓ,I∆).
Утверждение 1. Пусть∆i⊂Rn,i= 1, . . . , n,– целочисленные многогран- ники,Γ в(Rn)∗ – совместимый с ними простой веер,si∈I∆iC[∆i]– сечения расслоений на TΓ,соответствующих∆i. Тогда ind[s1]∩ · · · ∩[sn] не зависит от выбора Γ.
Далее индексы пересечений такого вида будут использоваться без указания торического многообразия, на котором рассматриваются линейные расслоения.
У рассмотренных полиномиальных объектов есть аналитические аналоги.
Максимальное компактное объединение орбит торического многообразия TΓ назовемкомпактной частью TΓ и обозначим черезTΓc.
