А. Юран, Многогранники Ньютона невырожденных квад- ратичных форм, Функц. анализ и его прил., 2022, том 56, выпуск 2, 92–100

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Юран, Многогранники Ньютона невырожденных квад- ратичных форм, Функц. анализ и его прил., 2022, том 56, выпуск 2, 92–100

DOI: https://doi.org/10.4213/faa3957

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 07:27:55

2022, т. 56, вып. 2, с. 92–100

УДК 514.172.45, 517.554

Многогранники Ньютона

невырожденных квадратичных форм

○c 2022. A. Ю. Юран

Мы характеризуем многогранники Ньютона невырожденных квадратичных форм и морсовских особенностей.

DOI:https://doi.org/10.4213/faa3957

§ 1. Введение

Со всяким многочленом Лорана или аналитической функцией связан много- гранник Ньютона, определяемый следующим образом.

Определение 1. Пустьf =P

k∈Zⁿakz^k— многочлен Лорана отnкомплекс- ных переменных, где z^k =z^k₁¹· · ·z^k_nⁿ. Многогранник Ньютона многочленаf — это выпуклая оболочкаN(f) = conv{k∈Zⁿ|a_k ̸= 0} ⊂Rⁿ.

Пусть f = P

k∈Zⁿ+akz^k — аналитическая функция, определенная в окрест- ности нуля. Локальный многогранник Ньютона функции f определяется как conv{k+l ∈ Rⁿ | k ∈ Zⁿ, ak ̸= 0, l ∈ Rⁿ_⩾0}. Для него мы используем то же обозначениеN(f).

Определение 2. Пространство всех многочленов из C[z1, . . . , zn], много- гранники Ньютона которых содержатся в многограннике M ⊂ Rⁿ, обознача- ется черезC^M.

Многогранник НьютонаN(f)несет в себе ценную информацию о функцииf (классический результат на эту тему — теорема Кушниренко [3], см. теорему 5 далее). Эта статья посвящена такому естественному вопросу: как выглядят мно- гогранники Ньютона невырожденных квадратичных форм и морсовских осо- бенностей?

Определение 3. ЧерезA_i обозначим точку из Rⁿ,i-я координата которой равна2, а остальные равны0. Выпуклую оболочку всех точекAiмы обозначим через2∆.

Всякую целую точку из2∆можно выразить какA_ij =A_ji= (A_i+A_j)/2.

ПустьO= (2/n, . . . ,2/n)— центр масс множества2∆.

Мы доказываем следующие утверждения:

1. Пусть целочисленный многогранник M содержится в 2∆. Ясно, что про- странство C^M состоит из квадратичных форм.

Если точка O принадлежитM, общая квадратичная формаB изC^M невы- рожденна. В противном случае любая квадратичная формаB∈C^M вырожден- на.

1Работа выполнена при поддержке Международной лаборатории кластерной геометрии НИУ ВШЭ, грант Правительства РФ, договор №075-15-2021-608 от 08.06.2021.

A. Ю. Юран 93

2. Пусть M — локальный многогранник Ньютона аналитической в окрест- ности нуля функции f, для которой f(0) = 0 и df(0) = 0. Если O /∈ M, то особенность функции f в нуле не морсовская. Если O ∈ M, функция общего положения с локальным многогранником Ньютона M имеет морсовскую осо- бенность.

Замечание. Глубокие результаты А. Н. Варченко об осциллирующих инте- гралах доказывают второе утверждение в одну сторону, а именно: если осо- бенность функцииf морсовская, то точкаO лежит в многограннике Ньютона.

Результаты Варченко позволяют связать некоторый инвариант особенности f (так называемый комплексный показатель осцилляцииI, см. [1, §35.1.Д]) с уда- ленностьюRмногогранника Ньютона (т. е. наименьшим числомr, для которого точка(−1/r, . . . ,−1/r)лежит в многограннике). Так как комплексный показа- тель осцилляции принимает значение −n/2 только у морсовских особенностей (см. [1, следствие в §35.3.В]), а удаленность достигает минимального возмож- ного значения только для многогранников Ньютона, содержащих O, из нера- венства I⩾R (см. [1, §35.1.Ж, теорема 2]) вытекает искомый результат. Наше доказательство значительно более элементарно и конструктивно (см. замечание к теореме 2).

Замечание. Задача о классификации многогранников Ньютона морсовских особенностей, в частности, возникла в связи с гипотезой о монодромии и была решена в размерностях до 4 перебором в [2, лемма 4.9].

Структура статьи. Мы описываем многогранники Ньютона невырожден- ных квадратичных форм в теореме1(разд.2.1) и теореме2(разд.2.2–2.3). Мно- гогранники Ньютона невырожденных особенностей описаны в теореме4 (§3).

Доказательство теоремы 2 состоит из двух шагов. На первом шаге мы кон- струируем зигзаг, состоящий из нулевых элементов в матрицах форм, принад- лежащихC^M; на втором доказываем, что такого зигзага достаточно для невы- рожденности общей квадратичной формы. Оба шага мы делаем в разд. 2.2.

Иной способ осуществить первый шаг мы описываем в разд. 2.3.

Благодарность. Эта статья написана под научным руководством А. И. Эс- терова.

§ 2. Основные теоремы

2.1. Многогранники Ньютона невырожденных квадратичных форм.

Теорема 1. Если квадратичная форма B невырожденна,точка O принад- лежит N(B).

Доказательство. Если B невырожденна, ее определитель ненулевой:

detB= X

σ∈Sn

sign(σ)B_1,σ(1)· · ·B_n,σ(n)̸= 0.

Значит, B_1,σ(1)· · ·B_n,σ(n)̸= 0 для некоторой перестановки σ ∈S_n. Следова- тельно, всякая точка A_i,σ(i)принадлежит N(B). Теперь легко выразить точку

O как выпуклую комбинацию точек из N(B)следующим образом:

n

X

i=1

1

n·A_i,σ(i)= 1 2n

n

X

i=1

(Ai+A_σ(i)) = 1 n

n

X

i=1

Ai=O. □

2.2. Квадратичные формы с данным многогранником Ньютона.

Теорема 2. Пусть целочисленный многогранник M ⊂2∆ содержит точ- ку O.Тогда общая квадратичная форма B ∈C^M (т.е.формаB,для которой N(B)⊂M)невырожденна.

Замечание. Первое наше доказательство дает способ найти зигзаг нену- левых элементов матрицы B при условии, что O ∈ N(B). Второе позволяет построить гиперплоскость, отделяющую O от N(B), по достаточно большому прямоугольнику нулевых элементов матрицы B (с точностью до перестановки строк и столбцов).

Начнем доказательство теоремы 2со следующего определения.

Для всякого целочисленного многогранника M ⊂ 2∆ определим матрицу- трафарет B(Me ) ∈ Matn({0,1}), элемент Beij которой равен 1, если и только еслиA_ij∈M.

Замечание. Ясно, что по трафаретуB(Me )можно восстановить многогран- ник M. Для всякого M ⊂ 2∆ пространство C^M состоит ровно из тех квадра- тичных форм B, для которых матричные элементы Bij равны 0 при условии, что B(Me )_ij= 0.

Определение 4. Целочисленный многогранник M ⊂ 2∆ назовем мини- мальным, если он содержит точку O и всякий целочисленный многогранник M^′⊂M, содержащийO, совпадает сM.

Докажем несколько лемм. В первых четырех из них мы предполагаем, что M — минимальный многогранник, а также чтоM∩Zⁿ ={C1, . . . , Ck}.

Лемма 1. В трафаретеB(Me )нет строк,состоящих из нулей.

Доказательство. Если i-я строка состоит из нулей, тоi-я координата вся- кой точки из M равна нулю, ноi-я координата точкиO не равна0.

Лемма 2. МногогранникM содержит не более одной из точек A₁, . . . , A_n. Другими словами,на диагонали трафаретаB(Me )не более одной единицы.

Доказательство. Допустим, что C1 =A1 и C2 =A2. ТочкуO ∈ M мож- но выразить как выпуклую комбинацию точек {Ci} следующим образом: O = α1A1+α2A2+Pk

i=3αiCi, где α1+· · ·+αk = 1. Не нарушая общности, пред- положим, что α1 ⩽ α2. Но тогда O = 2α1A1,2 + (α2 −α1)A2 +Pk

i=3αiCi, так как A1 +A2 = 2A1,2. Поэтому найдется меньший многогранник M^′ = conv{A_1,2, A₂;C₃, . . . , C_k} ⊊ M, содержащий O, что противоречит минималь-

ности многогранникаM. □

Лемма 3. M — симплекс (возможно,не максимальной размерности),со- держащий не более nцелых точек, а трафаретB(Me ) содержит не более 2n единиц.

A. Ю. Юран 95

Доказательство. Утверждение леммы следует из теоремы Каратеодори, утверждающей, что если выпуклая оболочка некоторого множества K ⊂Rⁿ⁻¹ содержит точку P, найдется подмножество K^′ ⊂K мощности не более n, для которого convK^′ — симплекс, содержащий точкуP.

Действительно, M лежит в (n−1)-мерном подпространстве пространства Rⁿ, содержащем2∆. БеряM∩Zⁿв качествеKиO в качествеP, мы получаем многогранник M^′ ⊂M, содержащийO и имеющий не болееnвершин. Значит, M^′=M, посколькуM минимален.

Теперь нам достаточно проверить, что все целые точки из M являются его вершинами. Есть всего два способа представить точку Aij как выпуклую ком- бинацию целых точек из 2∆, а именно,Aij = 1·Aij и Aij = ¹₂Ai+¹₂Aj. Так, пустьA_ij ∈M. Тогда либоA_ij — вершина многогранникаM, либо обе точкиA_i и Aj — вершины этого многогранника. Второй вариант противоречит лемме 2.

Это завершает доказательство. □

Определение 5. Назовем вершинуAijмногогранникаM ⊂2∆особой, если Ail∈/ M для всякогоl̸=j.

Вообще говоря, следует проверить корректность этого определения, так как A_ij=A_ji. В следующей лемме мы проводим эту проверку.

Лемма 4. Пусть вершина Aij многогранникаM особа.Тогда Alj ∈/ M для всякого l̸=j.

Доказательство. Если i=j, доказывать нечего, ведьAij =Aji.

Предположим, что i ̸=j. Точку O ∈ M можно представить как выпуклую комбинацию вершин изM (и, возможно, точек A_lj для несколькихl):

O=

n

X

l=1

α_lA_lj+

k^′

X

l=n+1

α_lC_l.

Здесь Cl — вершины многогранника M, i-я иj-я координаты которых рав- ны0. Коэффициентыαl неотрицательны для всякогоl по определению выпук- лой комбинации.

Подсчитаем i-ю координату точкиO:

2

n= (O)i=αi·(Aij)i+ X

l∈{1,...,n}

l̸=i

αl·(Alj)i+

k^′

X

l=n+1

αl·(Cl)i=αi·1.

Теперь подсчитаемj-ю:

2

n= (O)j= (αi·1) +

αj+ X

l∈{1,...,n}

l̸=i

αl·1

+ (0) = 2 n+

αj+ X

l∈{1,...,n}

l̸=i

αl

.

Используя неотрицательность α_l, мы получаем, что α_l = 0для всякого l ∈ {1, . . . , n} \ {i}. Имеем

O=α_iA_ij+

k^′

X

l=n+1

α_lC_l.

Мы видим, что Alj ∈/ M для всякого l ̸= i, так как M минимален. Это

эквивалентно утверждению леммы. □

Лемма 5. Пусть произвольный многогранник M ⊂ 2∆ с вершинами C1, . . . , C_k содержит особую вершину C_k=A_ij.

Пусть 2∆^′ = 2∆∩ {xi = 0} ∩ {xj = 0} и M^′ = conv{C1, . . . , C_k−1}. Тогда M^′⊂2∆^′.Кроме того,многогранник M является минимальным в симплексе 2∆тогда и только тогда,когда многогранникM^′ минимален в симплексе2∆^′. Доказательство. Будем считать, что i̸=j (случайi=j проверяется ана- логично).

Для начала заметим, чтоM является симплексом тогда и только тогда, когда M^′ — симплекс. Из леммы4 сразу следует, чтоM^′⊂2∆^′

ПустьM ⊂2∆— минимальный многогранник. Из леммы3вытекает, чтоM

— симплекс; поэтому точкуOможно представить в виде выпуклой комбинации точекC1, . . . , Ckединственным образом:O=Pk−1

l=1 αlCl+αkAij, гдеαl̸= 0для любогоl(еслиαl= 0,M не минимален). По лемме4 i-я иj-я координаты точки C_l равны 0 для всякогоl < k. Поэтому, подсчитываяi-ю координату точкиO, получаем 2/n= (O)i=αk; значит,Pk−1

l=1 αl= (n−2)/n.

ПустьO^′— центр масс множества2∆^′. Подсчетом всех аффинных координат точкиO^′ легко проверить, что

O^′=

k−1

X

l=1

n

n−2α_lC_l=

k−1

X

l=1

β_lC_l.

Это значит, что O^′ ∈ M^′. Если ни один коэффициент β_l не равен 0, точкаO^′ находится строго внутри симплекса M^′. ПоэтомуM^′ минимален.

Аналогично, если M^′ минимален, то O^′ = Pk−1

l=1 βlCl, откуда следует, что точкаO=Pk−1

l=1 n−2

n βlCl+_n²Aij лежит строго внутри симплексаM. □ Доказательство теоремы 2. Шаг 1. Предположим, что M ⊂2∆⊂Rⁿ — минимальный многогранник. Тогда найдется перестановка индексов σ₀ ∈ S_n, для которойBe(M)_1,σ0(1)=· · ·=B(Me )_n,σ0(n)= 1.

Докажем это индукцией по числу особых вершин многогранникаM.

База индукции. Пусть уM нет особых вершин. По лемме 1 в любой строке трафарета B(Me ) есть хоть одна единица. Однако если i-я строка трафарета содержит ровно одну единицуB(Me )ij, вершинаAij ∈M особа. Значит, в каж- дой строке не менее двух единиц, а всего в трафарете не более 2n единиц.

Поэтому всякая строка (и столбец) матрицы B(Me )содержит ровно две едини- цы.

A. Ю. Юран 97

Рассмотрим граф G, вершинами которого являются пары (i, j), такие, что Be(M)ij = 1. Вершины (i1, j1)и (i2, j2) соединены ребром, если и только если i1=i2 (ребро вертикально) илиj1=j2(ребро горизонтально).

Степень любой вершины равна двум, поэтому граф распадается на несколько циклов. Ребра двух типов чередуются во всяком цикле, а значит, все циклы имеют четную длину. Следовательно, можно выбратьnпопарно несоединенных вершин.

Мы получили набор пар{(i1, j₁), . . . ,(i_n, j_n)}, где как числаi_l, так иj_lпопар- но различны. Перестановка σ(il) =jl искомая.

Шаг индукции. Допустим, что вершина Aij многогранника M особа. Тогда Be_ij=Be_ji= 1. Не ограничивая общности, предположим, что либо(i, j) = (n, n), либо(i, j) = (n, n−1). Тогда M^′ минимален и имеет на одну вершину меньше, чем M. (Тут мы воспользовались обозначениями леммы 5). Стирая i-е и j-е строки и столбцы матрицыBe(M), получаем трафарет B(Me ^′). По предположе- нию индукции найдется перестановкаσ^′∈S^min{i,j}−1, для которойB(Me )_i,σ′(i)= Be(M^′)i,σ^′(i)= 1.

Следующая перестановка — искомая:

σ0(n) :=







σ^′(n), n⩽min{i, j} −1, i, n=j,

j, n=i.

Шаг 2. Так какM содержит точкуO, найдется минимальный многогранник M^′ ⊂ M. Мы построили перестановку σ0, для которой B(Me )i,σ₀(i) = 1 для любогоi. Мы хотим проверить, что многочленdetBне является тождественным нулем наC^M. Рассмотрим разложение

detB= X

σ∈Sn

sign(σ)B^σ= X

σ∈Sn

sign(σ)B_1,σ(1)· · ·B_n,σ(n).

Для всякой пары перестановокσ₁,σ₂мы покажем, что если одночленB^σ2равен одночленуB^σ1, тоsign(σ1) = sign(σ2).

Представим множество{1, . . . , n}как объединение его подмножествE={i∈ {1, . . . , n} |σ₁(i) = σ₂(i)} и F ={1, . . . , n} \E. Так какB^σ1 =B^σ2, то наборы неупорядоченных пар {{i, σ1(i)} | i ∈ 1, . . . , n} и {{i, σ2(i)} | i ∈ 1, . . . , n} сов- падают. Для всякого i∈E выполняется условие {i, σ1(i)} ={i, σ2(i)}. Отсюда следует, что для всякого i ∈ F найдется отличный от i элемент j ∈ F, для которого {i, σ₁(i)} ={j, σ₂(j)}. Это значит, чтоσ₁(i) =j и σ₂(j) = i; поэтому σ2(σ1(i)) =i. Мы показали, чтоσ2=σ⁻¹₁ наF иσ2=σ1 наE. Положим

σ3(n) :=

(σ₂(n), n∈F, n, n∈E.

Очевидно, чтоσ2=σ1σ₃², откуда следует, чтоsignσ2= signσ1.

Это вычисление показывает, что коэффициент в многочлене detB при одно- члене B_1,σ0(1)· · ·B_n,σ0(n) ненулевой (его знак совпадает со знаком перестанов- киσ0). Стало быть, detB не является тождественным нулем наC^M.

Итак, общая квадратичная форма из пространстваC^M невырожденна, ведь подмногообразие вырожденных квадратичных форм {detB= 0} ⊂C^M не сов-

падает с C^M. □

2.3. Подход к теореме2с использованием теоремы Кёнига. Мы при- ведем доказательство теоремы2, не использующее минимальных многогранни- ков. Воспользуемся следующей теоремой Кёнига [4, теорема 1.1.1].

Теорема 3. ПустьB есть(n×n)-матрица,состоящая из нулей и единиц.

Следующие условия эквивалентны:

(1)существует перестановкаσ∈S_n,такая,чтоB_1,σ(1) =· · ·=B_n,σ(n)= 1;

(2)пусть для двух подмножеств I и J множества{1, . . . , n}

(Bij= 1) =⇒ (i∈I или j ∈J).

Тогда |I|+|J|⩾n.

Замечание. Эту теорему обычно формулируют в терминах двудольного графа G с матрицей смежности B. Первое условие означает, что размер наи- большего паросочетания ν(G) равен n, а второе — что размер вершинного покрытияτ(G)равенn.

Основное утверждение на шаге 1 в доказательстве теоремы2можно заменить следующим.

Версия шага 1.ПустьO∈M ⊂2∆;тогда найдется перестановка индексов σ∈Sn,такая,чтоB(Me )1,σ(1)=· · ·=B(Me )n,σ(n)= 1.

Доказательство. Нужно проверить свойство (1) для матрицы Be =B(Me ).

Для этого достаточно воспользоваться свойством (2).

ПустьIиJ — множества, описанные в свойстве (2). Предположим, что|I|+

|J|< n. Мы докажем, чтоO /∈M.

Рассмотрим полупространство Γ, заданное неравенством X

l∈I

xl+X

l∈J

xl⩾2. (∗)

Покажем, что M ⊂ Γ. Действительно, если A_ij — вершина многогранника M, то B(Me )ij =Be(M)ji = 1; поэтому из условия в свойстве (2) следует, что (i∈ I илиj ∈J)и (j ∈I или i∈J). Это эквивалентно тому, чтоi, j ∈I, или i, j ∈J, илиi ∈I∩J, илиj ∈I∩J. Тот факт, чтоAij ∈ Γ, легко проверить, подставляя координаты точкиAij в (∗) в каждом из четырех случаев. В первом из них первая сумма в (∗) не меньше 2, во втором — вторая сумма не меньше 2, а в последних двух — обе суммы не меньше1.

Заметим, что O /∈ Γ, ведь P

l∈JOl+P

l∈IOl = ²_n ·(|I|+|J|) < 2. Значит,

O /∈M. Мы пришли к противоречию. □

Шаг 2 остается тем же.

A. Ю. Юран 99

§ 3. Приложение к теории особенностей

Пусть f:Cⁿ →C— аналитическая функция. Предположим, что f(0) = 0 и df(0) = 0, т. е. f имеет особенность в точке 0. Следующая теорема — простое следствие доказанных выше результатов.

Теорема 4. ЕслиO /∈N(f),особенность в точке0аналитической функции f не морсовская.

Если многогранник Ньютона M ⊂Rⁿ_⩾0 содержит точкуO,общая функция f сdf(0) = 0 и сN(f)⊂M имеет морсовскую особенность в точке0.

Замечание. Более точно, условие общности гласит, что если B — общая квадратичная форма изC^M∩2∆, толюбаяфункция видаf =B(x) +o(x²)имеет морсовскую особенность.

Доказательство. Пусть f = B(x) +o(x²), где B — квадратичная форма.

Так какN(B) =N(f)∩2∆, тоO∈N(f)тогда и только тогда, когдаO∈N(B).

Поэтому если O /∈N(f), то0 = detB= Hess(f)и особенностьf не морсовская.

Здесь Hess(f)— определитель гессиана функцииf.

Если же O ∈ M, то detB ̸= 0 почти для любой квадратичной формы B ∈C^M∩2∆, т. е. почти для любой функции f с многогранником Ньютона M

выполняется неравенство Hess(f)̸= 0. □

Этот результат интересно изучить в контексте следующей теоремы:

Теорема 5 (Кушниренко [3]). Пустьf — общая аналитическая функцияn переменных с особенностью в нуле,причемf(0) = 0.ПоложимM =Rⁿ_⩾0\N(f).

Предположим, что M ограничено. Рассмотрим _nⁱ

множеств, являющих- ся пересечениями множества M и i-мерных координатных подпространств.

Обозначим сумму их i-мерных объемов черезVi.Тогда число Милнора особен- ности функции f можно найти по формуле µ(f) = n!·Vn−(n−1)!·Vn−1+

· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹V₁+ (−1)ⁿ.

Утверждение теоремы выполняется для любой функции f,такой,что ни для какой компактной грани Γ многогранникаN(f)не существует точекx∈ (C\ {0})ⁿ со свойствамиf^Γ(x) = 0 и df^Γ(x) = 0.Здесьf^Γ обозначает сумму всех одночленов из f,соответствующих целым точкам граниΓ.

Замечание 1. Можно предположить, что теорему 4 можно доказать, под- ставив µ = 1 в теореме Кушниренко. Впрочем, автору такое доказательство неизвестно и было бы интересно его получить. Оно может оказаться значитель- но сложнее, так как теорема Кушниренко не дает формулы для µ с положи- тельными коэффициентами.

Замечание 2. Утверждение теоремы 4 верно для всех функцийf, удовле- творяющих условиям общности теоремы Кушниренко.

Литература

[1] В. И. Арнольд, С. М. Гусейн-Заде, А. Н. Варченко,Особенности дифференциру- емых отображений, МЦНМО, М., 2009.

[2] A. Esterov, A. Lemahieu, K. Takeuchi, On the monodromy conjecture for non-degenerate hypersurfaces,arXiv: 1309.0630.

[3] A. G. Kouchnirenko,Poly`edres de Newton et nombres de Milnor, Invent. Math.,32:1 (1976), 1–31.

[4] M. D. Plummer, L. Lovasz,Matching Theory, North Holland, Amsterdam, 1986.

A. Ю. Юран

Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики», Москва, Россия E-mail:alexaniuran@gmail.com

Поступила в редакцию 25 октября 2021 г.

После доработки 25 октября 2021 г.

Принята к публикации 22 ноября 2021 г.