Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
L.S. Maergoiz, On types and related scales of growth of entire functions of several variables, Dokl. Akad.
Nauk SSSR , 1973, Volume 213, Number 5, 1025–1028
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 118.70.116.132
November 6, 2022, 10:27:41
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р
1973. Том 213, № 5
УДК 517.55 МАТЕМАТИКА
Л. С. МАЕРГОЙЗ
О ТИПАХ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ ШКАЛАХ РОСТА ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(Представлено академиком В. С. Владимировым 26 IV 1973)
Список обозначений: г=*(ги . . . , гп) и т. д., R+n={r^Rn: г*>0}, Д0 П= п
= {г€=Дп: п > 0 } ; xt+u= {xit+uu ..., xnt+un); (в, х) = 2 ад, rtx=
rn^ ) ; 1 И - ) £г<; Ф( 0 = с р ( ^ , ^ ) ; МДг) = т а х | / ( z ) | ; У/ (г) = l n+ Jlf, (г); W) (и) = l n+l n+ Л Г, ; det F = {(в, Ь ) &RnXRu. ue=Rn, b>V(u)} — надграфик V.
Ниже исследуются свойства «асимптотических цилиндров» надграфика квазивыпуклой функции Wf (и), где / ( z ) — ц е л а я функция в Сп, тг>1.
С этой точки зрения анализируются различные определения т и п о в це
лых функций многих переменных и связанные с ними шкалы роста; пред
лагаются качественно новые шкалы роста этих функций, связанные с оп
тимальным в определенном смысле способом исчерпания i ?+ n= { ( | z i | , . . . . . . , | zn| ) } , z^Cn. При 7 i = l для f(z) из класса 91I(Y) целых функций по
рядка ^ и нормального типа функция сравнения ехр (arv), где a — тип f(z), полностью определяет верхнюю асимптоту {(у, u)^R2; у=^и+\по}
функции Wf(и). Данная статья примыкает к работе автора (*), где подоб
ным образом исследовались п о р я д к и роста целых функций многих пе
ременных.
1°. Пусть 9Wn={/(z): 0 < l i m t ~l- Wf( t , . . . , t)<oo) — класс целых функ-
оо
ций в Сп, являющийся многомерным аналогом класса целых функций нор
мального порядка (*). Если /^ЗИП, то ее функция порядка рДв) =
= lim t'1 • Wf (ut) принадлежит к классу Y конечных в Rn функций, опи- санному в (4) . Рассмотрим класс Зйп(р) целых функций в Сп с заданной функцией порядков р е У. Представляются естественными следующие мно
гомерные аналоги класса Э1± :
9*Лр) = {/^2Кп(р): 0 < Й г г Г гр^ . 7/( Г ) < < х > } , X<=DP,
где £ )р= { и е Дп: р ( и ) > 0 } — совокупность «направлений» ненулевого по
рядка роста функций класса ЗЯп(р). Если тг=1, то р {и) = т а х {0, *угг} и 7 > 0 ; * i « ( p ) - * t ( T ) .
При x^R0n, особенно при я = ( 1 , . . . , 1), для функций класса Kn*(p) из
вестны многочисленные определения типов, связанные с различными спо
собами исчерпания R+n, среди которых весьма общим является следующее определение А. А. Гольдберга (2) . Пусть /Ог)еЗЯп(р); 93= {G} — класс замкнутых ограниченных полных логарифмически выпуклых (в.) областей в R+n С); x^R0n. Величину a,(G, х) = I i m Гр ( х )Л п М ( * ) , М(*) = тахМДс**)
t-+oo c e G
3 Доклады АН. т. 213. № 5 1025
назовем (G, я ) - т и п о м функции f(z) ((G, х) — порядок pG(x) =
= lim (In t)"1 In In M (t) не зависит от G: pG(x)=p(x), xe=R0n). Если, кроме того, р(ж) = 1 , то V элемент множества iV/((r, а:)={т^/?о": г(з/(т)=1}, где
i | )/( T ) = l i m r1- l n i 0F( O , (*) = max М Д ^ т Г1) (*спт„-')*»), назо- вем с и с т е м о й с о п р я ж е н н ы х (G, #) - т и п о в функции f(z).
О п р е д е л е н и е 1 (ср. (3) ) . Если # € = ДП\ { 0 } , р > 0 , то (ж, р) - п а р а б о л и ч е с к и м ф у н к ц и о н а л о м М и н к о в с к о г о м н о ж е с т в а A c=J?+ n назовем функцию в Д+ п со значениями в рА (г) = i n f { ар> 0 :
г ( а -1)х^ } .
С помощью этого определения можно охарактеризовать (G, х) -тип следующим образом (ср. (4) ) .
П р е д л о ж е н и е 1. Для гого чтобы число $>0 было типом <J/(G, х) данной функции f(z) из Шп(р), необходимо и достаточно, чтобы [5=
= lim ^ /W ' I P G W] " "1, где PG M — (я, о(х))-параболический функционал
IMI + CO
Минковского области G^$, x^R0n.
Если / е » „я( р ) , * е Д0 я, то 0 < O / ( G , я ) < ° о ; JV,(Gf х)ФФ, V G ^ S . Поэто
му определение (G, ж)-типов приводит к такой системе шкал роста функ
ций класса 9tn*(p) при xe=R0n; 0{G, х) = {ехр(т/?0(г)), г > 0 } . Понятие ж е сопряженных (G, х) -типов к дополнительной системе функций сравнения не приводит.
2°. Развивая определение (G, х) -типов и определение типа целой функ
ции по каждой переменной (4,5) , введем следующую характеристику роста.
О п р е д е л е н и е 2. Функцию аДг; х)= lim t~p(x\ Vf(btx) в R+n t-yoo. Ь-+Г
назовем ф у н к ц и е й т и п о в п о н а п р а в л е н и ю х ф у н к ц и и f(z) из 2Вп(р).
Отметим следующие свойства аДг; х) для / е $п х( р ) , x^Dp: 1) а/(г; х) = 0 / ( Пг; х) при x^R0n, где Пг= { с е Д+ п: с*<гг}
2) О п р е д е л е н и е 2'. Невертикальную прямую E={(xt+y,
^RnXR\ 111 <oo} назовем ^ - а с и м п т о т о й функции Ws (и), если НпГ[ ( я Я - у ) - ^ - 6 ] = 0 .
Очевидно, Ч=р(х), т. е. ^-асимптота параллельна лучу {(xt, p(x)t)^
^Rn+i, t>0} асимптотического (а.) конуса n ( W , ) = d e t p надграфика Wf О). Так как /е9 1п х( р ) , то Wf (и) обладает по крайней мере одной ^-асимп
тотой.
О п р е д е л е н и е 3. А с и м п т о т и ч е с к и м х - ц и л и н д р о м Jx(Wf) множества det Wf назовем множество det бх, где
8Х(и) = Шп~[ Wf (xt+u) -tp (х) ],
т. е. поверхность Jx(Wf) — огибающая ж-асимптот функции Wf(и).
Т е о р е м а 1. 0 / ( г ; х) — конечная непрерывная по г в R+n функция, причем Gf(r; х)>0 Vr*=R0n, и надграфик функции 1 п о Д еи; х) совпадает с выпуклым цилиндром Jx(Wf).
Т о о р е м а 2. Справедлива формула
п
Gf (г; х) = sup e~*(v) • Д г Д (1)
где у (у) — некоторая полунепрерывная снизу выпуклая функция в Rn со значениями в (—°°, 00], причем {y^Rn: у(у)<со}с:др{х), где др(х)=*
= {ye=Rn: р(и)>р(х) + (у, и-х) YUe=Rn}.
1026
В частности, если функция р(и) дифференцируема в точке х, то 1
Of (г; х) =СХ J J г-Р/дх\ Cx=const, (2) т.е. У опорная гиперплоскость к а.х-цилиндру Jx{Wf) параллельна неко
торой опорной гиперплоскости к а. конусу U(Wf) =ietp (4), проходящей через его луч {(xt, р (х) t) ^RnXR\ t>0}.
3) О п р е д е л е н и е 4 (ср. (6) , стр. И З ) . Множество А я - п а р а б о - л и ч е с к и (п.) п о г л о щ а ю щ е е , если r^%xA У г е Д+ п, У А , ^ Я0( г )>0 .
Геометрически это означает, что семейство х-п. подобных областей {ХХА, К>0} исчерпывает R+n. При xe=R0n такие области изучались в (7) .
О п р е д е л е н и е 5. Множество А ^ - п а р а б о л и ч е с к и з в е з д н о е , если Х*А<=А V ^ e ( 0 , 1),Х*А = {(№а1,..., %х»ап),ае±А).
Пусть — класс замкнутых полных логарифмических в х-п. погло
щающих и х-п. звездных областей в R+n (если x^R0n, то У полная область х-п. поглощающая и х-п. звездная); Mx={u^Rn: р ( в ) < р ( х ) } ; ( ^ — опор
ный конус в. множества Мх в точке х&дМх *; 1 п Л = { ( 1 п г1, . . . , l n rn) , r e e=R0n()A}, где А^х; U(lnA) — а. конус (с вершиной в 0) в. множества In А. Рассмотрим класс $х(р)={А^$х: П(1п A)^>Qx-x).
П р и м е р 1. Пусть x^Dp[\dMx\ уе=др (х). Тогда множество Ау= | г е Д+" : Д r ^ l } е фх(р) .
г=1 •
Т е о р е м а 3. О/ (г; я) — (я, р (я)) -параболический функционал Минков
ского области А х из %х{р), где
Afx={r€ER+»: 0 /( r ; (В)
4) Для У е > 0 ^т=т{г) такое, что
1 п Л / Д еи) < ( 1 + е ) а , ( еи; я) У(щ х)>т, У и е Щ , " • где Пх —• У полуцилиндр с направляющим вектором х и ограниченным ос
нованием, причем -<
lim [lnof(eu; х)]-1 .Vf(eu)=l.
(и, ж)-»-00
Таким образом, функция типов 0/(г; х) полностью определяет а.#-ци- линдр Jx(Wf) множества detWf при x^Dp; при фиксированном a^R0n Gf(a; х) — тип функции ty(t)=Mf(atx) (р(х) — порядок роста г|)(£)). С по
мощью О/ (г; х) возможна простая оценка роста Mf(eu) на направлениях^
коллинеарных вектору x&Dp. Если / г = 1 , то p ( t t ) = m a x {0, уи}, 7 > 0 , и сле
довательно, О/(г; я) = 0 / ( г ; l ) = x rv, т > 0 (см. (2)|). При п>1 структура х-а..цилиндра Jx(Wf) и связанной с ним функции 0/(г; х) в общем случае сложнее (см. (4) ) . У функции типов те же свойства, что и у Vf(r) (выпук
лость от In г4, . . . , In гп, неубывание по каждой переменной), т. е.
Of (г; х) — характеристика роста функции f(z) из 91п*(р). Заметим, что полностью определяет гиперповерхность Л^(Па, х) сопряженных
(Па,х)-типов функции / из 91п х(р), р ( я ) = 1 , x^R0n, где Па=
= {re=R+n: Г{<сц}, a^R0n, поскольку Jx(Wf) определяется сечением {и: 8x(u)=0}=S, где 5={ю*=я<(1п а*-1п тг) , i = l , . . . , щ t^Nf(Ua; х)}г
R0n^Dp.
опр
Функция фва 0 /( ( rl f. . . , rn-i, 1); en) , ^ п = ( 0 , . . . , О, 1) - тип /(*|) по переменной zn — исследовалась Л. И. Ронкиным ( (5) , стр. 200). Оценку для ф, найденную в (5) , стр. 203, можно получить другим путем. Действи-
* Т. е. пересечение всех замкнутых полупространств, содержащих Мх и огра
ниченных опорными гиперплоскостями множества МХ1 проходящими через точку
х^дМх.
3* 1027
тельно, sup ( y t + . . . 4 - ' » « - i ) < s u p | | p | | - p ( en) , где {y^Rn: (у, u)<p{u) Уце=Дп}, поскольку др(еп) = {уе=Кр: уп=р{еп)}. Поэтому из (1) имеем:
о / ( ( * , . . . , * , 1); en)<Ct-P{i)-9{l*\ d - c o n s t ,
где р (1) = р ( 1 , . . . , 1), р ( 0 ~ порядки f(z) соответственно по совокупно
сти переменных и по переменной zn.
3е. Определение А. А. Гольдберга приводит к системе функций сравне
ния 0 ( я ) = {Фс(г)=ехр (o/(G; x)pG(r)), Ge=9J} (см. выше), которая дает следующую информацию об а.я-цилиндре Jx(Wf) функции / из 91п х(р):
П р е д л о ж е н и е 2. Пусть Е={(р0(и)=Ы\пФ(}(еи), GeSB}. Тогда Jx(Wf)—[}Jx(yG), т. е. поверхность цилиндра Jx(Wf) — нижняя огибающая поверхностей в..х-цилиндров системы Е.
С л е д с т в и е . Пусть A=Afx (см. ( 3 ) ) , xe=R0n. Тогда при XG=[of(G;
xjj-i/pu) область B=XGXG вписана в А для VGe=2$; в частности, при Vtes
^Nf(G; х), р ( # ) = 1 область GT= { ( ( c i t r1) *1, . . . , (спхп-1)Хп), ce=G} вписа
на в А. Если р ( и ) ^ р ( # ) -max {0, щхг\ . . . , ипхп^}, то В¥=А.
Итак, (G, я)-типы функции f(z) из 9tn*(р) — это некоторые коэффици
енты ^-параболического подобия области G, с помощью которых область G вписывается в область Ах, определяющую а.я-цилиндр Jx{Wf). Кроме одного исключительного случая V функция <£)G(r)^0(x) дает лишь ча
стичное представление о структуре /х( Wf).
Для полноты изложения заметим, что верна следующая
Т е о р е м а 4. Пусть /e=9tn*(p), x^R0n, р(х)=1, GeSB. Если функция порядков pf(u)^p(u) дифференцируема в точке х, то логарифмический образ { ( I n x i , . . . , 1 п тп) , x^Nf(G, х)} гиперповерхности сопряженных
(G, х)-типов есть гиперплоскость с направляющим вектором (Xidp/dxi,...
...,хпдр/дхп).
4°. Ввиду изложенного выше естественно рост функций класса 9tn x(p) при Vx<=Dp на направлениях, коллинеарных вектору х, сравнивать с ростом ее функции типов О/ ( г ; х). Это приводит к следующей шкале роста функций класса 9tn*(p): iVn*(p) = {exp (pA(r)), А^%(р)}, где рА(г) -
— (х, рх))-п. функционал Минковского области А. Если функция р(и) дифференцируема в точке х, то (см. (3))
7Уп я(р) = { е х р ( т П г /t=i р / д х0 , т > 0 } .
Если п = 1 , то p ( u ) = m a x { 0 , Tu}» ^ i1 (Р) (if) — известная шкала рос
та целых функций одной переменной. Шкала Nnx(p) является полной, как показывает следующая
Т е о р е м а 5. Для V функции ехр(/?А(г)) из шкалы Nnx(p) существу- ет функция f(z)^3tnx(p), у которой функция типов of(r; x)^pA(r), r*=R+n.
Автор выражает признательность П. П. Белинскому за внимание к работе.
И н с т и т у т ф и з и к и и м . Л . В. Киренского Сибирского о т д е л е н и я А к а д е м и и н а у к СССР К р а с н о я р с к
Поступило 23 IV 1973
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1 Л . С. М а е р г о й з , ДАН, 192, № 3 (1970). 2 А. А. Г о л ь д б е р г , Д о к л . и сообщ. Ужгородск. унив., сер. физ.-матем. н а у к , 4, 1961. 3 Л . С. М а е р г о й з , Си- бирск. м а т е м . ж у р н . , 13, № 1 (1972). 4 М. М. Д ж р б а ш я н , И з в . АН Арм.ССР, сер. физ.-матем. ест. и т е х н . н а у к , 8, № 4 (1955). 5 Л. И. Р о н к и н , Введение в теорию ц е л ы х ф у н к ц и й многих п е р е м е н н ы х , «Наука», 1971. 8 Д. А. Р а й к о в , Век
т о р н ы е пространства, М., 1962. 7 Ш. И. С т р е л и ц, Литовск. м а т е м . сборн., 4, № 3 (1964).
1028
