A. A. Andreev, S. V. Leksina, The boundary control problem for the system of wave equations, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2008, Issue 1(16), 5–10

(1)

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

A. A. Andreev, S. V. Leksina, The boundary control problem for the system of wave equations, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2008, Issue 1(16), 5–10

DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu565

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 6, 2022, 02:11:52

(2)

Дифференциальные уравнения

УДК 517.95

А. А. Андреев, С. В. Лексина

ЗАДАЧА ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ Получены необходимые условия на функции, определяющие начальные и финальные условия, при которых удаётся решить задачу управления для объектов, процесс колебания которых описывается системой волновых уравнений с граничными условиями первого рода.

Введение.Впервые теоретическая постановка задачи об управлении колебаниями в достаточно чёткой математической форме, как отмечено в [1], была рассмотрена А. Г. Бутковским [2] в 60 годах XX столетия. В настоящее время ведётся решение задач управления упругими колебаниями с помо- щью граничных управлений при различных типах граничных условий. В проводимых исследованиях рассматриваются колебания, описываемые одномерным волновым уравнением с линейными услови- ями первого, второго, третьего рода, а также, когда на границе заданы краевые условия различных родов [3–11].

Интересные результаты, связанные с этой тематикой, представлены А. В. Боровских в работах [12, 13], В. А. Ильиным [14] для уравнения неоднородной струны

p(x)∂²u

∂t² = ∂

∂x

q(x)∂u

∂x

.

Сформулированы условия, позволяющие решить задачу управления, и выписаны граничные управ- ления в явном виде.

В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым в [7] получены новые результаты при решении задачи гранич- ного управления на одном конце процессом, описываемым телеграфным уравнением

u_tt(x, t)−a²u_xx(x, t) +c²u(x, t) = 0.

Целью настоящей работы является изучение возможности распространения результатов В.А.

Ильина на случай объектов, процесс колебания которых описывается системой волновых уравне- ний, а именно, получение решения задачи управления с граничными условиями первого рода. Пер- вые обобщения задачи граничного управления для системы волновых уравнений были представлены в работе [15].

Представленная статья посвящена решению задачи управления процессом, колебание которого описывается системой дифференциальных уравнений

u_tt−Au_xx = 0 (1)

в области Q_l,T = [0; l]×[0; T], где u= [u₁(x, t), u₂(x, t)]^T— вектор-функция, A— постоянная, квад- ратная матрица второго порядка.

Пусть

u(x,0) =ϕ₁(x), u_t(x, 0) =ψ₁(x), 06x6l, (2) u(x, T) =ϕ₂(x), u_t(x, T) =ψ₂(x), 06x6l, (3) где ϕ₁(x),ψ₁(x),ϕ₂(x),ψ₂(x)— две произвольные вектор-функции из классов C²[0, l],C¹[0, l]соот- ветственно.

Пару вектор-функций {u(x, t), u_t(x, t)}, заданных на отрезке [0, l] при фиксированном t, сле- дуя [6], будем называть состоянием колебательной системы в момент времениt.

Естественно возникает задача о существовании и о явном аналитическом представлении гранич- ных управлений, удовлетворяющих некоторым условиям, обеспечивающих переход колебательного процесса из состояния ϕ₁(x),ψ₁(x) приt= 0 в состояниеϕ₂(x),ψ₂(x)при t=T.

(3)

Решение данной задачи будем искать как решение краевых задач с заданными начальными усло- виями (2) и граничными условиями, которые обеспечивают выполнение финальных условий (3) [1].

В качестве граничных условий рассмотрим условия первого рода:

u(0, t) =µ(t), u(l, t) =ν(t), 06t6T. (4) 1. Задача управления с граничными условиями первого рода. Найти вектор-функции µ(t), ν(t)∈ C²[0, T]такие, чтобы для решения u(x, t) первой краевой задачи с заданными началь- ными условиями (2) в момент времениT выполнялись финальные условия (3).

Рассмотрим две вспомогательные задачи.

Задача 1 (Задача о гашении колебаний). Найти вектор-функции µ(t), ν(t) ∈ C²[0, T] такие, чтобы для решенияu(x, t)первой краевой задачи с заданными начальными условиями (2) в момент времени t=T выполнялись нулевые финальные условия:

u(x, T) = 0, u_t(x, T) = 0, 06x6l. (5) Задача 2 (О переводе первоначально покоящейся системы в заданное состояние). Найти вектор-функции µ(t), ν(t) ∈ C²[0, T] такие, чтобы для решения u(x, t) первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями

u(x,0) = 0, u_t(x, 0) = 0, 06x6l (6)

в момент времениt=T выполнились финальные условия (3).

Решение исходной задачи управления будем искать как сумму решений задачи 1 и задачи 2 [1].

Пусть λ²₁, λ²₂— действительные и различные собственные значения матрицы A. В случае, когда собственные значения матрицы Aравны и Λ_A=

λ² 0 0 λ²

, результаты, представленные в данной статье, совпадают с результатами, полученными В. А. Ильиным [4] и Л. Н. Знаменской [1].

Введём обозначениеw=S⁻¹u, гдеS=

αt21

λ²₁−p t₁₂ t₂₁ _λ^βt2¹² 2−q

!

— матрица перехода при диагонализации матрицы A. Тогда система (1) примет вид

w_1tt−λ²₁w_1xx = 0,

w_2tt−λ²₂w_2xx = 0. (7)

Начальные условия (2) запишутся в виде (06x6l):









w(x,0) =S⁻¹u(x, 0) =ϕ(x) =e

ϕe₁₁(x) e ϕ₂₁(x)

, w_t(x, 0) =S⁻¹u_t(x,0) =ψ(x) =e

ψe₁₁(x) ψe₂₁(x)

;

(8)

нулевые финальные условия (06x6l):









w(x, T) =S⁻¹u(x, T) =ϕe₁(x) =

ϕe₁₂(x) ϕe₂₂(x)

= 0, w_t(x, T) =S⁻¹u_t(x, T) =ψe₁(x) = eψ₁₂(x)

ψe₂₂(x)

= 0;

(9)

краевые условия (06t6T):









w(0, t) =S⁻¹u(0, t) =eµ(t) = eµ

1(t) eµ

2(t)

, w(l, t) =S⁻¹u(l, t) =eν(t) =

eν₁(t) e ν₂(t)

,

(10)

где06T 6 ¹

max{λ²₁,λ²₂}.

(4)

Решение первой краевой задачи с начальными условиями для системы (7) представляется сле- дующим образом [16]:











w₁(x, t) =^Φ^e¹¹^(x+λ¹^t)+e₂^Φ¹¹^(x⁻^λ¹^t) +_2λ¹

1

x+λR1t x−λ1t

Ψe₁₁(z)dz+eµ₁

t− _λ^x₁ +eν₁

t+^x_λ⁻^l

1

,

w₂(x, t) =^Φ^e²¹^(x+λ²^t)+₂^Φ^e²¹^(x⁻^λ²^t) +_2λ¹

2

x+λR2t x−λ2t

Ψe₂₁(z)dz+eµ

2

t− _λ^x₂ +eν₂

t+^x_λ⁻^l

2

.

(11)

Функции Φe_i1, Ψe_i1— нечётные продолжения функций ϕe_i1, ψe_i1 соответственно на сегменты [−l; 0], [l; 2l], функцииeµ

i,eν_i удовлетворяют условиям eµ

i(t) =µe_i(t) на [0; T],µe

i(0) = 0,eµ

i(t)≡0 приt <0.

Аналогичным условиям удовлетворяет функцияeν_i, где i= 1, 2.

Воспользовавшись нулевыми финальными условиями (9), получим









Φei1(x+λiT)+eΦi1(x−λiT)

2 +_2λ¹

i

x+λRiT x−λiT

Ψe_i1(z)dz+µe_i

T− _λ^x_i +eν_i

T+ ^x_λ⁻^l

i

= 0,

fΦ^′i1(x+λiT)−fΦ^′i1(x−λiT)

2 +^Ψ^eⁱ¹^(x+λⁱ^T^)+e_2λ^Ψⁱ¹^(x⁻^λⁱ^T⁾

i +_λ¹

iµe^′

i

T− _λ^x_i +_λ¹

iνe^′_i

T+^x_λ⁻^l

i

= 0.

(12)

Продифференцируем первое уравнение системы (12) поx:

Φe^′_i1(x+λ_iT) +Φe^′_i1(x−λ_iT)

2 +Ψe_i1(x+λ_iT)−Ψe_i1(x−λ_iT)

2λ_i −

− 1 λ_iµe^′_i

T− x

λ_i

+ 1 λ_iνe^′_i

T+ x−l λ_i

= 0. (13) Используя (13) и равенства системы (12), выразим функции, задающие граничные управления:

νe^′_i(T +x−l λ_i ) = λ_i

2 −Φe^′i1(x+λiT)− Ψe_i1(x+λ_iT) λ_i

!

, (14)

µe^′_i(T− x λ_i) = λ_i

2 Φe^′i1(x−λiT)−Ψe_i1(x−λ_iT) λ_i

!

. (15)

Так какµe_i(t)≡0,eν_i(t)≡0 при t60, то получаем следующие условия:





Φe^′_i1(x)−^Ψ^eⁱ¹_λ^(x)_i = 0, 06x6l−λ_iT , Φe^′_i1(x) +^Ψ^eⁱ¹_λ^(x)

i = 0, λ_iT 6x6l.

(16)

В уравнениях (14) и (15) воспользуемся свойствами продолжения функций Φe_i1,Ψe_i1 относительно точек x = 0, x = l и выполним замены z = T + ^x_λ⁻^l

i , z = T − _λ^x_i соответственно. Интегрируя по z от 0 до tи учитывая условия согласования начальных и краевых условий, получим окончательные выражения для управляющих функций µe_i,eν_i:

e

µ_i(t) = ϕe_i1(λ_it)

2 + 1

2λ_i

λit

Z

0

ψe_i1(z)dz, (17)

e

ν_i(t) = ϕe_i1(l−λ_it)

2 + 1

2λ_i Zl

l−λit

ψei1(z)dz. (18)

(5)

Для записи выражений управляющих функций µ(t), ν(t) введём дополнительные обозначения:

e

ϕ_i(x) =S⁻¹ϕ_i(x) = 1

|S|

βs12

λ²₂−q −s12

−t₂₁ _λ^αs2²¹ 1−p

!

·

ϕ_1i(x) ϕ2i(x)

= l₁

l2

·ϕ_i(x), (19) ψei(x) =S⁻¹ψi(x) = 1

|S|

βs12

λ²₂−q −s₁₂

−t₂₁ _λ^αs2²¹ 1−p

!

·

ψ_1i(x) ψ_2i(x)

= l₁

l₂

·ψi(x). (20) Используя обозначения (19), (20) запишем

e µ(t) =

µe₁(t) µe₂(t)

=







hl1·ϕ1(λ1t)i 2 +_2λ¹

1

λR1t

0 hl₁·ψ₁(z)idz

hl2·ϕ1(λ2t)i 2 +_2λ¹

2

λR2t

0 hl₂·ψ₁(z)idz





, (21)

eν(t) =

eν₁(t) eν₂(t)

=







−hl1·ϕ1(l−λ1t)i

2 +_2λ¹

1

Rl

l−λ1thl₁·ψ₁(z)idz

−hl2·ϕ1(l−λ2t)i

2 +_2λ¹

2

Rl

l−λ2thl2·ψ1(z)idz





, (22)

гдеha·bi— скалярное произведение векторов.

Управляющие функции в условиях задачи 1 примут вид:

µ(t) =S·µ(t),e ν(t) =S·eν(t). (23) Перейдём к решению задачи 2. Решение краевой задачи (7), (9), (10) имеет вид [15]:











w₁(x, t) = ^Φ^e¹² ^x+λ¹^(T⁻^t)

+eΦ12 x−λ1(T−t)

2 −_2λ¹₁

x+λ1R(T−t) x−λ1(T−t)

Ψe₁₂(z)dz+µe₁ t+_λ^x

1

+νe₁

t+^l⁻_λ^x

1

,

w₂(x, t) = ^Φ^e²² ^x+λ²^(T⁻^t)

+eΦ22 x−λ2(T−t)

2 −_2λ¹₂

x+λ2R(T−t) x−λ2(T−t)

Ψe₂₂(z)dz+µe₂ t+_λ^x

2

+νe₂

t+^l⁻_λ^x

2

.

(24)

Воспользуемся тем, что в начальный момент времени система покоилась:









Φei2(x+λiT)+Φei2(x−λiT)

2 −_2λ¹_i

x+λRiT x−λiT

Ψe_i2(z)dz+eµ_i

x λi

+eν_i

l−x λi

= 0,

fΦ^′i2(x−λiT)−fΦ^′i2(x+λiT)

2 + ^Ψ^eⁱ²^(x+λⁱ^T^)+e_2λ^Ψⁱ²^(x⁻^λⁱ^T⁾

i +_λ¹

i

µe^′_i

x λi

+ _λ¹

i

νe^′i

l−x λi

= 0,

(25)

Продифференцируем первое уравнение системы (25) поx:

Φe^′_i2(x−λ_iT) +Φe^′_i2(x+λ_iT)

2 +−Ψe_i2(x+λ_iT) +Ψe_i2(x−λ_iT)

2λ_i + 1

λ₁µe^′_i x

λ_i

− 1 λ_iνe^′_i

l−x λ_i

= 0, (26) Используя (26) и равенства системы (25), выразим функции eµ_i,eν_i:

µe^′_i x

λ_i

=−λi

2Φe^′_i2(x−λ_iT)−Ψei2(x−λiT)

2 , (27)

νe^′_i

l−x λ_i

= λi

2 Φe^′_i2(x+λ_iT)−Ψei2(x+λiT) λ_i

!

. (28)

(6)

Поскольку eµ_i(t) = 0,eνi(t) = 0 дляt>T, то получаем следующие условия на функцииϕei2,ψei2:





ϕe^′_i2(x) +^ψ^eⁱ²_λ^(x)

i ≡0, 06x6x−λ_iT ,

ϕe^′_i2(x)−^ψ^eⁱ²λ^(x)i ≡0, λiT 6x6l. (29) Система (29) определяет необходимые условия существования граничных управлений [1].

В уравнениях (27) и (28) заменим z = _λ^x

i, z = ^l⁻_λ^x

i соответственно и воспользуемся свойствами продолжения функцийΦe_i2,Ψe_i2 относительно точек x= 0 иx=l, получим:

( µe^′_i(z) =−^λ₂ⁱϕe^′_i2(l−λ_iz) +^ψ^eⁱ²^(l⁻₂^λⁱ^z),

νe^′_i(z) = ^λ₂ⁱϕe^′_i2(λ_iz) +^ψ^eⁱ²^(λ₂ⁱ^z). (30) Проинтегрируем равенства последней системы и, воспользовавшись условиями согласования фи- нальных и краевых условий, получим явный вид граничных управлений в условиях задачи 2:

µe_i(t) = ϕe_i2(l−λ_it)

2 − 1

2λ_i

lZ−λit

0

ψe_i2(z), (31)

e

ν_i(t) = ϕe_i2(λ_it)

2 − 1

2λi

Zl

λit

ψe_i2(z). (32)

Запишем функции µ(t),e eν(t), используя обозначения (19), (20):

µ(t) =e

eµ₁(t) eµ₂(t)

=







hl1·ϕ2(l−λ1t)i 2 −_2λ¹₁

l−Rλ1t

0 hl₁·ψ₂(z)idz

hl2·ϕ2(l−λ2t)i 2 −_2λ¹₂

l−Rλ2t

0 hl₂·ψ₂(z)idz





, (33)

eν(t) =

eν₁(t) eν₂(t)

=







hl1·ϕ2(λ1t)i 2 −_2λ¹₁

Rl

λ1thl1·ψ1(z)idz

hl2·ϕ2(λ2t)i 2 −_2λ¹₂

Rl λ2t

hl₂·ψ₂(z)idz





. (34)

Управляющие функции в условиях задачи 2 примут вид:

µ(t) =S·µ(t),e ν(t) =S·eν(t). (35) Тогда управляющие функции в условиях первой краевой задачи можно представить так:

µ(t) =S·(eµ+eµ), ν(t) =S·(eν+eν). (36) Утверждение 1. Для любого 0< T < _max_{_λ¹₁_,λ₂_} и для любых функций ϕ1, ψ1 ϕ2, ψ2,удовлетво- ряющих следующим условиям:

1) ϕ_i(x)∈C²[0, l], ψ_i(x)∈C¹[0, l];

2) ϕ_i(0) =ϕ_i(l) = 0; ψ_i(0) =ψ_i(l) = 0, гдеi= 1,2;

3) справедливы тождества:

( (hl_i·ϕ₁(x)i)^′−^h^lⁱ^·^ψ_λ¹_i^(x)ⁱ ≡0, 06x6l−λ_iT , (hl_i·ϕ₁(x)i)^′+^h^lⁱ^·^ψ_λ¹^(x)ⁱ

i ≡0, λ_iT 6x6l, (37)

( (hl_i·ϕ₂(x)i)^′+^h^lⁱ^·^ψ_λ²^(x)ⁱ

i ≡0, 06x6l−λ_iT ,

(hl_i·ϕ₂(x)i)^′−^h^lⁱ^·^ψ_λ²_i^(x)ⁱ ≡0, λ_iT 6x6l, (38)

(7)

граничные управления u(0, t) =µ(t) и u(l, t) =ν(t) имеют вид (36).

В заключение отметим, что система (1) описывает продольно-крутильное колебание длинной естественно закрученной нити [16, 17].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Знаменская, Л. Н.Управление упругими колебаниями [Текст] / Л. Н. Знаменская. — М.: Физматлит, 2004. — 176 c.

2. Бутковский, А. Г.Теория оптимального управления системами с распределёнными параметрами [Текст] / А. Г. Бут- ковский. — М.: Наука, 1965. — 474 с.

3. Ильин, В. А.Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени [Текст] / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517–1534.

4. Ильин, В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах [Текст] / В. А. Ильин // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 5. — С. 592–596.

5. Ильин, В. А.Граничное управление процессом колебаний на одном конце при закреплённом втором конце [Текст] / В. А. Ильин // Докл. РАН. — 1999. — Т. 369, № 6. — С. 732–735.

6. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закреплённом втором конце [Текст] / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640–1659.

7. Ильин, В. А.Граничное управление радиально-симметричными колебаниями круглой мембраны [Текст] / В. А. Иль- ин, Е. И. Моисеев // Докл. РАН. — 2003. — Т. 393, № 6. — С. 730–734.

8. Никитин, А. А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны [Текст] / А. А. Никитин // Докл.

РАН. — 2006. — Т. 406, № 4. — С. 458–461.

9. Сабитова, Ю. К. О гладкости решения задачи граничного управления на двух концах для уравнения струны [Текст] / Ю. К. Сабитова // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 1. — С. 133–134.

10. Ильин, В. А.Волновое уравнение с краевым управлением [Текст] / В. А. Ильин, В. В. Тихомиров // Дифференци- альные уравнения. — 1999. — Т. 35, № 1. — C. 137–138.

11. Знаменская, Л. Н. Управление колебаниями струны в классе обобщённых решений изL2 [Текст] / Л. Н. Знамен- ская // Дифференциальные уравнения. — Т. 38, № 5. — C. 666–672.

12. Боровских, А. В. Формулы граничного управления неоднородной струной I [Текст] / А. В. Боровских // Диффе- ренциальные уравнения. — 2007. — Т. 43, № 1. — C. 64–89.

13. Боровских, А. В. Формулы граничного управления неоднородной струной II [Текст] / А. В. Боровских // Диффе- ренциальные уравнения. — 2007. — Т. 43, № 5. — C. 640–649.

14. Ильин, В. А. О граничном управлении процессом, описываемым уравнением k(x)[k(x)ux(x, t)]x−utt(x, t) = 0 [Текст] / В. А. Ильин // Докл. РАН. — 2002. — Т. 386, № 2. — С. 156–159.

15. Андреев, А. А.О граничном управлении системы продольно-крутильных колебаний [Текст] / А. А. Андреев, С. В.

Лексина / В сб. СамДифф–2007: Тез. конф. «Дифференциальные уравнения и их приложения». — Самара: Универс групп, 2007. — C. 21–25. — ISBN 978–5–467–00115–9.

16. Лексина, С. В. Аналог формулы Даламбера для системы волновых уравнений [Текст] / С. В. Лексина / В сб.

Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения: Тез. докл. Международ. конф-ции, посвящённой 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа (Новосибирск, 26.05–02.06.2007г.). — Новосибирск: Новосибир. гос.

ун-т, 2007. — C. 216.

16. Горошко, О. А. К вопросу о продольно-крутильных колебаниях упругой естественно закрученной нити (каната) переменной длины с концевым грузом, движущимся по жёстким направляющим [Текст] / О. А. Горошко, А. А. Чиж;

В кн.: Стальные канаты. — Киев: Техника, 1964. — Т. 1. — С. 56–64.

17. Горошко, О. А.Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины [Текст] / О. А. Горошко, Г. Н. Савин. — Киев: Наукова думка, 1971. — 225 с.

Самарский государственный университет, г. Самара andre@ssu.samara.ru, lesveta@rambler.ru

Поступила 27.10.2007 В окончательном варианте

15.02.2008

A. A. Andreev, S. V. Lexina

THE BOUNDARY CONTROL PROBLEM FOR THE SYSTEM OF WAVE EQUATIONS In the paper we consider the control problem for objects which vibration are discribed by ware equation system with boundary condition of the ﬁrst type. Nessesary condition on function determininy initial and ﬁnal conditions are obtained.

Samara State University, Samara, Russia andre@ssu.samara.ru, lesveta@rambler.ru

Received 27.10.2007