1) sin 660°; 2) sin− ;
13 3
π 3) tg 135°. Р е ш е í и е
1) sin660° =sin (720° −60° =) sin (− ° +60 360 2æ )=
=sin (− ° = −60 ) sin60° = − 3. 2
2) sin− sin sin sin
= − = − +
= − +
= 13
3
13
3 4 3 2 2 3
π π π π æ π π −−sinπ = − .
3 3 2
sin− sin sin sin
= − = − +
= − +
= 13
3
13
3 4 3 2 2 3
π π π π æ π π −−sinπ = − .
3 3 3) tg 135° = tg (–45° + 180°) = tg (–45°) = –1. ◄ 2
На рисунке 11.1 изображен график некоторой периодической функции f с периодом T, D f( )=.
11. Свойства и графики тригонометрических функций 65
Рис. 11.1
Фрагменты графика этой функции на промежутках [0; T], [T; 2T], [2T; 3T] и т. д., а также на промежутках [–T; 0], [–2T; –T], [–3T; –2T] и т. д. являются равными фигурами, причем любую из этих фигур можно получить из любой другой параллельным пере- носом на вектор с координатами (nT; 0), где n — некоторое целое число.
З а д а ч а 2. На рисунке 11.2 изображен фрагмент графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функции на промежутке −
3 2
5 2 T T
; .
Решеíие. Построим образы изображенной фигуры, полученные в результате параллельно- го переноса на векторы с координатами (T; 0), (2T; 0) и (–T; 0). Объединение данной фигуры и полученных образов — искомый график (рис. 11.3). ◄
Рис. 11.3
ª Рассмотрим функцию y = sin x на промежутке [0; 2p], то есть на промежутке длиной в период этой функции.
При повороте точки P0 (1; 0) вокруг начала координат на углы от 0 до π
2 большему углу поворота соответствует точка единичной Рис. 11.2
окружности с большей ординатой (рис. 11.4). Это означает, что функция y = sin x возрастает на промежутке 0
;2π .
При повороте точки P0 (1; 0) на углы от π
2 до 3 2
π большему углу поворота соот- ветствует точка единичной окружности с меньшей ординатой (рис. 11.4). Следова- тельно, функция y = sin x убывает на про- межутке π π
2 3
; 2 .
При повороте точки P0 (1; 0) на углы от 3
2
π до 2p большему углу поворота соответ- ствует точка единичной окружности с большей ординатой (рис. 11.4).
Следовательно, функция y = sin x возрастает на промежутке 3 2π;2π .
Функция y = sin x на промежутке [0; 2p] имеет три нуля: x = 0,
x = p, x = 2p.
Если x ∈ (0; p), то sin x > 0; если x ∈ (p; 2p), то sin x < 0.
Функция y = sin x на промежутке [0; 2p] достигает наибольшего значения, равного 1, при x= π
2 и наименьшего значения, равно- го –1, при x=3
2 π.
Функция y = sin x на промежутке [0; 2p] принимает все значения из промежутка [–1; 1].
Полученные свойства функции y = sin x позволяют построить ее график на промежутке [0; 2p] (рис. 11.5). График можно построить точнее, если воспользоваться данными таблицы значений тригоно- метрических функций некоторых углов, приведенной на форзаце 3.
Рис. 11.5 Рис. 11.4
11. Свойства и графики тригонометрических функций 67
Рис. 11.6
На всей области определения график функции y = sin x можно получить из построенного графика с помощью параллельных пере- носов на векторы с координатами (2pn; 0), n∈ (рис. 11.6).
График функции y = sin x называют синусоидой.
ª Рассмотрим функцию y = cos x. Если воспользоваться формулой cosx=sinx+
π
2 (см. упражнение 9.11), то становится понятно, что график функции y = cos x можно получить в результате па- раллельного переноса графика функции y = sin x на вектор с координатами −
π
2;0 (рис. 11.7). Это означает, что графики функций y = sin x и y = cos x — равные фигуры.
Рис. 11.7
График функции y = cos x называют косинусоидой (рис. 11.8).
Рис. 11.8
ª Рассмотрим функцию y = tg x на промежутке −
π π
2 2; , то есть на промежутке длиной в период этой функции (напомним, что функция y = tg x в точках −π
2 и π
2 не определена).
Можно показать, что при изменении угла поворота от −π 2 до π значения тангенса увеличиваются. Это означает, что функция 2 y = tg x возрастает на промежутке −
π π
2 2; . Функция y = tg x на промежутке −
π π
2 2; имеет один нуль: x = 0.
Если x∈ −
π
2;0 , то tg x < 0; если x∈
0
;2π , то tg x > 0.
Полученные свойства функции y = tg x позволяют построить ее график на промежут- ке −
π π
2 2; (рис. 11.9). График можно по- строить точнее, если воспользоваться данны- ми таблицы значений тригонометрических функций некоторых аргументов, приведен- ной на форзаце 3.
На всей области определения график функции y = tg x можно получить из построенного графика с помощью параллельных пере- носов на векторы с координатами (pn; 0), n∈ (рис. 11.10).
Рис. 11.10
В таблице приведены основные свойства тригонометрических функций.
Рис. 11.9
11. Свойства и графики тригонометрических функций 69
Свойствоy= sinxy= cosxy= tgx Область определенияxn≠+π π 2 Область значений[–1; 1][–1; 1] Главный период2p2pp Нули функцииpnπ π 2+npn Функция принимает положительные значения на промежутках(2pn; p+ 2pn)−++
ππ ππ 2222nn;πππ nn; 2+
Функция принимает отрицательные значения на промежутках(p+ 2pn; 2p+ 2pn)ππ ππ 23 222++
nn;−+
π ππ 2nn; ЧетностьНечетнаяЧетнаяНечетная Промежутки возрастания−++ ππ ππ 2222nn;[p+ 2pn; 2p+ 2pn]−++
ππ ππ 22nn; Промежутки убыванияππ ππ 23 222++ nn;[2pn; p+ 2pn]— Наибольшее значение11— Наименьшее значение–1–1—
З а д а ч а 3. Сравните: 1) sin 0,7p и sin 0,71p; 2) cos 324° и cos 340°.
Р е ш е í и е. 1) Поскольку числа 0,7p и 0,71p принадлежат про- межутку π π
2 3
; 2 ,
на котором функция y = sin x убывает, и 0,7p <
< 0,71p, то sin 0,7p > sin 0,71p.
2) Поскольку углы 324° и 340° принадлежат промежутку [180°; 360°], на котором функция y = cos x возрастает, и 324° < 340°, то cos 324° < cos 340°. ◄
?
1. Какую функцию называют периодической?2. Какое число называют главным периодом функции?
3. Изобразите схематически график и сформулируйте основные свойства функции y = sin x.
4. Изобразите схематически график и сформулируйте основные свойства функции y = cos x.
5. Изобразите схематически график и сформулируйте основные свойства функции y = tg x.
Упражнения
11.1.° Найдите значение выражения:
1) sin 390°; 4) tg (–210°);
2) tg 780°; 5) cos 300°;
3) sin (–390°); 6) sin5 . 3
π 11.2.° Найдите значение выражения:
1) sin 420°; 3) sin 1110°; 2) tg (–315°); 4) cos7 .
3 π
11.3.° Принадлежит ли графику функции y = cos x точка:
1) A− −
π
2; 1 ; 2) B 9 4
2 2 π; ;
3) C (–4p; –1)?
11.4.° Проходит ли график функции y = tg x через точку:
1) A−
π
4; ;1 2) B− −
π
3; 3 ; 3) C (p; 0)?
11. Свойства и графики тригонометрических функций 71
11.5.° Проходит ли график функции y = sin x через точку:
1) A− −
π
2; 1 ; 2) B (p; –1); 3) C 23 6
1 2 π;− ?
11.6.° Среди чисел –2p, −3 2
π, –p, −π 2, 0, π
2, 3 2
π, 2p, 9 2
π, 6p, 7p укажите:
1) нули функции y = sin x;
2) значения аргумента, при которых функция y = sin x прини- мает наибольшее значение;
3) значения аргумента, при которых функция y = sin x прини- мает наименьшее значение.
11.7.° Среди чисел −5 2
π, −3 2
π, –p, 0, π 2, p, 3
2 π, 5
2 π, 7
2
π, 5p, 8p укажите:
1) нули функции y = cos x;
2) значения аргумента, при которых функция y = cos x прини- мает наибольшее значение;
3) значения аргумента, при которых функция y = cos x прини- мает наименьшее значение.
11.8.° Какие из чисел −3 2
π, –p, −π 2, 0, π
3, π 2, 5
2 π, 3p: 1) являются нулями функции y = tg x;
2) не принадлежат области определения функции y = tg x?
11.9.• На рисунке 11.11 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функ- ции на промежутке [–2T; 3T].
а б в
Рис. 11.11
11.10.• На рисунке 11.12 изображена часть графика периодической функции, период которой равен T. Постройте график этой функ- ции на промежутке [–2T; 2T].
y
x 0 T2 2
− T
а б
Рис. 11.12
11.11.• На каких из указанных промежутков функция y = sin x возрастает:
1) −
π π
2 2; ; 2) −
π π 2
3
; 2 ; 3) − −
3
2 2
π π
; ; 4) − −
5 2
3 2
π π
; ?
11.12.• На каких из указанных промежутков функция y = sin x убывает:
1) − −
7 2
5 2
π π
; ; 2) [–p; 0]; 3) −
π π
2 2; ; 4) 5 2
7 2 π π
; ?
11.13.• Какие из данных промежутков являются промежутками убывания функции y = cos x:
1) − −
5 2
3 2
π π
; ; 2) [–2p; –p]; 3) −
π π
2 2; ; 4) [6p; 7p]?
11.14.• Какие из данных промежутков являются промежутками возрастания функции y = cos x:
1) [–3p; –2p]; 2) [0; p]; 3) [–p; p]; 4) [3p; 4p]?
11.15.• Сравните:
1) sin 20° и sin 21°; 3) sin10 9
π и sin25 ; 18
π 2) cos 20° и cos 21°; 4) tg (–38°) и tg (–42°).
11.16.• Сравните:
1) cosπ
9 и cos4 ; 9
π 2) sin5 9
π и sin17 ; 18
π 3) tg 100° и tg 92°.
12. Основные соотношения между тригонометрическими функциями... 73 11.17.•• Докажите, что число T является периодом функции f:
1) f x( )=cos ,x
4 T = 8p; 2) f (x) = tg 3x, T= −2 3
π.
11.18.•• Докажите, что числа 2 3
π и –4p являются периодами функ- ции f (x) = cos 3x.
11.19.* Сравните:
1) sin 58° и cos 58°; 2) sin 18° и cos 18°; 3) cos 80° и sin 70°.
Упражнения Для пОвтОрения 11.20. Найдите нули функции:
1) f x x x ( )= x− + ;
−
2 3 2
1 2) f x( )= x2+9; 3) f x( )=x x−1. 11.21. Найдите область значений функции:
1) f (x) = x2 + 2; 2) f x( )=2 x+3.