отношению самих отрезков (рис. 32.7).
Рассмотрим изображения некоторых многоугольников на плоскости a в на- правлении прямой l.
Если прямая l параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоуголь- ника является отрезок.
Теперь рассмотрим случай, когда прямая l пересекает плоскость много- угольника.
l α
Рис. 32.3
l
α
B
A C
D
A1 B1 C1 D1 A B
C D AB CD
1 1 1 1
= Рис. 32.7
32. Параллельное проектирование 173 Из свойств параллельного проектирования следует, что парал- лельной проекцией треугольника является треугольник (рис. 32.8).
l
α
B
A C
C1 B1
A1 A1
D1 B1
C1 l
α
B A
C
D l
α
Рис. 32.8 Рис. 32.9 Рис. 32.10
Поскольку при параллельном проектировании сохраняется па- раллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в част- ности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм (рис. 32.9).
Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция.
Параллельной проекцией окружности является фигура, которую называют эллипсом (рис. 32.10).
Изображения объектов с помощью параллельного проектирова- ния широко используют в самых разных областях промышленно- сти, например в автомобилестроении (рис. 32.11).
14101554
532 35°32°
710
1782
1314 1676
1305 2320
678
3708
Рис. 32.11
?
1. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным про- ектированием.2. Сформулируйте свойства параллельного проектирования.
Упражнения
32.1.° Фигура состоит из трех точек. Из какого количества точек может состоять параллельная проекция этой фигуры?
32.2.° Может ли параллельной проекцией двух пересекающихся прямых быть:
1) две пересекающиеся прямые;
2) две параллельные прямые;
3) прямая;
4) прямая и точка вне ее?
32.3.° Какая геометрическая фигура не может быть параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых:
1) две параллельные прямые;
2) две пересекающиеся прямые;
3) прямая;
4) прямая и точка вне ее?
32.4.° 1) Могут ли равные отрезки быть параллельными проекциями неравных отрезков?
2) Могут ли неравные отрезки быть параллельными проекциями равных отрезков?
3) Может ли параллельная проекция отрезка быть больше дан- ного отрезка?
4) Может ли параллельная проекция прямой быть параллельной данной прямой?
32.5.° Может ли фигура, изображенная на рисунке 32.12, быть параллельной проекцией треугольника?
C A
B
C1 D1 A1
B1 C1
A1 B1
Рис. 32.12 Рис. 32.13 Рис. 32.14
В Украине есть таланты! 175 32.6.° Может ли параллельной проекцией трапеции быть четырех- угольник A1B1C1D1, углы которого A1, B1, C1 и D1 соответственно равны:
1) 10°, 40°, 140°, 170°; 2) 50°, 130°, 50°, 130°?
32.7.° Может ли параллельной проекцией параллелограмма быть четырехугольник со сторонами 6 см, 8 см, 6 см, 9 см?
32.8.• Точки A1, B1 и C1 являются параллельными проекциями соответственно точек A, B и C, лежащих на одной прямой (точ- ка B лежит между точками A и C). Найдите отрезок B1C1, если AB = 8 см, BC = 6 см, A1B1 = 12 см.
32.9.• Точки A1, B1 и C1 являются параллельными проекциями соответственно точек A, B и C, лежащих на одной прямой (точ- ка B1 лежит между точками A1 и C1). Найдите отрезок A1C1, если AB = 10 см, AC = 16 см, B1C1 = 3 см.
32.10.•• Параллелограмм A1B1C1D1 является изображением прямо- угольника ABCD (рис. 32.13). Постройте изображение перпен- дикуляра, опущенного из точки пересечения диагоналей прямо- угольника на сторону BC.
32.11.•• Треугольник A1B1C1 является изображением прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB (рис. 32.14). Постройте изо- бражение перпендикуляра, опущенного из середины гипотенузы на катет AC.
32.12.•• Треугольник A1B1C1 — изображение треугольника ABC.
Постройте изображение биссектрисы треугольника ABC, про- веденной из вершины B, если AB : BC = 1 : 2.
32.13.•• Треугольник A1B1C1 — изображение равнобедренного тре- угольника ABC с основанием AC. Постройте изображение центра окружности, вписанной в треугольник ABC, если AB : AC = 5 : 4.
Упражнения Для пОвтОрения
32.14. В прямоугольнике ABCD известно, что AB = 6 см, AD = AD=2 3 см. Найдите угол между прямыми AC и BD.
в Украине есть таланты!
Как сложить апельсины в большую коробку, чтобы поместилось максимально возможное количество? У этого вопроса, на первый взгляд простого и несерьезного, давняя история. В 1611 г. немец- кий астроном, математик и философ Иоганн Кеплер, известный
открытием законов движения планет Солнечной системы, сформу- лировал задачу об оптимальной упаковке шаров в пространстве.
Кеплер выдвинул гипотезу, согласно которой оптимальным будет уложить шары так, как иногда выкладывают апельсины в магази- нах или на рынках (рис. 32.15).
В течение 400 лет ведущие математики мира пробовали обо- сновать это предположение. Окончательная точка в этом вопросе была поставлена только в 2017 году. Доказательство гипотезы Ке- плера, которое содержало компьютерный перебор огромного коли- чества вариантов и которое тщательно проверяли 19 лет, было наконец признано корректным.
Важную роль в этой многовековой истории сыграли молодые украинские математики А. Бондаренко, М. Вязовская и Д. Радчен- ко, воспитанники Киевского национального университета имени Тараса Шевченко. В 2016 г. вышли статьи с решением задачи Ке- плера для случаев 8- и 24-мерного пространства. Марина Вязовская, автор этих статей, была награждена премией Салема. Эта премия чрезвычайно престижна. Выше нее лишь премия Филдса — аналог Нобелевской премии в области математики.
Это блестящее достижение украинских ученых!
Рис. 32.15
Главное в параграфе 4 177
!
главнОе в параграФе 4 Основные аксиомы стереометрииА1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А3. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересека- ются по прямой.
Плоскость однозначно определяется:
1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2) прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
3) двумя пересекающимися прямыми;
4) двумя параллельными прямыми.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Две прямые называют пересекающимися, если они имеют толь- ко одну общую точку.
Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Свойство параллельных прямых
Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Признак скрещивающихся прямых
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пере- секает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.
Параллельность в пространстве
Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллель- на какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.
Условия параллельности двух прямых в пространстве
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пере- сечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, от- личной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны меж- ду собой.
Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Свойства параллельных плоскостей
Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоско- сти, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.
Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллель- ными плоскостями, равны.