Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на проти-

лежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Ці властивості нерівностей зі змінними випливають з теорем, доведе- них у § 2. Користуючись цими властивостями, нерівності зі змінними можна розв’язувати подібно до рівнянь.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність 5x 2x 15.

Розв’язання. Перенесемо доданок 2x у ліву частину нерівності:

5x – 2x 15.

Зведемо подібні члени:

3x 15.

Поділимо обидві частини нерівності на 3:

x 5.

Відповідь. Нерівність задовольняє кожне дійсне число, менше від 5.

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність 7(2 – x) d 3x 44.

Розв’язання. 14 – 7x d 3x 44, –7x – 3x d –14 44,

–10x d 30,

x t –3.

Відповідь. Нерівність задо вольняє кожне число, не менше ніж –3.

З а у в а ж е н н я. Множини розв’язків нерівностей зручно запису- вати у вигляді проміжків. Множину всіх дійсних чисел, менших від 5, називають проміжком від мінус нескінченності до 5 і позначають

(

^{−∞; 5 .}

)

На малюнку 14 цей проміжок позначено штриховкою, значен- ня 5, що не входить до множини розв’язків, — світлим кружком.

0 5

Мал. 14

Множину всіх дійсних чисел, не менших від –3, називають проміжком від –3 до нескінченності, включаючи –3. Позначають його

[

^{− ∞3;}

)

^,

наочно зображають, як показано на малюнку 15; значення –3, що вхо- дить до множини розв’язків, позначено темним кружком.

3 0

Мал. 15

Отже, відповіді до розв’язаних нерівностей можна записати і за до- помогою проміжків:

(

^{−∞; 5 ,}

) [

^{− ∞3;}

)

^.

Як ви вже знаєте, з усіх рівнянь найпростішими є лінійні рівняння виду ax b. Найпростішими нерівностями з однією змінною також є лінійні.

Якщо a _і b — дані числа, а x — невідома змінна, то кожна з нерівностей axb, ax!b, axdb, axtb (*) називається лінійною нерівністю з однією змінною x_.

Приклади лінійних нерівностей:

2x 3, –7x ! 14, 0,5x d 1, 9x t 0.

Лінійні нерівності часто записують і так:

ax – b 0, ax – b ! 0, ax – b d 0, ax – b t 0.

Якщо число a відмінне від нуля, то кожна з нерівностей (*) має множину розв’язків, якій відповідає нескінченний числовий промінь (або промінь без вершини).

Залежність розв’язків лінійної нерівності від значення коефіцієнтів при змінній і знака нерівності наведено в таблиці.

ax ! b ax d b

Якщо a ! 0, то b,

x>a ∈⎛⎜⎝b ∞⎞⎟⎠ x a;

b a

Якщо a ! 0, то b,

x≤a ;b

x a

⎛ ⎤

∈ −∞⎜⎝ ⎥⎦ b

a Якщо a 0, то

b,

x<a ;b

x a

⎛ ⎞

∈ −∞⎜⎝ ⎟⎠ b

a

Якщо a 0, то b,

x≥a b; x a

⎡ ⎞

∈⎢⎣ ∞⎟⎠ b

a

Якщо a 0, то кожна з нерівностей (*) або не має розв’язків (на- приклад, 0x ! 5), або множиною її розв’язків є множина всіх дійсних чисел (наприклад, 0x 5).

Зверніть увагу! Зображати числові проміжки можна й іншим спосо- бом — дугами — як зображено на малюнках 16–17.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

До розв’язування лінійних нерівностей зводиться розв’язування найпрос- тіших нерівностей з модулями.

Розв’яжемо нерівності:

а) x _<5; б) x _>3; в) x _{≤ −}2; г) x_{> −}0,5.

а) Нерівність задовольняють усі значення x, модулі яких менші за 5. Такими є всі додатні числа, менші за 5, всі від’ємні числа, більші за –5, і число 0. Таку множину чисел можна записати за допомогою подвійної нерівності –5 x 5. На числовій прямій цій множині чисел відповідає проміжок, пока- заний на малюнку 16, а. Числа –5 і 5 не належать цьому проміжку, вони не задовольняють дану нерівність, а нерівність x ≤5 — задовольняють (мал. 16, б).

Цей проміжок позначають [–5; 5].

б) Нерівність x >3 задовольняють усі числа, більші за 3, і всі числа, мен- ші за –3 (мал. 17).

5 0 5 5 0 5

а б Мал. 16

3 0 3 Мал. 17

в) Модуль кожного числа — число невід’ємне, воно не може бути менше, ніж від’ємне число –2, або дорівнювати –2. Тому дана нерівність розв’язків не має.

г) Кожне невід’ємне число більше за –0,5. Тому дану нерівність задо- вольняє кожне дійсне число.

П

^{ЕРЕВІРТЕ СЕБЕ}

1. Наведіть приклади нерівностей зі змінними.

2. Що називають розв’язком нерівності зі змінною?

3. Скільки розв’язків може мати нерівність з однією змінною?

4. Як записують множини розв’язків нерівності зі змінною?

В

^{ИКОНАЄМО РАЗОМ}

1 Розв’яжіть нерівність 2x 3 2(x 3).

Розв’язання. 2x 3 2x 6, 2x – 2x 6 – 3, 0x 3.

Нерівність 0x 3 правильна при кожному значенні x.

Відповідь.

(

^{−∞ + ∞;}

)

^.

2 Розв’яжіть нерівність 6z 7 t 2(3z 4).

Розв’язання. 6z 7 t 6z 8, 6z – 6z t 8 – 7, 0z t 1.

Нерівність 0z t 1 не задовольняє жодне значення z.

Відповідь. Розв’язків немає.

3 Розв’яжіть нерівність 5 8 5 6 3 2 1.

x− +x− > x−

Розв’язання. Помножимо обидві частини нерівності на 6 (найменше спільне кратне чисел 6, 3 і 2):

x – 5 2(x – 8) ! 3 · 5x – 6, x – 5 2x – 16 ! 15x – 6, x 2x – 15x ! –6 5 16, – 12x ! 15,

< − x 15

12, x –1,25.

Відповідь.

(

^{−∞ −; 1,25 .}

)

4 Розв’яжіть подвійну нерівність: –2 d 10x – 3 d 5.

Розв’язання. –2 3 d 10x – 3 3 d 5 3, 1 d 10x d 8,

0,1 d x d 0,8.

Відповідь. [0,1; 0,8].

В

^{ИКОНАЙТЕУСНО}

126. Які з чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5 задовольняють нерівність:

а) 2x – 5 ! 0; б) 4x 1 d 13; в) 3x 4 t 5?

127. Розв’яжіть нерівності:

а) 2x 6; в) 0,5z ! 2; ґ) x+ <3 x; б) –3x ! 9; г) 2y<

3 10; д) x− ≤3 x. 128. Скільки розв’язків має нерівність:

а) x² 1 0; в) x ≤0; ґ) 10x 20?

б) 0;x < г) − 2x>2;

129. Відкрита задача. Складіть нерівності, розв’язки яких зображено на малюнку 18.

Мал. 18 а

3 б

2 в 1 1

Р

^ІВЕНЬ

А

130. Зобразіть на координатній прямій у вигляді проміжків множини чисел, що задовольняють нерівність:

а) x 4; б) x ! –1; в) x d 0,5.

Розв’яжіть нерівність (131–134).

131. а) x 2 ! 5; в) 2 x t 3; ґ) 4y 36;

б) x – 4 ! 0; г) 3x ! 15; д) 5z t 35.

132. а) 3x ! 15; в) 2x – 5 t 0; ґ) x – 1,5 d 0;

б) x 7 ! 0; г) –4x t 20; д) 10 5x 0.

133. а) –x 5; в) –x 0; ґ) –3x ! –3;

б) –z t –4; г) –5x d 15; д) 5z d –1.

134. а) 3x 2 5; в) 9x 5 ! 5; ґ) 6z 1 ! 2z;

б) 7x – 4 t 8; г) 5x – 4 3x; д) y 5 2у.

135. Чи рівносильні нерівності:

а) 2x 3 ! x 8 і x ! 5;

б) 2x – 3 t 2 і 2x – 4 t 1;

в) 3 – 5x x і 6x ! 3;

г) 3x – 1 6 – 2x і 1 – 3x 2x – 6?

Розв’яжіть нерівність (136–139).

136. а) 8x – 3 ! 5x 6; ґ) 3 x ! 2x – 3;

б) 7y – 13 5y – 9; д) 5 – 2y y 8;

в) 2x – 3 d 3x – 8; e) 3 – 5x ! 4 – 5x;

г) x – 15 t 4x 3; є) 8 6z d 13 6z.

137. а) 6x 21 d 5x 8; ґ) x – 15 6x – 10;

б) 3x 7 7x 3; д) 11x – 3 d 8x – 15;

в) 7x – 5 ! 3x 7; e) 18 – 7x t 5x 30;

г) 2x – 9 t 9x 5; є) 17 – x ! 10 – 6x.

138. а) 3(x 1) ! x 5; г) 3(x 2) – 4 ! x 2;

б) 2(x – 1) 4 x 7; ґ) 2(x 3) t 5x – 9;

в) 4(x – 2) x 1; д) 4(x 3) – 3x d x – 5.

139. а) – 5(x – 1) 3 – 7x; г) – 3(2 x) 5x d 2x 1;

б) 2(3 – x) – x 7 3x; ґ) 8 – 3 (x – 2) ! 4x;

в) 3(2 – x) ! x – 6; д) 5y 12 – 4 (y 5).

140. За якої умови набуває від’ємних значень вираз:

а) 7 5x; б) 10 – 0,5x; в) 2 2 ?− x 141. За якої умови набуває невід’ємних значень вираз:

а) 2,5 0,5x; б) 3,9 1,5x; в) 1,2 – 3x?

142. За якої умови значення даного виразу більше за 10:

а) 3 7x; б) 5,4 – 2,3x; в) 12−x 2 ?

143. За якої умови значення виразу 3x – 7 більше за відповідне зна- чення виразу:

а) 2 x 1; б) 5x – 2; в) 3x – 5?

Розв’яжіть нерівність (144–147).

144. а) 5 7 3;

x≤ в) 5

0 ;

11

> x ґ) 1;

2

− ≤x e) 2 5 7 3;

x+ >

б) 3 4 5;

− x< г) 2 5 3;

x> − д) 3 1 4 2;

x− ≤ є) 7 3 5 . x− ≥x 145. а) 3

5 2;

x> в) 2 3 4;

x< − ґ) 6 1 2 3;

x+ > e) ³( 4) 12.

5 x− >

б) 4 7 4;

x< г) 17

0 ;

5

≥ x д) 4 11 5 0;

x− ≤

146. а) (x 2)² ! 5x x²; в) 4 – (x – 2)² ! x – x²; б) (x 3)² – 2x t 5x x²; г) (7 – x)² – x² d x – 11.

147. а) (x – 3)² d x² – x; в) 1 – (x 2)² 5 – x²; б) (x – 2)² 7x x² – 3x; г) (x – 5)² – 7 ! x² 8.

148. Відкрита задача. Напишіть три різні нерів- ності, множини розв’язків яких відповідали б проміжку, зображеному на малюнку 19.

Складіть аналогічну задачу та розв’яжіть її.

149. Яке найбільше натуральне значення n задовольняє нерівність:

а) 18 – 3(n – 15) ! 11n;

б) 0,3(n – 2) 1,2 – 0,5(n 2)?

150. Яке найменше ціле значення m задовольняє нерівність:

а) 3m 8(2m – 1) ! 5m 35;

б) m² 4m d (m 3)²?

Р

^ІВЕНЬ

Б

151. Для яких значень x значення функції 2 3 7 : y= x−

а) додатні; б) невід’ємні;

в) більші від 5; г) не менші від 1 3?

− 152. Для яких значень x значення функції y 5,2 – 2,5x:

а) від’ємні; б) додатні; в) не більші від 7,7?

1 0 1 4 Мал. 19

153. При яких значеннях змінної x має зміст вираз:

а) 3x−6; в) − −(2 x); ґ) 1 5− (x+3 ;) б) 4−x; г) 0,5 0,3 ;− x д) x+ 2−x? Розв’яжіть нерівність (154–161).

154. а) 3(x 4) 2(3x – 2) ! 5x – 3(2x 4);

б) 2x – 6 – 5(2 – x) d 12 – 5(1 – x);

в) x 2 5(2x 8) 13(4 – x) – 3(x – 2).

155. а) y 7 ! 4(2 – y) – 12(4 – 2y) 17(y – 1);

б) 0,2(x – 2) – 0,3(3 – x) t 0,4(2x – 1) – 0,5(x – 1);

в) 2,5(2 – z) – 3,5(z – 1) d 2,5(z 2) – 1,5(2 – z).

156. а) 6;

2 4 x x

+ > в) 15;

2

x+ ≥x ґ) 3 2

4 5 2.

y y

− − + ≥ б) 3

2 3 2;

x x

− > г) 2 3

3 2 0;

x x

+ − − >

157. а) ⁷( ³) 5 6 2( ) 14 ³;

2 2

x x

− + − x + < − б) 3 2( 4) (5 2) 3 ⁹( 2 .)

x− + x− − ≤2 x− 158. а) 3 2( ) 7 2 12 4

6 ;

2 3 5

c c c

+ − < − − +

б) 5 18 27 10 3 12 9 4

10 14 5 7 .

z− − − z> z− − − z

159. а) (x – 2)(x – 3) ! x²; г) (3x – 2)(3 2x) t 6x²; б) (x 5)(x – 7) x²; ґ) (3x – 1)² d 9x(x – 2);

в) (2x – 1)(3x 5) d 6x²; д) (3x – 2)² t (3x 2)². 160. а) (z – 2)² (z – 3)(z 5); в)

2

2 2

1 1

;

x x

x x

⎛ + ⎞ > +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

б) (y 3)² t y (y – 5); г)

2

2 2

1 1

.

x x

x x

⎛ − ⎞ > +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

161. а) 1

3 2;

2 1− x>

− в) 2 3

3 2 3 0;

x− >

+ −

б) 1

2 2 1;

2 1

− >x −

+ г) 2 2

3x 2 0.

− <

+

162. На малюнку 20 зображено графіки функцій y= x і 4 . 2 y= −x Дивлячись на них, укажіть множину розв’язків нерівності 4 .

2 x< −x Геній — це один від- соток натхнення і дев’яносто дев’ять відсотків поту .

Т. А. Едісон

y

0 1 x 1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7 8 9 Мал. 20

163. Розв’яжіть графічно нерівність:

а) 8

;

x>x б) x≥x²; в) x< −x 2.

164. Відкрита задача. Напишіть нерівність зі змінною x:

а) яка не має жодного розв’язку;

б) яку задовольняє кожне дійсне число;

в) яку задовольняє тільки одне число 5;

г) яку задовольняють усі числа з проміжку (–2; 3).

165. Туристи мають повернутися на базу не пізніше ніж через 3 год.

На яку відстань вони можуть відплисти за течією річки на мотор- ному човні, якщо його власна швидкість 18 км/год, а швидкість течії — 4 км/год?

166*. Розв’яжіть нерівність:

а) (2x – 3)(5x 2) – (3x – 1)(4x 2) ! 2(1 – x)(1 x) – x;

б) (3x – 2)(3x 2) – (2x – 3)² d 5x (x 7) 10;

в) (4x 1)(3x – 5) (2x 3)(5x – 4) 2x² 5(2x – 1)²; г) (3x 1)² – (2x – 3)(3 – 2x) t (2x 1)² (3x – 7)(3x 7).

167. Розв’яжіть подвійну нерівність:

а) –3 d 5x – 1 d 4; ґ) 0,7 3x 1 1,3;

б) 1 3x 4 7; д) –3,4 d 5 – 2x d 1,8;

в) –5 d 3 – 2x 1; e) –8 7 – 5x –3;

г) 2 4 1 3

5 3 5;

x−

− < < є) 2 2 0,5 1

3 5 3.

− x

− < ≤

168. Розв’яжіть подвійну нерівність і вкажіть її найбільший цілий розв’язок:

а) 2 3x – 5 7; в) –2 d 1 – 3x d 4;

б) –3 d 4 – 2x d 3; г) –0,3 2,7 0,1x 1,7.

Розв’яжіть нерівність (169–170).

169*. а) x <5; б) x− ≤3 7; в) 2x− <3 1.

170*. а) 3x ≤1; б) x+ <7 3; в) 1 5− x ≤2.

−x

4 2 y= x

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Як позначають множини А, В, С,…, N, Z, Q… .

— Що таке підмножина

Множина K — частина множини М. N  Z  R.

K⊂M K — підмножина М.

— На основі яких властивостей розв’язують нерівності (с. 32).

— Як зображають розв’язки лінійної нерівності (с. 33).

— Що означають записи а db і а t b?

а d b a≥b

а b або а b а ! b або а b

В

ИКОРИСТОВУЄМО НАБУТІ КОМПЕТЕНТНОСТІ

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від р. № 417) ВИДАНО ЗА РАХУНОК ДЕРЖАВНИХ КОШТІВ (páginas 32-41)