Функція — одне з найважливіших понять математики і практики.
Якщо добре поміркувати, то можна зрозуміти, що всі ми живемо у сві- ті функцій — змін, залежностей і відповідностей. З плином часу день змінює ніч, весна — зиму. Під цей ритм підлаштовується все живе, зокрема і світ людини. Найбільш поширений графік роботи, розклад занять, робота розважальних центрів і навіть програма радіо і телеба- чення складається залежно від часу доби і пори року.
Можна навести чимало прикладів залежностей і відповідностей між змінними у різних галузях знань:
• геометрія — формула S= π4 R2 виражає залежність площі поверх- ні кулі (S) від її радіуса (R);
• фізика — формула l
T= π2 g встановлює відповідність між довжи- ною маятника (l) і його періодом коливання (T). Отже, T — функція від l (тут π ≈3,14, g | 9,8 м/с2 — константи);
• економіка — формула TR p · Q задає залежність загального до- ходу (TR), який отримує підприємство, від ціни (p) проданого товару і обсягу продажу (Q).
Нагадаємо основні відомості про функції.
Якщо кожному значенню змінної x з деякої множини D відповідає єдине значення змінної y, то таку відповідність називають функцією.
При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, y — за- лежною змінною, або функцією, а множину D — областю визначення даної функції. Множину всіх значень у, яких може набувати функція, називають її областю значень і позначають буквою E.
Графіком функції називають множину всіх точок координатної пло- щини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції.
Задають функції найчастіше у вигляді формул, таблиць або графіків.
Наприклад, формула y x2 задає функцію, яка виражає відповідність між числами та їх квадратами. Якщо область визначення цієї функ- ції — множина цілих чисел з проміжку [–3; 3], то її можна задати у вигляді таблиці:
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
Графік цієї функції — сім точок (мал. 46). Її область визначення — множина D {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}, а область значень — множина E {0, 1, 4, 9}.
Якщо область визначення функції y x2 — проміжок [–2; 2], то її графіком є частина параболи, зображена на малюнку 47, а областю значень — проміжок [0; 4].
Графіком функції y x2, заданої на множині всіх дійсних чисел R, є вся парабола (мал. 48). Область визначення цієї функції — множина дійсних чисел R, а область значень — проміжок
[
0;∞)
.Нагадаємо ще кілька прикладів функцій.
y kx — пряма пропорційність (k z 0). Її графік — пряма, що про- ходить через початок координат. Область визначення цієї функції — множина R, область значень — теж множина R.
Мал. 46 Мал. 47 Мал. 48
32 0 1 8 9 7 6 5 4 3 2
1 2 3x y
32 0 1 8 9 7 6 5 4 3 2
1 2 3x y
32 0 1 8 9 7 6 5 4 3 2
1 2 3x y
2 0 1 8 7 6 5 4 3 2
1 2 3x y
2 1 8 7 6 5 4 3 2
1 2 3x y
0 2 0
1 8 7 6 5 4 2
1 2 3x y
3
Наприклад, графік функції y 2x зображено на малюнку 49.
y kx b — лінійна функція. Її графік — пряма, не паралельна осі y.
Область визначення — множина R, область значень — R, якщо k z 0.
Якщо k 0, то область значень — одне число b.
Приклади: y x 2 (мал. 50), y 3,5 (мал. 51).
y k
=x — обернена пропорційність (k z 0). Її графік — гіпербола.
Якщо k ! 0, то вітки цієї гіперболи розміщені в І і III чвертях коорди- натної площини, якщо k 0, — у II і IV чвертях. Область визначення функції k
y=x — множина R без числа 0, область значень — ця сама множина
(
−∞; 0) ( )
* 0;∞ .Приклади: y
=x3
(мал. 52, а), y
= −x2
(мал. 52, б).
Графік функції y x3 зображено на малюнку 53. Її область визна- чення і множина значень — множина R.
Графік функції y= x — одна вітка параболи (мал. 54). Її область визначення
[
0;∞)
і область значень —[
0;∞)
.Якщо змінна у залежить від x, то записують y f(x) (читають: ігрек дорівнює еф від ікс). Символом f(a) позначають значення функції y f(x), якщо x a. Нехай, наприклад, функцію задано формулою y 3x2 – 5. Можна записати і так: f(x) 3x2 – 5. У цьому випадку f(0) 3 · 02 – 5 –5; f(–2) 3 · (–2)2 – 5 7.
Зауваження. Якщо y f(x), то часто кажуть, що y — функція від x, тобто функцією називають змінну y. Однак здебільшого під функцією розуміють не одну залежну змінну, а відповідність між значеннями двох змінних. До того ж — не будь-яку відповідність, а однозначну, при якій кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y.
Мал. 49 Мал. 50 Мал. 51
2 y= x
2 y= +x
3,5 y=
ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?
Деякі функції на окремих частинах області визначення задаються різними формулами. Такою є, наприклад, функція
( ) x x
f x x x
⎧ <
= ⎨⎩ ≥
2, якщо 0, , якщо 0.
Значення цієї функції при від’ємних значеннях аргументу знаходять, користуючись формулою f(x) x2, а при інших — за формулою f(x) x. Її графік — на малюнку 55.
Існують також інші функції, які позначають новими для вас символами.
Мал. 53
Мал. 54 Мал. 52
а б
32 2 3
7 6 5 4
0 1 8 9
3 2
1 2 3 y
32 2 3 0 1 8
9 3
y=x
y 2
= −x
y x3 7
6 5 4 3 2
1 2 3x y
32 2 3
7 6 5 4 0 1 8 7 6 5 4 3 2
1 2 3x y
2 2
0 1 4 3 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x y
x
y= x
Цілою частиною дійсного числа x називають таке найбільше ціле число [x], яке не більше від x. Графік функції y [x] — на малюнку 56.
2 0 1 6 5 4 3 2
1 2 3x y
2 2
0 1 4 3 2
1 2 3 4x y
Мал. 55 Мал. 56
Дробовою частиною дійсного числа x називають різницю між даним числом і його цілою частиною: {x} x – [x]. Графік функції y {x} — на малюнку 57.
1 2 0
1
1 2 3 x
y
Мал. 57
П
ЕРЕВІРТЕ СЕБЕ1. Сформулюйте означення функції.
2. Що таке аргумент функції? Наведіть приклад.
3. Як можна задати функцію?
4. Що таке область визначення і область значень функції?
5. Які функції називають лінійними? Які їх властивості?
6. Назвіть властивості оберненої пропорційності.
7. Що таке графік функції?
В
ИКОНАЄМО РАЗОМ1 Функцію задано формулою f(x) x3 1. Знайдіть: f(–3), f(0), f
( )
2 .Розв’язання. f(–3) (–3)3 1 –27 1 –26, f(0) 03 1 0 1 1,
( ) ( )
f 2 = 2 3+ =1 2 2 1.+
Відповідь. f(–3) –26, f(0) 1, f
( )
2 =2 2 1.+2 У яких точках графік функції y x2 – 3x 2 перетинає:
а) вісь y; б) вісь x?
Розв’язання. а) Якщо графік перетинає вісь y у деякій точці, то абсциса цієї точки дорівнює нулю, а координати точки задовольня- ють рівняння, що задає функцію.
Маємо: x 0; у 02 – 3 · 0 2 2.
Отже, графік функції перетинає вісь y у точці з координатами (0; 2).
б) Якщо графік перетинає вісь x у деякій точці, то ордината цієї точки дорівнює нулю, а координати точки задовольняють рівняння, що задає функцію.
Маємо: y 0; x2 – 3x 2 0; x1 1; x2 2.
Отже, графік функції перетинає вісь x у точках з координатами (1; 0) і (2; 0).
Відповідь. а) (0; 2); б) (1; 0) і (2; 0).
В
ИКОНАЙТЕУСНО286. Провідміняйте слово: а) функція; б) аргумент; в) графік.
287. Задайте формулою функцію, яка виражає відповідність між чис- лами та:
а) їхніми кубами;
б) протилежними до них числами;
в) оберненими до них числами;
г) їхніми модулями.
288. Яким є графік функції, заданої формулою:
а) y 3x 1; в) y 3; ґ) x y= ;
3 б) y x2; г) y
=x3
; д) y= x? 289. Чи правильно, що:
а) графік функції y=2x−
3 5 є також графіком рівняння 2x – 3y 15;
б) графік функції y= x є також графіком рівнянн я y2 x? Чому?
290. Графік якої з функцій проходить через початок координат:
а) y 2(x – 3); б) y 2x2; в) y x(x – 2)?
291. Знайдіть область визначення функції:
а) y 3x – 2; в) y –2,5; ґ) y= 2x−4;
б) y 4 – x2; г)
( )
y=x x
− 5 ;
3 д) y x
= x1 − 5 2 .
Р
ІВЕНЬА
292. Функцію задано формулою y=1x2
2 на області визначення D {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}. Задайте її таблично і графічно.
293. Побудуйте графік функції y=1x2
2 на проміжку [–4; 4]. Знайдіть її область значень.
294. Функцію y=1x2
2 задано на множині R. Знайдіть її область значень.
Чи належить графіку цієї функції точка A (–100; 5000)?
295. Функцію задано у вигляді таблиці:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
у 5 10 15 20 25 30 35 40
Задайте її формулою. Вкажіть її область визначення і область значень.
296. Функцію задано формулою f(x) x2 10. Обчисліть:
f(2), 3f(2), 2f(3), 0,5f(10).
297. Функцію задано формулою f(x) x3 – 5. Знайдіть:
f(–3), f(–2), f(–1), f(0), f(7), f⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠1
2 , f
( )
3 .298. Функцію задано формулою f(x) x2 – x. Обчисліть:
а) f(–2) f(–1); б) f(0) f(1); в) f(2) – f(30).
299. f(x) x2 – x 1. Знайдіть:
а) f(0) f(1) f(2) f(3); б) f(10) – f(–9) f(8) – f(–7).
300. На малюнку 55 зображено гра- фік функції y f(x).
Знайдіть:
а) область визначення і область значень даної функції;
б) f(–5), f(–1), f(0), f(4), f(5);
в) для яких значень аргументу f(x) 4, f(x) 3;
г) координати точок, у яких графік функції перетинає осі координат;
ґ) для яких x значення f(x) най- більше, найменше.
2 2 3 4 4
5 0 1 6 5 4 3 2
1 2 3 4 5 x y
Мал. 58
Знайдіть область визначення функції (301–302).
301. а) у 3x – 2; в) y= x+5; ґ) y= x2+1;
б) y
=x
− 3 ;
2 г)
( )( )
y= x x
− −
1 ;
3 4 д) = +
2
10 . y 1
x 302. а) y 5x – 1; в) y= 4−x; ґ) y= x+1;
б)
( )( )
y= x x
− +
3 ;
4 1 г) x
y= x
− 2 ;
5 д) x
y x
= − +
1. 1 303. Побудуйте графік функції:
а) y 3x – 2; в) y –3x; ґ) y 5;
б) y 0,5x – 1; г) y 7 – 2x; д) y 3 – x.
304. Побудуйте графік функції, заданої формулою:
а) f(x) 2 – 3x; в) f(x) 3 – 2x;
б) f(x) –1; г) f(x) 0,5x.
305. Знайдіть область знач ень функції:
а) f(x) 7; б) f(x) 2x; в) y x2.
306. Чи належить графіку функції y= 25−x2 точка A (3; 4)? Точка B (–4; 3)?
307. Чи проходить графік функції y x(x – 3) через точки A(2; –2);
B(–1; 4); C(1,5; –2,25)?
308. Яка з точок A(–2; –6); B(1,5; 8); C(–3; 4); D(2; 6); E(3; 4) належить графіку функції:
а) y –10x – 26; б) y
=12x
; в) y= x2+7 ? 309. У яких точках перетинає вісь x і вісь y графік функції:
а) y 2,5x; б) y 3 – 2x; в) y 2(x – 1)?
310. Температуру за шкалою Цельсія, Фаренгейта і Кельвіна позначи- мо відповідно tC, tF, tK. Формули перерахунку мають вигляд:
( )
F C
t =9 t +
5 32 , tK tC 273. Для довільних 10 значень температури за Цельсієм знайдіть відповідні значення температури за Фаренгей- том і Кельвіном. Дані занесіть до таблиці. Зобразіть графічно одер- жані залежності.
Р
ІВЕНЬБ
311. Функцію задано формулою f(x) x2. Чи правильно, що для кожного числа a виконується рівність f(–a) f(a)?
312. Функцію задано формулою f(x) x3. Чи для кожного значення її аргументу x правильна рівність f(–x) –f(x)?
313. Знайдіть f(–2); f(–1); f(0); f(1); f(2), якщо функцію задано форму- лою:
а) f(x) 2x2 3; в) f x( )= x2+1;
б) f(x) 3x3 – 2; г) f x( )= x2+8x+15.
314. Функцію задано формулою x y= x
+ 6
1 на множині натуральних чисел першого десятка. Задайте її у вигляді таблиці.
315. Функцію задано формулою y=2 x+5 на області визначення D {–4; –2,75; –1; 1,25; 4; 11}. Задайте її у вигляді таблиці і графіка.
316. Не будуючи графіка рівняння 9x – 2y 14, знайдіть його точку, ордината якої дорівнює абсцисі.
317. Не будуючи графіка функції y x2 – 2, знайдіть його точку, абсциса та ордината якої — протилежні числа.
318. Кожному натуральному числу відповідає протилежне йому число.
Чи є така відповідність функцією? Якщо так, то задайте її формулою та графіком.
319. Кожному цілому числу відповідає рівне йому число. Чи є така від- повідність функцією? Якщо так, то що є її графіком?
320. Функцію y f(x) задано графіком (мал. 59). Для яких значень аргументу:
а) f(x) 0, f(x) d 0;
б) f(x) –2, f(x) ! –2, f(x) d –2;
в) f(x) 3, f(x) t 3, f(x) 3;
г) 0≤f x( ) 3;≤
ґ) 2 f(x) 4?
Мал. 59
321. У яких точках перетинає вісь x і вісь y графік функції:
а) y=1x+
2 3; в) y=2x+5
5 2; ґ) y x2 – 2x;
б) y= −x 4
7; г) y x2 – 4; д) y 6 – 5x – x2? 2
2 3 0 1 5 4 3 2
1 2 3 4 5 6 7 8x y
Побудуйте в одній системі координат графіки функцій (322–324).
322. y x2, y x2 3 і y x2 – 2.
323. y= x, y= x+2 і y= x−3.
324. y= x, y= x+11 і y= x −2.
325. При якому значенні m графік функції y= x m+ проходить через точку P (5; 5)? Чи проходить цей самий графік через точку Q(4; 4)?
326. Відомо, що точка А (3; 1) належить графіку кожної функції у f(х). Установіть відповідність між функціями f(х) (1–4) і точками (А–Д), через які проходять графіки цих функцій.
1 f(х) х2 m А (4; 8) 2 f(х) m 2x Б (12; 4) 3 f(х) m
x+1 В (12; 7)
4 f(х) 3 x + m Г (1; 2)
Д (1; 5)
327. Побудуйте графік функції:
а) y
=x4
; в) y
=12x
; ґ) y 0,5x2; б) y
= −x3
; г) y 2x2; д) y x2 – 1.
328*. Знайдіть область визначення функції:
а) y x
= 2− 1 ;
5
г) y= x+ +5 5−x;
б) x x
y= − 3+5
4 ; ґ) y= x2−6x+10;
в) y
x x
= 3+ 2 1 ;
5 д) x x
y x
− −
= −
2 2
3 4
16 .
329*. Задача А. М. Колмогорова. Яку додаткову умову потрібно на- класти на значення x у формулі f(x) 1, щоб одержати визначення функції f x( )=
( ) (
x 2+ 1−x)
2?330*. Побудуйте графік функції:
а)
x
y x x
x x
< −
⎧⎪
=⎨ − ≤ ≤
⎪ − >
⎩
2
4, якщо 2, , якщо 2 1, 2 , якщо 1;
в)
+ ≤
⎧⎪
=⎨ − − < <
⎪− ≥
⎩
1, якщо 1, 3 , якщо 1 4,
1, якщо 4;
x x
y x x
x б) = −
−
2
10 5 ; 2 y x
x x г) = − +
+ 2 2 3 1
2 1 .
x x
y x
Математика — це те, за допомогою чого люди керують природою і собою .
А. М. Колмогоров А. М. Колмогоров
331*. Побудуйте графік функції:
а) y= 2x−3 ; в) y= + −x 1 x; ґ) y
= x6
; б) y=2x−3; г) x
y= x; д) y= x2+10x+25.
332*. Функція попиту на товар: QD 9 – p. Функція пропозиції товару:
QS 2p – 6. Тут QD — обсяг попиту і QS — обсяг пропозиції (мільйон штук за рік), p — ціна (грошові одиниці). Визначте рівноважну ціну (попит дорівнює пропозиції) і обсяг продажу. Як вплине на значення рівноважної ціни товару зменшення попиту на 20 %?
В
ПРАВИДЛЯПОВТОРЕННЯ333. Порівняйте значення виразів:
а) 3 2 і 20; в) 13 і 2 3; ґ) 4 5 і 9;
б) 3 5 і 44; г) 3 7 і 8; д) 5 2 і 7.
334. За один місяць роботи службовцю Н нараховують зарплату в роз- мірі 5430 грн. Із усіх нарахувань утримують податок на доходи фізичних осіб, який становить 18 %, та інші відрахування у розмірі 2,5 %. Скільки грошей службовець Н отримує за місяць? Яку суму складають його відрахування за рік?
335. Розв’яжіть нерівність:
а) x x+ >
+ 2 3
3 1 0; б) x
− > −x
−
6 1;
1 в) x
x
− ≥
9 2 1.
С
КАРБНИЧКА ДОСЯГНЕНЬ9 Знаю, як позначають функції.
9 Можу навести приклади вивчених функцій:
лінійної у 2х 3;
прямої пропорційності у –0,5 х;
оберненої пропорційності = k y x; інші y x2.
9 Умію обчислювати значення функції в точці.
9 Умію будувати графіки функцій і знаю назву графіків:
у kх у kх b k
y=x y x2 пряма пряма гіпербола парабола
9 Хочу навчитися детальніше характеризувати функцію за її графіком.
Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:
— Які характеристики функції можна визначати за її графіком:
область визначення, область значень, додатні значення, від’ємні значення тощо.
— Види функцій, їх графіки та основні характеристики:
лінійна обернена пропорційність квадратична у kх b k
y=x y x2