Сума n-перших членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює півсумі крайніх ї ї членів, помноженій на число членів

1 .

2

n n

a a S = + ⋅n

Доведення. Нехай Sn — сума n-перших членів арифметичної прогресії a1, a2, a3, a4, …, an– 3, an– 2, an– 1, an.

Якщо a1 an m, то a₂ an – 1 m, a3 an– 2 m і т. д.

Враховуючи це, додамо почленно дві рівності:

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

n n n n

n n n n

S a a a a a a

S a a a a a a

− −

− −

= + + + … + + +

+ = + + + … + + +

2Sn m m m … m m m 2Sn mn; 2Sn (a1 an)n, звідси

n n

a a S = ¹+ ⋅n.

2

За цією формулою знаходять суму перших п членів будь-якої ариф- метичної прогресії.

Приклад 3. Знайдіть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії 5, 7, 9, … .

Розв’язання. Тут a1 5, d 2. Тому a20 5 19 · 2 43.

20

5 43 20 480.

S = +2 ⋅ = Відповідь. 480.

Суму n перших членів арифметичної прогресії можна також знахо- дити за формулою 2 ₁ ( 1)

2 .

n

a n d

S = + − ⋅n Доведіть її самостійно.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Уявіть лінійну функцію, задану формулою y = 0,5x + 1. Її графік зображено на малюнку 120. Якщо аргументу x надавати тільки натуральних значень, тобто 1, 2, 3, … , то значення функції дорівнюватимуть відповідно:

1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; … .

Маємо арифметичну прогресію з першим членом 1,5 і різницею 0,5. Цій прогресії відповідає малюнок 121. Взагалі кожна функція y = ax + b, визначена на множині натуральних чисел, є арифметичною прогресією з першим членом a + b і різницею a. Тому вважають, що арифметична прогресія — це лінійна функція, задана на множині натуральних чисел.

Мал. 120 Мал. 121

Якщо така функція визначена на множині всіх натуральних чисел, то має- мо нескінченну арифметичну прогресію. Якщо вона визначена на множині перших n натуральних чисел, то маємо скінченну арифметичну прогресію, яка містить n членів.

П

^{ЕРЕВІРТЕ СЕБЕ}

1. Сформулюйте означення арифметичної прогресії.

2. Що таке різниця арифметичної прогресії?

3. Як виражається n-й член арифметичної прогресії через її перший член і різницю?

4. Чому дорівнює сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців?

5. Чому дорівнює сума n перших членів арифметичної прогресії?

В

^{ИКОНАЄМО РАЗОМ}

1 Знайдіть суму всіх двоци фрових натуральних чисел.

Розв’язання. Знайдемо суму чисел 10, 11, 12, … , 99. Це скінченна арифметична прогресія. Вона містить 90 членів, і тому її сума до- рівнює:

( )

1 10 99 90 4905.

S=2 + ⋅ = Відповідь. 4905.

2 Чи є числа 1000 і 200 членами арифметичної прогресії з першим членом 5 і різницею 3?

Розв’язання. Якщо 1000 є і-м членом даної прогресії, то 1000 5 (i – 1) · 3 або 3 · (i – 1) 995. Оскільки 995 не ділиться на 3, то і не є натуральним числом.

Якщо 200 5 (i – 1) · 3, то 3 · (i – 1) 195, звідси i 65.

Відповідь. 1000 — не є членом даної арифметичної прогресії, а 200 — її 65-й член.

3 В арифметичній прогресії відомі a7 43 і a15 3. Знайдіть a10. Розв’язання. Підставимо дані задачі у формулу an a1 d · (n – 1).

Маємо:

7 1

15 1

6 , 14 ;

a a d

a a d

= +

⎧⎨ = +

⎩ або ¹

1

43 6 ,

3 14 ;

40 8 , звідки

a d

a d

d

= +

⎧⎨ = +

⎩ = − d –5, a1 73.

Оскільки a10 a1 9d, то a10 73 9 · (–5) 28.

Відповідь. 28.

В

^{ИКОНАЙТЕУСНО}

643. Знайдіть різницю арифметичної прогресії:

а) 3, 5, 7, … ; б) 12, 10, 8, … ; в) –2, 1, 4, … ; г) –7, –9, –11, … . 644. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 2. Знайдіть її перший

член, якщо:

а) a2 5; б) a2 –3; в) a2 0,3; г) a2= 2.

645. Чи є арифметичною прогресією послідовність:

а) 1, 3, 5, 8, 11, 14, … ; б) 0, –1, –3, –5, –8, … ?

646. Які з послідовностей можуть бути арифметичними прогресіями?

Укажіть для них перший член і різницю.

а) 0, 3, 6, 9, 12, … ; ґ) 1 2,

1, 3

1, 4

1, 5 ^{… ;} б) –2, –4, –6, –8, –10, … ; г) 5, 10, 20, 40, 80, … ; в) 3, 3, 3, 3, 3, 3, … ; д) 1

2, 1, 3

1,

6 ^0, −1 6, ^{… .}

Р

^ІВЕНЬ

А

647. Напишіть п’ять перших членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a₁ 7, d 2; в) a₁= −1

4, d= 1 4; б) a1 0,5, d –10; г) a1 9, d 0.

648. Напишіть сім перших членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a1 2, d 5; в) a1 0, d 7;

б) a1 –3, d 4; г) a1 4, d –1.

649. В арифметичній прогресії:

а) a1 5, d –4. Знайдіть a7, a20; б) a₁ 9, d 4. Знайдіть a15, a₃₂.

650. В арифметичній прогресії a2 14, a3 25. Знайдіть d, a₁₀, a₂₀. 651. Знайдіть різницю і десятий член арифметичної прогресії:

а) 2, 7, 12, … ; б) 3, 1, –1, … ; в) 1 2,

1, 3

1, 6 ^{… .} 652. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо:

а) a1 5, a7 95; в) a1 –15, a10 –24;

б) a1 2,3, a5 1,5; г) a1 –17, a7 97.

653. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, якщо:

а) a11 25, d 2; в) a8 9, d 0,3;

б) a36 5, d –1; г) a₂₁ –50, d 3.

654. В арифметичній прогресії a17 53, d 3. Знайдіть a1, a5, a11, a21. 655. В арифметичній прогресії a10 5, a11 –4. Знайдіть a1, d, a5, a21. 656. В арифметичній прогресії a25 5, a27 4. Знайдіть a7, a₂₀.

657. В арифметичній прогресії a₄ 2, a6 3. Знайдіть a40, a₄₁. 658. Знайдіть n-й член арифметичної прогресії:

а) 2, 5, 8, …; б) 7, 6, 5, …; в) 1 3,

2, 3 ^{1, ….}

659. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії;

а) 7, 12, …; в) –2,5, 0,5, …;

б) –25, –19, …; г) –4,5, –3,7, ….

660. Знайдіть суму перших десяти членів арифметичної прогресії:

а) a₁ –35, a10 10; в) a₁ –2,5, a10 2;

б) a1 66, a10 –6; г) a1 20, a10 21,8.

661. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, якщо:

а) a10 95, S10 500; б) a15 47, S15 1500.

662. Знайдіть суму перших ста членів арифметичної прогресії:

а) 50, 49, 48, …; в) 2, 7, 12, 17, …;

б) –50, –49, –48, … ; г) 16, 13, 10, 7, ….

663. Знайдіть суму перших сорока членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a1 2, d 3; в) a1 3, d –0,2;

б) a1 –18, d 5; г) a₁ 7, a50 252.

664. В арифметичній прогресії відомі перший член a1 і різниця d. Знай- діть суму її перших п членів S_n, якщо:

а) a₁ 3, d 2, n 32; г) a₁ –5, d –7, n 12;

б) a₁ –4, d 4, n 25; ґ) a₁ 0, d 7, n 35;

в) a1 15, d –2, n 40; д) a1 8, d 0, n 50.

665. Стародавня арабська задача. Знайдіть 20-й член і суму двадцяти членів арифметичної прогресії 3, 7, 11, 15, … .

666. Стародавня єврейська задача. Знайдіть суму шістдесяти перших натуральних чисел.

667. Учитель запропонував знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40; вважав, що школярі довго додаватимуть сорок чисел. А малий Карл Ґаусс (згодом відомий німецький математик) завдання виконав за хвилину. Як він міркував? Спробуйте завдання виконати усно.

668. Знайдіть суму перших ста натуральних чисел.

669. Знайдіть суму перших ста непарних на- туральних чисел.

670. Ресора складається з десяти сталевих смуг (мал. 122). Довжина верхньої смуги 105 см, а кожна інша на 9 см коротша від попередньої.

Знайдіть суму довжин усіх смуг ресори.

671. Стародавня задача. Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 30 крб, а за кожний наступний — на 20 крб більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать карбованців за копання 12-метрової криниці?

Р

^ІВЕНЬ

Б

672. В арифметичній прогресії a1 0,1, d 2. Знайдіть a9, an, a3p. 673. a1, a₂, a₃,… — ари фметична прогресія. Знайдіть a₃₀, якщо:

а) a3 3, a4 4; в) a1 8, a5 – a3 6;

б) a5 9, a7 13, г) a2 5, a5 – a1 12.

674. a1, a2, a3, a4,… — арифметична прогресія. Знайдіть a1, d, a21, a100, якщо:

а) a₄ 10, a7 19; в) a₅ 8,2, a10 4,7;

б) a₅ 5,2, a9 6,8; г) a₈ 11,2, a15 19,6.

675. Чи є число 253 членом арифметичної прогресії 15, 23, 31,…?

676. Чи є число 212 членом арифметичної прогресії:

а) 3, 14, 25, 36, …; б) 275, 269, 263, 257, …?

677. Які з чисел –23, –14, –3, 1, 3, 14, 23 є членами арифметичної про- гресії, n-й член якої:

а) a_n 5n – 19; б) b_n 0,1n 11; в) c_n 97 – 2n?

678. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія:

а) –10,3; –8,6; …; б) –37,5; –35,7; …?

679. Скільки додатних членів містить арифметична прогресія:

а) 2,5; 2,3; 2,1, …; б) 176; 151; 126; …?

680. Скільки від’ємних членів має арифметична прогресія:

а) –32, –30, –28, …; б) − 1 8 ,

2 ^–8, − 1 7 ,

2 ^…?

681. Скільки членів арифметичної прогресії 10, 16, 22, … міститься між числами 110 і 345?

682. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена:

а) c_n 5n – 3; б) a_n 2n 10; в) a_n –3 – 0,5n.

Мал. 122

683. Чи є арифметичною прогресією послідов- ність, n-й член якої:

а) an 3n 1;

б) b_n 5 – 4n;

в) c_n 2ⁿ 1?

684. На стороні CA кута ACB від його вершини відкладено рівні відрізки і через їх кінці проведено паралельні прямі (мал. 123). Знай- діть довжини відрізків A3B3, A7B7, AnBn, якщо A1B1 2,5 см.

685. a1, a2, a3, a4,… — арифметична прогресія, c — довільне число. До- ведіть, що послідовність ca_1, ca₂, ca₃, ca₄,… — так само арифметична прогресія.

686. a1, a2, a3, … і x₁, x2, x3, … — арифметичні прогресії. Доведіть, що арифметичною прогресією є і послідовність

a₁ x₁, a₂ x₂, a₃ x3, … .

687. Числа a², b², c² не рівні й утворюють арифметичну прогресію. До- ведіть, що арифметичну прогресію утворюють і числа:

b c+ 1 ,

c a+ 1 ,

a b+ 1 .

688. Дано арифметичну прогресію, n-й член якої an. Доведіть, що:

а) a2 a23 a13 a12; б) a20 – a16 a10 – a6.

689. Задача Феофана Прокоповича. Якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна. Найгірший кінь коштує 4 золотих, а найкра- щий — 55 золотих, і ціна від одного до іншого коня весь час зростає на 3 золотих. Питаємо: скільки ж усього було коней?

690. Знайдіть суму перших n членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a₁ 1, a5 3, n 40; в) a₂ 5, a4 6, n 100;

б) a₁ –3, a3 1, n 50; г) a₁ a₁₀₀, a₃ 3, n 100.

691. Знайдіть суму всіх парних натуральних чисел, менших за 200.

692. Знайдіть суму всіх непарних натуральних чисел, менших за 200.

693. Знайдіть суму натуральних чисел, менших від 1000, які кратні:

а) 3; б) 5; в) 12.

694. Знайдіть суму всіх цілих чисел, що належать проміжку:

а) [–30; 70]; б) [–70; –30]; в) (–70; 70).

695. В арифметичній прогресії 10 членів. Сума членів з непарними но- мерами дорівнює 10, а з парними — 25. Знайдіть її сьомий член.

696. а) Тринадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 3. Знайдіть суму її перших 25 членів.

Мал. 123

б) Відкрита задача. Знайдіть суму перших ... членів арифметичної прогресії, якщо її ... член дорівнює 100.

697. Сума перших п’ятнадцяти членів арифметичної прогресії дорівнює 20, а сума перших її дванадцяти членів на 6 менша. Знайдіть суму перших 27 членів.

698. Знайдіть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, заданої формулою n-го члена:

а) a_n 2 5n; б) a_n 2n – 1; в) a_n –3 n.

699. Знайдіть п’ятий член арифметичної прогресії, якщо суму n перших її членів можна знайти за формулою:

а) S_n n² – 6n; б) S_n 3n² – n; в) S 4n² – 2n.

700. Сума четвертого і шостого членів арифметичної прогресії дорів- нює 14. Знайдіть суму перших дев’яти членів прогресії.

701. Задача Франкера. Скільки разів проб’є годинник упродовж 12 год, якщо він відбиває щопівгодини?

702. При вільному падінні фізичне тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а кожну наступну — на 9,8 м більше. Знайдіть: а) глибину шах- ти, якщо камінець досяг її дна через 8 с

після початку падіння; б) скільки секунд падала б гайка з висоти 490 м.

703. а) Міри кутів п’ятикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що міра одного з цих кутів дорівнює 108q.

б) Складіть подібні задачі для трикутника і семикутника.

704. Кінці відрізків, паралельних основам трапеції, лежать на її бічних сторонах і ділять кожну з них на 8 рівних частин.

Знайдіть довжини цих відрізків та їх суму, якщо основи трапеції a і b (мал. 124).

В

^{ПРАВИДЛЯПОВТОРЕННЯ}

705. Скоротіть дріб:

а) ₂3 9 2 5 3;

x

x x

−

− − б)

2 2

9 ;

2 7 3

a

a a

−

+ + в)

2 2

8 20 11 10.

c c

c c

− −

− +

706. Розв’яжіть нерівність:

а) x² – 8x 0; в) x² – 16 0;

б) x² 7x 0; г) x² – 3 d 0.

Мал. 124

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке арифметична прогресія.

— Що таке наступний і попередній члени послідовності.

— Що таке формула n-го члена і рекурентна формула.

— Якими формулами можна задати арифметичну прогресію:

ап а1 (п – 1)d а1 а, а_п1 аn d

— Які властивості має арифметична прогресія:

^{1 1}

2

n n

n

a a

a = ⁻ + ⁺ ak an – (k– 1) a1 an

Як обчислюють суму перших n членів арифметичної прогресії:

¹

2

n n

a a

S = + ⋅n 2 ₁ ( 1)

n 2

a n d

S = + − ⋅n

В

ИКОРИСТОВУЄМО НАБУТІ КОМПЕТЕНТНОСТІ

§ 17 Геометрична

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від р. № 417) ВИДАНО ЗА РАХУНОК ДЕРЖАВНИХ КОШТІВ (páginas 162-171)