ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА - (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Мі

Нагадаємо також, що:

tg ^sin α cos^α

= α (де cosα ≠0); ctg ^cos α sin^α

= α (sinα ≠0). Тоді tg ctg ^sin

cos cos α α ^α sin

α α

⋅ = ⋅ α =1, тобто

tgα⋅ctgα=1 (sinα ≠0 і cosα ≠0).

За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної тотож- ності одержуємо:

1 ² 1

2 2

+tg = +^sin = ⁺ = 1

cos

cos sin

cos cos

α ^α

α α

α α,

тобто

1+tg² = ¹₂ α cos

α (cosα ≠0). Аналогічно отримуємо: 1 ² 1

2 2

+ctg = + ^cos = ⁺ = 1 sin

sin cos

sin sin

α ^α

α α

α α, тобто

1+ctg² = ¹₂ α sin

α (sinα ≠0).

Приклади розв’язуваННя завдаНь

Приклад 1. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься α, знайдіть значення інших трьох тригономе

тричних функцій:

1) sinα = ⁴

5, 90° < <α 180°; 2) tgα =¹

3, π α< <³^π 2 .

Розв’язання Коментар

1)  Із рівності sin²α+cos²α=1 одержуємо: cos²α= −1 sin²α. Звідси cos²

1 ⁴ 5

9 α = −  25





 = . Оскільки 90° < <α 180°, то cosα <0, а отже, cosα = − ⁹ = −

25 3 5.

1) Рівність sin²α+cos²α=1 пов’язує sinα^таcosα і дозволяє вира

зити одну з цих функцій через ін

шу. Наприклад, cos²α= −1 sin²α^. Тоді cosα= ± 1−sin²α. Урахову

ючи, у якій чверті міститься α, ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині

Тоді tg ^sin α cos^α

= α = = −

− 4 5 3 5

4 3, ctg ^cos

α sin^α

= α = −³ 4. 

2)  Із рівності tgα⋅ctgα=1 отри- муємо ctg

α tg

= ¹α =3. Підстав- ляємо в рівність 1+tg² = ¹₂

α cos

значення tgα і одержуємо α 1 ¹

9 1 + = 2

cos α. Звідси cos² ⁹ α =10^. Оскільки π α< <³^π

2 , то cosα <0, тоді cosα = − ⁹ = −

3 10 . sinα=tgα⋅cosα=

= ⋅ −





= − 1

3 3 10

1 10 . 

формули (це знак косинуса в II чверті).

Знаючи sinα^іcosα, знаходимо tg ^sin

α cos^α

= α і ctg ^cos α sin^α

= α. Зазначи

мо, що після знаходження tgα^зна

чення ctgα можна також знайти зі співвідношення tgα⋅ctgα=1. 3) Рівність tgα⋅ctgα=1 пов’язує tgα

і ctgα і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як оберне

ну величину.

Рівність 1+tg² = ¹₂ α cos

α пов’язує tgα та cosα і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад, cos

2 1

1 ²

α= α

+ . Тоді

cosα tg

= ± α +

1 ² . Знаючи, у якій чверті міститься α, ми можемо визна

чити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в III чверті). Щоб знайти sinα^{, можна} скористатися співвідношенням

tg cos ^sin cos sin

α α cos^α α α

⋅ = α⋅ = ^.

Приклад 2. Спростіть вираз ¹⁻^cos₂ ² tg

α α .

Розв’язання Коментар

 ¹

2 2

2 2 2

−^cos = = 2

sin sin cos α cos α

α α α

α.  Для того щоб перетворити чисельник да

ного виразу, з основної тригонометричної тотожності sin²α+cos²α=1 знаходимо:

1−cos²α=sin²α. Потім використовуємо означення тангенса: tg ^sin

α cos^α

= α і спро

щуємо одержаний дріб.

Тоді tg ^sin α cos^α

= α = = −

− 4 5 3 5

4 3, ctg ^cos

α sin^α

= α = −³ 4. 

2)  Із рівності tgα⋅ctgα=1 отри- муємо ctg

α tg

= ¹α =3. Підстав- ляємо в рівність 1+tg² = ¹₂

α cos

значення tgα і одержуємо α 1 ¹

9 1 + = 2

cos α. Звідси cos² ⁹ α =10^. Оскільки π α< <³^π

2 , то cosα <0, тоді cosα = − ⁹ = −

3 10 . sinα=tgα⋅cosα=

= ⋅ −





= − 1

3 3 10

1 10 . 

формули (це знак косинуса в II чверті).

Знаючи sinα^іcosα, знаходимо tg ^sin

α cos^α

= α і ctg ^cos α sin^α

= α. Зазначи

мо, що після знаходження tgα^зна

чення ctgα можна також знайти зі співвідношення tgα⋅ctgα=1. 3) Рівність tgα⋅ctgα=1 пов’язує tgα

і ctgα і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як оберне

ну величину.

Рівність 1+tg² = ¹₂ α cos

α пов’язує tgα та cosα і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад, cos

2 1

1 ²

α= α

+ . Тоді

cosα tg

= ± α +

1 ² . Знаючи, у якій чверті міститься α, ми можемо визна

tg cos ^sin cos sin

α α cos^α α α

⋅ = α⋅ = ^.

Приклад 2. Спростіть вираз ¹⁻^cos₂ ² tg

α α .

Розв’язання Коментар

 ¹

2 2

2 2 2

−^cos = = 2

sin sin cos α cos α

α α α

α.  Для того щоб перетворити чисельник да

ного виразу, з основної тригонометричної тотожності sin²α+cos²α=1 знаходимо:

1−cos²α=sin²α. Потім використовуємо означення тангенса: tg ^sin

α cos^α

= α і спро

щуємо одержаний дріб.

Із прикладами розв’язування більш складних завдань можна ознайомитися, звернувшись до інтернетпідтримки підручника.

Під час доведення тотожностей найчастіше використовують такі способи:

1) за допомогою тотожних перетворень доводять, що одна частина рівності дорівнює іншій;

2) розглядають різницю лівої і правої частин тотожності і доводять, що ця різниця дорівнює нулю (цей спосіб використовують у тих випадках, коли планується перетворювати обидві частини тотожності).

заПитаННя для коНтролю

1. Запишіть співвідношення між тригонометричними функціями одно- го аргумента.

2*. Доведіть співвідношення між тригонометричними функціями одного аргумента.

вПрави

10.1. Чи існує число α, яке одночасно задовольняє умови:

1°) sinα = ¹

3, cosα =¹

3; 4°) tgα =³

5, ctgα = ⁵ 3; 2°) sinα = ³

5, cosα = ⁴

5; 5°) tgα = ⁴

7, ctgα =⁷ 4;

3°) sinα =0 7, , cosα =0 3; , 6) tgα = +2 3, ctgα = −2 3? 10.2. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал,

у якому міститься α, обчисліть значення інших трьох тригономе- тричних функцій:

1°) sinα = −¹² 13, ³

2^π < <α 2π; 3) tgα = ³

2, π α< <³^π 2 ; 2°) cosα = −0 8, , ^π α π

2 < < ; 4) ctgα = −0 2, , ^π α π 2< < .

10.3. Спростіть вираз:

1°) 1−sin²α−cos²α; 5) sin⁴α+2sin²αcos²α+cos⁴α; 2°) 1( −cosα)⋅ +(1 cosα); 6) ^tg

ctg ctg α

α α 1+ ² −1+ ² ; 3°) ^ctg ^sin

sin

2 2

1 2

α α

− ; 7) ^cos ^tg

sin^α ^α ctg cos

α α α

⋅ −

2 ;

4) sin²α−tg ctgα α; 8) ¹ ¹

sin ctg sin ctg

α+ α α α

 

 −

 

. 10.4. Доведіть тотожність:

1°) ¹₂ 1 ²

cos tg

α− = α; 5) ¹

2 1

2 2 2

−^tg = −

tg cos sin

α α α;

2°) ¹₂ 1 ²

sin ctg

α − = α; 6) ^cos

sin

cos cos

α α

1 2

+ + = ;

3°) sin( α+cosα)²₊(sinα₋cosα)²₌2; 7) ctg²α−cos²α=ctg²αcos²α; 4) ^ctg

ctg ^αtg cos

α α α

+ = ² ; 8) 1 2 1 2 2

+ 2

(

)

+ −

(

)

α α cos

α. 10.5*. 1) Відомо, що sinα+cosα=¹

2. Знайдіть sinα⋅cosα.

2) Відомо, що tgα+ctgα=2. Знайдіть: а) tg²α+ctg²α; б) tg³α+ctg³α. Виявіть свою компетентність

10.6. Визначте кут (у градусах і в радіанах), який утворюється внаслідок обертання хвилинної стрілки від моменту часу 1 год 15 хв до моменту часу 1 год 40 хв тієї самої доби. Обговоріть, чи будуть відрізнятися запис самого кута і запис його модуля?

10.7. Маховик двигуна робить 50 обертів за хви- лину. На який кут (у градусах і в радіа- нах) повернеться його спиця ОА (рис. 10.1) за 2 с (напрям обертання позначено на ри- сунку)?

Рис. 10.1

O A

1°) 1−sin α−cos α; 5) sin α+2sin αcos α+cos α; 2°) 1( −cosα)⋅ +(1 cosα); 6) ^tg

ctg ctg α

α α 1+ ² −1+ ² ; 3°) ^ctg ^sin

sin

2 2

1 2

α α

− ; 7) ^cos ^tg

sin^α ^α ctg cos

α α α

⋅ −

2 ;

4) sin²α−tg ctgα α; 8) ¹ ¹

sin ctg sin ctg

α + α α α

 

  −

 

. 10.4. Доведіть тотожність:

1°) ¹₂ 1 ²

cos tg

α − = α; 5) ¹

2 1

2 2 2

−^tg = −

tg cos sin

α α α;

2°) ¹₂ 1 ²

sin ctg

α − = α; 6) ^cos

sin

cos cos

α α

1 2

+ + = ;

3°) sin( α+cosα)²₊(sinα₋cosα)²₌2; 7) ctg²α−cos²α=ctg²αcos²α; 4) ^ctg

ctg ^αtg cos

α α α

+ = ² ; 8) 1 2 1 2 2

+ 2

(

)

+ −

(

)

α α cos

α. 10.5*. 1) Відомо, що sinα+cosα= ¹

2. Знайдіть sinα⋅cosα.

2) Відомо, що tgα+ctgα=2. Знайдіть: а) tg²α+ctg²α; б) tg³α+ctg³α. Виявіть свою компетентність

Рис. 10.1

O A

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів (páginas 100-105)