1. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

2. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку

Схема

Приклад

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f x( )=x³−12x+12 на відрізку

1 3;

[ ]

^.

1. Упевнитися, що заданий відрізок вхо­

дить до області визначення функ­

ції f x( ).



Область визначення заданої функції  — всі дійсні числа

(

D f

( )

=^R

)

^,

отже, заданий відрізок входить до області визначення функції f x( ).

2. Знайти похідну f x′( ). f x′( )=3x²−12. 3. Знайти критичні точки: f x′( )₌0 або

не існує. f x′( ) існує на всій області визначення функції f x( ) (отже, функція f x( ) не­

перервна на заданому відрізку).

′( )=

f x 0; 3x²−12 0= при x=2 або x= −2^.

4. Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку.

Заданому відрізку

[ ]

1 3; належить лише критична точка x=2.

5. Обчислити значення функції в критич­

них точках і на кінцях відрізка. f( )1 ₌1; f( )2 _{= −}4; f( )3 =3. 6. Порівняти одержані значення функції

та вибрати з них найменше і найбільше.

max1 3; 3 3 [ ] f x( )=f( )= , min1 3; 2 4

[ ]f x( )=f( )_{= −} .



3. Знаходження найбільшого або найменшого значення функції, неперервної на інтервалі

Властивість Ілюстрація

Якщо неперервна функція f x( ) має на за- даному інтервалі тільки одну точку ек- стремуму x₀ і це точка мінімуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найменшого значення в точці x₀.

0 a x₀ b x y

y=f (x)

Якщо неперервна функція f x( ) має на за- даному інтервалі тільки одну точку ек- стремуму x₀ і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває

свого найбільшого значення в точці x₀. 0 x₀ b x y y=f (x)

a

4. Задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функції

Схема

Приклад

Є дріт завдовжки 100 м. Потрібно огоро­

дити ним прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

1. Одну з величин, яку потрібно знайти (або величину, за допомогою якої мож­

на дати відповідь на запитання задачі), позначити через x (і за змістом задачі накласти обмеження на x).



Нехай ділянка має форму прямокут­

ника ABCD (див. рисунок) зі стороною AB x= (м).

A x

D C

B

Ураховуючи, що дріт буде натягнуто по периметру прямокутника, одержуємо:

2AB+2BC=100^{, або} 2x+2BC=100^, звідси BC=50−x (м). Оскільки довжи­

на кожної сторони прямокутника є до­

датним числом, то 0< <x 50. 2. Величину, про яку йдеться, що во-

на найбільша або найменша, вира- зити як функцію від x.

Площа прямокутника:

S x( )₌AB BC x_{⋅ =} (50₋x)₌ 50x x− ².

3. Дослідити одержану функцію на найбільше або найменше значення (найчастіше за допомогою похідної).

Дослідимо функцію S x( ) за допомо­

гою похідної. Похідна S x′( )=50 2− x існує при всіх дійсних значеннях x (отже,

S x( ) — неперервна функція на зада­

ному проміжку). S x′( )=0, 50 2− x=0, x=25 — критична точка.

Знак S' (x)

0 25 50 x

+ -

У точці x=25 S x′( )=50 2− x змінює знак із плюса на мінус (див. рисунок), отже, x=25 — точка максимуму.

Ураховуємо, що неперервна функція S x( ) має на заданому інтервалі

(

0 50;

)

тільки одну точку екстремуму x=25 і  це точка максимуму. Тоді на задано­

му інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці x=25^*. 4. Упевнитися, що одержаний резуль-

тат має зміст для початкової задачі Отже, площа огородженої ділянки буде найбільшою, якщо сторони прямокут­

ника будуть завдовжки: AB x= =25 (м), BC=50− =x 25 (м), тобто коли ділянка матиме форму квадрата зі стороною 25 м.



Із поясненням і обґрунтуванням правил знаходження найбільшого і наймен­

шого значень функції, наведених в табл. 32, та прикладом їх застосування до розв’язування задачі можна ознайомитися, звернувшись до інтернет­підтримки підручника.

* У розглянутій задачі можна дослідити функцію S x( ) і без застосування похідної.

Функція S x( )=50x x− ² є квадратичною, її графік — парабола, вітки якої напрямлені вниз. Тоді найбільшого значення ця функція набуває у вершині параболи, тобто при

x ^b

0 a 2

50 2 25

=⁻ =⁻ =

− . Це значення належить заданому інтервалу (0 50; ), отже, на цьому проміжку функція набуває найбільшого значення при x=25.

заПитаННя для коНтролю

1. Поясніть, у яких точках неперервна на відрізку функція може на- бувати свого найбільшого та найменшого значень на цьому відрізку.

Проілюструйте відповідну властивість на графіках функцій.

2. Опишіть схему знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку. Наведіть приклад.

3. Сформулюйте властивості неперервної на інтервалі функції, яка має на цьому інтервалі тільки одну точку екстремуму.

4. Опишіть схему розв’язування задач на найбільше та найменше зна- чення за допомогою дослідження відповідних функцій. Наведіть приклад.

вПрави

У завданнях 18.1–18.4 знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.

18.1°. 1) f x( )= −x³+3x²+5,

[ ]

0 3; ^{; 3) f x( )=x4−4x3+1,}

[

^{−1 1;}

]

^;

2) f x( )₌3x²₋2x³,

[

−^{1 2;}

]

^{; 4) f x( )=x3−6x2+1,}

[

^{−2 1;}

]

^.

18.2. 1) f x( )=3cosx+cos3x,

[ ]

0;π ^{; 3) f x( )=tgx x− , 0;}₃^π





; 2) f x( )=5sinx+cos2x,

[ ]

0;π ^{; 4) f x( )=ctgx x+ , }_4^π;3₄^π_^. 18.3. 1) f x ^x

( )= + x 8

2,

[ ]

1 6; ^{; 3) f x( )= −x 4x−2,}

[

^{− −3 1;}

]

^;

2) f x( )=2 x x− ,

[ ]

0 9; ^{; 4) f x( )= x− −1 x,}

[ ]

^{0 4; .}

18.4*. 1) f x( )_{= −}x³₊3x x₋3 ,

[ ]

0 4; ^{; 3) f x( )= + −}_x^{1 x 2 ,}

[ ]

^{1 4; ;}

2) f x( )=2 x − −x 3 ,

[ ]

1 4; ^{; 4) f x( )= x2− − −x 6 x3,}

[

^{−4 4;}

]

^.

18.5°. Число 10 подайте у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб сума квадратів цих чисел була найменшою.

18.6°. Число 4 розбийте на два доданки так, щоб сума першого доданка з квадратом другого була найменшою.

18.7. Різниця двох чисел дорівнює 8. Які мають бути ці числа, щоб до- буток куба більшого числа на друге число був найменшим?

18.8. Із усіх прямокутників, площа яких дорівнює 25 см², знайдіть пря- мокутник із найменшим периметром.

18.9. Із квадратного аркуша картону зі стороною a треба виготовити від- криту зверху коробку, вирізавши по кутах квадратики (рис. 18.1) і загнувши утворені краї. Якою має бути висота коробки, щоб її об’єм був найбільшим?

завдаННя для саМокоНтролю Тест № 3

1. Функція y f x=

( )

задана гра фіком (див. рисунок). Укажіть усі точ- ки, в яких похідна функції y f x=

( )

дорівнює нулю.

а –4; –1,5 в –5; –3; 0,5; 5,5 б –4; –1,5; 4 Г 4

2. Знайдіть похідну функції y x= ³+cosx.

а 3x²+sinx в 3x²−cosx б 3x²+cosx Г 3x²−sinx 3. Обчисліть значення похідної

функції f x

( )

^{= 2}x⁺¹ в точці x₀=12.

а 0,2 в 5 б 0,1 Г 0,05 Рис. 18.1

x

a- 2x x

a - 2x

а б

0 0,5

5,5 –1,5

y

x 4

–5 –4

–3

4. На рисунку зображено графік по- хідної функції f x

( )

, визначеної на інтервалі

(

−^{3 8;}

)

. У якій точці цьо- го інтервалу функція f x

( )

^{набуває}

найменшого значення?

а 1,5 в 4 б –2 Г 6

5. На рисунку зображено графік функ- ції y f x=

( )

, визначеної на проміжку

−4 4; . Установіть відповідність між властивостями (1–3) функції та їх числовими значеннями (А–Г).

1 Точка локального мінімуму функції

2 Локальний максимум функції 3 Найбільше значення функції

на проміжку  0 4;

а 1 б 2 в 3 Г 4

6. Знайдіть миттєву швидкість (у м/с) руху точки в момент часу t=1 c, якщо точка рухається прямолінійно за законом s t

( )

^{= + +}t^{2 2}t ³ (s вимірюється у метрах, t — у секундах).

а 6 б 7 в 4 Г 3

7. Серед наведених нижче графіків функцій, які визначені й диферен- ційовні на множині всіх дійсних чисел, укажіть ту функцію, яка на всій області визначення має від’ємну похідну.

а б в Г y

x 1 –1

0 y

1 x 3

0

y

x 1

–3 0

y

x 1

2 –2 –10

4 1

y

x –4 1

8 1

0 y

x 1

–3

y = f'(x)

8. Укажіть проміжки, на яких функція y= −x³+6x²+7 спадає.

А

(

−∞ +∞^;

)

^В

(

^{−∞ −; 4}

]

^та

[

^{− +∞4;}

)

Б

(

−∞^;0

]

^та

[

^4;+∞

)

^Г _{ }^{0 4;}

9. Знайдіть найбільше і найменше значення функції y x= ⁴−2x²+7 на проміжку −2 0;  (запишіть розв’язання).

10. Дослідіть функцію f x

( )

⁼¹₃x³⁻x на монотонність і екстремуми та побудуйте її графік (запишіть розв’язання).

Пройдіть онлайн-тестування на сайті interactive.ranok.com.ua.

Теми навчальних проектів

1. Використання похідної та нерівностей під час роз в’язування еко- номічних задач.

2. Метод областей.

3. Завдання з параметрами.

4. Діофант і його рівняння.

Відомості з історії

У кожному періоді історії математики були свої видатні вчені, які мали різні долі. Одні зажили слави й безсмертя ще за життя, іншим судилося пройти складні шляхи і розділити трагічну долю свого народу. Звернувшись до інтернет-підтримки, ви дізнаєтеся про життєвий шлях математиків з Украї- ни, які зробили значний внесок у сві- тову та європейську науку.

М. В. Остроградський

(1801–1862) М. С. В’язовська

(нар. 1984)

М. П. Кравчук

(1892–1942) О. С. Дубинчук

(1919–1994) Н. О. Вірченко

(нар. 1930)

У цьому розділі ви:



дізнаєтеся про застосування в геометрії аксіоматичного методу — одного з методів побудови наукової теорії;



навчитеся розв’язувати задачі на побудову перерізів призми та піраміди;



ознайомитеся з паралельністю прямих і площин у  просторі, поняттям і  властивостями паралельного проектування;



навчитеся застосовувати властивості паралельності прямих і площин для  розв’язування задач та будувати зображення просторових фігур на  площині

за допомогою паралельного проектування.

параЛеЛЬніСтЬ прЯмиХ і пЛоЩин У проСторі

§ 1. Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них

§ 2. Методи розв’язування геометричних задач

§ 3. Найпростіші задачі на побудову перерізів многогранників

§ 4. Розміщення двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються, паралельні прямі, мимобіжні прямі

§ 5. Паралельність прямої та площини

§ 6. Паралельність двох площин

§ 7. Паралельне проектування. Зображення плоских і  просторових фігур у  стереометрії

Р о з д і л 1

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів (páginas 173-181)