(1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів

Поясніть, чим відрізняються записи раціонального та ірраціональ- ного чисел у вигляді нескінченного десяткового дробу

Дайте означення модуля дійсного числа

Сформулюйте властивості модуля дійсного числа

Поясніть, чому задане дійсне число не може бути раціональним

Користуючись геометричним змістом модуля, зобразіть на коорди- натній прямій множину чисел, які задовольняють нерівність

Ч ислові   функції

Парні й непарні функції

ОО

Зростаючі та спадні функції

Точки M і M1 розміщені симетрично відносно осі Oy (рисунок 1.2.9), тому графік парної функції також розміщений симетрично відносно осі Oy. Точки M і M1 розміщені симетрично відносно початку координат (рисунок 1.2.10), тому графік непарної функції також розміщений симетрично відносно початку координат. Воно еквівалентне рівнянню x2= +a 3, яке має розв’язки,. тобто x2−3) через a і з’ясуйте, для якого a можна знайти відповідне значення x.

Далі, в курсі алгебри та на початку розбору 10 класу, ми розглянемо нові вирази з обмеженнями: tga, ctga, arcsina, arccosa, na, aα, де α – неціле число. Тоді всі числа a, для яких є хоча б один корінь рівняння f x( )=a, будуть областю значень функції f x(.

Сформулюйте означення числової функції. Наведіть приклади таких функцій

На прикладах поясніть, що таке область визначення функції, об- ласть значень функції, найбільше та найменше значення функції на

Яка функція називається зростаючою? Наведіть приклади

Яка функція називається спадною? Наведіть приклади

• Знайдіть область визначення функції, заданої формулою
• Обґрунтуйте, що задана функція є зростаючою (на її області визна- чення)
• Обґрунтуйте, що задана функція є спадною (на її області визна- чення)
• п обудова   графіків   функцій
• о бернена   функція

Праворуч від осі Oy (і на самій осі) графік функції y f x= ( ) не змінюється, і ця ж частина графіка є симетричною відносно осі Oy.

1. Поняття оберненої функції

• Практичний спосіб знаходження формули функції, оберненої до функції y f x = ( )
• Як розміщено графіки прямої і оберненої функцій, якщо їх побу- довано в одній системі координат? Проілюструйте відповідну влас-
• На одному рисунку побудуйте графік даної функції і функції, обер- неної до даної
• Вартість поїздки в таксі включає оплату подання автомобіля 25 грн та вартість пройденої відстані в розмірі 5 грн за кожний кілометр
• Складіть функцію, яка визначає залежність витрат на поїздку влас- ним автомобілем від відстані подорожі, якщо ваш автомобіль спо-

ФУНКЦІЙ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ

1. Область допустимих значень (ОДЗ) рівнянь і нерівностей

• Рівняння-наслідки
• Рівносильні рівняння і нерівності
• Заміна змінних
• Схема пошуку плану розв’язування нерівностей Розв’язування нерівностей
• Теореми про рівносильність нерівностей
• Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те са- ме додатне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і додатна на
• Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і від’ємна на ОДЗ
• Сформулюйте відомі вам теореми про рівносильність рівнянь та рівносильність нерівностей. Проілюструйте їх на прикладах
• Сформулюйте план розв’язування нерівностей методом інтервалів
• Поясніть на прикладах, як можна виконувати рівносильні перетво- рення рівнянь та нерівностей у тих випадках, які не описуються
• Розв’яжіть рівняння за допомогою рівнянь-наслідків і вкажіть, яке перетворення могло привести до порушення рівносильності
• Перебуваючи за кордоном, ви можете користуватися послугами одного з двох мобільних операторів. Перший пропонує сплачувати
• з астосування   властивостей

1. Скінченна ОДЗ

• Оцінка значень лівої та правої частин рівняння
• Використання зростання та спадання функцій Схема розв’язування рівняння
• Поясніть на прикладах, як можна використати властивості функ- цій до розв’язування рівнянь
• Означення
• Область допустимих значень (ОДЗ)
• Властивості кореня n-го степеня
• Запишіть усі розв’язки рівняння
• Перевірте правильність рівності
• Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не містить ко- реня n-го степеня
• Розв’яжіть графічно рівняння
• Перевірте правильність виконання завдання 3.1.18, побудувавши відповідні графіки за допомогою комп’ютерних програм
• з астосування   властивостей

Значення квадратного кореня з невід’ємного числа не зміниться, якщо показник квадратного кореня та показник степеня квадратного кореня помножити (або поділити) на одне й те саме натуральне число. 8) Для a0 b0, якщо a b> , то na >nb 4. Для a0 арифметичне значення квадратного кореня n-го степеня з числа a має спеціальний запис*: na; число n називають показником степеня квадратного кореня, а число а — кореневим виразом. Також зауважимо, що значення 2 1k+ a має той самий знак, що й число a, оскільки знак числа не змінюється при піднесенні в непарний ступінь.

Тоді можна записати розв’язки рівняння xn=a для непарних значень n=2k+1: для будь-яких значень a рівняння x2 1k+ =a (k∈N) має єдиний корінь x = 2 1k+ а. Інших коренів це рівняння не має, оскільки властивості функції y x= 2k подібні до властивостей функції y x= 2: при x0 функція зростає, тому вона може отримати значення a тільки при одному значенні аргументу (x =2ка). Нагадаємо, що за означенням кореня n-го степеня для доведення рівності nA =B (для A0, B0) достатньо перевірити рівність Bn=A.

Відзначимо ще одну властивість коренів n-го степеня: для будь-яких невід’ємних чисел a і b якщо a b> , то після >nb. Для порівняння даних чисел у кожній задачі достатньо привести всі корені до одного показника кореня і вважати, що для будь-яких невід’ємних чисел a і b якщо a b> , то до >nb.

Поняття ірраціонального рівняння

• За допомогою піднесення обох частин рівняння до одного степеня При піднесенні обох частин рів
• За допомогою заміни змінних

ПОКАЗНИКОМ ТА ЙОГО  ВЛАСТИВОСТІ

1. Степінь з натуральним і цілим показниками

• Властивості степенів
• Знайдіть область допустимих значень виразу
• Знайдіть значення числового виразу

ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК

• Висловіть свою думку з приводу того, представникам яких із на- ведених професій може стати у пригоді знання теми «Степенева

Знайдіть область визначення функції, графік якої зображе-

Знайдіть область значень функції, графік якої зображе-

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

ВИМІРЮВАНЯ КУТІВ

Поняття кута

Кут

• Поясніть, як можна означити кут за допомогою повороту променя
• Як ви розумієте такі твердження: «Величина кута дорівнює 450°»,
• Як можна означити кут в 1°?
• Дайте означення кута в 1 радіан
• Поясніть на прикладах, як за радіанною мірою кута знайти його гра- дусну міру і навпаки — за градусною мірою кута знайти його ра-
• Виразіть у радіанній мірі величини кутів

КУТА І ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

1. Означення тригонометричних функцій

• Тригонометричні функції числового аргумента sin (числа α ) = sin (кута в α радіан)
• Лінії тангенсів і котангенсів
• Означення тригонометричних функцій

• Тригонометричні функції числового аргумента
• Сформулюйте означення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному трикутнику
• Сформулюйте означення тригонометричних функцій довільного кута
• Що мають на увазі, коли говорять про синус, косинус, тангенс і котангенс числа α ?

Так само вводиться поняття прямої котангенсів: це пряма CB, яка проходить через точку C( )0 1; одиничне коло, паралельне осі Os (рис. 7.4). Якщо α — довільне число (або кут), для якого sinα ≠0 (тобто точка Pα не лежить на осі Ox), то пряма OPα перетинає лінію котангенсів у точці B x( B ;1) .

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

1. Знаки тригонометричних функцій

III IV sin α

Парність і непарність Косинус — парна функція

Які з тригонометричних функцій є парними, а які — непарними?

• Як, на вашу думку, періодичність функцій пов’язана з професійною діяльністю лікаря-кардіолога?

КОСИНУСА, ТАНГЕНСА

• г рафік   функції   y = cos x
• Графік функції y = cos x (косинусоїда)
• Г рафік   функції   y = tg x
• Графік функції y = tg x [тангенсоїда)
• г рафік   функції   y = ctg x
• Графік функції y = ctg x (котангенсоїда)

Для точок одиничного кола ординати приймають усі значення від –1 до 1, тобто область значень функції y=sinx: y∈ −[ 1 1;. Як показано в § 8, синус є непарною функцією: sin( )−x = −sinx, тому її графік симетричний відносно початку координат. Тому, щоб показати цю функцію, достатньо накреслити її на довільному інтервалі довжиною 2π, а потім перемістити отриману пряму паралельно вправо і вліво вздовж осі Ox на відстань kT=2πk, де k – будь-яке натуральне номер.

Значення функції синуса негативні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола негативна) в III і IV квадрантах, тому sinx<0 при. Оскільки ми побудували графік на інтервалі довжиною 2π, то, враховуючи періодичність синуса (з періодом 2π), повторюємо вигляд графіка на кожному інтервалі довжиною 2π (тобто переміщуємо графік паралельно осі Ox на 2πk, де k – ціле число). Графік функції y A= sin(ωx+ϕ) можна отримати із синусоїди y=sinx стисненням або розтягуванням її по осях координат і паралельним перенесенням по осі Ox.

Отже, для будь-якої функції достатньо за один період дізнатися, де значення функції додатні (графік вище осі Ох), а де негативні (графік нижче осі Ох), а потім повторіть отримані інтервали в періоді. 1) Графік функції y=2sinx отримуємо з графіка функції y=sinx дворазовим розтягуванням уздовж осі Oy (рис. 2) Графік функції y=sin2x отримуємо з графіка функцію y=sinx, стиснувши її двічі вздовж осі Ox (рис.

МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ

ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Основна тригонометрична тотожність

• Визначте кут (у градусах і в радіанах), який утворюється внаслідок обертання

Знаючи sinα і cosα, ми знаходимо tg sin .. можливо, що після знаходження значення tgα .. значення ctgα також можна знайти зі співвідношення tgα⋅ctgα=1.

ТА НАСЛІДКИ З НИХ

1. Косинус різниці і суми

• Синус суми і різниці sin ( α β+ ) = sin cosα β + cos sinα β
• Тангенс суми і різниці
• Формули подвійного аргумента sin 2 α = 2 sin cosα α
• Формули пониження степеня sin 2 1 cos 2
• Запишіть формули подвійного аргумента та формули пониження степеня
• За допомогою формул додавання обчисліть
• Доведіть тотожність
• ф ормули   зведення таблиця 22

Визначте кут (у градусах і радіанах), який утворюється при обертанні хвилинної стрілки від 1 год 15 хв до 1 год 40 хв того самого дня.

Обчисліть за допомогою формул зведення

• Проілюструйте на прикладах використання формул зведення. По- ясніть одержаний результат
• Обчисліть за допомогою формул зведення
• Доведіть тотожність
• Спробуйте зробити схему, яка візуалізує формули зведення

ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

• о бернені   тригонометриЧні
• Поясніть, яке число позначають вирази
• За допомогою одиничного кола проілюструйте формули для зна- ходження значень обернених тригонометричних функцій від’ємних
• р озв ’ язування   найпростіших
• 1. Рівняння sinx a=
• Рівняння cosx a =
• Окремі випадки розв’язування рівняння cosx a =
• Рівняння tgx a =
• Рівняння ctgx a =
• Які рівняння називають найпростішими тригонометричними?
• Запишіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. У яких випадках не можна знайти корені найпростішого
• 1. Заміна змінних
• Орієнтир для розв’язування тригонометричних рівнянь 1) Пробуємо звести всі тригонометричні функції до одного аргумента
• Які способи використовують при розв’язуванні тригонометричних рівнянь? Наведіть приклади
• Яку заміну змінних можна виконати при розв’язуванні рівняння 8 cos 2 x − 2 cos x − = 1 0 ? Яке рівняння одержимо після заміни?
• Кутом якої чверті є кут, радіанна міра якого дорівнює 3,5 радіана?
• Знайдіть значення виразу
• Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1–3), та властивостями (А–Г) цих функцій

Обґрунтуйте формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь для окремих випадків (для sinx a= і cosx a= випадків a=0;. Записуючи розв’язок прикладу 1, можна вважати, що sinx 1, і записати обмеження t 1 , а потім зауважте, що один із коренів t=3 не задовольняє умову t 1, і після цього виконайте зворотну заміну лише для t= 1.

ПОХІДНА

ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

1. Поняття границі функції в точці

• Задачі, які приводять до поняття похідної 1) Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої
• Означення похідної
• Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції y f x = ( )
• Зв’язок між диференційовністю і неперервністю функції
• Поняття приросту аргумента і приросту функції
• Задачі, які приводять до поняття похідної
• Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої
• дотична до графіка функції
• Похідні деяких елементарних функцій
• Фізичний зміст похідної
• Використовуючи графіки відомих функцій, поясніть поняття гра- ниці функції в точці
• Поясніть на прикладах і дайте означення приросту аргумента й при- росту функції в точці x 0
• Охарактеризуйте поняття неперервності функції в точці
• Поясніть, як можна обчислити миттєву швидкість матеріальної точки під час руху вздовж прямої
• Поясніть, яку пряму вважають дотичною до графіка функції
• Як обчислити тангенс кута нахилу січної, що проходить через дві точки графіка деякої функції, до осі Ox?
• Що таке похідна з геометричної точки зору?
• Що таке похідна з фізичної точки зору?
• Поясніть зв’язок між диференційовністю і неперервністю функції
• Використовуючи фізичний зміст похідної, знайдіть швидкість ті- ла, яке рухається за законом s s t = ( ) , у момент часу t, якщо

Похідною функції y f x= ( ) у точці х0 називається межа відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і кутовому коефіцієнту дотичної. Таким чином, функція f x( ) буде неперервною в точці x0 тоді і тільки тоді, коли при ∆x→0 ∆f→0, тобто мала зміна аргументу в точці x0 відповідає малим змінам значень функція.

Похідною функції y f x= ( ) у точці x0 називається межа відношення зростання функції в точці x0 із зростанням аргументу, коли збільшення аргументу прямує до нуля. Як було обґрунтовано вище, тангенс кута ϕ нахилу дотичної в точці M з абсцисою x0 (рис. 13.7) обчислюється за формулою tgϕ = lim. Нагадаємо, що в рівнянні прямої y kx b= + кутовий коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута ϕ нахилу прямої до осі Ox.

Отже, значення похідної в точці x0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x0 і дорівнює коефіцієнту нахилу цієї дотичної (кут береться від позитивного напрямку осі Os, відраховуючи проти годинникової стрілки). Кут ϕ, утворений невертикальною дотичною до графіка функції y f x= ( ) у точці з абсцисою x0 з додатним напрямком осі Os, може бути нульовим, гострим або тупим. Те, що неперервна функція f x( ) не має похідної в точці x0, означає, що дотична пряма (або відповідна дотична, перпендикулярна до осі Os) не переходить на графік цієї функції в точці з віссю абсцис x0 неможливо намалювати.

Як обчислити тангенс кута нахилу січної, що проходить через дві точки на графіку функції до осі Ox? точки на графіку функції, до осі Ox?.

ПОХІДНА СКЛАДЕНОЇ ФУНКЦІЇ

1. Похідні деяких елементарних функцій

• Похідна складеної функції (функції від функції) Якщо y f u = ( ) і u u x= ( ) ,
• Запишіть правила знаходження похідної суми, добутку та частки двох функцій. Проілюструйте їх застосування на прикладах
• Поясніть на прикладах правило знаходження похідної складеної функції
• Наведіть приклад моделі складеної функції з реального життя

ФУНКЦІЙ

Запишіть формули знаходження похідних від тригонометричних функцій

ДО ЗНАХОДЖЕННЯ ПРОМІЖКІВ  ЗРОСТАННЯ І СПАДАННЯ

ТА ЕКСТРЕМУМІВ ФУНКЦІЇ

1. Монотонність і сталість функції

• Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції
• Необхідна і достатня умови екстремуму
• Дайте означення зростаючої та спадної на множині функції
• Сформулюйте достатні умови зростання та спадання функції
• Сформулюйте умову сталості функції на інтервалі
• Зобразіть графік функції, що має екстремуми. Дайте означення точок екстремуму функції та її екстремумів
• Які точки називають критичними?
• Сформулюйте необхідну умову екстремуму функції
• Сформулюйте достатню умову існування екстремуму в точці
• За якою схемою можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми? Наведіть приклад такого дослідження
• Доведіть, що задана функція зростає на всій області визна-
• Доведіть, що задана функція спадає на всій області визначення
• Визначте проміжки монотонності, точки екстремуму функції та значення функції в точках екстремуму

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ  ДЛЯ ПОБУДОВИ Ї Ї ГРАФІКА

За якою схемою можна досліджувати властивості функції для по- будови її графіка?

• Перевірте правильність виконання завдання 17.6, побудувавши від- повідні графіки за допомогою комп’ютерних програм

ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ

1. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

• Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку
• Знаходження найбільшого або найменшого значення функції, неперервної на інтервалі
• Задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функції
• Опишіть схему знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку. Наведіть приклад
• Сформулюйте властивості неперервної на інтервалі функції, яка має на цьому інтервалі тільки одну точку екстремуму
• Знайдіть похідну функції y x = 3 + cos x
• На рисунку зображено графік по- хідної функції f x ( ) , визначеної на
• На рисунку зображено графік функ- ції y f x= ( ) , визначеної на проміжку
• Серед наведених нижче графіків функцій, які визначені й диферен- ційовні на множині всіх дійсних чисел, укажіть ту функцію, яка

Якщо неперервна функція f x( ) має на заданому інтервалі лише один екстремум x0 і це точка мінімуму, то на заданому інтервалі функція набуває найменшого значення в точці x0.

ГЕОМЕТРІЯ

ТА НАЙПРОСТІШІ НАСЛІДКИ З НИХ

1. Аксіоми стереометрії

• Аксіоматична побудова геометрії
• Основні поняття стереометрії
• Аксіоми стереометрії

Умова A цієї теореми: «трикутник ABC прямокутний з прямим кутом C», а висновок B: «c2=a2+b2» (квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів). Як і в процесі планіметрії, точки простору будемо позначати великими латинськими літерами A, B, C, D, .., а прямі — маленькими латинськими літерами - a, b, c,. Якщо кожна точка прямої а належить площині а, то кажуть, що пряма а лежить у площині а, а площина а проходить через пряму а (рис. 1.7).

Якщо пряма a і площина a мають лише одну спільну точку A, то кажуть, що вони перетинаються в точці A, і пишуть*: a∩α =A.

Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй

Через будь-які три точки, які не лежать на одній прямій, можна про- вести площину, і до того ж тільки одну

АА

• Якщо дві різні точки прямої лежать у площині, то і вся пряма лежить у цій площині
• Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що про-
• Відстань між будь-якими двома точка- ми простору одна і та сама на всіх площинах, що
• Дві фігури називаються рівними, якщо існує відповідність * між їхніми точками, при якій відстані між парами відповідних точок рівні **
• Дві фігури називаються подібними, якщо існує відповідність між їхніми точками, при якій відстані між відповідними точками змінюються в од-
• Наслідки з аксіом стереометрії
• Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну

Якщо одиничний відрізок не має назви, а довжина відрізка АВ дорівнює, наприклад, 5 одиницям довжини, то пишемо: АВ=5, що є скороченням запису АВ=5 одиниць.

ТТ

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну

• Назвіть основні поняття стереометрії. Сформулюйте аксіоми стерео- метрії та найпростіші наслідки з них
• Доведіть, що площина і пряма, яка не лежить на ній, або не пере- тинаються, або перетинаються в одній точці
• Доведіть, що існує пряма, яка перетинає дану площину
• Як розташовані дві площини, якщо в кожній із них лежить один і той самий трикутник?
• Доведіть, що існує площина, яка перетинає дану площину
• Серед прямих і площин, що проходять через вершини куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

Зверніть увагу, що оскільки три точки A, B, C, які не лежать на одній прямій, однозначно визначають дану площину, то площину, що проходить через ці точки, часто позначають так: (ABC). Припустимо, що три з даних точок, наприклад A, B, C, лежать на одній прямій a (а четверта точка D не лежить на цій прямій). Але згідно з аксіомою 3, якщо дві різні точки А і В прямої а лежать у площині а, то вся пряма лежить у цій площині, отже, точка С також лежить у площині а.

ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

1. Методи розв’язування геометричних задач

• Геометричні методи
• Розв’язуючи геометричну задачу, треба спиратися не лишzе на рисунок
• У задачах на обчислення має сенс спочатку, не проводячи обчислень, визна- чити, які взагалі відрізки та кути можна знайти виходячи з даних величин
• Аналітичні методи