Основна властивість первісних

Пояснення й обґрунтування

Зазначимо, що функція x³+5 має таку саму похідну

(

x³+5

)

′ =3x². Отже, функція x³+5 також є первісною для функції 3x² на множині R.

Зрозуміло, що замість числа 5 можна підставити будь-яке інше число.

Тому задача знаходження первісної має безліч розв’язків. Знайти всі ці розв’язки дозволяє основна властивість первісної.

Якщо функція F x

( )

є первісною для функції f x

( )

на даному про- міжку, а C — довільна стала, то функція F x

( )

+C також є пер- вісною для функції f x

( )

. При цьому будь-яка первісна для функ- ції f x

( )

на даному проміжку може бути записана у вигляді

F x

( )

+C, де C — довільна стала.

Вираз F x

( )

+C називають загальним виглядом первісних для функ- ції f x

( )

.



1) За умовою функція F x

( )

є первісною для функції f x

( )

на деякому проміж- ку І. Отже, F x′

( )

=f x

( )

для будь-якого x із цього проміжку І. Тоді

F x

( )

+C F x C f x f x

( )

′ = ′

( )

+ ′ =

( )

+ =0

( )

, тобто F x

( )

+C теж є первісною для функції f x

( )

.

2) Нехай функція F x₁

( )

— інша первісна для функції f x

( )

на тому самому проміжку І, тобто F x₁′

( )

=f x

( )

для всіх x I∈ . Тоді

F x₁

( )

−F x

( )

F x₁ F x f x f x 0

( )

^{′ = ′}

^{( )}

^{− ′}

^{( )}

⁼

^{( )}

⁻

^{( )}

^{= .}

За умовою сталості функції (§  16 підручника для 10 класу), якщо похідна функції F x₁

( )

−F x

( )

дорівнює нулю на проміжку I, то ця функція набуває де- якого сталого значення C на цьому проміжку. Отже, для всіх x I∈ функція

F x₁

( )

−F x

( )

=C. Звідси F x₁

( )

=F x

( )

+C. Маємо: будь-яка первісна для функ- ції f x

( )

на даному проміжку може бути записана у вигляді F x

( )

+C, де C — довільна стала.



Наприклад, оскільки для функції f x

( )

=2 на інтервалі x

(

−∞ + ∞^;

)

^одні-

єю з первісних є функція F x

( )

₌x² (справді, F x′

( )

=

( )

x² ′ =2 ), то загаль-x ний вигляд усіх первісних функції для функції f x

( )

=2 можна записати так: x

x²+C, де C — довільна стала.

Зазвичай при зна ход женні пер- віс ної для функції f x( ) про- міжок, на якому задано функ- цію f x( ), не вка зують. При цьому ма ють на увазі про міжки най більшої довжини.

Геометричний зміст основної власти- вості первісної: графіки будь-яких первіс- них для даної функції f x

( )

одержують один з одного паралельним перенесенням уздовж осі Oy (рис. 6.1). Справді, гра- фік довільної первісної F x

( )

+C можна одержати з графіка первісної F x

( )

па- ралельним перенесенням уздовж осі Oy на C одиниць.

2. Невизначений інтеграл

Нехай функція f x

( )

має на деякому проміжку первісну F x

( )

. Тоді за основною властивістю первісної сукупність усіх первісних для функції f x

( )

на заданому проміжку задається формулою F x

( )

+C, де C — до- вільна стала.

означення. Сукупність усіх первісних даної функції f(x) називається не- визначеним інтегралом.

Невизначений інтеграл позначають символом

∫

f x dx

( )

^{, тоді}

f x dx F x

( )

=

( )

+C

∫

^{, де F x}

^{( )}

— одна з первісних для функції f x

( )

, а C — довільна стала.

У наведеній рівності знак ∫ називають знаком інтеграла, функ- цію f x

( )

— підінтегральною функцією, вираз f x dx

( )

— підінтеграль- ним виразом, змінну x — змінною інтегрування і доданок C — сталою інтегрування.

Наприклад, як зазначалося вище, загальний вигляд первісних для функції f x

( )

₌2 записують так: x x²+C, отже, 2

∫

xdx x^{= 2+}C^.

3. Правила знаходження первісних (правила інтегрування)

Ці правила подібні до відповідних правил диференціювання.

Правило 1. Якщо F — первісна для f, а G — первісна для g, то F G+ — первісна для f g+ .

Первісна для суми дорівнює сумі первісних для доданків.



Справді, якщо F — первісна для f (у цьому короткому формулюванні мається на увазі, що функція F x

( )

— первісна для функції f x

( )

), то F′ =f. Аналогіч-

О О

Рис. 6.1

0 y

x у = F(x)

но, якщо G — первісна для g то G′ =g. Тоді за правилом обчислення похідної суми маємо:

F G+ F G f g

( )

′ = ′ + ′ = + , а це й означає, що F G+ — первісна для f g+ .



За допомогою невизначеного інтеграла це правило можна записати так:

f x

( )

+g x dx

( )

f x dx g x dx

( )

=

( )

+

( )

∫ ∫ ∫

^,

тобто інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів від доданків.

Правило 1 можна поширити на будь-яку кількість доданків (оскіль- ки похідна від будь-якої кількості доданків дорівнює сумі похідних до- данків).

Правило 2. Якщо F — первісна для f, а c — стала, то cF — пер- вісна для функції cf.



Справді, якщо F — первісна для f, то F′ =f. Ураховуючи, що сталий множник можна виносити за знак похідної, маємо

( )

cF ′ = ′ =cF cf, а це й  означає, що cF — первісна для cf.



За допомогою невизначеного інтеграла це правило можна записати так:

c f x dx c f x dx⋅

( )

=

( )

∫ ∫

^{, де} c — стала,

тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.

Правило 3. Якщо F — первісна для f, а k і b — сталі (причому k≠0), то ¹

kF kx b

(

+

)

— первісна для функції f kx b

(

+

)

.



Справді, якщо F — первісна для f, то F′ =f. Ураховуючи правило обчислен- ня похідної складеної функції, маємо:

1 1

kF kx b

(

+

)

kF kx b k f kx b

 



′= ′

(

+

)

⋅ =

(

+

)

,

а це й означає, що 1

kF kx b

(

+

)

— первісна для функції f kx b

(

+

)

.



За допомогою невизначеного інтеграла це правило можна записати так:

f kx b dx

kF kx b C

(

+

)

=

(

+

)

+

∫

^{1 .}

4. Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

Для обчислення первісних (чи невизначених інтегралів), крім правил знаходження первісних, корисно пам’ятати табличні значення первісних для деяких функцій. Їх наведено в п. 5 табл. 10. Щоб обґрунтувати правильність цього пункту таблиці, достатньо перевірити, що похідна від указаної первісної (без сталого доданку C) дорівнює заданій функції. Це буде означати, що розглянута функція дійсно є первісною для заданої функції. Оскільки в записі всіх первісних у другій колонці присутній сталий доданок C, то за основною властивістю первісних можна зробити висновок, що це загальний вигляд усіх первісних заданої функції.

Наведемо обґрунтування формули, за якою знаходять первісну для функцій x^α.

Для інших функцій пропонуємо провести аналогічну перевірку самостійно.



Для всіх x з області визначення функції x^α при α ≠ −1 похідна

x x x

α α α

α ⁺ α α

+ +









′= ⋅ +

( )

=

1

1

1

1 1 . Отже, функція ^xα α

+

+

1

1 при α ≠ −1 є первісною для функції x^α. Тоді за основною властивістю первісних загальний вигляд усіх первісних для функції x^α при α ≠ −1 буде таким:

x^α C α

+

+¹ +

1 .

За допомогою невизначеного інтеграла це твердження записують так:

x dx^{α xα} C

∫

⁼ α₊⁺¹₁⁺

⁽

^{α ≠ −1}

⁾

^.

^

Приклади розв’язування завдань

Приклад 1. Перевірте, чи є функція F x

( )

=2 x первісною для функції f x

( )

= ¹x на проміжку

(

0;+ ∞

)

^.

Розв’язання Коментар



F x′

( )

=

(

x

)

^{′ = ⋅} =

x x

2 2 ¹

2

1 , це й означає, що функція F x

( )

є первісною для функції f x

( )

= ¹x .



За означенням функ­

ція F x

( )

є первісною для функції f x

( )

, якщо

′

( )

=

( )

F x f x .

Приклад 2. Знайдіть:

1) одну з первісних для функції f x

( )

=x⁴ на R;

2) усі первісні для функції f x

( )

=x⁴; 3*)

∫

x dx^{4 .}

Розв’язання Коментар

1)



Однією з первісних для функції f x

( )

=x⁴ на множині R є функція

F x

( )

= ^x5

5 , оскільки

′

( )

=







′= ⋅ =

F x ^x x x

5 4 4

5 1

5 5 .



2)



За основною властиві- стю первісних усі первіс- ні для функції f x

( )

=x⁴ можна записати у вигляді

x⁵ C

5 + , де C — довільна стала.



3*)



x dx^{4 x} C

5

∫

⁼ 5 ^{+ ,}

де C — довільна стала.



1) Первісну для функції f x

( )

=x⁴ спробуємо знайти підбором. В  процесі можна міркувати так: щоб після знаходження похідної одер- жати x⁴, потрібно брати похідну від x⁵. Але

x⁵ 5x⁴

( )

′ = , щоб похідна дорівнювала x⁴, достатньо поставити перед функцією x⁵ ко- ефіцієнт ¹

5.

Простіше використати формулу з п. 5 табл. 10 (таблиці первісних): однією з первісних для функції x^α є функція

x^α α

+

+

1

1.

2) Якщо ми знаємо одну первісну F x

( )

для функ- ції f x

( )

, то за основною властивістю первіс- них будь-яку первісну для функції f x

( )

можна записати у вигляді F x

( )

+C, де C — довіль- на стала.

3) За означенням

∫

f x dx F x

( )

=

( )

+C^,

тобто невизначений інтеграл

∫

f x dx

( )

^{— це}

спеціальне позначення загального виду всіх первісних для даної функції f x

( )

(який ми вже знайшли в п. 2 розв’язання).

Приклад 3. Для функції f x

( )

= x знайдіть первісну, графік якої проходить че- рез точку M

(

9 10;

)

^.

Розв’язання Коментар



^{D f}

( )

=

[

^0;+ ∞

)

^{. Тоді f x}

^{( )}

^=x12.

Загальний вигляд усіх первісних для функ- ції f x

( )

такий:

Спочатку запишемо загальний вигляд первісних для заданої функції: F x

( )

₊C. Потім викори- стаємо те, що графік одержаної

x C x C x C x x C

1

2 1 3

2 3

1 2 1

2 3

2 3

2 3

+

+

+ = + = + = + .

За умовою графік первісної проходить через точку M

(

9 10;

)

, отже, при x=9 одержуємо

2

3⋅9 9+ =C 10. Звідси C= −8. Тоді шукана первісна:

2

3x x −8.



функції проходить через точку M

(

9 10;

)

, отже, при x=9 зна- чення функції F x

( )

₊C дорів- нює 10.

Щоб знайти первісну для функ- ції f x

( )

₌ x, урахуємо, що її область визначення x0. Тоді цю функцію можна записати так:

f x

( )

=x

1

2 і використати форму- лу знаходження первісної для функції x^α, а саме: ^xα C

α

+

+¹ +

1 .

З прикладом розв’язування більш складного завдання, пов’язаного зі знахо- дженням первісних, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

заПитання

1. Поясніть, у якому випадку функцію F x

( )

називають первісною для функції f x

( )

на заданому проміжку. Наведіть приклади.

2. Сформулюйте основну властивість первісних і проілюструйте її на прикладах.

3. Сформулюйте правила знаходження первісних. Поясніть їх на при- кладах.

4*. Доведіть правила знаходження первісних.

5. Запишіть загальний вигляд первісних для функцій: x^α

(

α ≠ −1

)

, 1

x, sinx, cosx, ¹₂

cos x, ¹₂

sin x, e^x, a^x (a>0, a≠1). Поясніть, як перевірити правильність запису кожної первісної.

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів (páginas 78-85)