Поясніть зміст методу слідів побудови перерізу многогранника

2) Площини основ ABCD і A B C D_{1 1 1 1} пара- лельні, тому січна площина перетинає їх по паралельних прямих. Січна площина ABC₁ перетинає нижню основу по пря- мій AB, а верхню — по прямій, яка па- ралельна прямій AB і проходить через точку C₁. Але через точку C₁ проходить тільки одна пряма, паралельна пря- мій AB, — це пряма C D_{1 1}. Отже, перері- зом є чотирикутникABC D_{1 1}, сторони AB і C D_{1 1} якого паралельні й рівні, тобто ABC D_{1 1} — паралелограм. Ураховуючи, що AD⊥AB і те, що пряма AD — про- екція прямої AD₁ на площину ABCD, одержуємо, що AD₁⊥AB (за тео- ремою про три перпендикуляри). Отже,

ABC D_{1 1} — прямокутник.

3) Із прямокутного трикутникаADD₁ (DD₁ — висота паралелепіпеда) маємо:

AD₁= AD²+DD₁² == 6²+8² =10 (см).

4) Тоді площа перерізу дорівнює:

S_пер=AB AD⋅ ₁= ⋅5 10 50= (см²).

Відповідь: 50 см².



3) Якщо розглядаєте переріз многогранника, то обґрун- тувати його форму, якщо цю форму використовуєте для розв’язання (для обчислення площі отриманого перерізу потрібно обґрунтувати, що перерізом є прямокутник).

4) На кожному етапі обчислень указати, елементи якого три- кутника визначаєте, і  якщо він прямокутний, пояснити чому. Зокрема, щоб обґрун- тувати, що трикутник ADD₁ прямокутний, достатньо ука- зати, що DD₁ — висота па ра лелепіпеда (тоді пря- ма DD₁ перпендикулярна до площини основи, а це й озна- чає, що вона перпендикуляр- на до прямої AD, що лежить у цій площині).

З прикладами розв’язування більш складних задач, пов’язаних із  перерізами призм, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

заПитання

1. Наведіть приклад використання властивостей паралельних площин

вПрави

3.1°. Побудуйте переріз чотирикутної призми площиною, що проходить через сторону основи й одну з вершин другої основи.

3.2°. Побудуйте переріз чотирикутної призми площиною, що проходить через три точки на бічних ребрах призми.

3.3°. Бічне ребро правильної трикутної призми дорівнює 6 см, а сторона основи 8 см. Знайдіть площу перерізу призми площиною, що прохо- дить через сторону нижньої основи й протилежну вершину верхньої основи.

3.4°. Сторони основи прямої трикутної призми дорівнюють 10, 17 і 21, а висота 18. Знайдіть площу перерізу, що проходить через бічне ребро й меншу висоту основи.

3.5°. У прямій трикутній призмі через сторону основи під кутом 45° до неї проведено площину, що перетинає протилежне бічне ребро.

Знайдіть площу перерізу, якщо площа основи дорівнює Q.

3.6. Сторони основи прямої трикутної призми дорівнюють 13 см, 37 см і 40 см, а бічне ребро 20 см. Знайдіть:

1) площу перерізу призми площиною, що проходить через бічне ребро й меншу висоту основи призми;

2) площу перерізу призми площиною, що проходить через сторону основи під кутом 30° до площини основи.

3.7. Основою прямої трикутної призми ABCA B C_{1 1 1} є рівнобедрений три- кутник ABC, де AB BC= =25 см, AC=30 см. Через бічне ребро AA₁ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра BC. Визначте висоту призми, якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см². 3.8. Діагональ основи правильної чотирикутної призми дорівнює

10 2 см, а висота 20 см. Знайдіть:

1) площу діагонального перерізу призми;

2) площу перерізу, що проходить через протилежні сторони основ призми;

3) площу перерізу призми, що проходить через сторону основи під кутом 45° до неї.

3.9. Діагональ основи правильної чотирикутної призми дорівнює 4 2 см, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу перерізу призми, що проходить через сторону ниж- ньої основи й протилежну сторону верхньої основи.

3.10*. Основою прямої призми є прямокутний трикутник із катетами 20 см і 21 см. Через середину гіпотенузи перпендикулярно до неї проведено площину. Знайдіть площу перерізу, якщо бічне ребро призми дорівнює 42 см.

3.11*. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної призми, пло- ща основи якої дорівнює S, а площа перерізу, проведеного через сто- рону однієї основи й протилежну вершину іншої основи, дорівнює Q.

3.12. Кожне ребро правильної шестикутної призми ABCDEFA B C D E F1 1 1 1 1 1

дорівнює a. Побудуйте переріз призми площиною, що проходить:

1) через вершини A, C і D₁; 2) через вершини A, B і E₁. Обчисліть площі цих перерізів.

3.13*. Через діагональ основи правильної чотирикутної призми проведено переріз, паралельний діагоналі призми. Знайдіть площу перерізу, якщо висота призми дорівнює 4 см, а сторона її основи 2 см.

3.14*. У правильній трикутній призмі, кожне ребро якої дорівнює a, побудуйте переріз, що проходить через сторону основи й середину відрізка, який сполучає центри основ. Знайдіть площу перерізу і кут між площиною перерізу й площиною основи.

Виявіть свою компетентність

3.15. Дерев’яний куб із ребром 28 см потрібно розпиляти так, щоб пилка пройшла через точки K, P і T на ребрах куба такі, що точки K і P розташовані на відстані 7 см від найближчої вершини куба, а точка T — середина відповідного ребра куба (рис. 3.7, а). Як побудувати на кубі лінії розпилу?

Вказівка. Побудуйте відповідний переріз на зображенні куба і знай- діть відстань DX, де Х — точка перетину січної площини з ре- бром DD₁ (рис. 3.7, б).

Рис. 3.7

A₁

B₁ C₁

D₁

A

B C

D P T

K P T

K

а б

Таблиця 3 Піраміда

означення. Пірамідою називається многогранник, що складається із плоского многокутника (основи піра- міди), точки, яка не лежить у площи- ні основи (вершини піраміди), і  всіх відрізків, які сполучають вершину піраміди з точками основи.

ABCD — основа піраміди;

S — вершина піраміди;

SA, SB, BC, SD — бічні ребра;

ASB, BSC, CSD, ASD — бічні грані.

Висота піраміди — перпендикуляр, проведе- ний із вершини піраміди на площину основи.

SO — висота піраміди, SO H=

(

SO⊥^пл.ABCD

)

^;

S_{бічн пір.} =S_ASB+S_BSC+S_CSD+S_ASD; S_{повн пір.} =S_{бічн пір.} +S_осн

S

A

D

B C

X

S

A

D

B C

O H

Правильна піраміда

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокут- ник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника.

О О

Деякі види правильних пірамід

Трикутна Чотирикутна Шестикутна

S

A C

M B O

l

ABC — правильний;

O — точка перетину медіан (висот і бісектрис),

центр вписаного й описаного кіл

S

A B

D

C O

l

M

ABCD — квадрат;

O — точка перетину діагоналей

S

A B

F C

E D

O l

M

ABCDE — правильний шестикутник;

O — точка перетину діагоналей AD, BE і FC SO — висота правильної піраміди (SO⊥пл.ABC; O — центр основи);

SM — апофема правильної піраміди — висота бічної грані

(

SM⊥BC

)

. Властивості

1) У правильній піраміді бічні ребра рівні й однаково нахилені до площини основи.

SA SB SC= = =...; SAO=SBO=SCO=...

2) Бічні грані правильної піраміди — рівні рівнобедрені трикутники, однаково на- хилені до основи.

ASB=BSC=...

3) S_бічн= ¹P ⋅SM= P ⋅l 2

1

осн 2 осн , де l — апофема.

4) S_бічн= ^Sосн

cosϕ, де ϕ =SMO — кут нахилу всіх бічних граней до основи;

S_бічн=S_{бічн. гр}⋅n, де п — число граней.

5) S_повн=S_бічн+S_осн

Перерізи піраміди

Діагональний переріз піраміди — переріз пло- щиною, що проходить через два не сусідні бічні ребра піраміди.

Діагональний переріз піраміди є трикутником.

S

A C

B C₁ A₁

B₁

Переріз піраміди площиною, паралельною основі піраміди.

Площина A B C_{1 1 1} паралельна площині ABC.

В перерізі одержуємо многокутник (на рисунку — A B C_{1 1 1}), подібний многокутнику основи (і одержуємо піраміду SA B C_{1 1 1}, подібну заданій піраміді). Іншу части- ну заданої піраміди — многогранник ABCA B C_{1 1 1} — називають зрізаною пірамідою.

пояснення й обґрунтування

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів (páginas 187-192)