Метод слідів

Для побудови більш складних перерізів многогранників зручно засто- совувати метод слідів: спочатку будують пряму перетину січної площини з площиною якої-небудь грані (слід січної площини на цій грані), а потім уже знаходять точки перетину січної площини з відповідними ребрами многогранника (або з їхніми продовженнями). Іноді необхідно розглянути допоміжні площини, для яких також будується слід січної площини (або слід цієї допоміжної площини на площині якої-небудь грані).

Нагадаємо: для одержання сліду (пря- мої b) площини β на площині α (рис. 3.2) достатньо знайти точки перетину двох пря- мих площини α з площиною β (оскільки дві точки, наприклад A і C, однозначно ви- значають пряму b). Точка перетину будь-якої прямої a площини β з площиною α завжди лежить на слідові площини β на площині α (на прямій b).

Отримавши уявлення про паралельне і центральне проектування, можна уточни- ти зміст методу слідів, пов’язаного з вико-

ристанням відповідних проекцій. Якщо розглядати слід січної площини на площині проекції, то разом із кожною точкою можна розглядати і її проекцію на цю площину. Тоді для побудови відповідного сліду січної площини доводиться двічі знаходити точки перетину прямої й площини за двома заданими точками цієї прямої та їх проекціями на площину.

Нехай, наприклад, пряма a проходить через точки A і B, причому відомі паралельні (рис. 3.3, а) або центральні (рис. 3.3, б) проекції A′,

′

B цих точок на площину α. Тоді точка M перетину прямої a з її Рис. 3.2

C A b a c b

a

а Рис. 3.3

B A

M A′ B′

a

a´

a B

A

M A′ B′

a′ a a

б S

проекцією — прямою a′ (що проходить через точки A′ і B′) і буде шуканим перетином прямої a з площиною α.

Отже, щоб знайти точку перетину прямої з площиною проекцій, достатньо знайти точку перетину прямої з її проекцією на цю площину.

Таким чином, для побудови перерізів многогранників методом слідів ми можемо використовувати паралельне проектування (у задачах, пов’я- заних із призмами) або центральне (у задачах, пов’язаних із пірамідою).

Часто за площину проекції вибирають площину основи многогранника (як центр проектування — вершину піраміди, протилежну основі).

За допомогою методу слідів побудуємо переріз куба ABCDA B C D_{1 1 1 1} площиною, що проходить через три точки K, L, M, які лежать на попарно мимобіжних ребрах куба (рис. 3.4).

Розглянемо паралельне проектування заданих точок на площину основи ABCD у напрямку бічного ребра куба. Тоді проекціями точок K, M, L будуть відповідно точки A, M, L₁, де LL D D_{1 1} (рис. 3.5).

Знайдемо точку перетину прямої LK, що лежить у січній площині, з площиною основи куба. Перетином прямої LK з її проекцією L A₁ і є шукана точка P, що належить січній площині й площині основи ку- ба. Отже, січна площина перетинає основу куба по прямій MP (оскільки точки M і P належать як січній площині, так і площині основи ABCD).

Це і є слід січної площини на площині основи куба. Точка H перетину цієї прямої з ребром AB дає ще одну точку перерізу куба. Сполучимо точки K і H, H і M відрізками.

Далі використовуємо паралельність протилежних граней куба, які січна площина перетинає по паралельних прямих. Через точку L про- ведемо пряму, паралельну KH, і точку її перетину з ребром CC₁ куба позначимо буквою E. Сполучимо точки E і M відрізком. Через точку L також проведемо пряму, паралельну HM, і точку її перетину з ребром A D_{1 1} куба позначимо буквою F. Сполучимо точки L і F, K і F відрізками.

Рис. 3.4 Рис. 3.5

A₁

D₁ C₁

B₁

A

D C

B M L

K

A₁

D₁ C₁

B₁

A

D C

B M L

K L₁

P H

F

E

Шестикутник KHMELF і буде шуканим перерізом куба заданою пло- щиною.

Зазначимо, що починати розв’язування задач на обчислення, пов’яза- них із перерізами многогранників, можна двома шляхами. Наприклад, якщо в задачі потрібно знайти площу перерізу, то спочатку можна побу- дувати цей переріз, визначити його форму, а потім знайти його площу.

Але оскільки в задачі не вимагають побудувати переріз многогранника, то можна почати розв’язування інакше: прийняти, що переріз уже по- будований і, спираючись на властивості паралельності або перпендику- лярності прямих і площин, обґрунтувати форму перерізу, а потім знайти його площу (див. інтернет-підтримку підручника).

Також зазначимо, що іноді слід січної площини зручно розглядати не тільки в задачах на побудову перерізів, але й у задачах на обчислен- ня кута між січною площиною й площиною однієї з граней призми або піраміди. У таких випадках нас часто не цікавить вид перерізу, тому його можна не будувати й не обґрунтовувати (див. інтернет-підтримку підручника).

приклади роЗв’яЗування Задач

Задача 1. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA B C D_{1 1 1 1} сторони основи AB і AD дорівнюють 5 см і 6 см відповідно, а висота паралелепіпеда 8 см.

Знайдіть площу перерізу паралелепіпеда площиною, що проходить через сторону основи AB і вершину C₁.

Розв’язання Коментар



1) Оскільки паралелепіпед прямокутний, то його висотою є бічне ребро, отже, за умовою DD₁=8 см (рис. 3.6).

A₁

D₁ C₁

B₁

A

D C

B Рис. 3.6

Використовуємо основні еле- менти схеми розв’язування задач на обчислення (див. § 1, п. 4).

1) Обґрунтувати розташування висоти многогранника (у цьо- му випадку достатньо прига- дати означення й  властивості прямокутного паралелепі- педа).

2) Обґрунтувати, що просторові кути й просторові відстані по- значені правильно (у  цій за- дачі таких елементів немає).

2) Площини основ ABCD і A B C D_{1 1 1 1} пара- лельні, тому січна площина перетинає їх по паралельних прямих. Січна площина ABC₁ перетинає нижню основу по пря- мій AB, а верхню — по прямій, яка па- ралельна прямій AB і проходить через точку C₁. Але через точку C₁ проходить тільки одна пряма, паралельна пря- мій AB, — це пряма C D_{1 1}. Отже, перері- зом є чотирикутникABC D_{1 1}, сторони AB і C D_{1 1} якого паралельні й рівні, тобто ABC D_{1 1} — паралелограм. Ураховуючи, що AD⊥AB і те, що пряма AD — про- екція прямої AD₁ на площину ABCD, одержуємо, що AD₁⊥AB (за тео- ремою про три перпендикуляри). Отже,

ABC D_{1 1} — прямокутник.

3) Із прямокутного трикутникаADD₁ (DD₁ — висота паралелепіпеда) маємо:

AD₁= AD²+DD₁² == 6²+8² =10 (см).

4) Тоді площа перерізу дорівнює:

S_пер=AB AD⋅ ₁= ⋅5 10 50= (см²).

Відповідь: 50 см².



3) Якщо розглядаєте переріз многогранника, то обґрун- тувати його форму, якщо цю форму використовуєте для розв’язання (для обчислення площі отриманого перерізу потрібно обґрунтувати, що перерізом є прямокутник).

4) На кожному етапі обчислень указати, елементи якого три- кутника визначаєте, і  якщо він прямокутний, пояснити чому. Зокрема, щоб обґрун- тувати, що трикутник ADD₁ прямокутний, достатньо ука- зати, що DD₁ — висота па ра лелепіпеда (тоді пря- ма DD₁ перпендикулярна до площини основи, а це й озна- чає, що вона перпендикуляр- на до прямої AD, що лежить у цій площині).

З прикладами розв’язування більш складних задач, пов’язаних із  перерізами призм, можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

заПитання

1. Наведіть приклад використання властивостей паралельних площин

No documento (1)(2)Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ Міністерства освіти і науки України від Видано за рахунок державних коштів (páginas 184-187)