Н. П. Шамаева, кандидат экономических наук, Камский институт гуманитарных и инженерных технологий
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ
КАК ОСНОВА ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ КООПЕРАЦИИ
Научно-производственная кооперация является одним из определяющих факторов развития эконо- мики [1]. К числу переменных, характеризующих процесс взаимодействия науки с производством (на корпоративном, региональном или национальном уровнях), относятся:
n – число используемых патентов на новые на- укоемкие технологии;
w – средства, на НИОКР (относительное количе- ство: , где w1 – финансовые средства, на- правляемыена НИОКР, w2 – общая сумма финансовых средств, используемых для производства продукции);
s – доля технологически продвинутого про дукта, связанного с наукоемким производством ( , где s1 – количество изделий, произ- веденных по новым технологиям и/или коли- чество технологически продвинутых изделий, s2 – общее количество произведенных изделий);
γ – степень технологического развития, γ – харак- теризует технологическое отставание): , где γ 1 – число используемых новых передовых наукоемких технологий, γ2 – общее число использу- емых технологий;
μ – относительная численность персонала, за- нятого НИОКР:
, где μ 1 – численность персонала занятого НИОКР, μ 2 – общая численность персонала.
Математическая модель динамики этих пере- менных представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой описывает зависимость от времени этих переменных.
Она имеет вид:
(1)
γ
⋅ δ + µ
= µ
−
⋅ γ
=
+ γ
−
⋅ σ
= γ
µ
⋅
∆ +
⋅
−
− +
⋅
⋅
⋅
= α
) t(
)) t(
( f ) dt t(
d
))) t(
s ( f )) t(
s ( f ( ) t(
dts d
)) t(
w ( f )) t(
( f ) t(
n ) dt t(
d
) t(
n d )) t(
kw n n d ( ) t(
n w k ) t(
dtn d
5
4 3
2 1
0
Здесь d – время, за которое число используемых патентов уменьшается в е – раз, при условии k=Δ=0, число патентов на изобретения в области опреде- ленной наукоемкой технологии хорошо описывается логистической кривой, являющейся решением урав- нения для n(t) системы (1).
n0 n
t
Когда научное открытие или экспериментальная установка превращается в промышленное изделие, количество используемых патентов экспоненциально растет:
d
dt n(t) ≈ k·w·n0·n(t) или n(t) ~ е -k·w(t)·no·t,
этот рост становится все менее заметным при больших t, когда уже „все” запатентовано, при t →
∞ n → n0. Начальный экспоненциальный рост ко- личества патентов и определяет коэффициент k.
Δ – коэффициент пропорциональности между коли- чеством исследовательских групп, работающих над определенным проектом и ростом числа патентов, α – среднее число членов в такой группе.
Динамику технологического отставания описы- вает второе сверху уравнение системы (1). Входящие в него функции f1(γ(t)) и f2(w(t)) описывают рост техно- логического отставания при отсутствии финансирова- ния НИОКР и скорость уменьшения технологического отставания, зависящую от степени финансирования 2
w
1w = w
2
s
1s = s
2
γ
1= γ γ
2
µ
1= µ
µ
НИОКР, соответственно σ – коэффициент пропорци- ональности между уменьшением технологического отставания и числом действующих патентов.
Третье сверху уравнение описывает динамику относительного количества технологически про- двинутых изделий s в зависимости от потребности в данном продукте (спрос) f3(s(t)) и наличия на рынке данной продукции (предложение) f4(s(t)).
Динамику относительной численности персо- нала, занятого НИОКР описывает самое нижнее из уравнений системы (1). Оно отражает зависимость скорости увеличения (уменьшения) относительной численности персонала занятого НИОКРом от от- носительного количества этого персонала f5(μ(t)) и технологического отставания (δ – коэффициент этой зависимости).
Линеаризуем систему уравнений (1) в окрест- ности ее стационарного решения, определяемого мно- жеством условий: {ñ = n0;
µ ~
=0; w~ =0; δn0= f1(γ0)=0;~ = γγ 0; s~ = s0; f3(s0)= f4(s0);
µ ~
=μ0; f5(μ0)+ δ·γ0=0}.
В результате получим систему уравнений:
−
⋅
−
⋅ γ
=
γ
− γ
⋅ δ + µ
− µ
⋅ µ
= µ
⋅ + γ
− γ
⋅ γ
−
−
⋅ σ
= γ
µ
⋅
∆ +
−
⋅
⋅
⋅
−
= α
) s s ( )) s ( dtf ) d s ( dtf (d ) t ( dts
d
) ( ) ( ) ( dtf ) d t dt (
d
w ) 0 ( dtf ) d ( ) ( dtf ) d n n ( ) t dt (
d
) n n ( n w k ) t ( dtn
d
0 0 4 0 3 0
0 0
0 5
2 0 0 1 0
0 0 0
(2)
Введем новые переменные: n-n0 = x1, γ-γ0 = x2, μ-μ0 = x3, тогда первые три уравнения системы (2) примут вид:
⋅ δ +
⋅ µ
=
⋅ +
⋅ γ
−
⋅ σ
=
µ
⋅
∆ +
⋅
⋅
⋅
−
= α
2 0 3
3 5
2 2 0 1 1
2
1 0 1 0
x x ) ( dtf x d dt
d
w ) 0 ( dtf x d ) ( dtf x d dtx
d
x n w k dtx
d
(3)
Рассмотрим теперь переменные x1, x2 и x3, как компоненты вектора
x= x1·e1+ x2·e2+ x3·e3. С помощью оператора А, который в базисе e1, ..., e3 имеет матрицу: Аe1=αikek
ki
α =
µ δ
γ
− σ
−
) ( dtf 0 d
0 ) ( dtf
d0 0
kwn
0 5 0 1
0 (4)
и вектора 0 1 f2(0) w e2
dt e d
u=∆⋅µα⋅ + ⋅ ⋅ , систему урав нений (3) можно записать в виде:
) u A x ( A u x A dtx
d= += + −1 (5), или dtdy=Ay, где y=x+A−1u (6).
Решение уравнения (6) имеет вид:
y
=u A
x +
−1
=e
Aty
0или x=
At
y
0e
-A−1u (7), где постоянный вектор y0определяется началь- ными условиями:
12 2 11 0 3 3
2 2 1 1
0 x(0) A1u x(0)e x (0)e x(0)e A e dtdf (0)wA e
y
= + − = + + +∆µα − + − .
Здесь х1(0)=n(0)- n0; х2(0)=γ(0)- γ0; х3(0)=μ(0)- μ0 начальные отклонения системы от положения равно- весия (стационарной точки). А-1 оператор обратный к оператору А.
Его матрица находится из соотношения: АА-1=1 (8), что соответствует матричному уравнению:
µ δ
γ
− σ
−
) ( dtf 0 d
0 ) ( dtdf0 0 kwn
0 5 0 1
0 х
x
µ + δ µ + δ µ + δ
γ
− δ γ
− δ γ
− δ
−
−
−
=
33 0 5 23 32 0 5 22 31 0 5 21
23 0 1 13 22 0 1 12 21 0 1 11
13 0 12
0 11
0
33 32 31
23 22 21
13 12 11
b ) ( dtf b d b ) ( dtf b d b ) ( dtf b d
b ) ( dtf b d b ) ( dtf b d b ) ( dtf b d
b kwn b
kwn b
kwn
b b b
b b b
b b
b =
=
1 0 0
0 1 0
0 0
1 ,
из которого и следует система уравнений для нахождения элементов матрицы оператора А-1:
b11= - kwn0
1 ; b12=0; b13=0;
0 0 1 21 21 0
0 1 f( )kwn
dt b d 0 b ) ( dtf
d
kwn γ
− δ
=
⇒
= γ δ −
− ;
) ( dtf
d 1 b
1 b ) ( dtf b d
0 1 22 22
0 1
12− γ = ⇒ =− γ
δ ;
0 b 0 b ) ( dtf
b13−d 1γ0 23= ⇒ 23=
δ ;
0 0 1 0 5 21 0 5 31 31 0 5
21 f( )kwn
dt )d ( dtf b d ) ( dtf b d 0 b ) ( dtf b d
γ µ
= δσ µ
− δ
=
⇒
= µ +
δ ;
) ( dtf )d ( dtf b d ) ( dtf b d 0 b ) ( dtf b d
0 1 0 5 22 0 5 32 32
0 5
22 µ γ
= δ µ
− δ
=
⇒
= µ +
δ ;
) ( dtf
d 1 b 1 b ) ( dtf b d
0 5 33 33 0 5
23+ µ = ⇒ = µ
δ .
Таким образом, матрица оператора А-1 имеет вид:
µ γ
µ δ γ
µ δσ
γ
− γ
− δ
− =
) ( dtf d
1 ) ( dtf )d ( dtf kwn d ) ( dtf )d ( dtf
d
0 )
( dtf
d 1 kwn
) ( dtf d
0 kwn 0
- 1
A
0 5 0 1 0 5 0 0 1 0 5
0 1 0
0 1
0
1 (9).
Найдем теперь собственные значения и соб- ственные вектора оператора А. Уравнение для их нахождения имеет вид:
Н. П. Шамаева
(10) ξ=λξ
A , или(A−λ1)ξ=0=ξi(A−λ1)ei, что означает линейную зависимость векторов
ei
) 1 A
( −λ , а значит равенство 0 их детерминанта:
= λ
− λ
− λ
−
=Det((A 1)e ,(A 1)e ,(A 1)e )
0 1 2 3
= λ
− µ δ
λ
− γ
− δ
λ +
−
=
) ( dtf 0 d
0 )
( dtf
d 0 0
) kwn (
0 5 0
1 0
= λ
− µ δ
λ
− γ
⋅− λ +
−
= f ( )
dt d
0 )
( dtf
d ) kwn (
0 5 0
1 0
) ) ( dtf (d ) ) ( dtf (d ) kwn
( 0+λ ⋅ 1 γ0 +λ ⋅ 5 µ0 −λ
= ,
что и дает 3 собственных значения оператора А:
λ1=-kwn ; λ0 2= f ( ) dt
d 1 γ0
− ;
λ3=
f ( ) dt
d
5µ
0 . Вычислим собственные вектора, соответствующие этим собственным значениям.Для собственного значения λ1 уравнение (10) примет вид:
0 ) 1 A
( −λ1 ξ1= или
+ µ δ
γ
− δ
=
z y x kwn ) ( dtf 0 d
0 )
( dtf kwn d
0 0
0 0
0 0 5 0 1 0
,
что и дает систему уравнений для определения компонент вектора
= ξ
z y x
1
:
(11)
= +
µ + δ
= γ
− +
δ
0 z ] kwn ) ( dtf [d y
0 y )]
( dtf kwn d [ x
0 0
5
0 1
0 .
Решение этой системы уравнений имеет вид:
y = 1, f ( ) kwn ] dt
[d
x 1 1 γ0 − 0
=σ , f5( 0) kwn0
dt z d
+ µ
δ
= −
. И, таким образом, собственный вектор ξ1
имеет вид:
+ µ
δ
−
− σ γ
= ξ
0 0
5
0 0
1 1
kwn ) ( dtf
d 1
] kwn ) ( dtf [d 1
.
Аналогично вычисляются компоненты собствен- ных векторов ξ2
и ξ3
:уравнение:
⋅
γ + µ δ σ
− γ
= ξ λ
−
=
1 1 1
0 1 0 5 0 0 1 2 2
z y x )) ( dtdf ) ( dtdf ( 0
0 0
0 0
kwn ) ( dtf d ) 1 A (
0
, отсюда
0 x ) kwn ) ( dtf
(d 1 γ0 − 0 ⋅ 1= ; σ⋅x1=0 ; 0 z )) ( dtf ) d ( dtf (d
y1+ 5 µ0 + 1 γ0 ⋅ 1=
⋅
δ , что дает: x1=0;
δ γ + µ
=− f( ))
dt ) d ( dtf (d
y1 5 0 1 0 ; z1=1. И вектор ξ2
имеет вид:
δ γ + µ
−
= ξ
1
)) ( dtf ) d ( dtf (d
0
0 1 0 5 2
.
Уравнение:
⋅
δ µ + γ
− σ
µ +
−
= ξ λ
−
=
2 2 2 0 5 0 1 0 5 0 3 3
z y x
0 0
0 )) ( dtdf ) ( dtdf (
0 0 )) ( dtdf kwn ( ) 1 A (
0
дает условия для определения компонент вектора ξ3 : 0
x 0 x )) ( dtf kwn d
( 0+ 5 µ0 ⋅ 2= ⇒ 2=
−
0 y 0 y )) ( dtf ) d ( dtf (d
x2 − 1 γ0 + 5 µ0 ⋅ 2= ⇒ 2 =
⋅
σ ,
0 y 0
y2= ⇒ 2 =
δ .
Отсюда
= ξ
1 0 0
3
. Теперь, вернувшись к решению (7),
мы можем разложить вектор y0 по собственным векторам оператора А: ξ1
, ξ2 и ξ3:
1 0
1 kwn
Aξ =− ξ
; Aξ2=−dtdf1(γ0)ξ2; 3 f5( 0) 3
dt Aξ = d µ ξ
;
= ξ + ξ + ξ
= 1 1 2 2 3 3
0 c c c
y
1 2 2 11 0 3 0 2
0 1
0 f(0)wA e
dt e d A e ) ) 0 ( ( e ) ) 0 ( ( e ) n ) 0 ( n
( − + γ −γ + µ −µ +∆µα − + −
= . (12)
Из этого равенства (12) определяются коэффи- циенты разложения y0 по собственным векторам
ξ1,
ξ2
, ξ3 оператора А: с1, с2 и с3. Подставляя это разложение в решение (7) уравнения (5), получим:
∆µ
− ξ + ξ + ξ
=
−
=
α
−
−
0 w ) 0 ( dtf A d ) c c c ( e u A y e
X 2
0 3 1
3 2 2 1 At 1 0 1
At
=
=
3 t) ( dtf
d 3 2 t) ( dtf d 2 t 1 1 kwn
0 5 0
0
c e
1c e
e
c
−ξ +
− γξ +
µξ
+=
∆µ
µ γ µ
δ
− γ
µ δσ
−
γ γ
+ σ
α
0 w ) 0 ( dtf
d
) ( dtf
d 1 ) ( dtf )d ( dtf kwn d ) ( dtf )d ( dtf
d
0 ) ( dtdf1 kwn
) ( dtdf
0 kwn1 0
5 0
0 5 0 1 0 5 0 0 1 0 5
0 1 0
0 1
0
Н. П. Шамаева
δ γ + µ
= − ξ
1
)) ( dtf ) ( dtf
( 5 0 1 0
2
= +
+
δ µ + γ
− +
+ µ
δ
−
−
σ γ − γ µ
−
1 0 0 e c 1
) ( dtf ) d ( dtf
d 0
e c kwn ) ( dtf d
1 ] kwn ) ( dtf [d 1 e
c 3dtdf( )t
0 5 0 t 1 ) ( dtdf 2 0 0 5
0 0 1 t 1 kwn
0 5 0
0 1
=
γ µ
δ + µ
∆
−δσ
γ + γ
µ
∆ σ
µ
∆
+
α α
α
0 0 1 0 5
2 0 2 0
0 1
2 0 0 1
0 0 0
kwn ) ( dtf )d ( dtf
d
n kw ) 0 ( dtdf
) ( dtd f
) 0 ( dtf
d
kwn ) ( dtdf
kwn
γ µ
δ + µ
∆ δσ
− + +
+ µ
δ
−
γ + µ
∆ +σ δ
µ +
− γ
µ +∆
− σ γ
=
α µ γ
− −
α γ
− −
α
−
0 0 1 0 5
2 0 2 t 0
) ( dtf d 3 t ) ( dtf d 2 0 0 5
t 1 kwn
0 0 1
2 0 2 0 0 5 0 t 1 ) ( dtf d t 2 1 kwn
0 0 0 0 1 t 1 kwn
kwn ) ( dtf )d ( dtf d
kn w ) 0 ( dtf d e
c e kwn c ) ( dtf
d c e
kwn ) ( dtf d
kn w ) 0 ( dtf ) d ( dtf ) d ( dtf
d e c e c
] kwn kwn ) ( dtf [d e c
0 5 0 0 1
0 0 1
0
Компоненты этого вектора позволяют показать . зависимость от времени динамических переменных n, γ, μ и s, характеризующих нашу систему:
] kwn ) ( dtf [d c e n kwn
x n
n 1 kwnt 1 0 0
0 0 0 1
0 0 γ −
+σ µ + ∆
= +
= α −
. При t → ∞ n n0 kwn00
µα
+ ∆
→ стационарному состо- янию очевидным становится тот факт, что обильное финансирование w>>1 снижает стационарное коли- чество используемых патентов, поскольку теряется стимул.
)) ( dtf ) d ( dtf (d c e e c kwn ) ( dtf d
w ) 0 ( dtdf
x kn 1 kwnt 2 dtdf( )t 1 0 5 0
0 0 1
2 2 0 0 0 2 0
0
0 1 γ + µ
−δ + γ
+ µ
∆ +σ γ
= + γ
=
γ − − γ
α
Для технологического отставания γ следует раз- личать два варианта поведения:
если f ( ) 0
dt ) d ( dtf
d 1 γ0 + 5 µ0 = , то при t → ∞
γ
≡ γ
+ µ
∆ +σ γ
→ γ
α
~ kwn
) ( dtf
d
w ) 0 ( dtf kn d
0 0 1
2 2 0 0
0 , и при хорошем
финансировании (w>>1) стационарная точка ~γ, к которой стремится технологическое отставание при t → ∞ будет прямо пропорционально финансирова- нию (с коэффициентом
) ( dtf
d ) 0 ( dtf
d
0 1
2
γ ):
)w ( dtf
d ) 0 ( dtf
d
~
0 1
2
0 γ
+ γ
≈
γ , а при плохом финансировании (w<<1)
w kn ) ( dtf
~ d
0 0 1 0 0
γ µ
∆ + σ γ
≈
γ α и уменьшение степени техноло- гического отставания может быть получено за счет увеличения относительной численности персонала, занятого НИОКР μ0.
Если же f ( ) 0
dt ) d ( dtf
d 1 γ0 + 5 µ0 ≠ , то, поскольку )
( dtf
d 1 γ0 <0, происходит бифуркация (т. е. изменение
динамического поведения) системы к новому поло- жению равновесия: t → ∞
)) ( dtf ) d ( dtf (d c A kwn
) ( dtf
d
w ) 0 ( dtf kn d
0 5 0 2 1
0 0 1
2 2 0 0
0 γ + µ
− δ γ
+ µ
∆ +σ γ
→ γ
α
, здесь А, характеризующая отклонение системы от старого положения равновесия при переходе к ново- му, определяется разложением в ряд Тейлора правых частей системы уравнений (1) с точностью до более высоких степеней, чем первая.
Зависимость от времени относительной чис- ленности персонала, занятого НИОКР описывается функцией μ(t):
0 0 1 0 5
0 2 2 ) 0
( 3 ) ( 2 0 0 5 0 1 0 3
) ( ) (
) 0 ( )
(
0 5 0 0 1
kwn dtf f d dt d
w kn dtf d e
c e c kwn dtf
d ce
x kwnt dtdf t dtdf t
γ µ
δ µ δσ µ
µ µ µ
α µ
γ ∆ +
− +
− +
−
= +
= − −
так как f1 dt
d <0, f5
dt
d >0, то в условиях экономи-
ческого кризиса с2=0 и с3=0, w<<1, t → ∞ kwn 1
) ( dtf )d ( dtf
d 5 0 1 0 0
0 0 〈〈
γ µ
µ
∆
− δσ µ
→
µ α . В условиях эконо-
мического роста с2≠0 и с3≠0 и μ растет:
t) ( dtf
d 3 t) ( dtf d 2
0 5 0
1
c e
e
c
− γ+
µ≈
µ
, т. е. происходитбифуркация к новому положению равновесия.
Доля технологически продвинутого продукта s определяется балансом спроса и предложения. Дей- ствительно линеаризованное уравнение динамики для s легко решается и дает зависимость s от времени t:
γ −
+
= f (s ))t
dtd ) s ( dtdf ( exp c s
s 0 4 0 3 0 4 0 , если спрос и предложение сбалансированы dtdf3(s0)=dtdf4(s0), то s=s0+с4 система не является асимптотически устой- чивой, с4 может быть случайной величиной и s флук- Н. П. Шамаева
