3.1 Biálgebras
Começaremos este capítulo mostrando que coálgebras são fechadas por produto tenso- rial e a soma direta. Considere C, D coálgebras e de na
∆C⊗D : C ⊗ D ∆C⊗∆D −→ C ⊗ C ⊗ D ⊗ DI⊗T ⊗I−→ C ⊗ D ⊗ C ⊗ D C⊗D : C ⊗ D C⊗D −→ K ⊗ K ' K
em que T é a aplicação twist e por I denotamos a aplicação identidade em cada respectivo espaço.
Proposição 3.1. (C ⊗ D, ∆C⊗D, C⊗D) é uma coálgebra. Demonstração: seja c ⊗ d ∈ C ⊗ D. Então
(IC⊗D⊗ ∆C⊗D) ◦ ∆C⊗D(c ⊗ d) = (I ⊗ ∆C⊗D) X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗ c(2)⊗ d(2) = = X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗ c(2)⊗ d(2)⊗ c(3)⊗ d(3) = X (c),(d) I ⊗ T ⊗ I ⊗ IC⊗D(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)⊗ c(3)⊗ d(3)) = X (c),(d) I ⊗ T ⊗ I ⊗ IC⊗D) ◦ (∆C ⊗ ∆D ⊗ IC⊗D(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)⊗ c(3)⊗ d(3)) = X (c),(d) I ⊗ T ⊗ I ⊗ IC⊗D ◦ ∆C⊗ ∆D ⊗ IC⊗D(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)) = X (c),(d) ((I ⊗ T ⊗ I ◦ ∆C ⊗ ∆D) ⊗ IC⊗D(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)) = X (c),(d) ∆C⊗D c(1)⊗ d(1) ⊗ c(2)⊗ d(2) = ∆C⊗D ⊗ IC⊗D ◦ ∆C⊗D(c ⊗ d) Além disso, (IC⊗D⊗ C⊗D) X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗ c(2)⊗ d(2) = X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗C⊗D, c(2)⊗ d(2) = X (c),(d) c(1)⊗ d(1)C, c(2) D, d(2) = X (c),(d) c(1)C, c(2) ⊗ d(1)D, d(2) = c ⊗ d
Analogamente, (IC⊗D ⊗ C⊗D) ◦ ∆C⊗D = IC⊗D. Portanto C ⊗ D com estas aplicações estruturais é uma coálgebra.
# Considere {Cα}α∈A uma coleção de coálgebras e C = ⊕
α∈A
Cα, a soma direta destas coálgebras munido de uma soma formal, i.e., elementos de C são tomados como soma nita de elementos das coálgebras. Claramente podemos identi car C ⊗ C com ⊕
α,β∈A
(Cα ⊗ Cβ) e olhar Cα ⊗ Cα dentro deste espaço, para cada α ∈ A. Então, de nindo ∆ componente a componente, isto é,
e de maneira análoga, temos que (C, ∆, ) é uma coálgebra.
Sejam (H, M, u) uma álgebra e (H, ∆, ) uma coálgebra. Como visto anteriormente, H ⊗ H pode ser vista tanto como uma álgebra assim como uma coálgebra. A m de unir álge- bras e sua estrutura dual em uma única estrutura, alcançamos esta nova de nição
De nição 3.1. Dizemos que (H, M, u, ∆, ) é uma biálgebra quando as seguintes condições são satisfeitas:
• (H, M, u) é uma álgebra. • (H, ∆, ) é uma coálgebra. • ∆ e são mor smos de álgebras.
Proposição 3.2. As seguintes a rmações são equivalentes: 1) M e u são mor smos de coálgebras.
2) ∆ e são mor smos de álgebras.
Demonstração: considere os diagramas a seguir:
H ⊗ H H H ⊗ H H ⊗ H ⊗ H ⊗ H H ⊗ H ⊗ H ⊗ H M ∆ ⊗ ∆ ∆ I ⊗ T ⊗ I M ⊗ M (∗) K H K ⊗ K H ⊗ H ' u ∆ u ⊗ u (∗∗) H ⊗ H H K ⊗ K K ⊗ M MK ()
K H K u I () E note que ( (∗) + (∗∗) ⇒ ∆ é mor smo de álgebras. () + () ⇒ é mor smo de álgebras. ( (∗) + () ⇒ M é mor smo de coálgebras. (∗∗) + () ⇒ u é mor smo de coálgebras. Com isso, 2) ⇔ (∗) + (∗∗) + () + () ⇔ 1). # Um subespaço A de uma biálgebra H é dito uma sub-biálgebra se A é subálgebra e subcoálgebra de H, analisando H como álgebra e coálgebra, respectivamente. De maneira comum, de ne-se uma biálgebra quociente de H.
Também dizemos que uma aplicação linear entre biálgebras é um mor smo de biál- gebras se esta for um mor smo de álgebras e de coálgebras, analisando as biálgebras como antes em suas duas naturezas algébricas.
Observação:. Se H é uma biálgebra de dimensão nita então a dualização dos diagramas an- teriores garante que H∗ também é uma biálgebra.
Continuemos agora com alguns exemplos. O primeiro e talvez mais trivial seja con- siderar um corpo K arbitrário munido da estrutura ∆ = M = = u = I, em que I é a aplicação identidade no corpo. Vejamos outro mais interessante.
Exemplo 3.1. Como vimos no primeiro capítulo, Exemplo 1.1, dado um conjunto S 6= ∅, construímos uma coálgebra sobre o espaço KS chamada coálgebra tipo-grupo com
∆ (s) = s ⊗ s e h, si = 1 para todo s ∈ S.
Agora, no lugar de S, considere G 6= ∅ um monóide e KG a álgebra de monóide. Claro que (KG, ∆, ) é uma coálgebra mas, além disso, ∆ e são mor smos de álgebra. De fato, se h1, h2 ∈ G e h1h2 = g ∈ G então,
e
h, h1h2i = 1 = 1 · 1 = h, h1i h, h2i . Portanto, KG é uma biálgebra.
Proposição 3.3. a) Seja S 6= ∅ um conjunto e KS a coálgebra tipo-grupo em S. Então
S = {v ∈ KS : v 6= 0 e ∆ (v) = v ⊗ v}.
b) Se C é uma coálgebra e c ∈ C\{0} é tal que ∆ (c) = c ⊗ c então h, ci = 1. Por outro lado, se
G(C) := {c ∈ C\{0} : ∆ (c) = c ⊗ c}
então G(C) é linearmente independente em C e o subespaço gerado por G(C) é uma sub- coálgebra de C que é isomorfa à coálgebra tipo-grupo K(G(C)).
c) Se H é uma biálgebra então G(H) é um monóide multiplicativo em H. Além disso, o su- bespaço gerado por G(H) é uma sub-biálgebra de H isomorfa à biálgebra K(G(C)).
Demonstração: a) Claramente S ⊆ {v ∈ KS : v 6= 0 e ∆ (v) = v ⊗ v}, pela de ni- ção de KS como coálgebra. Mas S é uma base de KS como espaço vetorial. Portanto, para completar esta demonstração é su ciente mostrar o item b) pois, uma vez que G(KS) for li- nearmente independente, teremos a outra inclusão.
b) Seja c ∈ C\{0} nas condições do enunciado. Da propriedade counitária temos que
c = ( ⊗ I)(c ⊗ c) = h, ci c = c. Portanto, h, ci = 1.
Agora, suponha que G(C) seja linearmente dependente e assuma que n ∈ N possua a propriedade de que qualquer subconjunto de G(C) com n elementos é l.i. e com mais de n elementos seja l.d. Note que, como G(C) 6= ∅, todo subconjunto com um único elemento de G(C) é l.i. Portanto, faz sentido tal propriedade.
Dito isso, considere {g1, . . . , gn} um subconjunto de G(C). Então, dado g ∈ G(C), existem λ1, . . . , λn∈ K de modo que
g = n X
i=1 λigi.
Daí, ∆ (g) = g ⊗ g = n X i=1 λigi⊗ n X j=1 λjgj = n X i,j=1 λiλjgi⊗ gj
e por outro lado,
∆ (g) = n X i=1 λi∆ (gi) = n X i=1 λigi⊗ gi.
Entretanto, {gi}ni=1 l.i ⇒ {gi ⊗ gj}ni,j=1 l.i. E além disso, λi 6= 0, ∀i = 1, . . . npois - do contrário - e.g., λn = 0, então {g, g1, . . . , gn−1} será um conjunto l.d., contrariando a minimalidade de n.
Portanto, a expressão de ∆ (g) força n = 1. Neste caso,
g = λ1g1 ⇒ 1 = h, gi = λ1h, g1i = λ1,
ou seja, g = g1. Mas isto contradiz g 6= gi, ∀i = 1, . . . , n. Portanto G(C) é linearmente independente e a demonstração do item a) já está completa. O restante da demonstração de b) é resultado direto da de nição de G(C) mais o fato de considerar o subespaço gerado por este conjunto.
c) Seja (H, M, u, ∆, ) uma biálgebra. Dados g, h, ∈ G(H), como ∆ é mor smo de álgebra, temos
∆ (gh) = ∆ (g) ∆ (h) . Mas
∆ (g) ∆ (h) = gh ⊗ gh e portanto gh ∈ G(H). Além disso,
∆ (1HA) = 1HA⊗HA = 1HA ⊗ 1HA
implica que 1HA ∈ G(H), onde HA representa a biálgebra vista como álgebra. Logo, G(H) é um monóide multiplicativo.
Para o restante da prova, note que
como espaços vetoriais. Mais ainda, como álgebra, ambos espaços herdam a mesma multipli- cação do monóide G(H) e, como coálgebra, o item b) garante o isomor smo. Portanto, segue o isomor smo de biálgebras.
# De nição 3.2. Seja C uma coálgebra. Dizemos que os elementos de
G(C) = {c ∈ C : ∆(c) = c ⊗ c} são elementos tipo-grupo
Observação:. Os elementos tipo-grupo de uma coálgebra fornecem uma correspondência biu- nívoca importante com suas subcoálgebras unidimensionais.
Se D ⊂ C é uma subcoálgebra de dimensão 1 então dado d 6= 0 em D temos ∆ (d) = λd ⊗ d, λ 6= 0. Logo
∆ (λd) = λd ⊗ λd ⇒ λd ∈ G(C) ∩ D.
Como G(C) é linearmente independente e D unidimensional, G(C) ∩ D = {λd}. Por outro lado, se g ∈ G(C) então podemos construir Kg a subcoálgebra tipo-grupo de C, que possui dimensão 1. Claramente é a única subcoálgebra de C de dimensão 1 associada ao elemento g ∈ G(C).
De nição 3.3. Seja C uma coálgebra e g, h ∈ C. De nimos
PC(g, h) = {c ∈ C : ∆(c) = c ⊗ g + h ⊗ c} o conjunto dos elementos (g, h)-primitivos de C.
Retornemos com alguns exemplos de biálgebras.
Exemplo 3.2. Seja L uma álgebra de Lie e denotemos por U(L) sua álgebra universal enve- lopante. Se A for uma álgebra associativa denotaremos por A− a álgebra de Lie sobre A, com [a, b] = ab − ba.
Considere L ⊕ L como uma álgebra de Lie em que a operação é dada componente a componente, isto é, se (g1, g2), (h1, h2) ∈ L ⊕ L então
[(g1, g2), (h1, h2)] := ([g1, h1], [g2, h2]).
Considere também o mor smo de álgebra de Lie g 7→ (g, g) entre L e L ⊕ L e iL⊕L : L ⊕ L → U (L ⊕ L) o mergulho natural que existe entre uma álgebra de Lie e sua álgebra universal envelopante. Disso temos a composição
L −→ L ⊕ L i−→ U (L ⊕ L).L⊕L
Como iL⊕L fornece um mor smo de álgebras de Lie entre L e U(L ⊕ L)
−, em síntese, possuímos uma composição de L em U(L ⊕ L)−, que é um mor smo de álgebras de Lie. Por- tanto, pela proposição universal de U(L), existe um mor smo de álgebras U(L) → U(L ⊕ L). Como U(L ⊕ L) é naturalmente isomorfa à U(L) ⊗ U(L) via (g1, g2) 7→ g1⊗ 1 + 1 ⊗ g2 (para demonstração, ver [2], corolário 2.2.12), podemos de nir
∆ (g) := g ⊗ 1 + 1 ⊗ g e, induzido pelo mor smo de álgebras de Lie L → {0},
: U (L) → K,
que são mor smos de álgebras pela propriedade universal da álgebras envelopantes.
Com isso, podemos mostrar que U(L) munido das aplicações ∆ e possui uma estru- tura de biálgebra. De fato, é su ciente mostrar que (U(L), ∆, ) é uma coálgebra. Para isso, considere g ∈ L, que é gerador de U(L). Temos
(I ⊗ ∆) ◦ ∆ (g) = g ⊗ ∆ (1) + 1 ⊗ ∆ (g) = 1 ⊗ ∆ (g) + g ⊗ ∆ (1) = (∆ ⊗ I) ◦ ∆ (g) .
Além disso,
(I ⊗ ) ◦ ∆ (g) = 1 ⊗ h, gi + g ⊗ h, 1i = 1 ⊗ 0 + g ⊗ 1K ' g.
pois h, Li = {0}, por de nição, e h, Ki = K. Analogamente, ( ⊗ I) ◦ ∆ = I. Portanto, U(L) é de fato uma biálgebra com as estruturas de álgebra e coálgebra citadas acima.
Exemplo 3.3. Considere V um espaço vetorial, S(V ) a álgebra simétrica de V e A uma ál- gebra associativa. Então dada uma aplicação linear l1 : V → A de modo que l1(V ) gera uma subálgebra comutativa de A, existe um único f1 : S(V ) → A mor smo de álgebras que comuta o diagrama
V A
S(V ) l1
π f1
Note que este diagrama estabelece uma relação biunívoca entre Homcom(V, A), espaço de aplicações V → A cuja imagem é uma subálgebra comutativa, e Alg(S(V ), A), espaço dos mor smos de álgebra S(V ) → A.
Por outro lado, considere em V o colchete [v, w]V = 0, ∀v, w ∈ V. Desta maneira, V pode ser visto como álgebra de Lie e para todo mor smo de álgebra de Lie l2 : V → A−, existe um único mor smo de álgebras f2 : U (V ) → A que comuta o diagrama
V A
U (V ) l2
i f2
Note agora que este diagrama estabelece outra relação biunívoca, agora entre
HomLie(V, A−), espaço de mor smos de Lie V → A−, e Alg(U(V ), A), espaço dos mor smos de álgebra U(V ) → A. Além disso, se f ∈ HomLie(V, A−) então
[f (v), f (w)]A− = f ([v, w]V), ∀v, w ∈ V m
f (v)f (w) − f (w)f (v) = f (0) = 0, ∀v, w ∈ V m
f (V ) gera uma subálgebra comutativa em A. Portanto HomLie(V, A−) =Homcom(V, A).
Como U(V ) é única a menos de isomor smo de álgebras, segue que S(V ) ' U(V ). Logo, pelo exemplo anterior, S(V ) é também uma biálgebra.
Exemplo 3.4. Seja V um espaço vetorial e T (V ) a álgebra tensorial de V . Então, munindo com as aplicações
∆ (v) := v ⊗ 1 + 1 ⊗ v
idêntica à prova de U(L) ser uma coálgebra no exemplo 3.2.
3.2 Álgebras de Hopf
Sejam C uma coálgebra, A uma álgebra. Podemos colocar uma estrutura de álgebra em Hom(C, A), o espaço das transformações lineares de C em A.
Primeiramente, considere o mergulho
F : Hom(C, A) ⊗ Hom(C, A) → Hom(C ⊗ C, A ⊗ A)
de modo que
f ⊗ g 7→ F (f ⊗ g)(c ⊗ d) := f (c) ⊗ g(d). Em seguida, faça a composição por ∆ e M e de na
MHom(C,A)(f ⊗ g) := M ◦ F (f ⊗ g) ◦ ∆ ∈Hom(C, A).
Com isso, MHom(C,A) se torna uma multiplicação em Hom(C, A), a qual denotaremos
MHom(C,A)(f ⊗ g) simplesmente por f ∗ g. Além disso, u e induzem uma unidade nessa álge-
bra se de nirmos u0 : K → Hom(C, A) como u0(k)(c) := h, ci u(k). Mais ainda, a identidade enquanto elemento de Hom(C, A) é dada por
u0(1K)(c) = h, ci u(1K) = u(h, ci), ∀c ∈ C,
isto é, 1Hom = u. Dito tudo isso, provemos estas a rmações. Proposição 3.4. (Hom(C, A), ∗, u) é uma álgebra.
Demonstração: claramente a multiplicação em Hom(C, A) satisfaz a associatividade uma vez que M é associativa e ∆ é coassociativa. É claro também que MHom(C,A) é linear uma vez que é composição de aplicações lineares e bilineares. Seja então f ∈ Hom(C, A). Daí, (f ∗ u)(c) =X (c) f (c(1)) · u(1K), c(2) =X (c) f (c(1), c(2) ) · 1A = f (c) · 1A = f (c).
Portanto u é unidade em Hom(C, A). # Daqui para frente, tratando-se de uma biálgebra H arbitrária, denotaremos HC sua estrutura de coálgebra e HA sua estrutura de álgebra. Como vimos, podemos considerar uma estrutura de álgebra em Hom(HC, HA) e é isto que sustenta nossa próxima de nição e a de - nição de álgebras de Hopf, logo em seguida.
De nição 3.4. Dizemos que S ∈ Hom(HC, HA) é uma antípoda de H quando S é inverso de I sobre a multiplicação ∗. Ou seja,
S ∗ I = u = I ∗ S.
É claro que se S é uma antípoda de H então S é única por ser inverso bilateral de I. De nição 3.5. Dizemos que (H, M, u, ∆, , S) é uma álgebra de Hopf quando as seguintes condições são satisfeitas:
• (H, M, u, ∆, ) é uma biálgebra
• S ∈Hom(HC, HA)é uma antípoda de H.
Estenderemos as propriedades das coálgebras transitivamente para as álgebras de Hopf de modo que se HC é cocomutativa, então diremos que H é uma álgebra de Hopf coco- mutativa. Da mesma maneira, H é irredutível, pontiaguda quando HC for irredutível, pontia- guda, respectivamente. Analogamente estenderemos as propriedades de álgebra para álgebras de Hopf.
De nição 3.6. Se H1, H2 são duas álgebras de Hopf, dizemos que uma aplicação linear f : H1 → H2 é um mor smo de álgebras de Hopf se f for um mor smo de álgebras entre H1A e HA
2 e simultaneamente um mor smo de coálgebras entre H1C e H2C.
Diremos que duas álgebras de Hopf são isomorfas quando existir um mor smo de álge- bras de Hopf entre elas que seja um isomor smo linear entre espaços vetoriais.
Exemplo 3.5. Seja G um grupo, KG a biálgebra de grupo. Podemos induzir S : KG → KG a partir de g 7→ g−1 em G. Com isso, S é uma antípoda de H. De fato, como ∆ (g) = g ⊗ g,
(I ∗ S)(g) = I(g)S(g) = gg−1 = 1KG= h, gi 1KG = u(h, gi). Analogamente, S ∗ I = u. Portanto, KG é uma álgebra de Hopf.
Exemplo 3.6. Seja L uma álgebra de Lie, Lop a álgebra de Lie oposta, isto é, Lop = L como espaço vetorial mas [n, m]op
= [m, n]. Analogamente, se A é uma álgebra, Aop é o mesmo espaço mas com a multiplicação invertida.
Agora, como m 7→ −m é um mor smo de Lie de L → Lop, este induz um mor smo de álgebra S0 : U (L) → U (Lop) ' U (L)op. Mas um mor smo de álgebra como S0 é o mesmo que um antimor smo de álgebra S : U(L) → U(L). Em outras palavras, S é uma aplicação linear que inverte a multiplicação de U(L) e tal que S(m) = −m, ∀m ∈ L. Além disso, como ∆ (m) = m ⊗ 1 + 1 ⊗ m,
(I ∗ S)(m) = mS(1) + 1S(m) = m − m = 0 = h, mi 1U (L), ∀m ∈ L.
Analogamente (S ∗ I)(m) = h, mi 1U (L), ∀m ∈ L. Portanto S é uma antípoda para U(L) e, com isso, U(L) pode ser vista como uma álgebra de Hopf.
De nição 3.7 (Módulo de Hopf). Seja H uma álgebra de Hopf. Considere M como um HA-módulo à direita e simultaneamente como um HC-comódulo à direita. Denotando por · : M ⊗ H → M a ação de H e por ρ : M → M ⊗ H a coação de H, diremos que M é um módulo de Hopf (ou H-módulo) se o diagrama a seguir comuta
M ⊗ H M M ⊗ H M ⊗ H ⊗ H ⊗ H M ⊗ H ⊗ H ⊗ H ρ ⊗ ∆ · ρ · ⊗ M I ⊗ T ⊗ I
em que M é a multiplicação de H, T é a aplicação twist e I a identidade. Observação:. Na notação sigma, temos
ρ(m · h) = X (h),(m)
m(0)· h(1)⊗ m(1)h(2).
De nição 3.8. Motivado pela de nição 3.3, se H é uma álgebra de Hopf, de nimos os ele- mentos primitivos de H como
P (H) = {g ∈ H : ∆(g) = g ⊗ 1 + 1 ⊗ g}. Estes elementos nada mais são que os elementos (1, 1)-primitivos de H.
Estes elementos desempenham um papel importante na descrição de alguns tipos de álgebras de Hopf, em particular as álgebras de Hopf cocomutativas e pontiagudas.