Capítulo 2 Comódulos
2.2 Módulos Racionais
Sejam C uma coálgebra, C∗ sua álgebra dual. A partir de uma aplicação linear ω : M → M ⊗ C qualquer, podemos construir ψω : C∗⊗ M → M como a composição
C∗ ⊗ M −→ CI⊗ω ∗⊗ M ⊗ C −→ M ⊗ CT ⊗I ∗⊗ C I⊗h , i−→ M ⊗ K ' M,
em que T é o operador twist e h, i a avaliação de C por C∗. Entretanto, convencionaremos que, quando ω for uma aplicação estrutural de C-comódulo, usaremos a notação usual de ação - c∗ · m := ψ
ω(c∗ ⊗ m) - pois, como veremos adiante, (M, ψω) é um C∗-módulo à es- querda. Antes disso, precisamos de um resultado de álgebra linear.
Demonstração: considere {vk} uma base de V e escreva u = n P i=1
vki⊗ wki, com wk1 6= 0. Podemos de nir v∗ ∈ V∗ de modo que
hv∗, vii = δik1 e w∗ ∈ W∗ tal que
hw∗, wk1i 6= 0. Então, considerando xu := v∗ ⊗ w∗, temos que
hxu, ui = X
i
hv∗, vii hw∗, wii = hw∗, wk1i 6= 0.
# Proposição 2.1. (M, ω) é um C-comódulo à direita se e somente se (M, ψω) é um C∗-módulo à esquerda.
Demonstração: (⇒): assumindo que (M, ω) é um C-comódulo à direita, mostremos primeiramente que 1C∗· m = m, para todo m ∈ M.
Como, por de nição,
1C∗· m = X
(m)
m(0)1C∗, m(1) ,
essa parte da prova sai direta, uma vez que 1C∗ = e por M ser comódulo
m =X
(m)
m(0), m(1) .
Por outro lado, considere c∗, d∗ ∈ C∗. Então
(c∗d∗) · m =X (m) m(0)c∗d∗, m(1) =X (m) m(0)c∗, m(1) d∗, m(2) Em contrapartida,
c∗· (d∗· m) = c∗· X (m) m(0)d∗, m(1) =X (m) c∗ · m(0)d∗, m(1) =X (m) m(0)c∗, m(1) d∗, m(2) ,
pois (ω ⊗ I) ◦ ω = (I ⊗ ∆) ◦ ω. Portanto, c∗ · (d∗ · m) = (c∗d∗) · m, para todo m ∈ M. Com isso, M é um C∗-módulo à esquerda.
(⇐): Suponhamos que M é um C∗-módulo à esquerda. Pela mesma razão do item anterior (i.e., 1C∗ = ), · m = m implica que (I ⊗ ) ω(m) = m. Além disso, considerando novamente c∗, d∗ ∈ C∗, m ∈ M, c∗· (d∗· m) = (c∗d∗) · m m X (m) m(0)⊗c∗⊗ d∗, ∆ m(1) = X (m) m(0)⊗c∗, m(1) d∗, m(2) m (I ⊗ c∗⊗ d∗)(ω ⊗ I)ω(m) = (I ⊗ c∗⊗ d∗)(I ⊗ ∆)ω(m). (2.1)
Mas, se supusermos que existe m ∈ M de modo que
y := (ω ⊗ I)(ω(m)) − (I ⊗ ∆)(ω(m)) 6= 0 ∈ M ⊗ C ⊗ C,
chegaremos a uma contradição. De fato, sendo y 6= 0, existe ao menos uma componente não nula de y, digamos m(0)⊗ m(1)⊗ m(2). Portanto, pelo Lema 2.1, existe x ∈ C∗⊗ C∗ tal que
x, m(1)⊗ m(2) 6= 0.
Com isso, (I ⊗ x)(y) 6= 0, o que contradiz (2.1). Então, para todo m ∈ M,
(ω ⊗ I)(ω(m)) = (I ⊗ ∆)(ω(m)),
e concluímos a demonstração de que (M, ω) é um C-comódulo à direita.
# O resultado anterior explicita uma relação entre C-comódulos à direita e C∗-módulos
à esquerda quando partimos inicialmente de uma estrutura ω de comódulo. Assim, surge a pergunta: é possível estabelecer relações partindo agora de uma estrutura ψ : C∗⊗ M → M de C∗-módulo. E sendo a resposta a rmativa, quais condições são necessárias ou su cientes para estabelecer tal relação?
A m de responder essas questões, considere ρ : M → Hom(C∗, M ) de modo que
ρ(m)(c∗) = ψ(c∗⊗ m) = c∗· m, ∀m ∈ M.
Gostaríamos que ρ fosse nossa estrutura de C-comódulo mas, para isso, é necessário que ρ(M) ⊆ M ⊗C. Portanto, faz-se necessário identi car M ⊗C em Hom(C∗, M ). Para isso, considere as inclusões
1o) L : C → C∗∗ tal que hL(c), c∗i = hc∗, ci.
2o) f : M ⊗ C∗∗→Hom(C∗, M ) tal que m ⊗ c∗∗ 7→ hc∗∗, i · m. Então a composição
M ⊗ C −→ C ⊗ CI⊗L ∗∗−→f Hom(C∗, M )
é uma aplicação injetora que nos permite identi car M com um subespaço de Hom(C∗, M ). Mais explicitamente,
m ⊗ c 7→ m ⊗ L(c) 7→ hL(c), i m 7→ h , ci m ∈Hom(C∗, M ). Dito isso, faz sentido a de nição a seguir
De nição 2.4. Dizemos que (M, ψ) é um C∗-módulo racional quando ρ(M) ⊆ M ⊗ C. Proposição 2.2. Se M é um C∗-módulo racional então (M, ρ) é um C-comódulo à direita.
Demonstração: Como ρ(M) ⊆ M ⊗ C e ρ é linear, segue da construção da ψω, do início desta seção, que
ψρ := C∗⊗ M I⊗ρ
−→ C∗⊗ M ⊗ C −→ M ⊗ CT ⊗I ∗⊗ C I⊗h , i−→ M ⊗ K ' M coincide com ψ.
De fato, se m ∈ M, c∗ ∈ C∗, ψρ(c∗⊗ m) := X (m) m(0)c∗, m(1) =X (m) c∗ , m(1) m(0) = ρ(m)(c∗) = ψ(c∗⊗ m).
Portanto, pela Proposição 2.1, (M, ρ) é um C-comódulo à direita
# Perceba que, se (M, ω) é um C-comódulo então (M, ψω)é um C∗-módulo racional. De fato, é su ciente mostrar que ρ(m)(c∗) é da forma hc∗, ci · m. Então
ρ(m)(c∗) := ψω(c∗⊗ m) = (I ⊗ c∗)ω(m) = X (m) m(0)c∗, m(1) com m(0) ∈ M, m(1) ∈ C. Portanto, ρ(m) ∈ M ⊗ C.
Além disso, como ψρ= ψω (por argumento da demonstração anterior), xando m ∈ M e de nindo
ψρ(c∗) := ψρ(c∗⊗ m) e ψω(c ∗
) := ψω(c∗⊗ m), ∀c∗ ∈ C∗, vemos que ψρ= ψω e consequentemente
ρ(m) = ψρ= ψω = ω(m). Sendo m ∈ M arbitrário, ρ = ω.
Por outro lado, se (M, ψ) é um C∗-módulo racional e ρ fornece uma estrutura de C- comódulo à M então, como vimos na demonstração da Proposição 2.2, ψρ = ψ.
Corolário 2.1.1. Existe uma relação biunívoca entre C-comódulos à direita e C∗-módulos à esquerda racionais.
Teorema 2.2. Sejam C uma coálgebra, L, M, M, C∗-módulos, com M, M módulos racionais e ρ como anteriormente. Então
a) N é submódulo de M ⇐⇒ N é um subcomódulo de (M, ρ).
b) Todo submódulo cíclico de M, i.e., gerado por um único elemento, possui dimensão nita. c) Todo módulo quociente de M é racional.
d) Existe L ⊆ L um submódulo racional maximal.
e) f : M → M é um mor smo de módulos ⇔ f é um mor smo de comódulos.
Demonstração: a) Antes de mais nada, observe que em ambos lados da demonstra- ção, as propriedades de módulo e comódulo, que envolvem a unidade ou counidade, respecti- vamente, são meras restrições de M à N. Portanto, é su ciente demonstrar as propriedades envolvendo multiplicação e comultiplicação.
(⇒): Suponha que ∃n ∈ N de modo que ρ(n) /∈ N ⊗ C. Podemos escrever
ρ(n) =X i
ni⊗ ci, com n1 ∈ M \N e {cj}j∈J linearmente independente .
Agora, de na c∗ ∈ C∗ satisfazendo hc∗, c
ji = δ1j. Como N é submódulo, ρ(n)(C∗) ⊆ N. Mas
ρ(n)(c∗) =X i nihc∗, cii = n1 ∈ N./ Logo N é um subcomódulo de M. (⇐): Seja n ∈ N e ρ(n) = P i
ni⊗ ci ∈ N ⊗ C. Pela de nição de ρ, dado c∗ ∈ C∗,
c∗ · n = ρ(n)(c∗) = X i
nihc∗, cii ∈ N. Portanto, N ⊆ M é um submódulo.
b) Sejam m ∈ M e C∗ · m um submódulo cíclico gerado por m. Como M é racional, podemos escrever ρ(m) = s X i=1 mi⊗ ci. Então, tomado c∗ ∈ C∗,
c∗· m = s X i=1 hc∗, cii mi. Ou seja, C∗
· m ⊆ Km1+ · · · + Kms. Portanto C∗ · m possui dimensão nita sobre K.
c) Considere N ⊆ M um submódulo, M
N um módulo quociente de M e π : M → M
N a aplicação projeção. Vamos de nir T : M →M N⊗ C como
M −→ M ⊗ Cω −→π⊗I M
N ⊗ C.
Assuma que ¯ρ seja a aplicação estrutural de comódulo em M
N que torna π um mor-
smo de comódulos, o que é possível pelo Teorema 2.1. Pelo Corolário 2.1.1, ¯ρ induz uma estrutura ψρ¯ de C∗-módulo em M N, que é racional. Seria su ciente se a estrutura de módulo
quociente em M
N coincidisse com ψρ¯. Vejamos que este é o caso:
Pelo item e), que será demonstrado, π é também um mor smo entre C∗-módulos, isto é, se ψM
N é a estrutura de
M
N como C∗-módulo fornecida por M atráves do quociente en-
tão ψM N◦ (I ⊗ π) = π ◦ ψ. Mas, se c∗ ∈ C∗, m ∈ M, π ◦ ψ(c∗⊗ m) =X i hc∗, cii π(mi) Def. = ¯ ρ ¯ ρ(π(m))(c∗) = ψρ¯(c∗⊗ π(m)) = ψρ¯◦ (I ⊗ π)(c∗ ⊗ m). Logo, em C∗⊗M N, vale que ψM N = ψρ¯ e M N é racional.
d) A demonstração deste item pode ser consultada em [11].
e) (⇐): Seja f : M → M um mor smo entre comódulos. Se m ∈ M e c∗ ∈ C∗, escrevemos a ação de C∗ em M como
c∗· m =X (m)
m(0)c∗, m(1)
Pela hipótese, X f (m) f (m)(0)⊗ f (m)(1) = X (m) f (m(0)) ⊗ m(1). Então, f (c∗· m) = f X (m) m(0)c∗, m(1) =X (m) f (m(0)c∗, m(1) ) =X (m) f (m(0))c∗, m(1) = (I ⊗ c∗) X (m) f (m(0)) ⊗ m(1) f morf. = comód.(I ⊗ c ∗ ) X f (m) f (m)(0)⊗ f (m)(1) = X f (m) f (m)(0)c∗, f (m)(1) Def. = c∗· f (m).
Portanto f é um mor smo de C∗-módulos.
(⇒): Suponha f um mor smo de C∗-módulos. Usando algumas das contas anteriores, temos que ρN(f (m))(c∗) := c∗· f (m) = X (f (m) f (m)(0)c∗, f (m)(1) f morf. = mód. X (m) f (m(0)c∗, m(1) ).
Mas como essa igualdade é válida para todo c∗ ∈ C∗, segue que
ρN(f (m)) = X
(m)
f (m(0)⊗ m(1)).
Sendo o lado direito igual a (f⊗I)◦ρM(m), está provado que f é um mor smo de C-comódulos. #
A primeira consequência que surge do resultado anterior é o corolário abaixo. Corolário 2.2.1. Todo C∗-módulo racional nitamente gerado possui dimensão nita
Demonstração: considere M um C∗-módulo nestas condições e seja B = {m1, m2, · · · , ms} um conjunto de geradores de M. Temos que
M ⊆ s X i=1 C∗· mi e cada C∗· m
i possui dimensão nita, por item b) do Teorema 2.2. Portanto M possui dimen- são nita.
# Mais adiante, teremos um importante resultado, que foi chamado por Sweedler, em [11], de Teorema Fundamental das Coálgebras. Mas antes, são necessários alguns lemas técni- cos.
Lema 2.2. Sejam U um espaço vetorial, {Vα}α∈Λ, V, W subespaços de U e {Xα}α∈Λ subespa- ços de U∗. Então a) T α∈Λ Vα⊥= (P α∈Λ Vα)⊥ em U∗. b) V⊥+ W⊥ = (V ∩ W )⊥ em U∗. c) T α∈Λ Xα⊥ = (P α∈Λ Xα)⊥ em U. Demonstração: a) Se u∗ ∈T α∈ΛV ⊥ α então u ∗ ∈ V⊥ α , ∀α ∈ Λ. Considere agora v = n X i=1 vαi
em que vαi ∈ Vαi, 1 ≤ i ≤ n. Segue que
hu∗, vi = n X i=1 hu∗, vαii = 0. Portanto u∗ ∈ (P α∈Λ Vα)⊥.
Por outro lado, se u∗ ∈ (P α∈Λ Vα)⊥, como Vβ ⊂ P α∈Λ Vα, temos que u∗ ∈ Vβ⊥, ∀β ∈ Λ. Portanto, u∗ ∈ \ α∈Λ Vα⊥,
e vale a igualdade de conjuntos.
b) Sejam v∗ ∈ V⊥, w∗ ∈ W⊥ e u ∈ V ∩ W . Claramente v∗+ w∗ ∈ (V ∩ W )⊥ pois
hv∗+ w∗, ui = hv∗, ui + hw∗, ui = 0. Por outro lado, considere A, B, C ⊂ U subespaços de modo que
U = A ⊕ (V + W ), V = B ⊕ (V ∩ W ), W = C ⊕ (V ∩ W ). Então U = A ⊕ B ⊕ (V ∩ W ) ⊕ C, V + W = B ⊕ (V ∩ W ) ⊕ C
Portanto, se escolhemos x ∈ (V ∩ W )⊥ ⊂ U∗ temos, pela expressão para V e W construída, que x = y + z, em que y se anula em B e em V ∩ W e z se anula em C e V ∩ W .
Note que esta construção para x enquanto função está boa uma vez que, y é a ima- gem de x restrita à W \V e se anula no restante de U, z é a imagem de x restrito à V \W e também se anula no restante e
y|V ∩W = z|V ∩W. Com isso, x ∈ V⊥+ W⊥ e vale a igualdade.
c) Considerados os subespaços Xα, α ∈ Λ de U∗, temos, de modo análogo ao que foi feito na demonstração do item a),
u ∈ \ α∈Λ Xα⊥⇐⇒ u ∈ Xα⊥, ∀α ∈ Λ e Xβ ⊂ P α∈Λ Xα, ∀β ∈ Λ. Logo, u ∈ (X α∈Λ Xα)⊥ ⇔ hXα, ui = 0, ∀α ∈ Λ ⇔ u ∈ Xα⊥, ∀α ∈ Λ
Com este lema em mãos, podemos construir e de nir em uma coálgebra C o que signi- ca uma subcoálgebra ser gerada por um subconjunto S ⊆C arbitrário.
Considere um conjunto {Eα}de subcoálgebras de C e I = PαEα⊥. I é um ideal de C∗ pois, por proposição 1.7, item a), cada E⊥
α é um ideal e soma de ideais é ideal. Então I⊥= X α Eα⊥ ⊥ lema = 2.2 \ α Eα⊥⊥ =\ α Eα
é também uma subcoálgebra de C, em razão da mesma proposição, item b). Ou seja, mostra- mos que a intersecção de subcoálgebras é ainda uma subcoálgebra.
De nição 2.5. Dado um conjunto S ⊂ C, de nimos a subcoálgebra de C gerada por S como a intersecção de todas subcoálgebras de C que contém S. Além disso, denotamos esta subcoálgebra por hSi.
Lema 2.3. Seja C um espaço vetorial e X ⊆ C um subespaço. Então
dim X = codim X⊥.
Demonstração: considere {xi}i∈I ⊂ X uma base para X e, para cada i ∈ I, de na xi ∈ C∗ de modo que hxi, x
ji = δij. Então
f : X →C∗ X⊥,
xi 7→ xi
estendida para todo X como uma aplicação linear, é uma bijeção (quando dim X < ∞). De fato, denote x ∈ Ker(f) por x = P
i λixi. Daí, f (x) ∈ X⊥⇔X i λixi ∈ X⊥⇔ * X i λixi, xj + = 0, ∀j ∈ I ⇔ λj = 0, ∀j de nido na soma ⇔ x = 0. Portanto f é injetora.
Que é sobrejetora: considere c∗ ∈ C∗
X⊥ não nulo. Então hc∗, xji 6= 0, para algum índice j, pelo menos. Daí, de nindo αi = hc∗, xii para todo i ∈ I, temos que
f X i:αi6=0
αixi !
= c∗.
Quando αi 6= 0 somente para um número nito de índices, f é sobrejetora. Do contrá- rio, isto é, se αi 6= 0 para uma in nidade de índices i ∈ I, não podemos a rmar nada sobre a sobrejetividade de f. Entretanto, neste último caso, codim X⊥ = ∞, que coincide com a dimensão de X. Logo, em todos casos,
dim X = dim C∗
X⊥ =codim X⊥.
# Teorema 2.3 (Teorema Fundamental das Coálgebras). Seja C uma coálgebra e c ∈ C. Então a subcoálgebra gerada por c possui dimensão nita. De modo geral, toda subcoálgebra gerada por um subconjunto nito ou por um subespaço de C de dimensão nita, também possui di- mensão nita.
Demonstração: a m de mostrar a validade do resultado, demonstraremos que existe uma subcoálgebra de dimensão nita que contém c ∈ C. Pela de nição, hci deverá ter dimen- são no máximo igual a dimensão desta subcoálgebra.
Considere a coálgebra C como C-comódulo, em que ∆ é a estrutura de comódulo. En- tão C também pode ser munido de uma estrutura de C∗-módulo racional (Corolário 2.1.1) com
ψ∆(c∗⊗ c) =: c∗· c. Note que, neste caso, c∗· c =P
(c)
c(1)c∗, c(2)
.
Se N := C∗· c é o submódulo gerado por c ∈ C então N é racional e possui dimensão nita pois N é submódulo cíclico de um módulo racional (Teorema 2.2).
Considere agora ρ : C∗ → End
K(N ) o homomor smo de álgebras que representa a ação de C∗ em N, isto é ρ(c∗)(n) = c∗· n. Temos que
C∗
Ker(ρ)'Im(ρ) ⊆ EndK(N ).
Como N possui dimensão nita, Ker(ρ) é um ideal co nito de C∗. Equivalentemente, J := (Ker(ρ))⊥ é uma subcoálgebra de C que, na verdade, é a coálgebra que buscamos. Veja- mos: como codim Ker(ρ) < ∞ e dim J = codim J⊥ então J tem dimensão nita. Além disso, c ∈ J pois, se c∗ ∈Ker(ρ) então c∗· c = 0 ∈ N e
0 = h, c∗· ci = ,X (c) c(1)c∗, c(2) =X (c) , c(1) c∗, c(2) = * c∗,X (c) , c(1) c(2) + coun = hc∗, ci ∈ K.
Portanto, J ⊆ C é uma coálgebra de dimensão nita que contém c ∈ C.
De modo geral, se consideramos um subespaço X ⊆ C de dimensão nita, natural- mente uma base B de X é um conjunto nito associado ao espaço. Além disso, a ação de C∗ em X ca determinada de maneira única (a menos de isomor smo de representações) ao ava- liarmos os elementos da base B. Portanto, o fato do C∗-submódulo gerado por X, i.e., C∗· X possuir dimensão nita está totalmente atrelado à C∗· B possuir.
Com isso, o restante da demonstração é idêntica ao caso para um único elemento c ∈ C mas, feitas as observações acima, basta considerar agora o submódulo N = C∗· B.
# Corolário 2.3.1. Toda coálgebra é soma de suas subcoálgebras de dimensão nita.
Demonstração: Seja C uma coálgebra. Podemos escrever C = P c∈C
hci. Disso segue o corolário.