Identidades de Coálgebras

O artigo estudado estende o conceito de identidades polinômiais para o campo de coálgebras e consequentemente para álgebras de Hopf. Neste último caso, é feita uma dis- tinção entre identidades e coidentidades como aquelas identidades polinomiais satisfeitas en- quanto álgebra ou coálgebra, respectivamente. Fornecendo uma denição de coidentidades para coálgebras, Kochetov apresenta suas propriedades básicas assim como exemplos de álge- bras de Hopf com identidades e coidentidades.

Convenciona-se por todo este capítulo que K é um corpo de característica zero e todas estruturas algébricas consideradas serão vistas sobre este mesmo corpo. Álgebras e coálgebras são sempre assumidas associativas e coassociativas, respectivamente.

Denição 4.1 (Coidentidades). Seja C uma coálgebra e f(x1, . . . , xn) ∈ K hXi um polinômio associativo. Dizemos que f = 0 é uma coidentidade para a coálgebra C quando esta for uma identidade para C∗_.

Observe que qualquer coidentidade de uma coálgebra C também é coidentidade de suas subcoálgebras e coálgebras quocientes, uma vez que identidades em álgebras satisfazem tais condições referentes às suas respectivas subestruturas. Além disso, se um conjunto de coálgebras satisfaz alguma coidentidade então a soma direta de todas estas também satisfaz.

Para vericar se uma dada coálgebra C satisfaz uma coidentidade f = 0 é suciente vericar se suas subcoálgebras de dimensão nita satisfazem, isto pois o Corolário 2.3.1 do Teorema Fundamental das Coálgebras garante que toda coálgebra C é soma de suas subcoál- gebras de dimensão nita.

Do estudo de identidades em álgebras sabe-se que, dada uma álgebra A e Id(A) o con- junto de suas identidades, Id(A) é um T-ideal de K hXi que coincide com a intersecção dos núcleos de todos morsmos de álgebra K hXi → A. Veremos que se tratando de coálgebras, conseguimos uma situação dual à esta.

Denição 4.2 (Coálgebra livre). Sejam V um espaço vetorial, C uma coálgebra e π : C → V uma aplicação linear. Dizemos que (C, π) é uma coálgebra livre para o espaço V se, para qualquer coálgebra D, dada uma aplicação linear φ : D → V existir um morsmo de coál- gebras f : D → C de modo que o seguinte diagrama comute.

D C

V f

φ π

Proposição 4.1. Existe uma coálgebra livre para todo espaço vetorial V . Em particular, a coálgebra livre para V∗ _{é T (V )}o_{, o dual nito da álgebra tensorial de V .}

Demonstração: pode ser acessada em [11], página 125, Teorema 6.4.1.

# Proposição 4.2. Seja C uma coálgebra e V um espaço vetorial gerado por um conjunto enu- merável X. Considere L o conjunto formado pela soma das imagens de todos morsmos de coálgebras C → K hXio_{, em que K hXi é a álgebra livre ou álgebra de polinômios não comuta-} tivos. Com isso, o conjunto de coidentidades de C, visto como elementos de K hXi, coincide com L⊥

= {f ∈ K hXi : hf, Li = 0}.

Demonstração: na página 118 de [11], Theorem 6.0.5, está estabelecida uma relação bijetiva entre Alg(A, C∗_{) e Coalg(C, A}o_{) dada da seguinte maneira: se β ∈ Alg(A, C}∗_{) então a} composição

C ,→ C∗o β o −→ Ao

é um morsmo de coálgebras. Por outro lado, se α ∈ Coalg(C, Ao_{) então}

A−→ Aπ o∗ _{−→ C}α∗ ∗

é um morsmo de álgebras. A aplicação π será explicitada no próximo resultado. Por en- quanto, aceitemos seu papel de relacionar estas duas álgebras sem sabermos sua expressão.

α : C → K hXio um morsmo de coálgebra e β ∈ Alg(K hXi , C∗) ←→ α. Então (Im(α))⊥ _{= {f ∈ K hXi : hf, α(c)i = 0, ∀c ∈ C}}

= {f ∈ K hXi : hf, βo(c)i = 0, ∀c ∈ C} = {f ∈ K hXi : hβ(f ), ci = 0, ∀c ∈ C} = {f ∈ K hXi : β(f ) = 0, ∀c ∈ C} =Ker(β). Com isso, \ β Ker(β) =\ α (Im(α))⊥lema= 2.2  X α Im(α) ⊥ = L⊥. # Denotaremos frequentemente Coid(C) como o conjunto das coidentidades de uma coálgebra C.

Note que, diferente do comportamento de identidades em álgebras, a proposição ante- rior evidencia que coidentidades não são elementos da coálgebra livre mas funcionais lineares de K hXio_{. Entretanto, faz sentido tal comportamento uma vez que os morsmos}

C → K hXio representam todas maneiras de se identicar, mesmo que sem injetividade, C na coálgebra livre.

Para o próximo resultado, faz-se necessária a denição a seguir.

Denição 4.3. Uma álgebra A é dita residualmente de dimensão nita se a intersecção de quaisquer dois ideais conitos distintos for {0}.

Proposição 4.3. Se uma álgebra A satisfaz uma identidade f = 0 então Ao _{também satisfaz} f = 0 como coidentidade. Por outro lado, se A é residualmente de dimensão nita então Ao satisfaz f = 0 se e somente se A satisfaz f = 0.

Demonstração: é suciente demonstrarmos que qualquer subcoálgebra D de Ao_{, de} dimensão nita, satisfaz f = 0 como coidentidade. Para isto, considere I = D⊥_{, que é ideal} pela Proposição 1.7. Pelo Lema 2.3,

dim D = codim D⊥

=codim I. Portanto, I é ideal de codimensão nita. Segue que

A

I

o

Como I⊥ _{= D, temos D '} A

I

∗

e portanto D satisfaz f = 0.

Por outro lado, considere Ao _{→ A}∗ _{o mergulho natural dado pela inclusão. Dualizando} esta aplicação, alcançamos uma aplicação A∗∗ _{→ A}o∗ _{de modo que}

a∗∗∈ A∗∗ 7→ ha∗∗, i : Ao _{→ K.}

Fazendo a composição com o mergulho natural A → A∗∗_{, temos π : A → Ao∗ de modo que}

π(a)(fo) = hfo, ai com a ∈ A, fo ∈ Ao.

Note por essa denição que, a ∈ Ker(π) se e somente se a ∈ (Ao₎⊥_{. Entretanto, um} resultado de [9] (Corolário 2.5.6, página 62) garante que

Ao =X I

I⊥,

em que, I percorre todos ideais de A de codimensão nita. E, por Lema 2.2, item c), segue que (Ao)⊥ =  X I I⊥ ⊥ =\ I I⊥⊥=\ I I.

Por hipótese, A é residualmente de dimensão nita. Portanto (Ao₎⊥ _{= 0 e, equivalentemente,} π é injetiva.

Em resumo, até o momento, conseguimos um mergulho de A em Ao∗_{. Mas isso é su-} ciente para terminar o resultado pois, se Ao _{satisfaz f = 0 como coidentidade então A}o∗ satisfaz f = 0 como identidade. Com isso, A satisfaz f = 0.

# Neste ponto e com as ferramentas já obtidas, é possível formular o conceito de varie- dade para coálgebras.

Denição 4.4. Denimos uma variedade de coálgebras C, denida por um conjunto S 6= ∅ de polinômios não comutativos, como a classe de todas coálgebras C tais que S ⊂ Coid(C).

Naturalmente surge a questão se qualquer T -ideal de K hXi dá origem à um ideal de coidentidades para alguma variedade de coálgebras, o que ocorre para álgebras. Veremos que é necessária uma hipótese a mais sobre o ideal.

Proposição 4.4. Todo T -ideal graduado de K hXi é um ideal de coidentidades para alguma coálgebra.

Demonstração: dado I um T -ideal graduado de K hXi, mostremos que C := I⊥_{∩ K hXi}o, subcoálgebra de K hXio, é a coálgebra que buscamos.

Como I⊥ _' KhXi I

∗

, pela denição de C, para cada g ∈ C existe um ideal conito Jg de K hXi, de modo que I ⊆ Jg ⊆ Ker(g). Além disso, existe uma correspondência biunívoca entre os ideais de KhXi

I e os ideais de K hXi que contém I. Portanto, a propriedade universal do quociente garante associar g à uma aplicação ¯g ∈ KhXi

I
o

de maneira injetiva (Figura 4.1).

K hXi K

KhXi I g

π ∃! ¯g

Figura 4.1: Propriedade Universal do Espaço Quociente Não só isso, se ¯f ∈ KhXi

I
o

, a mesma propriedade universal garante a construção de uma aplicação f ∈ C que coincide com ¯f e garante a sobrejetividade. Portanto,

 K hXi

I o

' C.

Agora, como a álgebra KhXi

I satisfaz f = 0 para todo f ∈ I, temos pela Proposição 4.3 que  K hXi I o ' C

satisfaz f = 0, para todo f ∈ I, como coidentidade. Resta mostrar que C não satisfaz ne- nhuma coidentidade que não esteja em I. Para isso, mostremos que se f(x1, . . . , xn) /∈ I, existe uma subcoálgebra de C que não satisfaz f = 0. Equivalentemente, precisamos encon- trar um ideal J ⊃ I de codimensão nita de modo que f /∈ J.

Para isso, considere J0 _{o ideal gerado por x}

n+1, xn+2, . . . e por todos monômios em x1, . . . , xn com grau d + 1, em que d é o grau máximo dos monômios de f(x1, . . . , xn). Com isso J0 _{possui codimensão nita e f /∈ J}0_.

Agora, o ideal que buscamos é denido por J := J0 _{+ I. Claramente f /∈ J pois, f /∈ I} implica que existe pelo menos um monômio de f que não ocorre em I e nenhum monômio de f ocorre em J0, pela sua construção.

É claro que o conjunto de coidentidades de uma variedade de coálgebras C é um T - ideal de K hXi; isto pela denição de coidentidade como identidade da álgebra dual. Além disso, a denição desta forma garante ainda que a natureza das coidentidades seja a mesma das identidades, isto é, polinômios não comutativos.

Corolário 4.0.1. Seja C uma variedade de coálgebras denidas por um conjunto S 6= ∅. Se K é innito então o ideal de coidentidades de C é gerado por S como um T -ideal.

Demonstração: seja I o ideal de coidentidades para C e considere J um T -ideal con- tendo S. Como K é innito, todo T -ideal admite uma graduação em polinômios multihomo- gêneos pelo seu multigrau (ver [4], página 6). Pela proposição anterior, J é um ideal de coi- dentidades para alguma coálgebra de C. Portanto I ⊂ J, para todo T -ideal contendo S, isto é, I é o menor T -ideal contendo S. Em outras palavras, I é o T -ideal gerado por S.

# Ou seja, no caso do corpo base ser innito, se I é um T -ideal gerado por um conjunto S então I é o ideal de coidentidades da variedade de coálgebras denida pelo conjunto S. Consequentemente, sobre corpos innitos está estabelecida uma relação biunívoca entre as variedades de coálgebras e T -ideais, tal qual ocorre com variedades de álgebras.

No teorema seguinte o autor do artigo utiliza-se do termo universal para se referir à álgebras e coálgebras porém com uma conotação diferente da usada frequentemente na li- teratura. Do seu resultado, entende-se que a estrutura é universal de uma variedade e com relação à um espaço vetorial. Nestes parâmetros, universal vem a signicar a maior estrutura que pertence à variedade e, de certa maneira, é livre no sentido de estar imersa em alguma estrutura livre (álgebra ou coálgebra livre, neste caso) relacionada ao espaço vetorial.

Teorema 4.1. Seja C uma variedade de coálgebras e A uma variedade de álgebras denidas por um mesmo conjunto S. Então, para qualquer espaço vetorial V , existe uma única coálge- bra universal de C. Além disso, se R é a álgebra universal de A para V e K é innito então Ro é a coálgebra universal de C para V∗.

Demonstração: em vista da Proposição 4.1, considere T (V )o a coálgebra livre para o espaço vetorial V∗_{. Considere também a maior subcoálgebra C contida em C que satisfaz} C ⊆ T (V )o, isto é, a subcoálgebra que é a soma de todas subcoálgebras de C satisfazendo tal propriedade.

` C é a coálgebra universal de C para V∗_:

Seja D uma coálgebra arbitrária de C e φ : D → V∗ _{uma aplicação linear. Pela denição} de coálgebra livre, existe um único morsmo de coálgebra f : D → T (V )o _{que comuta o} diagrama

D T (V )o

V∗ f

φ π

.

Logo, f(D) é uma subcoálgebra em T (V )o_{. Pelo isomorsmo entre K hXi e T (V ),} com X conveniente, temos da Proposição 4.2 que as identidades que são satisfeitas por D também são satisfeitas por f(D). Mais explicitamente, sendo L a soma de todas imagens de morsmos de coálgebra D → T (V )o, temos que f(D) pode ser mergulhado em L e Coid(D) = L⊥.

Portanto f(D) ∈ C e com isso, f(D) ⊆ C. Mais que isso, L ⊆ C, para cada D ∈ C. Pelo mesmo motivo, devemos ter α(C) ⊆ C, para todo morsmo de coálgebra

α : C → T (V )o. Em outras palavras, mostramos que 1o_{) C contém a soma das imagens de D} morf. coálg.

−→ T (V )o_{, ∀D ∈ C}. 2o_{) C contém a soma das imagens de C} morf. coálg.

−→ T (V )o_.

Considerando I := C⊥ _{ideal de T (V ), 2}o_{) ⇒ I = Coid(C). Por outro lado, 1}o_{) im-} plica que I é o ideal de coidentidades da variedade C. Ou seja, já está mostrado que C é a coálgebra universal de C para V∗_{. Mais ainda, podemos descrevê-lo um pouco mais.}

Temos que T (V )

I pertence à A, pois C e A são denidas pelo mesmo conjunto de iden- tidades. Pela Proposição 4.3, T (V )

I
o

pertence à C. Portanto, pela maximalidade de C

C ' T (V ) I

o .

Agora, sobre a hipótese de que K é innito, o Corolário 4.0.1 garante que I é gerado como T-ideal pelo conjunto de identidades S. Neste caso, T (V )

I é uma álgebra universal de A para o espaço vetorial V e como acabamos de ver, seu dual nito é a coálgebra universal de C para V∗_.

Demonstramos até aqui que, para todo espaço vetorial V , existe uma coálgebra uni- versal de C para V∗_{. Consequentemente, existe para V}∗∗_{. Então, para nalizar, se C é a coál-} gebra universal para o espaço V∗∗_{, considere N ⊂ C a maior subcoálgebra de modo que} φ(N ) ⊂ V, para toda aplicação linear φ : C → V∗∗. Ou seja, como antes N é a soma de todas subcoálgebras que satisfazem tal propriedade e portanto é a coálgebra universal de C para V .

Corolário 4.1.1. Qualquer coálgebra de uma variedade C pode ser mergulhada em uma coál- gebra universal especíca de C, isto é, para um espaço vetorial adequado.

Demonstração: Seja C uma coálgebra para a variedade C e T uma coálgebra livre. Olhando C como espaço vetorial podemos considerar L a coálgebra universal de C para C. Portanto, existe um morsmo de coálgebras i : C → T induzido pela identidade I : C → C de forma que i(C) ⊂ L, pela construção da coálgebra universal. Claramente i é injetiva pois I é a identidade e o diagrama abaixo é comutativo.

C T

C i

I π

# É fato que uma variedade de coálgebras é uma classe de coálgebras que é fechada por subcoálgebras, coálgebras quocientes e soma direta de coálgebras. Vejamos que é necessária mais uma condição para identicar classes de coálgebras com variedades.

Teorema 4.2. Uma classe não vazia de coálgebra C é uma variedade se e somente se a classe for fechada por subcoálgebras, coálgebras quocientes, soma direta de coálgebras e, além disso, se C for uma coálgebra de C então toda subálgebra A ⊂ C∗ _{é tal que A}o _{∈ C}.

Demonstração: pela Proposição 4.3, a necessidade da última condição é garantida. Resta provar que tal condição é suciente. Para isso, assumiremos que C é uma classe satisfa- zendo todas condições do enunciado e mostraremos que C é uma /variedade de coálgebras.

Seja S o conjunto das identidades que são satisfeitas por todas coálgebras de C. Mos- tremos que C é a variedade de coálgebras denida pelo conjunto S. Como C está contida nessa variedade, é suciente mostrar a outra inclusão.

Considere D uma coálgebra que satisfaz todas identidades de S. A partir do mergulho natural f : D → D∗∗ _{de espaços vetoriais, podemos fazer o mergulho g : D → T (D}∗₎o _de coálgebras como

g(d)(d∗₁⊗ . . . ⊗ d∗_n) = hf (d), d∗₁i · · · hf (d), d∗_ni = hd∗₁, di · · · hd∗_n, di .

Seja L ⊂ T (D∗₎o _{a maior subcoálgebra que pertence à C. Então I = L}⊥ _{é um ideal de} T (D∗)e podemos fazer o mergulho

T (D∗)

I −→ L

∗ _(4.1)

(d∗₁⊗ . . . ⊗ d∗_n) + I 7→ d∗₁· . . . · d∗_n.

Pela última propriedade que dene C,

I⊥ ' T (D ∗₎ I

o ∈ C. Portanto, pela propriedade maximal de L, I⊥ _{= L.}

Por outro lado, como D ⊂ T (D∗₎o _{satisfaz todas identidades de S, I ⊂ D}⊥_{. Logo}

D ⊂ D⊥⊥ ⊂ I⊥= L. Consequentemente D ∈ C pelo fechamento por subcoálgebras.

# Kochetov oferece uma possibilidade de denir coidentidades sem conexão direta com a álgebra dual porém perde-se parte da generalidade da denição uma vez que restringe-se à coálgebras sobre corpos de característica zero para que se tenha multilinearidade.

Dado um polinômio multilinear de grau n

f (x1, . . . , xn) = X σ∈Sn

ασxσ(1)· · · xσ(n),

é possível correspondê-lo à um elemento Pσ∈Snασσ da álgebra de grupo KSn, em que Sn é o grupo simétrico sobre n elementos. Com isso, dado um espaço vetorial V existem duas ações naturais de Sn em V⊗n, uma à direita e outra à esquerda, a saber

(v1⊗ . . . ⊗ vn) · σ = vσ(1)⊗ . . . ⊗ vσ(n) σ · (v1⊗ . . . ⊗ vn) = vσ−1₍₁₎⊗ . . . ⊗ v_σ−1_(n).

Portanto, se uma álgebra A satisfaz a identidade f = 0 podemos escrever, de maneira equivalente, que Mn(A⊗n· f ) = 0, sendo Mn : A⊗n → A a múltiplicação de A. A partir dessa idéia, temos a denição de coidentidades oferecida por Yu. A. Bahturin.

Denição 4.5. Seja C uma coálgebra e f = Pσ∈Snασxσ(1)· · · xσ(n) um polinômio multili- near. Dizemos que f = 0 é uma coidentidade de C quando f · (∆nC) = 0, sendo ∆n: C → C⊗n a comultiplicação de C.

Proposição 4.5. Se tratando de coidentidades multilineares, a denição anterior coincide com a Denição 4.1.

Demonstração: seja c ∈ C e considere um polinômio multilinear f(x1, . . . , xn)como antes. Como ∆n(c) = X (c) c(1)⊗ . . . ⊗ c(n) temos f · (∆n(c)) = X σ∈Sn ασ−1c_(σ(1))⊗ . . . ⊗ c_(σ(n)).

Portanto, para todo Φ1, . . . , Φn∈ C∗,

(Φ1⊗ . . . ⊗ Φn)(f · (∆n(c))) = X σ∈Sn ασΦ1(c(σ−1₍₁₎₎) · · · Φ_n(c_(σ−1_(n))) = X σ∈Sn ασΦσ(1)(c(1)) · · · Φσ(n)(c(n)) = X σ∈Sn ασ(Φσ(1)· · · Φσ(n))(c) = f (Φ1, . . . , Φn)(c).

Com isso, f · (∆nC) = 0 se e somente se f(Φ1, . . . , Φn) = 0, ∀Φ1, . . . , Φn∈ C∗.

# Se uma coálgebra C satisfaz uma coidentidade multilinear f = 0 como a anterior, podemos reescrever, na notação sigma

X σ∈Sn

ασx(σ−1₍₁₎₎⊗ . . . ⊗ x_(σ−1_(n)) = 0 para todo x ∈ C.

Exemplo 4.1. A coidentidade cocomutativa pode ser escrita como

x1⊗ x2− x2⊗ x1 = 0.

Exemplo 4.2. Toda coálgebra C de dimensão nita satisfaz a coidentidade standard X

σ∈Sn

quando n > dim C.

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