Identidades de álgebras de Hopf

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientíca

Fernando Sônego de Toledo

Identidades de Álgebras de Hopf

Campinas

2020

Identidades de Álgebras de Hopf

Dissertação apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estatística e Computação Cientíca da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Orientador: Plamen Emilov Kochloukov

Coorientador: Lucio Centrone

Este exemplar corresponde à versão nal da Dissertação defendida pelo aluno Fernando Sônego de Toledo e orientada pelo Prof. Dr. Plamen Emilov Kochloukov.

Campinas

2020

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Toledo, Fernando Sônego de,

T575i TolIdentidades de álgebras de Hopf / Fernando Sônego de Toledo. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

TolOrientador: Plamen Emilov Kochloukov. TolCoorientador: Lucio Centrone.

TolDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Tol1. Identidades polinomiais. 2. Coidentidades (Álgebra). 3. Coálgebras. 4. Álgebra de Hopf. I. Kochloukov, Plamen Emilov, 1958-. II. Centrone, Lucio, 1983-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Identities of Hopf algebras Palavras-chave em inglês:

Polynomial identities Coidentities (Algebra) Coalgebras

Hopf algebras

Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:

Plamen Emilov Kochloukov [Orientador] Artem Lopatin

Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva Data de defesa: 16-03-2020

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0003-0685-3437 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7557063995437697

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). PLAMEN EMILOV KOCHLOUKOV

Prof(a). Dr(a). ARTEM LOPATIN

Prof(a). Dr(a). DIOGO DINIZ PEREIRA DA SILVA E SILVA

A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Devo uma série de agradecimentos às pessoas que me acompanharam por essa jor-nada matemática. Primeiramente à minha esposa e companheira Isabela que, em todos mo-mentos - bons e ruins - esteve ao meu lado me apoiando!

Também devo muito aos amigos que z nos últimos anos. Aos amigos matemáticos: Cleiton, pelos materiais emprestados para qualicação; Marcelo, pela equipe de geometria di-ferencial que formamos. Paulo, André, Leandro, Mannaim, pelos bons tempos de graduação.

Aos amigos não-matemáticos, agradeço pelo nome do Lucas Arroyo à todos que di-vidiram comigo um lugar que pude chamar de lar. Pelo nome do Gabriel Silva de Campos, àqueles que desde o início torceram por mim!

Deixo também aqui a gratidão por todos professores que tive! Em especial, aos pro-fessores Huyrá Estevão, Humberto Talpo e Lucio Centrone, que foram os guias e condutores nesta caminhada! Ao Prof. Plamen por sua grande ajuda prestada a mim nos últimos meses! Agradeço aos meus pais pelo apoio, pelas oportunidades e por todos aprendizados que tive até hoje!

À todos, indistintamente, por cada conversa.

Por m, agradeço ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíco e Tecnológico (CNPq), pelo suporte nanceiro prestado durante meus estudos, em consequência do processo 131289/2018-7.

Resumo

Uma coálgebra é uma estrutura algébrica que, de certo modo, dualiza o conceito de álgebra. De modo mais formal, denimos uma coálgebra C como uma tripla (C, ∆, ), em que, C é um espaço vetorial sobre um corpo base K, ∆ : C → C ⊗ C é a comultiplicação em C e  : C → K a counidade.

A partir disso, é possível construir de modo natural uma teoria estrutural para coál-gebras, denindo conceitos como morsmos, subcoálcoál-gebras, coideais, coálgebras quocientes e tantas outras dualizações do que já foi estabelecido no campo da Teoria de Anéis. Em parti-cular, a Teoria de Coálgebras possibilita a denição de comódulos que, por sua vez, devolve importantes resultados como o Teorema Fundamental das Coálgebras.

Partindo do conceito de identidade polinomial para álgebras, visto como elementos de uma álgebra associativa livre KhXi, denimos o que são identidades polinomiais para coálge-bras, as chamadas coidentidades. Disso já se estabelece uma Teoria de PI-Coálgebras e natu-ralmente uma vastidão de problemas e perguntas já estabelecidas na Teoria de PI-Álgebras podem ser reformuladas neste novo campo.

Unindo estas duas estruturas duais em um mesmo conjunto e com mais algum es-forço, pode-se construir uma estrutura conhecida como Álgebra de Hopf.

Neste trabalho, exploramos as propriedades que possuem as coidentidades e estabele-cemos uma série de comparações entre a PI-teoria de álgebras e de sua estrutura dual. Não só isso, no âmbito de Álgebras de Hopf, estas duas teorias de identidades polinomiais se unem fornecendo ferramentas para tratar caracterizações de alguns tipos de PI-Álgebras de Hopf. Palavras-chave: Identidades Polinomiais; Álgebras de Hopf; Coálgebras; Coidentidades.

A coalgebra is an algebraic structure that dualizes the concept of algebra. Formally, we dene a coalgebra C as a triple (C, ∆, ), where C is a vector space over a eld K, ∆ : C → C ⊗ C is the comultiplication in C and  : C → K the counit.

From this, it is possible to construct a structural theory for coalgebras, dening con-cepts such as morphisms, subcoalgebras, coideal, quotient coalgebras and so many other du-alizations of what has already been established in the eld of Ring Theory. In particular, the Theory of Coalgebras allows the denition of comodules that, in turn, provides important re-sults such as the Fundamental Theorem of Coalgebras.

Starting from the concept of polynomial identity for algebras, seen as elements of the free associative algebra KhXi, we dene what polynomial identities are for coalgebras, the so-called coidentities. From this, a theory of PI-Coalgebras is already established and naturally a vast number of problems and questions already established in the Theory of PI-Algebras can be reformulated in this new eld.

Joining these two dual structures in the same set and with some more eort, one can build a structure known as Hopf Algebra.

In this work, we explore the properties that coidentities have and establish a series of comparisons between the PI-theory of algebras and their dual structure. Not only that, within the scope of Hopf Algebras, these two theories of polynomial identities come together providing tools to deal with characterizations of some types of Hopf PI-algebras.

Lista de siglas e abreviações

coass propriedade coassociativa ou coassociatividade coun propriedade counitária ou counidade

Diag. diagrama Def. denição morf. morsmo coálg. coálgebra álg. álgebra comód. comódulo

l.i. linearmente independente l.d. linearmente dependente e.g. exempli grata ou por exemplo i.e. id est ou isto é

ideal ideal bilateral coideal coideal bilateral

` armação

A álgebra

H álgebra de Hopf

ω aplicação estrutural de comódulo ψ aplicação estrutural de módulo

I aplicação linear identidade T aplicação twist

hf, vi avaliação de f ∈ V∗ _{em v ∈ V quando V é um espaço}

vetorial

C coálgebra

∆ comultiplicação

∆n comultiplicação generalizada

Alg(A, C∗_{) conjunto dos morsmos de álgebra de A para C}∗

Coalg(C, Ao₎ conjunto dos morsmos de coálgebra de C para Ao

S⊥ conjunto ortogonal à S

K corpo

 counidade

δij delta de Kronecker

V∗ espaço dual de V Vo _{espaço dual nito de V}

V espaço vetorial

Hom(V, W ) espaço das aplicações lineares de V em W Im(f) imagem de um morsmo f

' isomorsmo de espaços vetoriais M multiplicação,

(co)módulo

Ker(f) núcleo de um morsmo f ⊗ produto tensorial

Sumário

4 Identidades de Coálgebras e Álgebras de Hopf 59

4.1 Identidades de Coálgebras . . . 59 4.2 Identidades de Álgebras de Hopf . . . 69

Introdução histórica

Apesar deste estudo possuir um viés puramente algébrico, o conceito de álgebra de Hopf aparece pela primeira vez na topologia algébrica, em 1939, quando foi submetido o ar-tigo [5] (Sobre Topologias de Variedades de Grupos e suas Generalizações), de Heinz Hopf. Entretanto, o artigo foi publicado somente em 1941, determinando este ano como a data de nascimento das Álgebras de Hopf.

Embora nascessem em meio a um artigo de Hopf, tais álgebras foram receber seu nome e sua denição formal tal como é hoje em 1966, na seção preliminar do artigo Groups over Z, de Bertram Kostant, que pode ser acessado em [7].

Um ano depois da primeira aparição explícita das álgebras de Hopf, em 1942, nasceu o matemático americano Moss Eisenberg Sweedler, gura indispensável nessa história. Aluno de Kostant, em 1969 escreveu o livro [11], que tornou-se o primeiro trabalho visando desen-volver uma teoria generalizada dentro das estruturas algébricas. Com isso, as álgebras de Hopf passaram a não estar diretamente vinculadas à topologia algébrica e ganharam espaço como uma subárea independente da álgebra abstrata.

Posteriormente surgiram diversas aplicações: neste mesmo ano, Chase & Sweedler desenvolveram a Teoria de Galois segundo um contexto de Álgebras de Hopf. Trabalhos de Sweedler, Sullivan (aluno de Sweedler) e Takeuchi, entre 1971 e 1973, exploraram técnicas de álgebras de Hopf para demonstrações puramente algébricas em grupos algébricos. Ainda na década de 70, Takeuchi aplicou a Teoria de Anéis à Teoria de Álgebras de Hopf, apresentando os Teoremas de Morita para categorias de comódulos. Todavia, somente com o trabalho [3] de Drinfel'd, em 1986, com o nome de Grupos Quânticos, foi que o assunto ganhou real reco-nhecimento e estendeu suas aplicações à Física e à Teoria Invariante dos nós e links.

Mais adiante, próximo aos anos 2000, Kochetov recebe de Yuri Bahturin o problema de dualizar para coálgebras o conceito de identidades polinomiais em álgebras. Esta seria uma tentativa de expandir não só à Teoria de Coálgebras mas também de Álgebras de Hopf, o campo de estudo de identidades algébricas.

Em 2000, motivado por um resultado quase direto, que C∗_{, o espaço dual de uma}

onde este dene o que seria uma coidentidade de C. Vista como um polinômio associativo f = f (x1, . . . , xn), f = 0 é uma coidentidade de C se for uma identidade de C∗.

Mais ainda, o autor apresenta uma série de resultados e denições duais de PI-Teoria, dentre estes, a exibição de uma base de identidades e coidentidades para a Álgebra de Hopf de Taft e caracterizações de certos tipos de PI-Álgebras de Hopf.

Capítulo 1

Coálgebras

Assim como um fenômeno pode ser observado por mais de uma face, também pode uma estrutura algébrica. Lançando mão da mais frequente face vista de uma álgebra, pode-se denir uma álgebra sobre um corpo K como uma tripla (A, M, u) em que A é um K-espaço vetorial, M : A ⊗ A → A é a aplicação linear conhecida como multiplicação, u : K → A é aplicação linear unidade e tal tripla satisfaz os diagramas

A ⊗ A ⊗ A A ⊗ A A ⊗ A A M ⊗ I I ⊗ M M M A ⊗ K A A ⊗ A _{K ⊗ A} I ⊗ u ' u ⊗ I ' M

Figura 1.1: Diagrama de associatividade e propriedade unitária

Dessa maneira, torna-se mais possível denir uma estrutura dual às álgebras simples-mente condicionando a nova estrutura a satisfazer diagramas duais à estes primeiros. E assim alcançamos a idéia de coálgebra.

Denição 1.1. Uma coálgebra sobre um corpo K é denida como uma tripla (C, ∆, ), em que C é um K-espaço vetorial, ∆ : C → C ⊗ C é a aplicação linear chamada comultiplicação, ou diagonalização, que comuta o diagrama seguinte

C ⊗ C ⊗ C C ⊗ C C ⊗ C C ∆ ⊗ I I ⊗ ∆ ∆ ∆

e  : C → K a aplicação linear chamada counidade - do inglês, counity - que torna o dia-grama C ⊗ K C C ⊗ C _{K ⊗ C}  ⊗ I I ⊗  ∆

Figura 1.3: Propriedade counitária

comutativo.

Nas denições a seguir e em toda a dissertação, a menos quando houver redenições, K denotará um corpo qualquer. Qualquer estrutura algébrica considerada será vista sobre o mesmo corpo base K. C e A denotarão coálgebras e álgebras arbitrárias, respectivamente.

Naturalmente podemos construir subestruturas como subcoálgebras, coálgebras quoci-entes, morsmos, e assim por diante.

Denição 1.2. Sejam C uma coálgebra e V ⊂ C um subespaço vetorial. Dizemos que (V, ∆|V, |V) é uma subcoálgebra de C se ∆(V ) ⊆ V ⊗ V .

Denição 1.3. Sejam C, D coálgebras e g : C → D uma aplicação linear. Diremos que g é um morsmo de coálgebras se os diagramas a seguir forem comutativos

C D C ⊗ C D ⊗ D ∆C g ∆D g ⊗ g C D K g C D Figura 1.4

Observe que se V é uma subcoálgebra de C então a aplicação inclusão i : V → C é um morsmo de coálgebras.

Exemplo 1.1 (Coálgebra tipo-grupo). Seja S um conjunto. Denotamos por KS um espaço vetorial contendo S e tendo S como base. Denimos ∆ : KS → KS ⊗ KS e  : KS → K nos elementos da base como

∆ (s) = s ⊗ s e h, si = 1 para todo s ∈ S.

Além disso, KS possui 2|S| _{subcoálgebras distintas e qualquer função bem denida S → S dá}

origem à um morsmo de coálgebras.

Observação: (Notação sigma). Am de manejar com maior facilidade a comultiplicação em coálgebras, Sweedler introduziu uma notação mais sugestiva conhecida como notação sigma. Considerando (C, ∆, ) uma coálgebra, ordinariamente poder-se-ia escrever ∆ (c) = P

i

c1i⊗c2i,

com cji ∈ C. Na notação sigma escrevemos

X

(c)

c(1)⊗ c(2) = ∆ (c) .

Em consequência disso, o diagrama que exprime a propriedade counitária pode ser escrito como X (c) , c(2) c(1) = X (c) , c(1) c(2) = c.

Daí, pode-se denir

X

(c)

c(1)⊗ c(2)⊗ c(3) = (∆ ⊗ I)∆(c),

que faz sentido uma vez que a comultiplicação é coassociativa. Então, de maneira geral, se ∆n−1(c) = X (c) c(1)⊗ . . . ⊗ c(n)= (∆ ⊗ In−2)∆n−2(c) = (In−2⊗ ∆)∆n−2(c) então ∆n−1(c) = X (c) ∆(c(1)) ⊗ · · · ⊗ c(n−1) = X (c) c(1)⊗ · · · ⊗ ∆(c(n−1)) e consequentemente (In−1⊗ ∆)∆n−1(c) = X (c) ∆(c(1)) ⊗ · · · ⊗ ∆(c(n−1)) = (∆ ⊗ In−1)∆n−1(c).

Indutivamente, acabamos de descrever o que entende-se como comultiplicar n vezes e mostramos que a coassociatividade pode ser generalizada para mais fatores, assim como ocorre com a associatividade em álgebras.

en-volvem comultiplicação poderão ser reformuladas. Por exemplo, se f : C → D é um morsmo de coálgebras então o primeiro diagrama da gura 1.4 pode ser escrito como

X (f (c)) f (c)(1)⊗ f (c)(2) = X (c) f (c(1)) ⊗ f (c(2)).

Em outras palavras, ∆ (f(c)) ∈ Im(f) ⊗ Im(f) e disso segue a proposição a seguir.

Proposição 1.1. Seja f : C → D um morsmo de coálgebras. Então Im(f) é uma subcoálge-bra de D.

# Denição 1.4. Dizemos que uma coálgebra C é cocomutativa quando o diagrama

C C ⊗ C

C ⊗ C ∆

∆ T

comuta, sendo que T é a aplicação linear twist a ⊗ b 7→ b ⊗ a. Na notação sigma, esta propri-edade se reescreve como

∆ (c) =X (c) c(1)⊗ c(2) = X (c) c(2)⊗ c(1).

O próximo resultado apresenta uma propriedade algébrica essencial para a classe de coálgebras.

Proposição 1.2. Toda coálgebra é fechada com relação a soma de subcoálgebras.

Demonstração: Seja C uma coálgebra e {Uα}α∈Λ uma coleção de subcoálgebras de C.

Claramente P

α

Uα ⊆ C, pois C é espaço vetorial. Considere então n P i=1 uαi ∈ P α Uα. Temos que ∆ (uαi) ∈ Uαi⊗ Uαi, ∀i. Como ∆ é linear, ∆ n X i=1 uαi ! ∈ n X i=1 (Uαi ⊗ Uαi). Entretanto Pn i=1

(Uαi ⊗ Uαi)pode ser identicado com um subespaço de P

α

Uα⊗P α

que o produto tensorial é uma multilinearização. Com isso, terminamos a demonstração. # Em seguida, denimos alguns tipos de coálgebras em função de propriedades interes-santes que estas podem satisfazer.

Denição 1.5. Seja C uma coálgebra.

• C é irredutível se quaisquer duas subcoálgebras não nulas tiverem intersecção não nula. • C é simples se tiver somente {0} e C como subcoálgebras.

• C é dita pontiaguda se todas subcoálgebras simples de C são unidimensionais.

Proposição 1.3. Sejam (C, ∆, ) uma coálgebra e C∗ _{o espaço dual de C. Então a estrutura}

de coálgebra de C fornece uma estrutura de álgebra para C∗_.

Antes de mostrar tal fato, revisitemos a álgebra linear. Se V e W são espaços vetori-ais e L : V → W é uma aplicação linear então L∗ _{: W}∗ _{→ V}∗ _{denida por}

hL∗(w∗), vi = hw∗, L(v)i

é a aplicação dual de L. Relembre também que existe o mergulho linear ρ : V∗⊗ W∗ _{→ (V ⊗ W )}∗ _{dado por}

hρ(f ⊗ g), v ⊗ wi = hf, vi hg, wi com f ∈ V∗_{, g ∈ W}∗ _{e v ∈ V, w ∈ W.}

É a partir dessa identicação de C∗_{⊗ C}∗ _{com um subespaço de (C ⊗ C)}∗ _que

denire-mos a multiplicação no espaço dual.

Demonstração: ` (C∗_{, ∆}∗_{, }∗_{)é uma álgebra:}

De fato considere c∗

, d∗, e∗ ∈ C∗ e c ∈ C um elemento arbitrário. De modo geral, denote por c∗_{· d}∗ _{:= ∆}∗_(c∗_{⊗ d}∗_{) a multiplicação de C}∗_{. Com isso temos}

hc∗· d∗, ci =X

(c)

c∗

, c(1) d∗, c(2) .

hc∗· (d∗· e∗), ci =X (c) c∗ , c(1) d∗· e∗, c(2)  =X (c) c∗ , c(1) d∗, c(2) e∗, c(3)  coass =X (c) c∗_{· d}∗ , c(1) e∗, c(2)  = h(c∗· d∗) · e∗, ci . Logo vale a associatividade em C∗_{. Para mostrar que }∗

: K∗ → C∗ _{é uma unidade,}

devemos usar o isomorsmo K ' K∗_{. Contudo, abusaremos da notação denotando com o}

mesmo símbolo ∗ _{a composição das aplicações K → K}∗ _{→ C}∗_{. Dito isso temos}

h∗(1_K), ci = h1_K∗, h, cii = h, ci

Ou seja, ∗₍₁

K) associa c 7→ h, ci. Então se c

∗ _{∈ C}∗_{, veja que} h∗(1_K) · c∗, ci =X (c) , c(1) c∗, c(2)  =X (c) c∗ ,, c(1) c(2)  = * c∗,X (c) , c(1) c(2) + coun = hc∗, ci .

Claramente a mesma situação ocorre quando avaliamos ∆∗ _{◦ (I ⊗ }∗_{), garantindo a}

validade da armação.

# Por outro lado, nossa tentativa de dualização possui uma restrição.

Proposição 1.4. Sejam (A, M, u) uma álgebra e A∗ _{o espaço dual de A. Se A for uma}

álge-bra de dimensão nita então A∗ _{pode ser munido de uma estrutura de coálgebra que é oriunda}

da estrutura de álgebra em A.

Demonstração: Mostremos primeiro que A∗ _{possui comultiplicação coassociativa. Aqui}

denotaremos ∆ := ρ−1_{◦ M}∗_{, que faz sentido pois, como A possui dimensão nita, a aplicação}

ρ : A∗⊗ A∗ _{→ (A ⊗ A)}∗ _{é um isomorsmo.}

Considerando a∗ _{∈ A}∗_{, a identicação via ρ acima nos permite escrever}

∆ (a∗) = P

(a∗₎

a∗₍₁₎ ⊗ a∗

(2) ∈ A

h∆ (a∗_{) , a ⊗ bi = ha}∗_{, a · bi. Daí,} h(∆ ⊗ I)∆(a∗), a ⊗ b ⊗ ci = * X (a∗₎ a∗₍₁₎ (1) ⊗ a ∗ (1)(2) ⊗ a ∗ (2), a ⊗ b ⊗ c + =X (a∗₎ D a∗₍₁₎ (1), a E D a∗₍₁₎ (2), b E a∗ (2), c  =X (a∗₎ a∗ (1), a · b a ∗ (2), c  = ha∗, (a · b) · ci = ha∗, a · (b · c)i = h(I ⊗ ∆)∆(a∗), a ⊗ b ⊗ ci .

Denotaremos  := u∗_{, abusando mais uma vez da notação e do isomorsmo entre K e}

K∗. Com isso, h, a∗i = a∗◦ u e podemos obter a igualdade

h( ⊗ I)∆(a∗), ai =X

(a∗₎

(a∗

)(1)◦ u ⊗ (a∗)(2), 1K⊗ a .

Note agora que (a∗ )(1)◦ u ⊗ (a∗)(2), 1K⊗ a = ((a ∗ )(1)◦ u)(1K) ·(a ∗ )(2), a  =(a∗)(1), 1A (a∗)(2), a .

Portanto, quando fazemos a soma de todos elementos - soma formal a qual indexamos por (a∗_{) - temos} h( ⊗ I)∆(a∗), ai =X (a∗₎ (a∗ )(1), 1A (a∗)(2), a  = ha∗, 1A· ai = ha∗, ai .

É fácil ver que avaliando (I ⊗ ) ◦ ∆, a situação é análoga a acima. Logo (A∗_{, ∆, ) é}

uma coálgebra.

# Podemos - todavia - contornar a restrição causada pela hipótese de dimensão nita com a seguinte restrição à um subespaço de A∗_{. Considere}

Ao := {φ ∈ A∗ :ker(φ) contém algum ideal conito de A}, o dual nito de A.

Proposição 1.5. Se A é uma álgebra, Ao _{pode ser munido de uma estrutura de coálgebra}

oriunda da estrutura de álgebra de A.

Demonstração: ver [11], página 110, lema 6.0.1.

# Proposição 1.6. Sejam A, B álgebras de dimensão nita, f : A → B um morsmo de álgebras, C, D coálgebras e g : C → D um morsmo de coálgebras. Então

a) g∗ _{: D}∗ _{→ C}∗ _{é um morsmo de álgebras.}

b) f∗ _{: B}∗ _{→ A}∗ _{é um morsmo de coálgebras.}

Demonstração: a) Lembremos da Proposição 1.3 que 1C∗(c) = h_C, ci , ∀c ∈ C e analogamente para D∗_{. Considere então um elemento arbitrário c ∈ C,}

g∗(1D∗)(c) = h1_D∗, g(c)i = h_D, g(c)ig morf=

coálg hC, ci = h1C ∗, ci . Logo g∗ _{leva 1}

D∗ em 1_C∗. Além disso, considere d∗₁, d∗₂ ∈ D∗. Temos que hg∗(d∗₁d∗₂), ci = hd₁∗d∗₂, g(c)i = hd∗₁⊗ d∗₂, ∆(g(c))i = X (g(c)) d∗ 1, g(c)(1) d∗2, g(c)(2) g morf = coálg X (c) d∗ 1, g(c(1)) d∗2, g(c(2))  =X (c) g∗ (d∗₁), c(1) g∗(d2∗), c(2) = hg∗(d∗1)g ∗ (d∗₂), ci .

Com isso, g∗ _{é um morsmo de álgebras.}

b) Sendo A e B álgebras de dimensão nita, sabemos da proposição 1.4 que os espaços A∗, B∗ podem ser vistos como coálgebras. Com isto em mente, sejam a1, a2 ∈ A e b∗ ∈ B∗.

Então ∆A∗(f∗(b∗)) (a₁⊗ a₂) = f∗(b∗)(a₁· a₂) = hb∗, f (a₁· a₂)i f morf. = álg. hb ∗ , f (a1) · f (a2)i =X (b∗₎ b∗ (1), f (a1) b∗(2), f (a2)  =X (b∗₎ f∗ (b∗₍₁₎) ⊗ f∗(b∗₍₂₎), a1⊗ a2  = (f∗⊗ f∗)∆B∗(b∗) (a₁⊗ a₂).

de counidade.

Já vimos que A∗(a∗) := a∗ ◦ u_A, ∀a∗ ∈ A∗ e analogamente para B∗. Então hA∗(f∗(b∗)), 1 Ki = f ∗ (b∗(uA(1K))) = hb∗, f (uA(1K))i f morf. = álg. hb ∗ , uB(1K)i = hB∗(b ∗ ), 1_Ki .

Portanto f∗ _{é um morsmo de coálgebras.}

# Denição 1.6. Seja V um espaço vetorial, S ⊂ V e T ⊂ V∗_{. Denimos os conjuntos}

ortogo-nais a S e T , respectivamente, como

S⊥ = {v∗ ∈ V∗ : hv∗, Si = 0} T⊥ = {v ∈ V : hT, vi = 0} Proposição 1.7. Seja C uma coálgebra. Então

a) Se D ⊆ C é uma subcoálgebra então D⊥ _{é um ideal de C}∗_.

b) Se I ⊆ C∗ _{é um ideal então I}⊥ _{é uma subcoálgebra de C.}

c) V ⊆ C é uma subcoálgebra ⇐⇒ V⊥ _{é um ideal de C}∗_.

Demonstração: a) Sendo D uma subcoálgebra de C, sabemos que a aplicação inclusão i : D → C é um morsmo de coálgebras. Logo i∗ : C∗ → D∗ _{é um morsmo de álgebras.}

Agora, note que D⊥_⊆Ker(i∗_{). Além disso, se c}∗ _∈Ker(i∗_{)e d ∈ D então}

0 = hi∗(c∗), di = hc∗, i(d)i = hc∗, di , ou seja, c∗ _{∈ D}⊥_{. Portanto D}⊥ _=Ker(i∗_{) é um ideal de C}∗_.

b) Para essa demonstração, é suciente mostrar que ∆ I⊥

⊆ I⊥ _{⊗ I}⊥_{. Com esse}

propósito, considere x ∈ I⊥ _{de modo que}

∆ (x) =X

j

yj ⊗ zj,

com {yj} ∪ {zj} ⊂ C. Sem perda de generalidade, assuma que {zj} seja linearmente

indepen-dente.

Assuma o contrário, isto é, ∆ (x) /∈ I⊥ _{⊗ C. Então existe um índice i de modo que}

yi ∈ I/ ⊥. Equivalentemente existe c∗ ∈ I satisfazendo hc∗, yii 6= 0.

Denamos, portanto, α ∈ C∗ _{tal que hα, z}

ji = δij. Como I é ideal, c∗ · α ∈ I. Daí,

0 = hc∗· α, xi = hc∗_{⊗ α, ∆ (x)i}

=X

j

hc∗, yji hα, zji

= hc∗, yii .

Logo, alcançamos uma contradição com o fato de ∆ (x) /∈ I⊥ _{⊗ C. Portanto, é valida nossa}

armação.

Se assumirmos uma outra representação para ∆ (x) em que no lugar de {yi} tenhamos

um outro conjunto linearmente independente, obteremos que ∆ (x) ∈ C ⊗ I⊥_{.Com isso,}

∆ I⊥
⊆ (I⊥_{⊗ C) ∩ (C ⊗ I}⊥

) = I⊥⊗ I⊥ e I⊥ _{é uma subcoálgebra de C.}

c) A demonstração deste item é consequência dos itens anteriores somado ao fato de que (V⊥₎⊥ _{= V.}

# Em seguida, apresentaremos a dualização do conceito de ideal.

Denição 1.7. Seja C uma coálgebra. Dizemos que um subespaço V ⊆ C é um coideal à direita (à esquerda) se

∆ (V ) ⊆ V ⊗ C (∆ (V ) ⊆ C ⊗ V ). Dizemos que V é um coideal bilateral ou simplesmente um coideal se

∆ (V ) ⊆ V ⊗ C + C ⊗ V e

h, V i = 0.

É claro que se C é uma coálgebra, C também é um coideal à esquerda e à direita de si mesma. Não somente isso mas toda subcoálgebra de C também é um coideal à esquerda e à direita de C. Entretanto, nem toda subcoálgebra é um coideal uma vez que a condição

h, V i = 0 é xada na denição. A coálgebra tipo-grupo do exemplo 1.1, e.g., possui somente o coideal trivial {0}.

Portanto, o comportamento de coideal difere dos ideais de anéis (álgebras) uma vez que, de modo geral, coálgebras não são coideais e coideais de ambos os lados, i.e., à esquerda e à direita simultaneamente, não são coideais bilaterais.

Mais que isso, se V é um coideal de C de ambos os lados então V é uma subcoálgebra de C pois

∆ (V ) ⊆ V ⊗ C ∩ C ⊗ V = V ⊗ V.

Se V é também coideal bilateral, a condição h, V i = 0 somada à propriedade counitária de coálgebras fornece que, dado v ∈ V ,

v =X

(v)

, v(1) v(2) = 0.

Concluí-se então que em toda coálgebra C existe uma relação biunívoca entre coideais de ambos os lados e subcoálgebras de C e que a única coálgebra que é também coideal é a coálgebra nula V = {0}.

Apesar destas anomalias estruturais, como ressalta Sweedler em [11], este é o preço a ser pago para que possamos fatorar coálgebras por seus coideais e construir coálgebras quo-cientes.

Proposição 1.8. A soma de uma coleção {Vα} de coideais à esquerda (à direita, bilaterais) é

um coideal à esquerda (à direita, bilateral)

Demonstração: Considere {Vα}uma coleção de coideais à esquerda de uma coálgebra

C. Sabe-se que ∆ (Vα) ⊆ C ⊗ Vα, ∀α. Como ∆ é linear,

∆ X α Vα ! ⊆X α C ⊗ Vα.

Entretanto é simples identicar P

α

C ⊗ Vα em C ⊗ P α

Vα a partir da identicação

na-tural C ⊗ Vαi → C ⊗ P

α

Vα feita fator a fator. Com isso, P α

Vα é um coideal à esquerda, isto

é, ∆ X α Vα ! ⊆ C ⊗X α Vα.

demonstrar que P

α

Vα satisfaz a propriedade comultiplicativa é quase idêntico aos casos

ante-riores, diferindo somente pela soma dos espaços C ⊗Vα+ Vα⊗ C, que força o uso da

comutati-vidade da soma e a identicação acima sendo feita espaço por espaço. Fora isso, a linearidade de  garante que * ,X α Vα + =X α h, Vαi = X α 0 = 0.

Portanto, neste caso, P

α

Vα é um coideal bilateral.

# Os próximos resultados mostram as relações entre coideais e seus duais.

Proposição 1.9. Seja C uma coálgebra.

a) Se J ⊆ C é um coideal à direita (esquerda) de C então J⊥ _{é um ideal à direita (esquerda)}

de C∗_.

b) Se I é um ideal à direita (esquerda) em C∗ _{então I}⊥ _{é um coideal à direita (esquerda) de}

C.

c) V ⊆ C é um coideal à direita (esquerda) de C ⇐⇒ V⊥ _{é um ideal à direita (esquerda) de}

C∗.

Antes da demonstração, vale ressaltar que trataremos somente do caso de ideais e deais à direita. Pelas contas que serão apresentadas cará claro que, no caso de ideais e coi-deais à esquerda, a situação é totalmente análoga.

Demonstração: a) Seja J um coideal à direita de C e considere c ∈ J, c∗ _{∈ C}∗_{, j}∗ _∈

J⊥. Então hj∗c∗, ci =X (c) j∗ , c(1) c∗, c(2)  com ∆ (c) ∈ J ⊗ C. Logo j∗_{, c}

(1) = 0 e consequentemente hj∗c∗, ci = 0, ∀c ∈ J. Isto mostra que J⊥ é um ideal à

direita de C∗_.

b) Seja I ⊆ C∗ _{ideal à direita. Fixe c}∗ _{∈ I e considere c ∈ I}⊥ _{e d}∗ _{∈ C}∗_{. Como}

c∗d∗ ∈ I,

0 = hc∗d∗, ci =X

(c)

c∗

Entretanto d∗ _{∈ C}∗ _{é arbitrário e com isso c}∗_{, c}

(1) = 0, para todo c ∈ I. Portanto c(1)∈ I⊥ e

∆ I⊥
⊆ I⊥⊗ C. Ou seja, I é um coideal à direita de C.

c) A demonstração deste item é consequência dos dois anteriores somado ao fato de que V = (V⊥₎⊥_.

# Para a proposição que virá, precisaremos do resultado de álgebra linear enunciado abaixo

Lema 1.1. Sejam V e W espaços vetoriais e considere X ⊂ V∗_{, Y ⊂ W}∗ _{subespaços. Então}

(X ⊗ Y )⊥= X⊥⊗ W + V ⊗ Y⊥. Demonstração: pode ser consultada no apêndice A.1 de [11].

# Proposição 1.10. Seja C uma coálgebra.

a) Se J ⊆ C é coideal então J⊥ _{é uma subálgebra de C}∗_.

b) Se I ⊆ C∗ _{é uma subálgebra então I}⊥ _{⊆ C é um coideal.}

c) V ⊆ C é coideal ⇐⇒ V⊥ _{⊆ C}∗ _{é subálgebra.}

Demonstração: a) Sejam J ⊆ C coideal e c∗_{, d}∗ _{∈ J}⊥_{, c ∈ J. Temos que}

hc∗d∗, ci =X (c) c∗ , c(1) d∗, c(2)  = X (c):c(1)∈J c∗ , c(1) d∗, c(2)  + X (c):c(2)∈J c∗ , c(1) d∗, c(2)  = X (c):c(1)∈J 0 ·d∗, c(2)  + X (c):c(2)∈J c∗ , c(1) · 0 = 0

Logo c∗_d∗ _{∈ J}⊥ _{e J}⊥ _{é fechado pelo produto de C}∗_.

Relembre da construção de C∗ _{como álgebra dual de C que 1}

C∗ = . Deste fato junta-mente com J ser coideal, segue que

h1C∗, ci = 0, ∀c ∈ J. Portanto 1C∗ ∈ J⊥ e J⊥ é subálgebra de C∗.

b) Seja I ⊆ C∗ _{subálgebra. A propriedade que envolve a counidade  é direta pois,}

como vimos no item anterior,  é a unidade de I e portanto , I⊥_{= 0.}

Calculemos agora ∆ I⊥

: da denição do produto em C∗ _{temos que ∆}∗_{(ρ(I ⊗ I)) = I,}

pois I é subálgebra (ρ é a aplicação denida na página 18). Com isso,

0 = I, I⊥ = ∆∗(ρ(I ⊗ I)), I⊥

=ρ(I ⊗ I), ∆(I⊥) (1.1)

Identicando I ⊗ I em (C ⊗ C)∗ _{via ρ, podemos identicar [ρ(I ⊗ I)]}⊥ _{com (I ⊗ I)}⊥_{. Portanto,}

por (1.1),

∆ I⊥
⊆ (I ⊗ I)⊥Lema= 1.1 I

⊥_{⊗ C + C ⊗ I}⊥

.

c) Como nas proposições anteriores, o item c) é consequências dos itens anteriores junto do fato de (V⊥

)⊥= V

# Observação:. A demonstração do item a) aponta para uma possível motivação para o segundo axioma que dene coideal bilateral, que é a de garantir que haja unidade na sua estrutura dual (ortogonal).

Veremos ao nal deste trabalho que a proposição 1.10 motiva ainda mais a denição de identidades em coálgebras dada por Kochetov em [6].

Para concluir essa seção, apresentamos o Teorema Fundamental dos Isomorsmos para coálgebras.

Teorema 1.1 (T.F.I.). Sejam C uma coálgebra, V um coideal de C e π : C → CV a aplica-ção quociente natural de espaços vetoriais. Então

a) E := CV possui uma única estrutura de coálgebra de modo que π seja um morsmo de coálgebras.

b) Se f : C → D é um morsmo de coálgebras então Ker(f) é um coideal de C.

c) Sob as notações dos itens anteriores, se V ⊆ Ker(f) então existe um único morsmo de coálgebras ¯_{f : CV → D de modo que o diagrama abaixo comute.}

Demonstração: a) Como V é um coideal, V ⊂ Ker(). Da álgebra linear, sabemos que existe uma única aplicação linear E de modo que o diagrama

C D

C V

f

π f¯

Figura 1.5: Diagrama de extensão do quociente.

C _K E  π E (1.2) comuta. Denemos T := C ∆C −→ C ⊗ C −→ E ⊗ E.π⊗π

Observe que Ker(π) = V e portanto Ker(π ⊗ π) = V ⊗ C + C ⊗ V . Sendo V coideal,

∆C(V ) ⊆Ker(π ⊗ π).

Ou seja, V ⊆ Ker(T ) e com isso podemos construir ∆E : E → E ⊗ E como a única

aplicação linear tal que o diagrama (1.3) comuta.

C C ⊗ C E E ⊗ E π ∆C π ⊗ π ∆E (1.3)

` (E, ∆E, E) é uma coálgebra: seja c ∈ C. Então

∆E ◦ π(c) Diag. = (1.3)(π ⊗ π) ∆C(c) = X (c) π(c(1)) ⊗ π(c(2)). (1.4) Daí,

(I ⊗ ∆E) ◦ ∆E(π(c)) = X (c) π(c(1)) ⊗ ∆E ◦ π(c(2)) (1.4) = X (c) π(c(1)) ⊗ ((π ⊗ π)∆C c(2)
) = (π ⊗ π ⊗ π)   X (c) c(1)⊗ ∆C c(2)
  coass = de C (π ⊗ π ⊗ π)   X (c) ∆C c(1)
⊗ c(2)   =X (c) (π ⊗ π)∆C c(1)
⊗ π(c(2)) (1.4) = X (c) ∆E π(c(1))
⊗ π(c(2)) = (∆E⊗ I)   X (c) π(c(1)) ⊗ π(c(2))   (1.4) = (∆E⊗ I) ◦ ∆E(π(c)) , ∀c ∈ C.

Mas π é sobrejetiva, isto é, π(C) = E. Portanto E satisfaz o diagrama de coassociatividade. Por outro lado, o diagrama (1.2) nos diz que E é uma cópia de  no espaço

quoci-ente. Por isso, o diagrama de counidade também é satisfeito por E. Ainda assim, vale a pena descrevê-lo em termos da notação sigma para ilustrar seu comportamento:

(I ⊗ E)(∆E(π(c))) (1.4) = X (c) π(c(1))E, π(c(2))  Diag. = (1.2) X (c) π(c(1)), c(2)  = π   X (c) c(1), c(2)   = π(c).

É claro que (E ⊗ I) ◦ ∆E = I. Com isso, está provada a armação.

Note que sendo C e E coálgebras, os diagramas (1.2), (1.3) garantem que π é um morsmo de coálgebras. Além disso, sendo π linear e qualquer outra estrutura de coálgebra para E, uma estrutura linear dada por diagramas idênticos à esses, concluí-se que a estrutura de E - em que π : C → E é um morsmo de coálgebras - é única. Dito isso, a demonstração do item a) se encerra.

b) Seja f : C → D um morsmo de coálgebras. Então

hD, f (c)i = hC, ci , ∀c ∈ C.

Em particular, se c ∈ Ker(f), hC, ci = 0. Além disso,

(f ⊗ f )∆C(Ker(f)) = ∆D(f (Ker(f))) = ∆D({0}) = 0

=⇒ ∆C(Ker(f)) ⊆ Ker(f ⊗ f) = Ker(f) ⊗ C + C ⊗ Ker(f).

Logo, Ker(f) é um coideal de C.

c) a unicidade e existência da aplicação linear ¯f é direta pela propriedade universal de espaços vetoriais pela mesma justicativa dada para π no item a). Mostremos então que ¯f é um morsmo de coálgebras, que segue direto de f ser.

Considere c ∈ C, D, ¯f (π(c)) = hD, f (c)i f morf. = coálg.hC, ci = hE, π(c)i . Como π(C) = E, D◦ f = E. Ademais, ∆D f (π(c))
= ∆¯ D(f (c)) f morf. = coálg.(f ⊗ f ) ∆C(c) = ( ¯f ◦ π ⊗ ¯f ◦ π) ∆C(c) = ( ¯f ⊗ ¯f ) ◦ (π ⊗ π) ∆C(c) Diag. = (1.3) ( ¯f ⊗ ¯f ) ∆E(π(c)) .

Como consequência da sobrejetividade de π, mais uma vez, ∆D◦ ¯f = ( ¯f ⊗ ¯f ) ◦ ∆E. Portanto,

segue o resultado.

Capítulo 2

Comódulos

2.1 Introdução

Partindo do mesmo olhar aos diagramas que tivemos para álgebras, dualizamos os dia-gramas de módulos para alcançar uma nova estrutura.

Denição 2.1. Considere C uma coálgebra. Denimos um C-comódulo à direita como um espaço vetorial M juntamente com uma aplicação linear ω : M → M ⊗ C, chamada de aplicação estrutural de comódulo ou também coação de M, que comuta os diagramas

M M ⊗ C M ⊗ K ω ' I ⊗  M ⊗ C ⊗ C M ⊗ C M ⊗ C M I ⊗ ∆ ω ⊗ I ω ω

Observação:. Claramente a denição de C-comódulos à esquerda é análoga a esta. Todavia, o texto se restringirá a tratar somente de C-comódulos à direita, por conveniência. Além disso, também é possível estender a notação sigma para C-comódulos de maneira natural. Se consi-derarmos m ∈ M, podemos escrever

ω(m) = X

(m)

m(0)⊗ m(1) ∈ M ⊗ C

X (m) ∈M z}|{ m(0) ⊗ ∈C⊗n z }| { m(1)⊗ . . . ⊗ m(n):= (ω ⊗ In−1)   X (m) m(0)⊗ m(1)⊗ . . . ⊗ m(n−1)  .

Como exemplo trivial de comódulos, observe que qualquer C coálgebra é um C-comódulo a direita tendo como coação a própria comultiplicação ∆.

Am de tornar o texto menos cansativo, trataremos C-comódulos diretamente por comódulos e a aplicação estrutural será denotada por ω, sempre que não houver possibilidade de dúvida. Quando necessário, será explicitado sobre quais coálgebras e aplicações estruturais estão sendo considerados os comódulos.

Denição 2.2. Seja M um comódulo à direita. Dizemos que um subespaço N ⊆ M é um subcomódulo de M se satisfaz ω(N) ⊆ N ⊗ C.

É claro que, vendo C como C-comódulo à direita, os subcomódulos de C são exata-mentes os coideais à direita.

Seguimos agora com a denição de morsmo para esta nova estrutura.

Denição 2.3. Se M, N são comódulos à direita, dizemos que f : M → N é um morsmo de comódulos quando o diagrama da gura 2.1 for comutativo.

M N M ⊗ C N ⊗ C ωM f ωN f ⊗ I

Figura 2.1: Morsmo de C-comódulos Teorema 2.1. Usando a mesma notação da denição anterior: a) Ker(f) é um subcomódulo de M e Im(f) é um subcomódulo de N. b) se L ⊆ M é um subcomódulo de M então M

L possui uma única estrutura de comódulo em que π : M →M

L é um morsmo de comódulo; além disso,

c) se L ⊆ Ker(f) então existe um único morsmo de comódulos ¯f : M_L → N que comuta o diagrama (4). M N M L f π f¯ ₍₄₎

Demonstração: a) Seja x ∈ Ker(f), então

0 = ωN(f (x))

f morf. =

comód.(f ⊗ I)(ωM(x)) ⇒ ωM(x) ∈Ker((f ⊗ I)). Mas

Ker((f ⊗ I)) = Ker(f) ⊗ C + M ⊗ Ker(I) = Ker(f) ⊗ C + M ⊗ {0}. Portanto, ωM(Ker(f)) ⊆ Ker(f) ⊗ C, isto é, Ker(f) é um subcomódulo de M.

Vejamos agora que Im(f) é um subcomódulo de N. Considere m ∈ M e n = f(m). Então ωN(n) f morf. = comód.(f ⊗ I)(ωM(m)) = X (m) f (m(0)) ⊗ m(1) ∈Im(f) ⊗ C

e está demonstrado o item a).

b) Sendo L subcomódulo de M, podemos colocar uma estrutura de comódulo em M L da seguinte maneira. Dena T := (π ⊗ I) ◦ ωM, que é linear. Note que L ⊆ Ker(T ) pois

ωM(L) ⊆ L ⊗ C e π(L) = {0}. Logo M_L possui uma estrutura de C-comódulo dada por

ωM

L(m + L) = T (m) e tal estrutura é única uma vez que ωML é a única aplicação linear que comuta o diagrama M M ⊗ C M L ML ⊗ C π ωM π ⊗ I ωM L .

Além disso, esse mesmo diagrama garante que π é um morsmo de comódulos.

c) A existência e unicidade da aplicação ¯f que comuta do diagrama (4) é consequên-cia direta da propriedade universal de espaços vetoriais. Resta vericar se ¯f é um morsmo de comódulos. Para isso, considere m ∈ M,

ωN( ¯f (m + L)) = ωN(f (m)) f morf. = comód.(f ⊗ I) ωM(m) = (f ⊗ I)   X (m) m(0)⊗ m(1)   =X (m) f (m(0)) ⊗ m(1) =X (m) ¯ f (m(0)+ L) ⊗ m(1) = ( ¯f ⊗ I)   X (m) (m(0)+ L) ⊗ m(1)   = ( ¯f ⊗ I) ◦ (π ⊗ I)   X (m) m(0)⊗ m(1)   = ( ¯f ⊗ I) ◦ (π ⊗ I)(ωM(m)) = ( ¯f ⊗ I) (ωM L(π(m))). Ou seja, ¯f é um morsmo de comódulos.

# Estudaremos, na próxima seção, as relações que existem entre comódulos de uma coál-gebra C e os módulos de sua álcoál-gebra dual C∗_.

2.2 Módulos Racionais

Sejam C uma coálgebra, C∗ _{sua álgebra dual. A partir de uma aplicação linear}

ω : M → M ⊗ C qualquer, podemos construir ψω : C∗⊗ M → M como a composição

C∗ ⊗ M −→ CI⊗ω ∗⊗ M ⊗ C −→ M ⊗ CT ⊗I ∗⊗ C I⊗h , i_{−→ M ⊗ K ' M,}

em que T é o operador twist e h, i a avaliação de C por C∗_{. Entretanto, convencionaremos}

que, quando ω for uma aplicação estrutural de C-comódulo, usaremos a notação usual de ação - c∗ _{· m := ψ}

ω(c∗ ⊗ m) - pois, como veremos adiante, (M, ψω) é um C∗-módulo à

es-querda. Antes disso, precisamos de um resultado de álgebra linear.

Demonstração: considere {vk} uma base de V e escreva u = n

P

i=1

vki⊗ wki, com wk1 6= 0. Podemos denir v∗ _{∈ V}∗ _{de modo que}

hv∗, vii = δik1 e w∗ _{∈ W}∗ _{tal que}

hw∗, wk1i 6= 0. Então, considerando xu := v∗ ⊗ w∗, temos que

hxu, ui =

X

i

hv∗, vii hw∗, wii = hw∗, wk1i 6= 0.

# Proposição 2.1. (M, ω) é um C-comódulo à direita se e somente se (M, ψω) é um C∗-módulo

à esquerda.

Demonstração: (⇒): assumindo que (M, ω) é um C-comódulo à direita, mostremos primeiramente que 1C∗· m = m, para todo m ∈ M.

Como, por denição,

1C∗· m = X

(m)

m(0)1C∗, m₍₁₎ ,

essa parte da prova sai direta, uma vez que 1C∗ =  e por M ser comódulo

m =X

(m)

m(0), m(1) .

Por outro lado, considere c∗_{, d}∗ _{∈ C}∗_{. Então}

(c∗d∗) · m =X (m) m(0)c∗d∗, m(1)  =X (m) m(0)c∗, m(1) d∗, m(2)  Em contrapartida,

c∗· (d∗· m) = c∗· X (m) m(0)d∗, m(1)   =X (m) c∗ · m(0)d∗, m(1)  =X (m) m(0)c∗, m(1) d∗, m(2) ,

pois (ω ⊗ I) ◦ ω = (I ⊗ ∆) ◦ ω. Portanto, c∗ _{· (d}∗ _{· m) = (c}∗_d∗_{) · m, para todo m ∈ M. Com}

isso, M é um C∗_{-módulo à esquerda.}

(⇐): Suponhamos que M é um C∗-módulo à esquerda. Pela mesma razão do item anterior (i.e., 1C∗ = ),  · m = m implica que (I ⊗ ) ω(m) = m. Além disso, considerando novamente c∗_{, d}∗ _{∈ C}∗_{, m ∈ M,} c∗· (d∗· m) = (c∗d∗) · m m X (m) m(0)⊗c∗⊗ d∗, ∆ m(1)
 = X (m) m(0)⊗c∗, m(1) d∗, m(2)  m (I ⊗ c∗⊗ d∗)(ω ⊗ I)ω(m) = (I ⊗ c∗⊗ d∗)(I ⊗ ∆)ω(m). (2.1)

Mas, se supusermos que existe m ∈ M de modo que

y := (ω ⊗ I)(ω(m)) − (I ⊗ ∆)(ω(m)) 6= 0 ∈ M ⊗ C ⊗ C,

chegaremos a uma contradição. De fato, sendo y 6= 0, existe ao menos uma componente não nula de y, digamos m(0)⊗ m(1)⊗ m(2). Portanto, pelo Lema 2.1, existe x ∈ C∗⊗ C∗ tal que

x, m(1)⊗ m(2) 6= 0.

Com isso, (I ⊗ x)(y) 6= 0, o que contradiz (2.1). Então, para todo m ∈ M,

(ω ⊗ I)(ω(m)) = (I ⊗ ∆)(ω(m)),

e concluímos a demonstração de que (M, ω) é um C-comódulo à direita.

# O resultado anterior explicita uma relação entre C-comódulos à direita e C∗_-módulos

à esquerda quando partimos inicialmente de uma estrutura ω de comódulo. Assim, surge a pergunta: é possível estabelecer relações partindo agora de uma estrutura ψ : C∗_{⊗ M → M}

de C∗_{-módulo. E sendo a resposta armativa, quais condições são necessárias ou sucientes}

para estabelecer tal relação?

Am de responder essas questões, considere ρ : M → Hom(C∗_{, M ) de modo que}

ρ(m)(c∗) = ψ(c∗⊗ m) = c∗_{· m, ∀m ∈ M.}

Gostaríamos que ρ fosse nossa estrutura de C-comódulo mas, para isso, é necessário que ρ(M) ⊆ M ⊗C. Portanto, faz-se necessário identicar M ⊗C em Hom(C∗_{, M ). Para isso,}

considere as inclusões

1o_{) L : C → C}∗∗ _{tal que hL(c), c}∗_{i = hc}∗_{, ci.}

2o_{) f : M ⊗ C}∗∗_→Hom(C∗_{, M ) tal que m ⊗ c}∗∗ _{7→ hc}∗∗_{, i · m.}

Então a composição

M ⊗ C −→ C ⊗ CI⊗L ∗∗−→f Hom(C∗, M )

é uma aplicação injetora que nos permite identicar M com um subespaço de Hom(C∗_{, M ).}

Mais explicitamente,

m ⊗ c 7→ m ⊗ L(c) 7→ hL(c), i m 7→ h , ci m ∈Hom(C∗, M ). Dito isso, faz sentido a denição a seguir

Denição 2.4. Dizemos que (M, ψ) é um C∗_{-módulo racional quando ρ(M) ⊆ M ⊗ C.}

Proposição 2.2. Se M é um C∗_{-módulo racional então (M, ρ) é um C-comódulo à direita.}

Demonstração: Como ρ(M) ⊆ M ⊗ C e ρ é linear, segue da construção da ψω, do

início desta seção, que

ψρ := C∗⊗ M I⊗ρ

−→ C∗⊗ M ⊗ C −→ M ⊗ CT ⊗I ∗⊗ C I⊗h , i_{−→ M ⊗ K ' M} coincide com ψ.

De fato, se m ∈ M, c∗ _{∈ C}∗_, ψρ(c∗⊗ m) := X (m) m(0)c∗, m(1)  =X (m) c∗ , m(1) m(0) = ρ(m)(c∗) = ψ(c∗⊗ m).

Portanto, pela Proposição 2.1, (M, ρ) é um C-comódulo à direita

# Perceba que, se (M, ω) é um C-comódulo então (M, ψω)é um C∗-módulo racional. De

fato, é suciente mostrar que ρ(m)(c∗_{) é da forma hc}∗_{, ci · m. Então}

ρ(m)(c∗) := ψω(c∗⊗ m) = (I ⊗ c∗)ω(m) = X (m) m(0)c∗, m(1)  com m(0) ∈ M, m(1) ∈ C. Portanto, ρ(m) ∈ M ⊗ C.

Além disso, como ψρ= ψω (por argumento da demonstração anterior), xando m ∈ M

e denindo

ψ_ρ(c∗) := ψρ(c∗⊗ m) e ψω(c ∗

) := ψω(c∗⊗ m), ∀c∗ ∈ C∗,

vemos que ψρ= ψω e consequentemente

ρ(m) = ψ_ρ= ψ_ω = ω(m). Sendo m ∈ M arbitrário, ρ = ω.

Por outro lado, se (M, ψ) é um C∗_{-módulo racional e ρ fornece uma estrutura de}

C-comódulo à M então, como vimos na demonstração da Proposição 2.2, ψρ = ψ.

Corolário 2.1.1. Existe uma relação biunívoca entre C-comódulos à direita e C∗_{-módulos à}

esquerda racionais.

Teorema 2.2. Sejam C uma coálgebra, L, M, M, C∗_{-módulos, com M, M módulos racionais}

e ρ como anteriormente. Então

a) N é submódulo de M ⇐⇒ N é um subcomódulo de (M, ρ).

b) Todo submódulo cíclico de M, i.e., gerado por um único elemento, possui dimensão nita. c) Todo módulo quociente de M é racional.

d) Existe L ⊆ L um submódulo racional maximal.

e) f : M → M é um morsmo de módulos ⇔ f é um morsmo de comódulos.

Demonstração: a) Antes de mais nada, observe que em ambos lados da demonstra-ção, as propriedades de módulo e comódulo, que envolvem a unidade ou counidade, respecti-vamente, são meras restrições de M à N. Portanto, é suciente demonstrar as propriedades envolvendo multiplicação e comultiplicação.

(⇒): Suponha que ∃n ∈ N de modo que ρ(n) /∈ N ⊗ C. Podemos escrever

ρ(n) =X

i

ni⊗ ci, com n1 ∈ M \N e {cj}j∈J linearmente independente .

Agora, dena c∗ _{∈ C}∗ _{satisfazendo hc}∗_{, c}

ji = δ1j. Como N é submódulo, ρ(n)(C∗) ⊆ N. Mas

ρ(n)(c∗) =X i nihc∗, cii = n1 ∈ N./ Logo N é um subcomódulo de M. (⇐): Seja n ∈ N e ρ(n) = P i

ni⊗ ci ∈ N ⊗ C. Pela denição de ρ, dado c∗ ∈ C∗,

c∗ · n = ρ(n)(c∗) = X

i

nihc∗, cii ∈ N.

Portanto, N ⊆ M é um submódulo.

b) Sejam m ∈ M e C∗ _{· m um submódulo cíclico gerado por m. Como M é racional,}

podemos escrever ρ(m) = s X i=1 mi⊗ ci. Então, tomado c∗ _{∈ C}∗_,

c∗· m = s X i=1 hc∗, cii mi. Ou seja, C∗

· m ⊆ Km1+ · · · + Kms. Portanto C∗ · m possui dimensão nita sobre K.

c) Considere N ⊆ M um submódulo, M

N um módulo quociente de M e π : M → M

N a aplicação projeção. Vamos denir T : M →MN⊗ C como

M −→ M ⊗ Cω −→π⊗I M

N ⊗ C. Assuma que ¯ρ seja a aplicação estrutural de comódulo em M

N que torna π um mor-smo de comódulos, o que é possível pelo Teorema 2.1. Pelo Corolário 2.1.1, ¯ρ induz uma estrutura ψρ¯ de C∗-módulo em MN, que é racional. Seria suciente se a estrutura de módulo quociente em M

N coincidisse com ψρ¯. Vejamos que este é o caso:

Pelo item e), que será demonstrado, π é também um morsmo entre C∗_{-módulos, isto}

é, se ψM

N é a estrutura de M

N como C∗-módulo fornecida por M atráves do quociente en-tão ψM N◦ (I ⊗ π) = π ◦ ψ. Mas, se c∗ _{∈ C}∗_{, m ∈ M,} π ◦ ψ(c∗⊗ m) =X i hc∗, cii π(mi) Def. = ¯ ρ ¯ ρ(π(m))(c∗) = ψρ¯(c∗⊗ π(m)) = ψρ¯◦ (I ⊗ π)(c∗ ⊗ m). Logo, em C∗_⊗M N, vale que ψM N = ψρ¯ e M N é racional.

d) A demonstração deste item pode ser consultada em [11].

e) (⇐): Seja f : M → M um morsmo entre comódulos. Se m ∈ M e c∗ _{∈ C}∗_,

escrevemos a ação de C∗ _{em M como}

c∗· m =X

(m)

m(0)c∗, m(1)

Pela hipótese, X f (m) f (m)(0)⊗ f (m)(1) = X (m) f (m(0)) ⊗ m(1). Então, f (c∗· m) = f   X (m) m(0)c∗, m(1)    =X (m) f (m(0)c∗, m(1)) =X (m) f (m(0))c∗, m(1)  = (I ⊗ c∗)   X (m) f (m(0)) ⊗ m(1)   f morf. = comód.(I ⊗ c ∗ )   X f (m) f (m)(0)⊗ f (m)(1)   = X f (m) f (m)(0)c∗, f (m)(1) Def. = c∗· f (m).

Portanto f é um morsmo de C∗_-módulos.

(⇒): Suponha f um morsmo de C∗_{-módulos. Usando algumas das contas anteriores,}

temos que ρN(f (m))(c∗) := c∗· f (m) = X (f (m) f (m)(0)c∗, f (m)(1) f morf. = mód. X (m) f (m(0)c∗, m(1)).

Mas como essa igualdade é válida para todo c∗ _{∈ C}∗_{, segue que}

ρN(f (m)) =

X

(m)

f (m(0)⊗ m(1)).

Sendo o lado direito igual a (f⊗I)◦ρM(m), está provado que f é um morsmo de C-comódulos.

A primeira consequência que surge do resultado anterior é o corolário abaixo. Corolário 2.2.1. Todo C∗_{-módulo racional nitamente gerado possui dimensão nita}

Demonstração: considere M um C∗_{-módulo nestas condições e seja}

B = {m1, m2, · · · , ms} um conjunto de geradores de M. Temos que

M ⊆ s X i=1 C∗· mi e cada C∗_{· m}

i possui dimensão nita, por item b) do Teorema 2.2. Portanto M possui

dimen-são nita.

# Mais adiante, teremos um importante resultado, que foi chamado por Sweedler, em [11], de Teorema Fundamental das Coálgebras. Mas antes, são necessários alguns lemas técni-cos.

Lema 2.2. Sejam U um espaço vetorial, {Vα}α∈Λ, V, W subespaços de U e {Xα}α∈Λ

subespa-ços de U∗_{. Então} a) T α∈Λ V_α⊥= (P α∈Λ Vα)⊥ em U∗. b) V⊥_{+ W}⊥ _{= (V ∩ W )}⊥ _{em U}∗_. c) T α∈Λ X_α⊥ = (P α∈Λ Xα)⊥ em U. Demonstração: a) Se u∗ _∈T α∈ΛV ⊥ α então u ∗ _{∈ V}⊥ α , ∀α ∈ Λ. Considere agora v = n X i=1 vαi

em que vαi ∈ Vαi, 1 ≤ i ≤ n. Segue que

hu∗, vi = n X i=1 hu∗, vαii = 0. Portanto u∗ _{∈ (}P α∈Λ Vα)⊥.

Por outro lado, se u∗ _{∈ (}P

α∈Λ Vα)⊥, como Vβ ⊂ P α∈Λ Vα, temos que u∗ ∈ Vβ⊥, ∀β ∈ Λ. Portanto, u∗ ∈ \ α∈Λ V_α⊥,

e vale a igualdade de conjuntos.

b) Sejam v∗ _{∈ V}⊥_{, w}∗ _{∈ W}⊥ _{e u ∈ V ∩ W . Claramente v}∗_{+ w}∗ _{∈ (V ∩ W )}⊥ _pois

hv∗+ w∗, ui = hv∗, ui + hw∗, ui = 0. Por outro lado, considere A, B, C ⊂ U subespaços de modo que

U = A ⊕ (V + W ), V = B ⊕ (V ∩ W ), W = C ⊕ (V ∩ W ). Então U = A ⊕ B ⊕ (V ∩ W ) ⊕ C, V + W = B ⊕ (V ∩ W ) ⊕ C

Portanto, se escolhemos x ∈ (V ∩ W )⊥ _{⊂ U}∗ _{temos, pela expressão para V e W construída,}

que x = y + z, em que y se anula em B e em V ∩ W e z se anula em C e V ∩ W .

Note que esta construção para x enquanto função está boa uma vez que, y é a ima-gem de x restrita à W \V e se anula no restante de U, z é a imaima-gem de x restrito à V \W e também se anula no restante e

y|_{V ∩W} = z|_{V ∩W}. Com isso, x ∈ V⊥_{+ W}⊥ _{e vale a igualdade.}

c) Considerados os subespaços Xα, α ∈ Λ de U∗, temos, de modo análogo ao que foi

feito na demonstração do item a),

u ∈ \ α∈Λ X_α⊥⇐⇒ u ∈ X_α⊥, ∀α ∈ Λ e Xβ ⊂ P α∈Λ Xα, ∀β ∈ Λ. Logo, u ∈ (X α∈Λ Xα)⊥ ⇔ hXα, ui = 0, ∀α ∈ Λ ⇔ u ∈ Xα⊥, ∀α ∈ Λ

Com este lema em mãos, podemos construir e denir em uma coálgebra C o que signi-ca uma subcoálgebra ser gerada por um subconjunto S ⊆C arbitrário.

Considere um conjunto {Eα}de subcoálgebras de C e I = P_αEα⊥.

I é um ideal de C∗ _{pois, por proposição 1.7, item a), cada E}⊥

α é um ideal e soma de ideais é

ideal. Então I⊥=  X α E_α⊥ ⊥ lema = 2.2 \ α E_α⊥⊥ =\ α Eα

é também uma subcoálgebra de C, em razão da mesma proposição, item b). Ou seja, mostra-mos que a intersecção de subcoálgebras é ainda uma subcoálgebra.

Denição 2.5. Dado um conjunto S ⊂ C, denimos a subcoálgebra de C gerada por S como a intersecção de todas subcoálgebras de C que contém S. Além disso, denotamos esta subcoálgebra por hSi.

Lema 2.3. Seja C um espaço vetorial e X ⊆ C um subespaço. Então

dim X = codim X⊥_.

Demonstração: considere {xi}i∈I ⊂ X uma base para X e, para cada i ∈ I, dena

xi ∈ C∗ _{de modo que hx}i_{, x}

ji = δij. Então

f : X →C∗_X⊥,

xi 7→ xi

estendida para todo X como uma aplicação linear, é uma bijeção (quando dim X < ∞). De fato, denote x ∈ Ker(f) por x = P

i λixi. Daí, f (x) ∈ X⊥⇔X i λixi ∈ X⊥⇔ * X i λixi, xj + = 0, ∀j ∈ I ⇔ λj = 0, ∀j denido na soma ⇔ x = 0. Portanto f é injetora.

Que é sobrejetora: considere c∗ _∈ C∗

_X⊥ não nulo. Então hc∗, xji 6= 0, para algum

f X

i:αi6=0

αixi

! = c∗.

Quando αi 6= 0 somente para um número nito de índices, f é sobrejetora. Do

contrá-rio, isto é, se αi 6= 0 para uma innidade de índices i ∈ I, não podemos armar nada sobre

a sobrejetividade de f. Entretanto, neste último caso, codim X⊥ _{= ∞, que coincide com a}

dimensão de X. Logo, em todos casos,

dim X = dim C∗

_X⊥ =codim X⊥.

# Teorema 2.3 (Teorema Fundamental das Coálgebras). Seja C uma coálgebra e c ∈ C. Então a subcoálgebra gerada por c possui dimensão nita. De modo geral, toda subcoálgebra gerada por um subconjunto nito ou por um subespaço de C de dimensão nita, também possui di-mensão nita.

Demonstração: am de mostrar a validade do resultado, demonstraremos que existe uma subcoálgebra de dimensão nita que contém c ∈ C. Pela denição, hci deverá ter dimen-são no máximo igual a dimendimen-são desta subcoálgebra.

Considere a coálgebra C como C-comódulo, em que ∆ é a estrutura de comódulo. En-tão C também pode ser munido de uma estrutura de C∗_{-módulo racional (Corolário 2.1.1)}

com

ψ∆(c∗⊗ c) =: c∗· c.

Note que, neste caso, c∗_{· c =}P

(c)

c(1)c∗, c(2)

 .

Se N := C∗_{· c é o submódulo gerado por c ∈ C então N é racional e possui dimensão}

nita pois N é submódulo cíclico de um módulo racional (Teorema 2.2). Considere agora ρ : C∗ _{→ End}

K(N ) o homomorsmo de álgebras que representa a

ação de C∗ _{em N, isto é ρ(c}∗_{)(n) = c}∗_{· n. Temos que}

C∗

_Ker(ρ)'Im(ρ) ⊆ EndK(N ).

Como N possui dimensão nita, Ker(ρ) é um ideal conito de C∗_{. Equivalentemente,}

J := (Ker(ρ))⊥ é uma subcoálgebra de C que, na verdade, é a coálgebra que buscamos. Veja-mos: como codim Ker(ρ) < ∞ e dim J = codim J⊥ _{então J tem dimensão nita. Além disso,}

0 = h, c∗· ci = ,X (c) c(1)c∗, c(2)  =X (c) , c(1) c∗, c(2) = * c∗,X (c) , c(1) c(2) + coun = hc∗_{, ci ∈ K.}

Portanto, J ⊆ C é uma coálgebra de dimensão nita que contém c ∈ C.

De modo geral, se consideramos um subespaço X ⊆ C de dimensão nita, natural-mente uma base B de X é um conjunto nito associado ao espaço. Além disso, a ação de C∗

em X ca determinada de maneira única (a menos de isomorsmo de representações) ao ava-liarmos os elementos da base B. Portanto, o fato do C∗_{-submódulo gerado por X, i.e., C}∗_{· X}

possuir dimensão nita está totalmente atrelado à C∗_{· B possuir.}

Com isso, o restante da demonstração é idêntica ao caso para um único elemento c ∈ C mas, feitas as observações acima, basta considerar agora o submódulo N = C∗· B.

# Corolário 2.3.1. Toda coálgebra é soma de suas subcoálgebras de dimensão nita.

Demonstração: Seja C uma coálgebra. Podemos escrever C = P

c∈C

hci. Disso segue o corolário.

Capítulo 3

Álgebras de Hopf

3.1 Biálgebras

Começaremos este capítulo mostrando que coálgebras são fechadas por produto tenso-rial e a soma direta. Considere C, D coálgebras e dena

∆C⊗D : C ⊗ D ∆C⊗∆D −→ C ⊗ C ⊗ D ⊗ DI⊗T ⊗I−→ C ⊗ D ⊗ C ⊗ D C⊗D : C ⊗ D C⊗D −→ K ⊗ K ' K

em que T é a aplicação twist e por I denotamos a aplicação identidade em cada respectivo espaço.

Proposição 3.1. (C ⊗ D, ∆C⊗D, C⊗D) é uma coálgebra. Demonstração: seja c ⊗ d ∈ C ⊗ D. Então

(IC⊗D⊗ ∆C⊗D) ◦ ∆C⊗D(c ⊗ d) = (I ⊗ ∆C⊗D) X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗ c(2)⊗ d(2) = = X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗ c(2)⊗ d(2)⊗ c(3)⊗ d(3) = X (c),(d) I ⊗ T ⊗ I ⊗ IC⊗D
(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)⊗ c(3)⊗ d(3)) = X (c),(d) I ⊗ T ⊗ I ⊗ IC⊗D) ◦ (∆C ⊗ ∆D ⊗ IC⊗D
(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)⊗ c(3)⊗ d(3)) = X (c),(d) I ⊗ T ⊗ I ⊗ IC⊗D
◦ ∆C⊗ ∆D ⊗ IC⊗D
(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)) = X (c),(d) ((I ⊗ T ⊗ I
◦ ∆C ⊗ ∆D) ⊗ IC⊗D
(c(1)⊗ c(2)⊗ d(1)⊗ d(2)) = X (c),(d) ∆C⊗D c(1)⊗ d(1)
⊗ c(2)⊗ d(2) = ∆C⊗D ⊗ IC⊗D
◦ ∆C⊗D(c ⊗ d) Além disso, (IC⊗D⊗ C⊗D) X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗ c(2)⊗ d(2)
= X (c),(d) c(1)⊗ d(1)⊗C⊗D, c(2)⊗ d(2)  = X (c),(d) c(1)⊗ d(1)C, c(2) D, d(2)  = X (c),(d) c(1)C, c(2) ⊗ d(1)D, d(2)  = c ⊗ d

Analogamente, (IC⊗D ⊗ C⊗D) ◦ ∆C⊗D = IC⊗D. Portanto C ⊗ D com estas aplicações estruturais é uma coálgebra.

# Considere {Cα}α∈A uma coleção de coálgebras e C = ⊕

α∈A

Cα, a soma direta destas

coálgebras munido de uma soma formal, i.e., elementos de C são tomados como soma nita de elementos das coálgebras. Claramente podemos identicar C ⊗ C com ⊕

α,β∈A

(Cα ⊗ Cβ)

e olhar Cα ⊗ Cα dentro deste espaço, para cada α ∈ A. Então, denindo ∆ componente a

componente, isto é,

e  de maneira análoga, temos que (C, ∆, ) é uma coálgebra.

Sejam (H, M, u) uma álgebra e (H, ∆, ) uma coálgebra. Como visto anteriormente, H ⊗ H pode ser vista tanto como uma álgebra assim como uma coálgebra. Am de unir álge-bras e sua estrutura dual em uma única estrutura, alcançamos esta nova denição

Denição 3.1. Dizemos que (H, M, u, ∆, ) é uma biálgebra quando as seguintes condições são satisfeitas:

• (H, M, u) é uma álgebra. • (H, ∆, ) é uma coálgebra. • ∆ e  são morsmos de álgebras.

Proposição 3.2. As seguintes armações são equivalentes: 1) M e u são morsmos de coálgebras.

2) ∆ e  são morsmos de álgebras.

Demonstração: considere os diagramas a seguir:

H ⊗ H H H ⊗ H H ⊗ H ⊗ H ⊗ H H ⊗ H ⊗ H ⊗ H M ∆ ⊗ ∆ ∆ I ⊗ T ⊗ I M ⊗ M (∗) K H K ⊗ K H ⊗ H ' u ∆ u ⊗ u (∗∗) H ⊗ H H K ⊗ K K  ⊗  M  M_K ()

K H K u I  () E note que ( (∗) + (∗∗) ⇒ ∆ é morsmo de álgebras. () + () ⇒  é morsmo de álgebras. ( (∗) + () ⇒ M é morsmo de coálgebras. (∗∗) + () ⇒ u é morsmo de coálgebras. Com isso, 2) ⇔ (∗) + (∗∗) + () + () ⇔ 1). # Um subespaço A de uma biálgebra H é dito uma sub-biálgebra se A é subálgebra e subcoálgebra de H, analisando H como álgebra e coálgebra, respectivamente. De maneira comum, dene-se uma biálgebra quociente de H.

Também dizemos que uma aplicação linear entre biálgebras é um morsmo de biál-gebras se esta for um morsmo de álbiál-gebras e de coálbiál-gebras, analisando as biálbiál-gebras como antes em suas duas naturezas algébricas.

Observação:. Se H é uma biálgebra de dimensão nita então a dualização dos diagramas an-teriores garante que H∗ _{também é uma biálgebra.}

Continuemos agora com alguns exemplos. O primeiro e talvez mais trivial seja con-siderar um corpo K arbitrário munido da estrutura ∆ = M =  = u = I, em que I é a aplicação identidade no corpo. Vejamos outro mais interessante.

Exemplo 3.1. Como vimos no primeiro capítulo, Exemplo 1.1, dado um conjunto S 6= ∅, construímos uma coálgebra sobre o espaço KS chamada coálgebra tipo-grupo com

∆ (s) = s ⊗ s e h, si = 1 para todo s ∈ S.

Agora, no lugar de S, considere G 6= ∅ um monóide e KG a álgebra de monóide. Claro que (KG, ∆, ) é uma coálgebra mas, além disso, ∆ e  são morsmos de álgebra. De fato, se h1, h2 ∈ G e h1h2 = g ∈ G então,

e

h, h1h2i = 1 = 1 · 1 = h, h1i h, h2i .

Portanto, KG é uma biálgebra.

Proposição 3.3. a) Seja S 6= ∅ um conjunto e KS a coálgebra tipo-grupo em S. Então

S = {v ∈ KS : v 6= 0 e ∆ (v) = v ⊗ v}.

b) Se C é uma coálgebra e c ∈ C\{0} é tal que ∆ (c) = c ⊗ c então h, ci = 1. Por outro lado, se

G(C) := {c ∈ C\{0} : ∆ (c) = c ⊗ c}

então G(C) é linearmente independente em C e o subespaço gerado por G(C) é uma sub-coálgebra de C que é isomorfa à sub-coálgebra tipo-grupo K(G(C)).

c) Se H é uma biálgebra então G(H) é um monóide multiplicativo em H. Além disso, o su-bespaço gerado por G(H) é uma sub-biálgebra de H isomorfa à biálgebra K(G(C)).

Demonstração: a) Claramente S ⊆ {v ∈ KS : v 6= 0 e ∆ (v) = v ⊗ v}, pela deni-ção de KS como coálgebra. Mas S é uma base de KS como espaço vetorial. Portanto, para completar esta demonstração é suciente mostrar o item b) pois, uma vez que G(KS) for li-nearmente independente, teremos a outra inclusão.

b) Seja c ∈ C\{0} nas condições do enunciado. Da propriedade counitária temos que

c = ( ⊗ I)(c ⊗ c) = h, ci c = c. Portanto, h, ci = 1.

Agora, suponha que G(C) seja linearmente dependente e assuma que n ∈ N possua a propriedade de que qualquer subconjunto de G(C) com n elementos é l.i. e com mais de n elementos seja l.d. Note que, como G(C) 6= ∅, todo subconjunto com um único elemento de G(C) é l.i. Portanto, faz sentido tal propriedade.

Dito isso, considere {g1, . . . , gn} um subconjunto de G(C). Então, dado g ∈ G(C),

existem λ1, . . . , λn∈ K de modo que

g =

n

X

i=1

Daí, ∆ (g) = g ⊗ g = n X i=1 λigi⊗ n X j=1 λjgj = n X i,j=1 λiλjgi⊗ gj

e por outro lado,

∆ (g) = n X i=1 λi∆ (gi) = n X i=1 λigi⊗ gi.

Entretanto, {gi}ni=1 l.i ⇒ {gi ⊗ gj}ni,j=1 l.i. E além disso, λi 6= 0, ∀i = 1, . . . npois

- do contrário - e.g., λn = 0, então {g, g1, . . . , gn−1} será um conjunto l.d., contrariando a

minimalidade de n.

Portanto, a expressão de ∆ (g) força n = 1. Neste caso,

g = λ1g1 ⇒ 1 = h, gi = λ1h, g1i = λ1,

ou seja, g = g1. Mas isto contradiz g 6= gi, ∀i = 1, . . . , n. Portanto G(C) é linearmente

independente e a demonstração do item a) já está completa. O restante da demonstração de b) é resultado direto da denição de G(C) mais o fato de considerar o subespaço gerado por este conjunto.

c) Seja (H, M, u, ∆, ) uma biálgebra. Dados g, h, ∈ G(H), como ∆ é morsmo de álgebra, temos

∆ (gh) = ∆ (g) ∆ (h) . Mas

∆ (g) ∆ (h) = gh ⊗ gh e portanto gh ∈ G(H). Além disso,

∆ (1_HA) = 1_HA_⊗HA = 1_HA ⊗ 1_HA

implica que 1HA ∈ G(H), onde HA representa a biálgebra vista como álgebra. Logo, G(H) é um monóide multiplicativo.

Para o restante da prova, note que

como espaços vetoriais. Mais ainda, como álgebra, ambos espaços herdam a mesma multipli-cação do monóide G(H) e, como coálgebra, o item b) garante o isomorsmo. Portanto, segue o isomorsmo de biálgebras.

# Denição 3.2. Seja C uma coálgebra. Dizemos que os elementos de

G(C) = {c ∈ C : ∆(c) = c ⊗ c} são elementos tipo-grupo

Observação:. Os elementos tipo-grupo de uma coálgebra fornecem uma correspondência biu-nívoca importante com suas subcoálgebras unidimensionais.

Se D ⊂ C é uma subcoálgebra de dimensão 1 então dado d 6= 0 em D temos ∆ (d) = λd ⊗ d, λ 6= 0. Logo

∆ (λd) = λd ⊗ λd ⇒ λd ∈ G(C) ∩ D.

Como G(C) é linearmente independente e D unidimensional, G(C) ∩ D = {λd}. Por outro lado, se g ∈ G(C) então podemos construir Kg a subcoálgebra tipo-grupo de C, que possui dimensão 1. Claramente é a única subcoálgebra de C de dimensão 1 associada ao elemento g ∈ G(C).

Denição 3.3. Seja C uma coálgebra e g, h ∈ C. Denimos

PC(g, h) = {c ∈ C : ∆(c) = c ⊗ g + h ⊗ c}

o conjunto dos elementos (g, h)-primitivos de C.

Retornemos com alguns exemplos de biálgebras.

Exemplo 3.2. Seja L uma álgebra de Lie e denotemos por U(L) sua álgebra universal enve-lopante. Se A for uma álgebra associativa denotaremos por A− _{a álgebra de Lie sobre A, com}

[a, b] = ab − ba.

Considere L ⊕ L como uma álgebra de Lie em que a operação é dada componente a componente, isto é, se (g1, g2), (h1, h2) ∈ L ⊕ L então

[(g1, g2), (h1, h2)] := ([g1, h1], [g2, h2]).

Considere também o morsmo de álgebra de Lie g 7→ (g, g) entre L e L ⊕ L e iL⊕L : L ⊕ L → U (L ⊕ L) o mergulho natural que existe entre uma álgebra de Lie e sua álgebra universal envelopante. Disso temos a composição