De nição 2.2.1. Uma ação de um grupo G sobre um conjunto X é um homomor smo ϕde G em P erm(X).
2.2. Ação de Grupos
Uma de nição equivalente que será utilizada é a seguinte: G age sobre X (à esquerda) se existir uma aplicação G × X −→ X tal que (g, x) 7−→ gx ∈ X, em que
• 1Gx = x, ∀x ∈ X e
• g2(g1x) = (g2g1)x, ∀x ∈ X, ∀g1, g2 ∈ G.
De nição 2.2.2. Seja G um grupo e Γ uma grafo. Então, G age sobre Γ se G age sobre V (Γ) e E(Γ) e:
i) ge = ge, ∀e ∈ E(Γ);
ii) gσ(e) = σ(ge), gτ(e) = τ(ge), ∀e ∈ E(Γ), ∀g ∈ G.
Se existe g ∈ G, e ∈ E tal que ge = e, dizemos que G age com inversão.
2.2.1 Grafo de Cayley
De nição 2.2.3. Seja G um grupo e S um subconjunto de G. De na Γ(G, S) o grafo tal que V (Γ(G, S)) = Ge E(Γ(G, S)) é o conjunto G×S×{−1, 1}. Ainda, σ(g, s, 1) = g, τ(g, s, 1) = gs e (g, s, ) = (g, s, −), para = ±1. O grafo Γ(G, S) é chamado grafo de Cayley de G com respeito a S. Se de nirmos • G × G −→ G por (g, h) 7−→ gh (produto em G), ∀g, h ∈ G, e • G × (G × S × {−1, 1}) −→ G × S × {−1, 1} por (g, (h, s, )) 7−→ (gh, s, ), ∀g, h ∈ G, ∀s ∈ S, = ±1, temos que • gσ(h, s, ) = gh = σ(gh, s, ) = σ(g(h, s, )) se = 1 gσ(h, s, −) = gτ (h, s, −) = ghs = τ (gh, s, −) = σ(gh, s, ) se = −1 • gτ (h, s, ) = ghs = τ (gh, s, ) = τ (g(h, s, )) se = 1 gτ (h, s, −) = gh = σ(gh, s, −) = τ (gh, s, ) = τ (g(h, s, )) se = −1 • g(h, s, ) = g(h, s, −) = (gh, s, −) = (gh, s, ) = g(h, s, ).
Além disso, g(h, s, ) = (gh, s, ) 6= (h, s, −). Portanto, G age em Γ(G, S) sem inversões. Exemplo 2.2.1. 1) G = Z3, S = {1}. Então, V = {1, a, a2} ,
E = {(1, 1, 1), (1, 1, −1), (a, 1, 1), (a, 1, −1), (a2, 1, 1), (a2, 1, −1)}. Temos que σ(g, 1, ) =
g = τ (g, 1, ). Então, Γ(Z3, {1}) = 1 •ia •ia i 2 •
desconexo.
2) G = Z2 = {1, a} , S = {a}. Então, V = {1, a} , E = {(1, a, 1), (a, a, 1), (1, a, −1), (a, a, −1)}.
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre • σ(1, a, ) = 1 se = 1
a se = −1 • σ(a, a, ) = a se = 1
a2 = 1 se = −1
Γ(Z2, {a}) = 1• •a conexo.
Lema 2.2.1. i) Γ(G, S) é conexo se e somente se S gera G. ii) Γ(G, S) é árvore se e somente se G é livre com base S.
Demonstração. Antes, de namos a função fg : hSi −→ Γ(G, S)por
fg(s11. . . s n
n) = e1. . . en, si ∈ S, i = ±1,
em que e1. . . en é um caminho tal que er = (gr, sr, r) com
• e1 = (g, s1, 1) se r = 1 e • e1 = (gs11, s1, 1) se 1 = −1; • gr = gs11. . . s r−1 r−1 se r = 1 e • gr = gs11. . . srr se r = −1, 1 < r ≤ n. Daí, τ(en) = gs11. . . snn.
A função é claramente injetora.
Além disso, se er+1 = er para algum r, então sr+1 = sr e r+1 = −r. Logo, s11. . . snn não é
reduzida. Se e1. . . en é um caminho reduzido em Γ(G, S) que começa em g e termina em h,
então • e1 = (g, s1, 1) se 1 = 1 e • e1 = (gs11, s1, 1) se 1 = −1; • e2 = (gs11, s2, e2) se 2 = 1 e • e2 = (gs11s 2 2 , s2, e2) se 2 = −1. Daí, • er= (gs11. . . srr, sr, r) se = −1 e • er= (gs11. . . s r−1 r−1, sr, r) se = 1,
1 < r ≤ n. É fácil veri car que s1
1 . . . snn é reduzida. Vemos que τ(en) = gs1. . . sn = h ⇒
g−1h = s1. . . sn.
i) Se hSi = G, então, ∀g, h ∈ G, g−1h = s1
1 . . . snn para algum n ∈ N, si ∈ S, i = ±1. Daí,
fg(g−1h) = e1. . . en tal que σ(e1) = g e τ(en) = h. Logo, Γ(G, S) é conexo.
2.3. Aplicações de Grafos
existem si ∈ S, i = ±1, tais que g−1h = s11. . . snn. Portanto, hSi = G.
ii) Seja G livre com base S. Se e1. . . en é um caminho reduzido em Γ(G, S) com σ(e1) =
g, τ (en) = h, então e1. . . en deve ser único, pois g−11 h é escrito de maneira única e reduzida
como s1
1 . . . snn. Logo, Γ(G, S) é árvore.
Se Γ(G, S) é árvore, existe um único caminho reduzido de g a h. Então, g−1h = s1
1 . . . snn é
escrito de maneira única com si ∈ S, i = ±1, s i+1
i+1 6= s −i
i .
2.3 Aplicações de Grafos
De nição 2.3.1. Seja G um grupo que age sem inversão sobre um grafo X. De na a seguinte relação de equivalência:
• ∀v, w ∈ V (X), v ∼ w se v = gw para algum g ∈ G; • ∀e1, e2 ∈ E(X), e1 ∼ e2 se e1 = he2 para algum h ∈ G.
Chamamos de grafo quociente de X por G ao grafo cujos vértices são as classes de equivalência [v], v ∈ V (X), e as arestas são as classes de equivalência [e], e ∈ E(X). Denotamos tal grafo por X/G. Vemos que se v ∈ V (X), então [v] = Gv e, se e ∈ E(X), então [e] = Ge. Por isso, V (G/X) := conjunto das G-órbitas de V (X) e E(G/X) := conjunto das G-órbitas de E(X). Assim,
• [e] = Ge = Ge = [e],
• σ([e]) = σ(Ge) = Gσ(e) = [σ(e)] e • τ ([e]) = τ (Ge) = Gτ (e) = [τ (e)].
Se G agisse com inversão, teríamos g ∈ G, e ∈ E(X) tal que ge = e ⇒ Ge = Ge ⇒ [e] = [e].
De nição 2.3.2. Sejam X, Y grafos. Dizemos que ϕ : X −→ Y é uma aplicação de grafos se:
i) ϕ(E(X)) ⊆ E(Y ) e ϕ(V (X)) ⊆ V (Y );
ii) ∀e ∈ E(X), σ(ϕ(e)) = ϕ(σ(e)), τ(ϕ(e)) = ϕ(τ(E)) e ϕ(e) = ϕ(e).
De nição 2.3.3. Seja p : X −→ Y é uma aplicação de grafos. Dizemos que p é localmente sobrejetora se, para cada v ∈ V (X) e para e2 ∈ E(Y ) tal que σ(e2) = p(v), existe uma
aresta e1 ∈ E(X) com σ(e1) = v e p(e1) = e2. Dizemos que p é localmente injetora se,
∀e1, e2 ∈ E(X), e1 6= e2, tal que σ(e1) = σ(e2), temos que p(e1) 6= p(e2). Por m, p é
localmente bijetora se p é localmente sobrejetora e localmente injetora.
Exemplo 2.3.1. Seja p : X −→ G/X dada por p(v) = [v], v ∈ V (X), e p(e) = [e], e ∈ E(X). p é uma aplicação de grafos, pois satisfaz a de nição 2.3.2 (i) e, ∀e ∈ E(X),
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre • τ (p(e)) é análogo,
• p(e) = [e] = [e] = p(e).
Além disso, se v ∈ V (X) e [e2] ∈ E(Y ) tal que σ([e2]) = p(v), então σ([e2]) = [v] ⇒
[σ(e2)] = [v] ⇒ ∃g ∈ G tal que gσ(e2) = v ⇒ σ(ge2) = v. Daí, tome e1 = ge2. Então, p é
localmente sobrejetora e p é chamado projeção canônica.
Lema 2.3.1. Seja p : X −→ Y localmente sobrejetora. Seja T uma árvore e f : T −→ Y uma aplicação de grafos. Seja a um vértice T e v um vértice de X tal que p(v) = f(a). Então, existe uma aplicação ϕ : T −→ X tal que p ◦ ϕ = f e ϕ(a) = v.
X p // ∃ϕ Y T f >>
Demonstração. Seja T1 a subárvore de T tal que T1 consiste apenas do vértice a. De na
ϕ1 : T1 −→ X a aplicação tal que ϕ1(a) = v. Então, o conjunto Ω de todas os pares (Ti, ϕi)
tal que Ti é subárvore de T e ϕi é uma aplicação de Ti em X com ϕi(a) = v e p ◦ ϕi = f |Ti é não vazio. De na uma ordem parcial em Ω da seguinte forma:
(T1, ϕ1) ≤ (T2, ϕ2) se T1 ⊆ T2 e ϕ2|T1 = ϕ1.
Para uma cadeia de pares (Ti, ϕi), temos que S Ti é subárvore de T e ˜ϕ tal que ˜ϕ(x) = ϕi(x)
se x ∈ Ti é uma aplicação de grafos de S Ti em X. Logo, pelo Lema de Zorn, existe um
par maximal (T0, ϕ0) em Ω. Se T0 6= T, então existe um vértice em T que não está em T0.
Seja e ∈ E(T ) tal que σ(e) ∈ V (T0) e τ(e) /∈ V (T0). Então, f(e) é uma aresta em Y tal
que p ◦ ϕ(σ(e)) = σ(f(e)), por hipótese. Como p é localmente sobrejetora, existe ˜e ∈ E(X) com σ(˜e) = ϕ ◦ σ(e) e p(˜e) = f(e). Daí, seja ˜T0 a árvore T0∪ {e, e, τ (e)} e ˜ϕ0 a aplicação de
˜
T0 em X tal que ˜ϕ0|T˜0 = ϕ0 e ˜ϕ0(e) = ˜e, ˜ϕ0(e) = ˜e e ˜ϕ0(τ (e)) = τ (˜e). Assim, p ◦ ˜ϕ0 = f.
Portanto, ( ˜T0, ˜ϕ0) é um par em Ω tal que (T0, ϕ0) < ( ˜T0, ˜ϕ0), contradição, pois (T0, ϕ0) é
maximal. Logo, T0 = T. Basta tomar ϕ = ϕ0.
Seja G um grupo que age sobre o grafo X. Considere p : X G/X a projeção canônica e T uma árvore maximal em G/X. Pelo lema 2.3.1, tomando f : T −→ G/X como inclusão, temos que existe uma aplicação j : T −→ X tal que p ◦ j é inclusão de T em G/X.
X p// // j G/X T. <<
Portanto, j é injetora e p de ne um isomor smo de j(T ) em T . Chamamos j(T ) de árvore representante da ação de G em X. Vemos que j(T ) possui um único representante de cada classe de G/X. De fato, se m, n são vértices ou arestas em j(T ) tais que p(m) = [m] = [n] = p(n), então m = j([m]) = j([n]) = n.
2.3. Aplicações de Grafos
Lema 2.3.2 ([12], Lema 3, pág.184). Seja p : X −→ Y localmente injetora. Sejam ϕ e ψ aplicações de um grafo conexo Z em X tal que p ◦ ϕ = p ◦ ψ. Se existe algum vértcie z tal que ϕ(z) = ψ(z), então ϕ = ψ.
Lema 2.3.3 ([12], Lema 4, pág.184). Seja p : S −→ Y e q : T −→ Y localmente bijetoras, e sejam S e T árvores. Sejam v e w vértices de S e T respectivamente tais que p(v) = q(w). Então, existe um único isomor smo ϕ : S −→ T tal que ϕ(v) = w e q ◦ ϕ = p.
Lema 2.3.4 ([12], Lema 5, pág.184). Seja f : X −→ Y uma aplicação de grafos. i) Se f é localmente sobrejetora e Y é conexo, então f é sobrejetora.
ii) Se f é localemnte injetora, X é conexo e Y é uma árvore, então f é injetora. iii) Se f é localmente bijetora e X e Y são ávores, então f é bijetora.
De nição 2.3.4. Seja G um grupo e X um grafo. Dizemos que G age livremente em X se ∀g ∈ G − {1} , ∀v ∈ V (X), temos que gv 6= v.
Consequentemente, podemos observar que ∀g ∈ G − {1} , ∀e ∈ E(X), ge 6= e. De fato, se existe e ∈ E(X) tal que ge = e, então g(σ(e)) = σ(ge) = σ(e), contradição.
Exemplo 2.3.2. Seja Γ(G, S) o grafo de Cayley de G com respeito a S. Para g, h ∈ G, se gh = h, temos que g = 1. Para h ∈ G, s ∈ S, = ±1, g(h, s, ) = (h, s, ) ⇒ gh = h ⇒ g = 1. Portanto, G age livremente em Γ(G, S).
De nição 2.3.5. Uma orientação de um grafo X é um subconjunto de E(X) cujos ele- mentos são uma única aresta de cada par de arestas {e, e} em E(X).
Se G age em X sem inversão e B é uma orientação de G/X, então A = p−1(B) é
uma orientação de X e GA = A. De fato, seja {e, e} um par de arestas de X. Suponha [e] ∈ B. Então, e ∈ A. Se e ∈ A, então p(e) = [e] ∈ B, contradição. Ainda, ∀e ∈ A, [ge] = [e] ∈ B ⇒ ge ∈ p−1(B) = A, ∀g ∈ G.
Teorema 2.3.1. Seja G um grupo que age livremente sem inversão sobre uma árvore T . Seja T0 a árvore representante da ação de G em T e A uma orientação de T tal que GA = A.
Seja S = {g ∈ G − {1} : ∃e ∈ A com σ(e) ∈ T0 e τ(e) ∈ gT0}. Então, G é livre com base S.
Demonstração. Sejam g, h ∈ G, v, w ∈ V (T0). Então, se gv = hw, temos que [v] = [w]. Mas
T0 só tem um representante de cada classe. Logo, v = w. Como G age livremente, temos
que g−1hv = v ⇒ g = h. Se e
1, e2 são arestas em E(T0), obtemos os mesmos resultados de
forma análoga. Portanto, gT0 ∩ hT0 = ∅, ∀g, h ∈ G com g 6= h. Além disso, se v ∈ V (T ),
então v = gv0 para algum v0 ∈ T0, para algum g ∈ G.
Podemos então construir o grafo X a partir da contração de árvores gT0, g ∈ G. Então, se
e ∈ E(X), temos que σ(e) = g tal que σ(e) = gv0, v0 ∈ V (T0), e ∈ E(T ).
Pelo lema 2.1.3, temos que X é árvore.
Seja agora φ : Γ(G, S) −→ X tal que φ(g) = g, ∀g ∈ G. Se s ∈ S, então existe e ∈ A com σ(e) ∈ T0 e τ(e) ∈ sT0, s 6= 1. Se e0 é outra aresta em A com σ(e0) ∈ T0 e τ(e0) ∈ sT0, s 6= 1,
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
árvore. Logo, e é única e ge corresponde a outra aresta em X tal que σ(ge) = g e τ(ge) = gs em X. Portanto, podemos de nir φ(g, s, 1) = ge. Vemos que φ(g, s, −1) = ge,
φ(σ(g, s, )) = σ(g, s, ) = g = σ(ge) se = 1 e
φ(σ(g, s, )) = φ(gs) = gs = σ(gse) = τ (ge) = σ(ge) se = −1. Análogo para τ.
Portanto, φ é uma aplicação de grafos bijetora nos vértices.
Temos que φ é injetora no conjuntos de arestas: seja ge = φ(g, s, ) = φ(h, s0, 0) = he0. Se
= 0, então
σ(ge) = σ(he0), τ (ge) = τ (he0) ⇒ g = h e s = s0. Se 6= 0, seja = 1. Então, ge ∈ GA e he0 ∈ GA (A∪ A = E(T )· ), absurdo.
Assim, (g, s, ) 6= (h, s,0, 0) ⇒ φ(g, s, ) 6= φ(h, s0, 0).
Ainda, φ é sobrejetora no conjunto das arestas:
Seja e ∈ E(X). Temos que σ(e) = g e τ(e) = h, g 6= h. Suponha e ∈ A. Então, g−1e ∈ GA = A. Daí, σ(g−1e) = 1 e τ(g−1e) = g−1h em X. Portanto, g−1h ∈ S. Assim, φ(g, g−1h, 1) = gg−1e = e.
Logo, φ é um isomor smo de grafos. Daí, como Γ(G, S) é árvore, pelo lema 2.2.1 G é livre com base S.
Como A pode ser sempre escolhida de tal forma que GA = A quando G age sem inversão, temos o seguinte resultado:
G é livre se e somente se G age livremente sem inversão sobre uma árvore. Ainda, se G age livremente sem inversão sobre uma árvore, então, sendo H ≤ G, H age livremente sem inversão sobre a árvore. Logo, H é livre. Assim, temos o seguinte resultado:
Todo subgrupo de um grupo livre é livre.
2.4 Grafo de Grupos
De nição 2.4.1. Um grafo generalizado de grupos ∆ consiste de: i) um grafo conexo X;
ii) um grupo Gv para cada v ∈ V (X) e um grupo Ge para cada e ∈ E(X) tal que Ge= Ge;
iii) um homomor mo de Ge em Gτ (e) para cada e ∈ E(X).
Quando os homomor smos de Ge em Gτ (e) são monomor smos, chamamos ∆ apenas de
grafo de grupos.
Como Ge = Ge e τ(e) = σ(e), temos também um homomor smo de Ge em Gσ(e), para
cada e ∈ E(X). Usamos σe, τe para denotar tais homomor smos, τe : Ge −→ Gτ (e) e
σe: Ge −→ Gσ(e). Chamamos Gv, para cada v ∈ V (X), grupo de vértice e Ge, para cada
2.4. Grafo de Grupos
De nição 2.4.2. Seja ∆ um grafo generalizado de grupos em X, E o grupo livre com base E(X) e N o fecho normal de {e−1σe(g)eτe(g)−1 : e ∈ E(X), g ∈ Ge} ∪ {ee : e ∈ E(X)} em
E ∗ ∗ v∈V (X)Gv . De nimos F (∆) = E ∗ ∗ v∈V (X)Gv /N.
Em F (∆) temos que e = e−1. Se ∆ é um grafo de grupos, então σ
e, τesão monomor smos,
∀e ∈ E(X), e daí, F (∆) é uma extensão HNN de grupo base ∗
v∈V (X)Gv e letras estáveis e,
em que cada aresta é única para cada par {e, e} ∈ E(X), e com grupos associados σe(Ge) e
τe(Ge), para cada letra estável e.
De nição 2.4.3. Seja ∆ um grafo generalizado de grupos e T uma árvore maximal de X. Denotamos π(∆, X, T ) ao grupo F (∆)/M, em que M é o fecho normal em F (∆) do conjunto {e : e ∈ E(T )}.
Exemplo 2.4.1. 1) Seja X o grafo v• e •w cujas arestas são e, e e os vértices são σ(e) = v 6= w = τ (e). Como X é árvore, T = X. Seja ∆ um grafo de grupos sobre X. Então, π(∆, X, X) = F (∆) h{e}iF (∆) = (Gv ∗ Gw) h{σe(g)τe(g)−1}i Gv∗Gw, que é o produto livre amalgamado Gv ∗
Ge Gw.
2) Seja X o grafo
e
•v cujas arestas são e, e e o vértice é v = σ(e) = τ(e). O vértice v é árvore maximal de X. Seja ∆ um grafo de grupos sobre X. Então,
π(∆, X, v) = F (∆) é uma extensão HNN de grupo base Gv e letra estável e com grupos
associados σe(Ge) e τe(Ge).
3) Seja ∆ um grafo generalizado de grupos sobre X cujos grupos Gv são triviais para cada
v ∈ V (X). Seja T uma árvore maximal de X. Então,
π(∆, X, T ) = F (∆)
h{e : e ∈ E(T )}iF (∆) = hE(X) | {ee : e ∈ E(X)} ∪ {e : e ∈ E(T )}i = = h{x ∈ {e, e} | x é um único elemento de cada par {e, e} ⊆ E(X) − E(T )}i = π1(X).
4) Seja ∆ um grafo generalizado de grupos sobre X e Ge = 1, para todo e ∈ E(X). Então,
se T é uma árvore maximal de X, π(∆, X, T ) =
E ∗ ( ∗
v∈V (X)Gv)
h{ee : e ∈ E(X)} ∪ {e : e ∈ E(T )}iE∗(v∈V (X)∗ Gv) = = E0∗ ( ∗ v∈V (X)Gv) = π1(X) ∗ ∗ v∈V (X)Gv , em que E é o grupo livre com base E(X) e E0 é o grupo livre com base
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
5) Se ∆ é um grafo de grupos sobre a árvore X, então π(∆, X, T ) = ( ∗ v∈V (X)Gv) h{σe(g)τe(g)−1, g ∈ Ge, e ∈ E(X)}i ( ∗ v∈V (X)Gv) .
De nição 2.4.4. Seja ∆ um grafo generalizado de grupos sobre X e v0 ∈ V (X). De nimos
π(∆, X, v0)o subconjunto de F (∆) cujos elementos são todos que podem ser escritos na forma
g0e1g1e2, . . . , engn, em que e1. . . en é um caminho fechado de X em v0, g0 ∈ Gv0 e gi ∈ Gτ (ei), i = 1, . . . , n. Se n = 0, o elemento é g0 ∈ Gv0.
Um elemento de F (∆) ou de π(∆, X, T ) é uma classe de equivalência. Porém, faremos abuso de notação e [e] será denotado por e assim como [g] será denotado por g.
Se g0e1g1e2. . . engn, h0e01h1e02. . . e0mhm ∈ π(∆, X, v0), então g0e1g1e2. . . engnh0e01h1e02. . . e 0 mhm ∈ π(∆, X, v0), pois gn∈ Gτ (en) = Gv0 ⇒ gnh0 ∈ Gv0 ⇒ gi ∈ Gτ (ei), hj ∈ Gτ (ej), gnh0 ∈ Gτ (en), i = 1, . . . , n − 1, j = 1, . . . , m. Além disso, e1. . . ene01. . . e 0
m é um caminho fechado em v0, pois τ(en) = v0 = σ(e01).
Ainda, g−1 n e−1n . . . e −1 2 g −1 1 e −1 1 g −1
0 ∈ π(∆, X, v0), pois gn−1 ∈ Gτ (en) = Gv0 e, sabendo que em π(∆, X, v0) temos e−1 = e, então gi−1−1 ∈ Gτ (ei−1) = Gσ(ei) = Gτ (e), i = 1, . . . , n e e
−1 n . . . e
−1 1 é
o caminho en. . . e1 em X fechado em v0.
Vemos que π(∆, X, v0) é claramente um grupo e 1 é seu elemento neutro.
Portanto, π(∆, X, v0) é subgrupo de F (∆).
Proposição 2.4.1. Seja ∆ um grafo generalizado de grupos sobre X, v0 ∈ V (X)e T uma ár-
vore maximal de X. O homomor smo natural de F (∆) em π(∆, X, T ) induz um isomor smo de π(∆, X, v0) em π(∆, X, T ).
Demonstração. Seja E o grupo livre com base E(X). Então, um caminho e1. . . en em X
pode ser visto como o produto e1. . . en em E. Daí, para cada v ∈ V (X), seja pv o caminho
único reduzido em T de v0 a v e pv0 = 1 em E. Seja φ : E ∗ ( ∗
v∈V (X)
Gv) −→ E ∗ ( ∗ v∈V (X)
Gv)
um homomor smo tal que
φ(e) = pσ(e)ep−1τ (e) e φ(g) = pvgp−1v , g ∈ Gv.
Veri camos que φ(ee) = pσ(e)eep−1σ(e) e
φ(e−1σe(g)eτe(g)−1) = φ(e)−1φ(σe(g))φ(e)φ(τe(g))−1 =
= pτ (e)e−1p−1σ(e)pσ(e)σe(g)p−1σ(e)pσ(e)ep−1τ (e)pτ (e)τe(g)−1p−1τ (e) = pτ (e)e−1σe(g)eτe(g)−1p−1τ (e).
Portanto, sendo N = h{ee : e ∈ E(X)} ∪ {e−1σ
e(g)eτe(g)−1, g ∈ Ge, e ∈ E(X)}i E∗( ∗
v∈V (X)Gv), temos que φ(N) ⊆ N.
2.4. Grafo de Grupos
Assim, φ induz um homomor smo ϕ : F (∆) −→ F (∆). i) Imϕ = π(∆, X, v0):
Imϕ = h{ϕ(e), e ∈ E(X)} ∪ {ϕ(g), g ∈ Gv, v ∈ V (X)}i. Daí, se e ∈ E(X), então ϕ(e) =
pσ(e)ep−1τ (e), em que pσ(e)ep−1τ (e) equivale a um caminho em X que começa em v0 e termina em
v0. Portanto, ϕ(e) ∈ π(∆, X, v0). Ainda, se g ∈ Gv, então ϕ(g) = pvgp−1v , em que pvp−1v
equivale a um caminho fechado em v0 em X. Portanto, ϕ(g) ∈ π(∆, X, v0), ∀v ∈ V (X).
Dessa forma, Imϕ ⊆ π(∆, X, v0).
Seja agora g0e1g1e2. . . engn ∈ π(∆, X, v0). Temos que
ϕ(g0e1g1e2. . . engn) = ϕ(g0)ϕ(e1)ϕ(g1)ϕ(e2) . . . ϕ(en)ϕ(gn) =
= g0e1p−1τ (e1)pτ (e1)g1p −1 τ (e1)pτ (e1)e2p −1 τ (e2)pτ (e2)g2p −1 τ (e2). . . pτ (en)enp −1 τ (en)pτ (en)gnp −1 τ (en)= = g0e1g1e2. . . engn. Portanto, π(∆, X, v0) ⊆ Imϕ.
Assim, vamos de nir ϕ como o epimor smo de F (∆) em π(∆, X, v0). Se e ∈ E(T ), então
ϕ(e) = pσ(e)ep−1τ (e), em que p−1τ (e) é o caminho em X dado por epσ(e). Portanto, ϕ(e) = 1.
Então, ϕ induz um epimor smo θ : π(∆, X, T ) −→ π(∆, X, v0). Como π(∆, X, v0) ≤ F (∆),
seja θ0 o homomor smo natural de π(∆, X, v
0) em π(∆, X, T ). Daí,
θ0◦ θ(e) = θ0(pσ(e)ep−1τ (e)) = θ0(e) = e, e ∈ E(X),
e, para g ∈ Gv,
θ0◦ θ(g) = θ0(pvgp−1v ) = θ 0
(g) = g,
pois pσ(e), pτ (e), pv são caminhos em T . Assim, θ0◦ θ = idπ(∆,X,T ) ⇒ θ é injetora. Portanto,
θ é um isomor smo.
Concluímos que, sendo v0 arbitrário e π(∆, X, T ) ∼= π(∆, X, v0), T uma árvore maxi-
mal qualquer de X, temos que, a menos de isomor smo, π(∆, X, T ) não depende de T e π(∆, X, v0) não depende de v0. Podemos então denotar π(∆, X, T ) por π(∆), o qual deno-
minamos grupo fundamental de ∆.
De nição 2.4.5. Seja ∆ um grafo generalizado de grupos sobre X e Y um subgrafo conexo de X. De nimos ∆|Y o grafo generalizado de grupos sobre Y cujos Gv são os mesmo de ∆,
para cada v ∈ V (Y ) ⊆ V (X), e Ge são os mesmos de ∆, para cada e ∈ E(Y ) ⊆ E(X).
Também, σe, τe denotam os mesmos homomor smos de ∆.
Sejam v0 ∈ V (Y ), S uma árvore maximal de Y e T uma ávore maximal de X tal que
T ⊇ S. Então, g0e1g1e2. . . engn 7−→ g0e1g1e2. . . engn de ne o homomor smo natural de
π(∆|Y, Y, v0)em π(∆, X, v0), g0 ∈ Gv0, e1. . . en caminho fechado em Y , e consequentemente em X, gi ∈ Gτ (ei), i = 1, . . . , n.
Já e 7−→ e, g 7−→ g, e ∈ E(Y ), g ∈ Gv, v ∈ V (Y ) induzem um homomor smo φ de
E0∗ ( ∗
v∈V (Y )Gv) −→ E ∗ (v∈V (X)∗ Gv), em que E0 é o grupo livre com base E(Y ) e E o grupo
livre com base E(X). Como E(Y ) ⊆ E(X) e σe, τe são os mesmos em ∆|Y e ∆, φ induz um
homomor smo φ1 de F (∆|Y)em F (∆). Por sua vez, como S ⊆ T , φ1 induz o homomor smo
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
Lema 2.4.1. O homomor smo natural de π(∆|Y, Y, S) em π(∆, X, T ) é um monomor smo.
Em particular, ∀v ∈ V (X), o homomor smo natural de Gv a π(∆, X, T ) é um monomor-
smo.
Antes de começarmos a demonstração, é necessário de nir alguns conceitos e propriedades. De nição 2.4.6. Um conjunto dirigido é um conjunto Λ junto com uma relação ≤ em Λ que satisfaz, ∀x, y, z ∈ Λ:
i) se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z; ii) x ≤ x, ∀x ∈ Λ;
iii) se x ≤ y e y ≤ x, então x = y;
iv) ∀x, y ∈ Λ, existe w ∈ Λ tal que x ≤ w e y ≤ w.
De nição 2.4.7. Seja Λ um conjunto dirigido e Gλ um grupo para cada λ ∈ Λ. Para todos
λ, µ ∈ Λ tais que λ ≤ µ, seja ϕλ,µ : Gλ −→ Gµ um homomor smo tal que ϕλ,λ = idGλ e ϕµ,ν◦ ϕλ,µ= ϕλ,ν se λ ≤ µ ≤ ν. A coleção dos grupos Gλ e os homomor smos ϕλ,µ, λ, ν ∈ Λ,
formam um sistema chamado sistema direto de grupos sobre Λ.
De nição 2.4.8. Suponha que tenhamos um sistema direto de grupos sobre Λ. Seja G um grupo e ψλ : Gλ −→ G um homomor smos para cada Gλ no sistema direto de grupos.
Chamamos de (G, ψλλ∈Λ) de limite direto do sistema direto de grupos se:
1. ψλ = ψµ◦ ϕλ,µ, ∀ λ ≤ µ;
2. (propriedade universal) para qualquer grupo H e homomor smos fλ : Gλ −→ H tais
que fλ = fµ ◦ ϕλ,µ, λ ≤ µ, existe um único homomor smo φ : G −→ H tal que
fλ = φ ◦ ψλ, λ ∈ Λ.
Denotamos G por lim
−→ Gλ.
Exemplo 2.4.2. Seja N o conjunto dirigido, Gn grupos tais que Gn ⊆ Gn+1. Tome, então,
ϕn,m, n < m, a inclusão de Gnem Gm. É claro que Gn,n = idGn. Temos que lim
−→ Gn=
S
n∈N
Gn
e ψn é a inclusão de Gn em G.
Proposição 2.4.2 ([12], Proposição 2, pág. 71). Todo sistema direto de grupos tem limite direto.
Proposição 2.4.3 ([12], Proposição 3, pág. 72). Seja G = lim
−→ Gλ. Então, G = S ψλ(Gλ).
Além disso, para gλ ∈ Gλ, temos que ψλ(gλ) = 1 ⇔ ϕλ,µ(gλ) = 1, para algum µ ≥ λ.
Corolário 2.4.1 ([12], Corolário 1, pág. 72). Se cada ϕλ,µ é um monomor smo, então cada
ψλ,µ é um monomor smo.
Corolário 2.4.2 ([12], Corolário 2, pág. 72). Seja H um grupo e θλ : Gλ −→ H homo-
mor smos. Suponha que θλ = θµ◦ ϕλ,µ se λ ≤ µ, que H = S θλ(Gλ) e que θλ(gλ) = 1 se e
somente se ϕλ,µ(gλ) = 1 para algum µ ≥ λ. Então, H = lim −→Gλ.
2.4. Grafo de Grupos
Agora, podemos retornar à demonstração do lema 2.4.1:
Demonstração. Primeiro, vamos mostrar que π(∆|S, S, S)e Gv mergulham em π(∆|T, T, T ),
para cada v ∈ V (X).
• T nito (ou seja, |T | é nito):
Seja |T | = |V (T )|+|E(T )|. Se X é um vértice, caso trivial. Se X é o grafo 1 do exemplo 2.4.1, então T = X, Y é um vértice, S = Y e π(∆, X, X) = Gv ∗
Ge
Gw. Pela forma
normal do produto amalgamado, Gv = π(∆|Y, Y, Y )e Gw mergulham em π(∆, X, X).
Se X é o grafo 2 do exemplo 2.4.1, então T é o vértice v, Y = T = S e π(∆, X, T ) é a extensão HNN de grupo base Gv e letra estável e com grupos associados σe(Ge)
e τe(Ge) e, pela forma normal da extensão HNN, π(∆|Y, Y, Y ) = Gv mergulha em
π(∆, X, T ).
Seja |E(T )| > 1. Se S = T , não há nada a provar. Suponha então S ⊂ T . Seja ˜
e ∈ E(T ) tal que T − ˜e, ˜e = S1∪S˙ 2, em que S1, S2 são subárvores de T com S ⊆ S1
ou S ⊆ S2, e σ(˜e) ∈ V (S1)e τ(˜e) ∈ V (S2). Por indução em |T |, temos que Gv mergulha
em π(∆|S1, S1, S1), para cada v ∈ V (S1)e Gvmergulha em π(∆|S2S2, S2), para cada v ∈ V (S2). Sabendo que π(∆|T, T, T ) = π(∆|S1, S1, S1) ∗
Ge˜
π(∆|S2, S2, S2)e que Ge˜ Gσe(˜e) e Ge˜ Gτe(˜e) são monomor smos, então π(∆|S1, S1, S1) e π(∆|S2, S2, S2) mergulham em π(∆|T, T, T )assim como os grupos de vértices em T . Supondo S ⊆ S1, por indução
em T temos que π(∆|S, S, S) mergulha em π(∆|S1, S1, S1), então π(∆|S, S, S) e Gv mergulham em π(∆|T, T, T ), ∀v ∈ V (X).
• T é in nito e S é nito:
Considere os grupos π(∆|Ti, Ti, Ti)em que Ti são subárvores nitas de T tais que Ti ⊇ S para cada i. Considere a apresentação hXv | Rvide cada grupo Gv do grafo de grupos
∆. Então, cada grupo π(∆|Ti, Ti, Ti) tem apresentação hXi | Rii, em que Xi = ˙ [ v∈V (Ti) Xv e Ri = ˙ [ v∈V (Ti) Rv ∪˙ σe(g)τe(g)−1, g ∈ Ge, e ∈ E(Ti) .
É imediato ver que
π(∆|T, T, T ) = D[ Xi | [ Ri E .
Considere i ≤ j se Ti ⊆ Tj. É fácil veri car que as propriedades (i) a (iii) da de -
nição 2.4.6 de conjunto dirigido são satisfeitas. Se Ti e Tj não se interceptam, tome
vi ∈ V (Ti), vj ∈ V (Tj) e o caminho reduzido único f em T de vi a vj. Então,
{vértices de f} ∪ {arestas de f} ∪ Ti∪ Tj é uma subárvore nita de T que contém Ti e
Tj. Logo, (iv) também é satisfeita. Então, se i ≤ j, tome ϕi,j o homomor smo natural
de hXi | Rii em hXj | Rji. Vemos que
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
Portanto, temos um sitema direto de grupos hXi | Rii e homomor smos ϕi,j. Além
disso, tomando θi o homomor smo natural de hXi | Rii em π(∆|T, T, T ), para cada i,
vemos que
π(∆|T, T, T ) =
[
θi(hXi | Rii), θi = θj ◦ ϕi,j, ∀i ≤ j
e
θi(gi) = 1 ⇔ gi é consequência de
[ Ri ⇔
⇔ gi é consequência de Rj para todo j ≥ i ⇔ ϕi,j(gi) = 1 ∀j ≥ i.
Assim, pelo corolário 2.4.2,
π(∆|T, T, T ) =lim
−→π(∆|Ti, Ti, Ti).
Do caso anterior, vimos que, se i ≤ j, então hXi | Rii mergulha em hXj | Rji. Assim,
ϕi,j é monomor smo para cada i ≤ j. Pelo corolário 2.4.1, θi é monomor smo para
cada i. Como π(∆|S, S, S) mergulha em π(∆|Ti, Ti, Ti) para cada i, pois Ti é nito, temos que π(∆|S, S, S) mergulha em π(∆|T, T, T ). Como para cada v ∈ V (T ) temos
que Gv mergulha em π(∆|Ti, Ti, Ti)para algum Ti, então Gv mergulha em π(∆|T, T, T ), ∀v ∈ V (X).
• T e S são in nitos:
Seja v ∈ V (S) e {Si} uma coleção das subárvores nitas de S tais que v ∈ V (Si)
para cada i. Considerando as apresentações de π(∆|Si, Si, Si), para cada i, e os ho- momor smos naturais de π(∆|Si, Si, Si)em π(∆|Sj, Sj, Sj) para cada i ≤ j, temos que, analogamente ao caso anterior, π(∆S, S, S) = lim
−→π(∆|Si, Si, Si). Já provamos que
π(∆|Si, Si, Si) mergulha em π(∆|T, T, T ) para cada i através de fi. Portanto, pela pro- priedade universal de limite direto, existe um único homomor smo φ de π(∆S, S, S) em
π(∆|T, T, T ) tal que é um monomor smo, pois fi = φ ◦ ψi, em que ψ é o homomor smo
natural de π(∆|Si, Si, Si) em π(∆S, S, S). Ainda, Gv mergulha em π(∆|Si, Si, Si) para cada i. Então, Gv mergulha em π(∆|T, T, T ). Como v é arbitrário, vale para todo
v ∈ V (X).
Agora, π(∆, X, T ) = = E ∗ ( ∗
v∈V (X)Gv)/e −1
σe(g)eτe(g)−1, e ∈ E(X) − E(T ), g ∈ Ge
E∗(v∈V (X)∗ Gv) , em que E é o grupo livre com base E1, conjunto dos elementos e, cada um único de cada par
{e, e} de E(X) − E(T ). Logo, π(∆, X, T ) é a extensão HNN de grupo base π(∆|T, T, T )
com letras estáveis e ∈ E1 e grupos associados σe(Ge), τe(Ge), e ∈ E1. Analogamente,
π(∆|Y, Y, S)é extensão HNN de grupo base π(∆S, S, S) e letras estáveis e, cada uma única
de cada par {e, e} de E(Y ) − E(S), com grupos associados σe(Ge) e τe(Ge), e letra estável.
Seja E2 o conjunto das arestas que representam as letras estáveis de π(∆|Y, Y, S). Como já
vimos que o grupo fundamental de grafo de grupos independe da árvore maximal, tomemos T uma árvore maximal que contém S. Assim, S = Y ∩ T . Então, E2 ⊆ E1. Como π(∆|S, S, S)
mergulha em π(∆|T, T, T ), temos que π(∆|Y, Y, S) mergulha em H, a extensão HNN de
2.4. Grafo de Grupos
e ∈ E2. Mas π(∆, X, T ) é a extensão HNN de grupo base H e letras estáveis e ∈ E1− E2,
com grupos associados σe(Ge) e τe(Ge), e ∈ E1 − E2. Portanto, pelo forma normal da
extensão HNN, temos que H mergulha em π(∆, X, T ). Logo, π(∆|Y, Y, S) mergulha em
π(∆, X, T ). Como Gv mergulha em π(∆|T, T, T ), então Gv mergulha em π(∆, X, T ) para
cada v ∈ V (X).
Lema 2.4.2. Seja ∆ um grafo de grupos sobre X e H um grupo. Suponha que existam homomor smos θv : Gv −→ H para cada v ∈ V (X) e elementos αe∈ H para cada e ∈ E(X)
tais que αe = α−1e e, para todo g ∈ Ge, α−1e θσ(e)(σe(g))αe = θτ (e)(τe(g)). Então, existe um
homomor smo de π(∆) em H cuja restrição a Gv é um conjugado de θv.
Demonstração. Podemos induzir um homomor smo de F (∆) em H que leva g ∈ Gv em θv(g)
e e em αe, pois αeαe = 1 e α−1e θσ(e)(σe(g))αe= θτ (e)(τe(g)). Se αe = 1 quando e ∈ T , existirá
um homomor smo de π(∆, X, T ) em H que é θv quando restrito a Gv. Portanto, queremos
encontrar elementos βe de H tais que βe= 1 quando e ∈ T .
Fixemos um vértice v0 em X. Para cada vértice v de X, seja αv = αe1. . . αen, em que e1. . . en é o caminho reduzido em T de v0 a v. Tome βe = αvαeα−1w , em que v = σ(e) e
w = τ (e). Então, se e ∈ T , αw = αvαe ⇒ βe= 1. Ainda, βe= αwαeα−1v = αwα−1e α −1 v = β
−1 e .
De na, agora, o homomor smo ψ : Gv −→ H tal que ψ(g) = αvθv(g)α−1v para cada g ∈ Gv,
v ∈ V (X). Então,
βe−1ψσ(e)(σe(g))βe = ατ (e)αe−1α −1
σ(e)ασ(e)θσ(e)(σe(g))α −1
σ(e)ασ(e)αeα −1 τ (e) =
= ατ (e)α−1e θσ(e)(σe(g))αeατ (e)−1 = ατ (e)θτ (e)(τ (g))α−1τ (e) = ψτ (e)(τe(g)).
Portanto, existe um homomor smo de π(∆) em H cuja restrição a Gv é um conjugado de
θv.
2.4.1 Primeira Construção
Seja G um grupo que age sem inversões num grafo conexo X. De na Y o grafo quociente X/G e tome p a projeção canônica de X em Y . Considere T uma árvore maximal de Y e A uma orientação de Y .
Seja j : T −→ X a aplicação tal que p ◦ j é a identidade em T . Recordemos que j(T ) é a árvore representante da ação de G em X. Denotaremos j a extensão a Y que vamos construir a partir de j : T −→ X. Como T é árvore maximal, j já está de nida em V (Y ).
Seja então e ∈ A − T . Sabemos que σ(e) = p ◦ j(σ(e)). Como p é localmente sobrejetora, existe uma aresta x ∈ X tal que σ(x) = j(σ(e)) e p(x) = e. Assim, de nimos j(e) = x e j(e) = x. Se j(e) = j(e0), e, e0 ∈ E(Y ), então p ◦ j(e) = p ◦ j(e0) ⇒ e = e0. Portanto, j
continua injetora. Se e ∈ A, temos
p ◦ τ (j(e)) = τ (p(j(e))) = τ (e) = p ◦ j(τ (e)).
Logo, τ(j(e)) e j(τ(e)) pertencem à mesma classe de equivalência em Y . Assim, devemos ter γe ∈ G tal que τ(j(e)) = γej(τ (e)). De na γe = γe−1. Quando e ∈ A ∩ T , temos
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
O estabilizador de x em X é o subgrupo {g ∈ G : gx = x} e é denotado por Gx.
Agora, queremos construir um grafo de grupos ∆ em Y . Para cada y ∈ Y , de na Gy := Gj(y).
Se e ∈ A, vemos que Gj(e) = {g ∈ G : gj(e) = j(e)}. Mas gj(e) = j(e) ⇔ gj(e) = j(e).
Portanto, Ge = Ge. Desse modo, precisamos apenas de nir os monomor smos para e ∈ A.
Se gj(e) = j(e), então gσ(j(e)) = σ(gj(e)) = σ(j(e)). Pela construção da extensão j, vemos que j(σ(e)) = σ(j(e)), ∀e ∈ A. Assim, Ge ⊆ Gσ(e) e o monomor smo é a inclusão. Da
mesma forma, Gj(e)⊆ Gτ (j(e)). Mas
gτ (j(e)) = τ (j(e)) ⇔ gγej(τ (e)) = γej(τ (e)) ⇔ γe−1gγej(τ (e)) = j(τ (e)).
Então, Gj(τ (e)) = γe−1Gτ (j(e))γe. Daí, de nimos o monomor smo de Ge em Gτ (e) tal que
g 7−→ γe−1gγe. Daí, é só de nir σe por τe.
2.4.2 Segunda Construção
Considere o grafo de grupos ∆ sobre o grafo Y , T uma árvore maximal de Y e A uma orientação de Y . Seja G o grupo π(∆, Y, T ). Agora, sejam g, h ∈ G e v, w ∈ V (Y ). Dizemos que os pares (g, v), (h, w) são equivalentes, ou seja, (g, v) ∼ (h, w) se v = w e g ∈ hGv. De
forma parecida, se g, h ∈ G e y, z ∈ A, dizemos que (g, y) ∼ (h, z) se y = z e g ∈ hσz(Gz) e
(g, y) ∼ (h, z) se y = z e g ∈ hτz(Gz). Assim, podemos de nir o grafo Ye cujos vértices são as classes de equivalência [g, v] e as arestas as classes de equivalência [g, y] e [g, y]. (A menos que seja necessário o contrário, vamos denotar σe= σ e τe= τ).
De namos p : Y −→ Ye e j : Y −→ Ye por p([g, y]) = y e j(y) = [1, y], ∀y ∈ V (Y ) ∪ E(Y ). Assim, G age emYe pela ação (g, [h, y]) 7−→ [gh, y], ∀y ∈ V (Y ) ∪ E(Y ).
Se y ∈ A e k ∈ hσ(Gy), então gk ∈ ghσ(Gy) ⇒ [gk, y] = [gh, y]. Analogamente, mostramos
que, se y ∈ V (Y ), então [gk, y] = [gh, y]. Portanto, a ação está bem de nida. Além disso, g[h, y] 6= [h, y]. Assim, podemos de nir:
1) [g, y] = [g, y];
2) σ([g, y]) = [g, σ(y)], ∀y ∈ A. 3) τ([g, y]) = [gy, τ(y)], ∀y ∈ A.
É necessário observar que y é seu elemento correspondente em G, ou seja, se y ∈ T , y = 1 ∈ G. Se [h, y] é outro representante de [g, y], então
h ∈ gσ(Gy) ⇒ hy ∈ gσ(Gy)y = gyτ (Gy) ⊆ gyGτ (y)⇒ [hy, τ (y)] = [gy, τ (y)].
Daí, se y ∈ A,
σ([g, y]) = σ([g, y]) = τ ([g, y]) = [gy, τ (y)].
Portanto, p é uma aplicação de grafos. Pelo fato de y = 1 se y ∈ T , então σ(j(y)) = σ([1, y]) = [1, σ(y)], ∀y ∈ E(T ). Análogo para τ.
2.5. Os Teoremas Estruturais
Logo, j : T −→Ye também é aplicação de grafos. Porém, como σ(j(y)) = [y, σ(y)] 6= j(σ(y)) se y /∈ A ∪ E(T ), então j : Y −→Ye não é uma aplicação de grafos.
Chamamos Ye de recobrimento universal do grafo de grupos ∆.
Observação 2.4.1. Se a partir da ação de G em Ye zermos a primeira construção, vamos obter um grafo de grupos ∆e sobre G/Ye. Queremos mostrar que ∆e é isomorfo a ∆.
i) G/Y ∼e = Y:
V (G/ eY ) = {G[g, v], v ∈ V (Y )} e E(G/Y ) = {G[g, e], e ∈ E(Y )}e . Fazendo a identi - cação G[g, y] ↔ y ∈ Y , temos que Y ∼= G/ eY. Então, vamos considerar ∆e sobre Y . ii) Os grupos de ∆e:
p : eY −→ Y pode ser visto como a projeção canônica deYe em G/Ye e temos j a aplicação de T em Ye tal que j(T ) é árvore representante da ação de G em Ye (pois p ◦ j = idT).
Sejam Gfy os grupos de ∆e. Vemos que f
Gv = Gj(v) = G[1,v]= Gv, v ∈ V (Y ),
e
f
Ge = Gj(e)= G[1,e]= σe(Ge), e ∈ A.
Como σe é monomor smo, então Gfe∼= Ge.
iii) Os monomor smos de ∆e: Os diagramas abaixo comutam:
Ge σe // σe Gσ(e) id Ge τe // σe Gσ(e) id f Ge //Gg˜σe Gfe ˜ τe //Ggτ˜e O primeiro é óbvio. No segundo diagrama, vemos que, se g ∈ Ge, então
˜
τe(σe(g)) = γe−1σe(g)γe = τe(g),
pois γe corresponde a e em G, e em G = π(∆, Y, T ) temos que e−1σe(g)e = τe(g).
Segue que ∆ ∼= e∆.
2.5 Os Teoremas Estruturais
Teorema 2.5.1 (Primeiro Teorema Estrutural). O recobrimento universal de um grafo de grupos é uma árvore.
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre Demonstração. i)Ye é conexo: Seja Z o subgrafo deYe tal que
E(Z) = {[1, e], [1, e], ∀e ∈ A} e
V (Z) = {[1, σ(e)], [γe, τ (e)], ∀e ∈ A}
(os vértices de Z de fato possuem essa forma, pois se e /∈ A, então σ([1, e]) = τ([1, e]) = [γe, τ (e)], e τ([1, e]) = σ([1, e]) = [1, σ(e)]).
Com isso, ∀v ∈ V (Y ), temos que v = σ(e) ou v = τ(e) para algum e ∈ A∩T , e γe = 1. Logo,
j(T ) ⊆ Z. E, como σ(e) ∈ V (T ), temos que [1, σ(e)] ∈ j(T ), ∀e ∈ A. Sendo j(T ) conexo, temos que Z é conexo.
Da de nição de Z, temos que GZ =Ye.
Se g ∈ Gv, ∀v ∈ V (Y ), então g[1, v] = [1, v]. Portanto, Z ∩ gZ 6= ∅, ∀g ∈ Gv, ∀v ∈ V (Y ).
Ainda, se e ∈ A, então
τ ([1, e]) = [γe, τ (e)] = γe[1, τ (e)] ⇒ Z ∩ γeZ 6= ∅ e Z ∩ γe−1Z 6= ∅.
Por indução no número n de elementos nitos s1, . . . , sn de S v∈V (Y ) Gv ∪ S e∈A {γe, γ−1e }, temos que Z ∪ s1Z ∪ s1s2Z ∪ . . . ∪ s1, s2, . . . sn−1Z
é conexo e, como snZ ∩ Z 6= ∅, então
s1, . . . sn−1Z ∩ s1, s2, . . . , sn−1, snZ 6= ∅.
Logo,
Z ∪ s1Z ∪ s1s2Z ∪ . . . ∪ s1, s2, . . . snZ
é conexo. Como Z pertence a qualquer um desses subgrafos, ∀n > 0, então a união de todos os subgrafos escritos dessa maneira, ∀n > 0, é conexa. Como G é gerado por Gv e γe,
v ∈ V (Y ), e ∈ E(Y ), essa união é GZ. Logo, GZ =Ye é conexo. ii)Ye é árvore:
Suponha Gv = 1, ∀v ∈ V (Y ). Dizemos que Ye é um recobrimento universal de Y . Nesse caso, G = π(∆, Y, T ) é o grupo livre com base {γe: e ∈ A − E(T )}.
Seja [g1, e1], . . . , [gn, en] um caminho fechado de [1, v] em Ye, para algum v ∈ V (Y ). Temos • τ ([gi, ei]) = giγei[1, τ (ei)]se ei ∈ A e
• τ ([gi, ei]) = gi[1, τ (ei)] se ei ∈ A/ .
Seja, então, hi = gi se ei ∈ A e hi = giγe−1i se ei ∈ A/ . Daí, τ([gi, ei]) = hiγei[1, τ (ei)]. Da mesma forma,
• σ([gi, ei]) = gi[1, σ(ei)] se ei ∈ A e
• σ([gi, ei] = giγei[1, σ(ei)] = giγ
−1
2.5. Os Teoremas Estruturais
Do fato de que τ([gi, ei]) = σ([gi+1, ei+1]), i = 1, . . . , n − 1, temos que
hiγei[1, τ (ei)] = hi+1[1, σ(ei+1)] ⇒ τ (ei) = σ(ei+1) e hiγei = hi+1, i = 1, . . . , n − 1. Também, τ [gn, en] = σ[g1, e1] ⇒ τ (en) = σ(e1) = v e hnγen = h1. Daí, γe1γe2. . . γen = h −1 1 h2h−12 h3. . . hn−1−1 hnh−1n h1 = 1 em G.
Mas G é grupo livre. Então:
1) ei ∈ T, ∀i = 1, . . . , n, o que implica que ∃i tal que ei = ei+1 ou
2) ∃i tal que ei+1 = ei ou
3) ∃r, s, r + 1 < s, tal que es = er e ei ∈ T, r < i < s, o que implica que ei+1 = ei para
algum i tal que r < i < s.
Como τ([gi, ei]) = σ([gi+1, ei]), temos
hiγei[1, τ (ei)] = hi+1[1, τ (ei)] ⇒ giγei = gi+1γ
−1
ei+1 = gi+1γei se ei ∈ A e gi = gi+1 se ei ∈ A./ Em qualquer caso, gi = gi+1. Assim, [gi, ei+1] = [gi, ei], Portanto, todo caminho fechado em
e
Y com n > 0 não é reduzido (se n = 1 e σ([g1, e1]) = τ ([g1, e1]), então g1γe1 = g1 ⇒ γe1 = 1 ⇒ e1 ∈ T, contradição).
Portanto, Ye é árvore se os grupos Gv são triviais.
Antes de voltarmos à situação original, consideremos o seguinte: seja U o recobrimento universal de Y e p : U −→ Y a projeção canônica. Já vimos que p é localmente sobrejetora. Sejam [g1, u2], [g2, u2] arestas distintas de U tais que σ([g1, u1]) = σ([g2, u2]). Então,
h1[1, σ(u1)] = h2[1, σ(u2)], em que hi = gi se ui ∈ A e hi = giγui se ui ∈ A./ Devemos ter que σ(u1) = σ(u2)e h1 = h2. Logo,
u1 6= u2 ⇒ p([g1, u1]) = u1 6= p([g2, u2]) = u2.
Portanto, p é localmente injetora. Por m, p é localmente bijetora. Seja α um automor smo de Y e u, u0 ∈ V (U ) tais que p(u0) = α ◦ p(u). Aplicando o lema 2.3.3 em p e α ◦ p, existe
um único automor smo β de U tal que β(u) = u0 e p ◦ β = α ◦ p. Chamamos β de extensão
de α.
Seja, agora, W o recobrimento universal deYe e q : W −→Ye a projeção. Como j(T ) é árvore em Ye, já vimos que existe uma aplicação m : j(T ) −→ W tal que q ◦ m = idj(T ). Seja y ∈ A.
Então, j(y) é uma aresta emYe e q◦m(σ(j(y))) = σ(j(y)) (lembrando que σ(j(y)) = j(σ(y))). Como q é localmente sobrejetora, existe uma aresta w ∈ W tal que σ(w) = m ◦ σ(j(y)) e q(w) = j(y). Como p é localmente injetora, w deve ser única. Então, de nimos m◦j(y) = w, e vemos que σ(w) = m ◦ j(σ(y)). Também de nimos m ◦ j(y) = m ◦ j(y). Denote m ◦ j = k. Temos que , se y ∈ A, σ(k(y)) = k(σ(y)).
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
elementos de W , além de estudar suas propriedades. O objetivo dessas de nições é podermos usar o lema 2.4.2 para obtermos um homomor smo de G em Aut(W ). As propriedades serão utilizadas posteriormente.
i)Seja v ∈ V (Y ) e g ∈ Gv. Então, a ação de g em Ye de ne um automor smo αg em Ye tal que
αg([h, y]) = [gh, y] e αg(j(v)) = [g, v] = [1, v] = j(v).
Ainda,
q(k(v)) = j(v) = αg ◦ q(k(v)).
Portanto, existe uma extensão única de αg denotada por ϕg automor smo de W tal que
ϕg xa k(v). Vemos que, se h ∈ Gv, então αh xa j(v) e, por consequência, ϕh xa k(v).
Como gh ∈ Gv e αg◦ αh = αgh, temos que, pela unicidade da extensão, ϕg◦ ϕh = ϕgh é um
automor smo de W que xa k(v).
ii)Seja e ∈ A. A ação de e como elemento de G em Ye de ne o automor smo αe de Ye dado