Resultados envolvendo Grupos Limites

O resultados principais desta seção baseiam-se nos artigos [9] e [17]. Antes, façamos algumas considerações:

1) Seja S um subgrupo nitamente gerado de G1 × . . . × Gn, cada Gi um grupo limite.

Considere pi : S −→ Gi a projeção de canônica. Então, S é subgrupo de p1(S) × . . . × pn(S).

Cada pi(S)é nitamente gerado. Logo, pela propriedade 6.2.2, cada pi(S)é um grupo limite.

2) Se S ∩Gi = 1, então o homomorsmo ϕi : S ⊆ G1× . . . × Gn−→ G1× . . . Gi−1× Gi+1×

. . . Gn dado por ϕi(s1, . . . , sn) = (s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn) é injetivo. Logo, S ∼= ϕi(S), que

é subgrupo de G1× . . . Gi−1× Gi+1× . . . Gn.

Dizemos que S é um produto subdireto de G1× . . . × Gnse pi(S) = Gi, ∀i = 1, . . . , n.

3) Seja Li = S ∩Gi 6= 1. Então Li/Gi. Antes de demonstrarmos isso, precisamos observar

que, na verdade, Li = S ∩ {1} × . . . × {1} × Gi× {1} × . . . × {1}. Portanto, vamos mostrar

que Li / {1} × . . . × {1} × Gi × {1} × . . . × {1}. De fato, seja (1, . . . , 1, li, 1, . . . , 1) ∈ Li.

Como pi(S) = Gi, temos que um elemento de {1} × . . . × {1} × Gi × {1} × . . . × {1}

é da forma (1, . . . , 1, si, 1, . . . , 1), em que si = pi(s1, . . . , si, . . . , sn). Portanto, vemos que

(1, . . . , 1, si, 1, . . . , 1)(1, . . . , 1, li, 1, . . . , 1)(1, . . . , 1, si, 1, . . . , 1)−1 = (1, . . . , 1, silis−1i , 1, . . . , 1) ∈

Li.

Lema 6.3.1. ([8], Teorema 3.1) Seja G um grupo limite e L um subgrupo normal não-trivial de G. Então, existe um subgrupo U de G de índice nito tal que U é uma extensão HNN de grupo base nitamente gerado e com subgrupos associados cíclicos e letra estável t ∈ L.

4) No caso do lema acima, vemos que U é nitamente gerado. Portanto, U é grupo limite. Dessa forma, podemos considerar extensões HNN Ui para cada Gi denidas pelo lema

acima. Temos que U1 × . . . × Un é subgrupo de índice nito de G1 × . . . × Gn. Ainda,

|S : S ∩ (U1× . . . × Un)| ≤ |G1× . . . × Gn: U1× . . . × Un|.

As considerações 1, 2 e 4 são casos de redução que serão aplicados nas demonstrações de alguns dos resultados do capítulo.

Primeiramente, vamos considerar algumas denotações. Vamos denotar Ki = kerpi e

Ni,j = pj(Ki). Vemos que, se cada pj é sobrejetora, então Ni,j / Gj: de fato, seja g ∈ Gj

e h ∈ Ni,j. Então, g = pj(m), m ∈ S e h = pj(k), k ∈ Ki. Temos que pi(mkm−1) =

pi(m)pi(m)−1 = 1 ⇒ mkm−1 ∈ Ki. Logo, pj(m)pj(k)pj(m)−1 = pj(mkm−1) ∈ Ni,j.

Lema 6.3.2.

[N1,j, N2,j, . . . , Nj−1,j, Nj+1,j, . . . , Nn,j] := [[. . . [[N1,j, N2,j] , N3,j] , . . . , ] , Nn,j] ⊆ Lj.

Demonstração. Fixemos um j e, para i 6= j, seja ∂i,j ∈ Ni,j. Então, existe σi ∈ S tal que

6.3. Resultados envolvendo Grupos Limites

pi([x, y]) = [pi(x), pi(y)]. Portanto, é fácil ver que pj(σ) = [∂1,j, . . . , ∂j−1,j, ∂j+1,j, . . . , ∂n,j] ∈

Gj. Basta mostrar que pj(σ) ∈ Lj. Se i 6= j, então pi(σ) = 1, pois pi(σi) = 1. Como a

projeção de σ em qualquer coordenada diferente de j é 1, temos então que σ ∈ S ∩ Gj = Lj.

Logo, pj(σ) = σ ∈ Lj.

Para o próximo lema, assumiremos o seguinte teorema (sua demonstração encontra-se em [9], Teorema 4.1, pág. 11):

Teorema 6.3.1. Sejam G um grupo limite não-abeliano, L um subgrupo não-trivial normal em G e A um subgrupo nitamente gerado de G tal que L é subgrupo de A. Então, |G : A| < ∞.

Lema 6.3.3. Sejam G1, . . . , Gn grupos limites não-abelianos. Suponha S um subgrupo nita-

mente gerado de G1× . . . × Gn tal que H2(S, Q) tem dimensão nita e S satisfaz as seguintes

condições: • n ≥ 2;

• cada projeção pi : S −→ Gi é sobrejetiva;

• cada interseção Li = S ∩ Gi é não-trivial;

• cada Gi é um grupo limite não-abeliano;

• cada Gi é uma extensão HNN com grupo base B1 nitamente gerado e subgrupos

associados cíclicos Ci e ˜Ci e letra estável ti ∈ Li.

Seja Ai,j = pj(p−1i (Ci)). Então, para todo i, j, temos que

i) |Gj : Ai,j| < ∞;

ii) Ai,j/Ni,j é cíclico.

Demonstração. ii) Denotemos Cb_i = p−1_i (C_i). Considere a restrição p_i|

Ci : bCi −→ Ci. Vemos que Cb_i/K_i ∼= C_i ⇒ bC_i/K_i é cíclico. Tome agora o homomorsmo sobrejetor de Cb_i/K_i em Ai,j/Ni,j dado por cKi 7→ pj(c)Ni,j. Portanto, Ai,j/Ni,j é cíclico.

i) Sem perda de generalidade, podemos tomar i = 1. Por hipótese, G1 é uma extensão

HN N e p1 é sobrejetiva. Então, S é uma extensão HNN com grupo base p−11 (B1) = cB1 e

subgrupos associadoscC₁ = p−1₁ (C₁)e p−1₁ ( ˜C₁)e letra estáveltb1 ∈ p−11 (t1). Como t1 ∈ L1 ⊂ G1,

podemos tomartb1 = (t1, 1, . . . , 1) ∈ S ⊆ G1×. . .×Gn. Além disso, sendo C1 subgrupo cíclico

de G1, C1 é livre de torção e, portanto, é isomorfo ao grupo trivial ou a Z. Assim, podemos

denir um homomorsmo α : C1 −→ cC1 tal que p1◦ α = idC1. Daí, considerando a inclusão de K1 em Cc1, temos que cC1 = K1 o α(C1). Se c1 é gerador de C1, então α(c1) = cb1 e α(C1) = hcb1i.

Como S é uma extensão HNN com grupo baseBc₁e subgrupos associadosCc₁e p−1₁ ( ˜C₁), temos que S é o grupo fundamental de um grafo de grupos cujo grafo Γ é composto por um vértice e uma aresta e tais que o grupo de vértice é o grupo base de S eCc1 é o grupo de aresta. Pela

Capítulo 6. Grupos Limites

teoria de Bass-Serre, S age sobre uma árvore ˜Γ tal que S/˜Γ = Γ. Assim, E(˜Γ) é o conjunto das S-órbitas S[1, e] e S[1, e], da Segunda Construção que vimos anteriormente no Capítulo 3. O grupo de estabilizadores Se = {s ∈ S| s[1, e] = [1, e]} = cC1. Logo, ZS[1, e] ∼= Z[S/cC1].

Analogamente, ZV (˜Γ) ∼= Z[S/cB1]. Temos, então, uma sequência exata curta de S-módulos

0 −→ Z[S/cC1] θ

−→ Z[S/cB1] −→ Z −→ 0

em que θ(sCc₁) = sbt₁Bc₁− scB₁. Sendo ∗ ⊗_ZQ um funtor exato, obtemos uma sequência exata curta de S-módulos

0 −→ Q[S/cC1] θ

−→ Q[S/cB1] −→ Q −→ 0

que, aplicando T orZS

i (Z, ∗), nos dá uma sequência exata longa em homologia

. . . −→ Hi+1(S, Q) −→ Hi(S, Q[S/cC1]) −→ Hi(S, Q[S/cB1]) −→

−→ Hi(S, Q) −→ Hi−1(S, Q[S/cC1]) −→ . . . .

Sendo Q[S/Bc₁] ∼= QS ⊗

Q cB1 Q, vemos que, pelo lema 3.8.1 de Shapiro, Hi(S, Q[S/cB1]) ∼= Hi(cB1, Q). Analogamente, Hi(S, Q[S/cC1]) ∼= Hi(cC1, Q). Isso nos dá uma sequência longa

exata

. . . → Hi+1(S, Q) −→ Hi(cC1, Q) φ

−→ Hi(cB1, Q) −→ Hi(S, Q) −→ Hi−1(cC1, Q) → . . . , (6.1)

em que φ = i2∗− i1∗, sendo i1∗ induzido da inclusão cC1 ,→ cB1 e i2∗ induzido da conjugação

c 7→tb1 −1

ctb1, c ∈ cC1 (ver [10], pág. 180). Sendo S nitamente gerado, temos que H1(S, Q) =

S/[S, S] ⊗_Z_{Q tem dimensão nita.} Temos: K1/[K1, K1] ⊗ZQ µ −→ cC1/[cC1, cC1] ⊗ZQ | {z } H1( cC1,Q) φ −→ cB1/[cB1, cB1] ⊗ZQ | {z } H1( cB1,Q) , em que µ é induzido pela inclusão de K1 em Cc₁. Mas sendo K₁ ⊆ {1} × . . . × G_n etb1 = (t1, 1, . . . , 1), vemos

que [tb1, K1] = 1 ⇒tb1 age trivialmente sobre K1 por conjugação ⇒tb1 age trivialmente sobre

H1(K1, Q) por conjugação. Logo, φ(Imµ) = 0. Portanto, φ induz o homomorsmo

φ : H1(cC1, Q)/Imµ −→ H1(cB1, Q).

Mas H1(cC1, Q)/Imµ = H1(hcb1i , Q) ∼= hcb1i ⊗ZQ. Como hcb1i é 1 ou Z, vemos que a dimensão de H1(hcb1i , Q) sobre Q é no máximo 1. O diagrama abaixo é comutativo:

H1(cC1, Q) proj. can. φ _// H1(cB1, Q) H1(cC1, Q)/Imµ ˜ φ 66

Portanto, Imφ = Im˜φ ⇒ dimQImφ ≤ 1. Da sequência longa exata 6.1 temos a sequência

exata

6.3. Resultados envolvendo Grupos Limites

Como H2(S, Q) e Imφ têm dimensão nita sobre Q, então dimQH1(cC1, Q) < ∞.

Do homomorsmo sobrejetivo Cc₁ −→ p_j(cC₁) = A_1j temos a sobrejeção H₁(cC₁, Q) −→ H1(A1j, Q). Logo, dimQH1(A1j, Q) < ∞. Pela propriedade 6.2.3, A1j é nitamente gerado.

Finalmente, temos que

p1(S ∩ Gj) = 1 ∈ G1, j 6= 1 ⇒ S ∩ Gj ⊆ p−11 (C1) ⇒

⇒ Lj = S ∩ Gj = pj(S ∩ Gj) ⊆ pj(p−11 (C1)) = A1j.

Assim, pelo Teorema 6.3.1, 1 6= Lj ⊆ A1j ⊆ Gj, A1j nitamente gerado ⇒ |Gj : A1j| <

∞.

Antes de enunciar a próxima proposição, vamos enunciar o seguinte lema:

Lema 6.3.4. Seja A um grupo abeliano e D um grupo nitamente gerado tal que A é subgrupo normal de D e D/A é nitamente apresentável. Então, A é nitamente gerado como Z[D/A]- módulo.

Demonstração. Seja hX|Ri a apresentação de D, X nito. Seja Y um conjunto de geradores de A como D-módulo. Então, A = hY iD_{. Portanto, D/A tem apresentação hX|R ∪ Y i. Por}

[12], Proposição 17, pág. 23, temos que existe um subconjunto nito S de R ∪Y tal que D/A tem apresentação nita hX|Si. Portanto, A = h(S ∩ Y )iD _{⇔ A}_{é gerado como D-submódulo}

por S ∩ Y . Mas a ação de D sobre A induz ação de D/A sobre A. Portanto, S ∩ Y é um conjunto nito que gera A como Z[D/A]-módulo.

Proposição 6.3.1. Seja G o grupo fundamental de um grafo de grupos composto por um vértice e uma aresta cujo grupo de vértice é o grupo nitamente gerado B e cujo grupo de aresta é o grupo cíclico innito C. Então, G é uma extensão HNN com grupo base B e subgrupos associados isomorfos a C e letra estável t. Suponha que G tenha subgrupos normais Le N tais que t ∈ L, C ∩N = {1} e G/N é cíclico innito. Suponha, também, que H1(N, Q)

tem dimensão innita. Seja ∆ ⊂ G o único subgrupo de G de índice 2 que contém B. Então, existe um elemento x ∈ L ∩ ∆ ∩ N tal que Rx ⊂ H1(N ∩ ∆; Q) é um R-módulo livre de posto

1, em que R = Q[∆/(N ∩ ∆)] e x é a classe de homologia determinada por x.

Demonstração. Sabemos que G age sobre a árvore de Bass-Serre T associada a G como extensão HNN. Denimos N2 = N ∩ ∆ (veja que N2/ G). Como N2 é subgrupo de G, então

N2 deve agir sobre T por restrição da ação de G. Mas, pela teoria de Bass-Serre, N2é o grupo

fundamental de um grafo de grupos com grafo X = T/N2. Agora, queremos mostrar que X é

um grafo nito. Por hipótese, |G : ∆| = 2. Logo, |N : N2| é 1 ou 2. Por hipótese, G/N ∼= Z.

Como qualquer subgrupo não-trivial de Z tem índice nito, temos que |G : NC| < ∞. Assim, |G : N2C| = |G : N C||N C : N2C| < ∞.

Pelo teorema 2.6.1, temos que

|V (X)| = | {N2gB| g ∈ G} | e |E(X)| = | {N2gC| g ∈ G} |.

Temos então que |E(X)| < ∞. Como C ⊆ B, então N2gC ⊆ N2gB. Logo,

Capítulo 6. Grupos Limites

Portanto, X é grafo nito. Pelo teorema 2.6.1, N2 é grupo fundamental de um grafo de grupos

cujo grafo é X e os grupos de vértice são N2∩ gBg−1, com g ∈ {N2hB| h ∈ G}e os grupos de

arestas são N2∩ gCg−1, com g ∈ {N2hC| h ∈ G}. Mas N2∩ gCg−1 = g(N2∩ C)g−1 = 1. Ou

seja, os grupos de arestas são triviais. Já vimos anteriormente no exemplo 2.4.1 que, nesse caso, N2 = ( ∗

v∈V (X)(N2)v) ∗ π1(X). Então, pelo lema 3.7.3,

H1(N2, Q) = |V (X)| M i=1 (H1(giBgi−1∩ N2, Q) ⊕ H1(π1(X), Q)) ∼₌ M |V (X)| (H1(B ∩ N2, Q)) ⊕ H1(π1(X), Q) =   M |V (X)| B ∩ N2 [B ∩ N2, B ∩ N2] ⊗_Z_Q  ⊕ π1(X) [π1(X), π1(X)] ⊗_Z_Q .

Queremos mostrar que dimQH1(N2, Q) = ∞. Por hipótese, dimQH1(N, Q) = ∞. A

inclusão N2 ,→ N induz um homomorsmo de grupos _[NN2

2,N2]⊗ZQ −→

[N,N ]⊗ZQ. Como N2

é um subgrupo de índice 1 ou 2 em N, então

dim_Q N

[N, N ]⊗ZQ ≤ ·dimQ

[N2, N2]

⊗_Z_Q. Isso implica que

dim_Q N2 [N2, N2]

⊗_Z_{Q = dim}_QH1(N2, Q) = ∞.

Mas então dimQH1(B ∩ N2, Q) = ∞, já que dimQ

π1(X)

[π1(X),π1(X)]⊗ZQ < ∞, pois π1(X)é livre de posto nito.

Agora, temos que BN2

N2 ∼ = _B∩NB 2 = B B∩N ∼= BN N ≤ G N. Como C ∩ N = {1} e C ⊆ B, temos que B * N ⇒ BN N ∼= Z. Portanto, B

B∩N2 possui um subgrupo Q ∼= Z de índice nito. Portanto, Q é gerado por um elemento que vamos chamar de τ. Sabemos que, como N2/BN2,

então BN2 age sobre N2 por conjugação. Isso implica que obtemos uma ação induzida de BN_N₂2

em H1(N2, Q), já que N2 age trivialmente em H1(N2, Q). Portanto, Q age sobre H1(N2, Q).

Da mesma forma, como B age sobre B ∩ N2 por conjugação, obtemos uma ação induzida de B

B∩N2 em H1(B ∩ N2, Q). Portanto, Q age sobre H1(B ∩ N2, Q). Logo, H1(B ∩ N2, Q) é um QQ-submódulo de H1(N2, Q).

Do fato que B∩N2

[B∩N2,B∩N2]/

[B∩N2,B∩N2], pelo lema 6.3.4 temos que

B∩N2

[B∩N2,B∩N2] é nitamente gerado como um Z[ B

B∩N2]-módulo. Portanto, H1(B ∩ N2, Q) é nitamente gerado como um Q[B∩NB 2]-módulo. Ainda, como |

B∩N2 : Q| < ∞, temos que H1(B ∩ N2, Q) é nitamente gerado como um QQ-módulo.

Observamos que QQ = Q[τ, τ−1_]_{. Sabemos que Q[τ] é um domínio euclidiano, por-}

tanto um domínio de ideias principais. Tome Z = {τi_{| i ≥ 0}}_{. Vemos que Z}−1

Q[τ ] = _d

z| d ∈ Q[τ ], z ∈ Z

= QQ. Portanto, QQ é também um domínio de ideias principais. Como H1(B ∩ N2, Q) é nitamente gerado como QQ-módulo, temos que H1(B ∩ N2, Q) é

6.3. Resultados envolvendo Grupos Limites

isomorfo à uma soma direta nita de QQ e módulos cíclicos da forma QQ

(f ), (f ) um ideal

principal. A dimensão de QQ sobre Q é innita, enquanto a dimensão de um módulo cíclico da forma QQ

(f ) sobre Q é nita. Como dimQH1(B ∩ N2, Q) = ∞, então QQ ,→ H1(B ∩ N2, Q).

Seja z ∈ B ∩ N2 e z a imagem de z em H1(B ∩ N2, Q) tal que QQz ∼= QQ. Temos que

QQz ⊆ H1(B ∩ N2, Q).

Considere, agora, Q0 = _{N ∩∆}∆ . Observamos que Q0 ∼= Z. Novamente, QQ0 é domínio

de ideais principais tal que QQ0z ∼= QQ0 ⊆ H1(N2, Q). Se a letra estável t ∈ ∆, então

G = ht, Bi ⊆ ∆, absurdo. Logo, t /∈ ∆. Tome z1 = z e z2 = tzt−1. Dena

x = [z, t] = ztz−1t−1 = z1z2−1.

Vemos que z1 ∈ N2 ⊆ N e z2 = tz1t−1 ∈ tN t−1 = N. Logo, x ∈ N. Da mesma forma,

z1 ∈ B ⊂ ∆ e z2 ∈ t∆t−1 = ∆. Logo, x ∈ ∆. Por m,

x = (ztz−1)t−1 ∈ zLz−1L ⊆ L · L ⊆ L.

Então, x ∈ L ∩ N ∩ ∆ ⊆ N2. Seja x = z1− z2 a imagem de x em H1(N2, Q). Vemos que z1 e

z2 estão em somandos diferentes, pois se estivessem no mesmo, então t ∈ N2B ⊆ ∆, absurdo.

Então, QQ0z1 ∼= QQ0x ∼= QQ0.

Proposição 6.3.2. Sejam G1, . . . , Gn grupos limites não abelianos. Se S é um subgrupo

nitamente gerado de G1× . . . × Gn com H2(S1, Q) de dimensão nita para cada subgrupo S1

de índice nito de S e se S satisfaz as condições nos itens do Lema 6.3.3, então Ni,j ⊂ Gj

tem índice nito pra todo i, j.

Demonstração. Vamos provar para o caso (i, j) = (2, 1). Considere (p1× p2) : S −→ G1× G2

o homomorsmo (p1 × p2)(s) = (p1(s), p2(s)). Denotamos T = (p1 × p2)(S), a projeção

de S em G1 × G2. Denimos M1 = T ∩ (G1 × {1}) e M2 = T ∩ ({1} × G2). Vemos que

T ∩ (G1× {1}) = {(p1(s), 1)| s ∈ kerp2} ∼= p1(kerp2) = N2,1. Analogamente, M2 = N1,2.

Considere agora o homomorsmo

φ1 : G1 −→

T M1× M2

dado por φ1(p1(s)) = (p1(s), p2(s))M1×M2. Temos que φ1é sobrejetiva e kerφ1 = {p1(s)| s ∈ kerp2} =

M1. Denindo analogamente

φ2 : G2 −→

T M1× M2

vemos que kerφ2 = M2. Assim, temos os isomorsmos

G1 M1 ∼ = T M1× M2 ∼ = G2 M2 .

Suponhamos que esses grupos sejam innitos. Queremos obter uma contradição. Pelo Lema 6.3.3, G1

M1 é virtualmente cíclico ⇒

Capítulo 6. Grupos Limites

um subgrupo T0 em T de índice nito contendo M1 × M2 tal que _M₁T_×M0 ₂ é cíclico innito.

Daí, p1(T0)é um subgrupo de p1(T ) = G1 de índice nito que contém M1, já que M1 ⊆ T0 ⇒

p1(M1) = M1 ⊆ p1(T0). Ainda, p1_M(T₁0) é cíclico innito. Temos a mesma conclusão análoga

para p2(T0).

Denotaremos Pi = pi(T0), i = 1, 2. Como Pi é subgrupo de Gi, temos que Pi é uma extensão

HN Ncom grupo base B_i0e subgrupos associados C_i0e ˜Ci 0

e letra estável t0

i, em que Ci0 = Ci∩Pi

e t0

i é uma certa potência de ti. Note que pelo lema 6.3.3 Ci0∩ Mi = {1}.

Se considerarmos da proposição 6.3.1 que G = Pi, N = Mi, L = Li, t = t0i, B = B 0

i, C = C 0 i,

teremos um subgrupo ∆i em Pi de índice 2 que contém Bi e xi ∈ Li ∩ ∆i ∩ Mi tal que

Rxi é um R-módulo livre de posto 1 em H1(Mi ∩ ∆i, Q), em que xi é a imagem de xi em

H1(Li∩ ∆i∩ Mi, Q) e R = Q[_M∆_i_∩∆i _i].

Seja τ ∈ T0 tal que τ(M1× M2) gera _M₁T_×M0 ₂. Denotemos τi = pi(τ ). Sabemos que _M_i∆_∩∆i _i ∼= ∆iMi

Mi é subgrupo de índice nito 1 ou 2 de

Mi ∼

= Z. Portanto, ∆i

Mi∩∆i = hτii. Assim, Rxi é um Q[τi±1]-módulo livre de posto 1 em H1(Mi∩ ∆i, Q).

Dena agora M0

i = Mi ∩ ∆i. Pela fórmula de Künneth 3.7.2, temos que H2(M10 × M20, Q) é

naturalmente isomorfo a [H1(M10, Q) ⊗QH1(M 0 2, Q)] ⊕ [H2(M10, Q) ⊗QH0(M 0 2, Q)] ⊕ [H0(M10, Q) ⊗QH2(M 0 2, Q)] implicando que H1(M10, Q) ⊗QH1(M 0 2, Q) ,→ H2(M10 × M 0 2, Q) é um monomorsmo de Q[τ±1 1 , τ ±1

2 ]-módulos. Assim, x1⊗x2 gera um Q[τ1±1, τ ±1 2 ]-submódulo livre de H1(M10, Q) ⊗QH1(M 0 2, Q) ⊆ H2(M10 × M 0 2, Q).

Seja, agora, T1 = (M10× M20) o hτ i subgrupo de índice nito de T0 e S1 = (p1× p2)−1(T1) ⊆ S.

Temos uma sequência exata curta 1 −→ M0 1× M

2 −→ T1 −→ hτ i −→ 1. Pelo Teorema da

Sequência Espectral LHS 4.2.2, temos que E_p,q2 = Hp(hτ i , Hq(M10 × M 0 2, Q)) ⇒_p Hp+q(T1, Q). Mas, ∀i ≥ 2, Hi(hτ i , Hj(M10 × M 0 2, Q)) = 0 ⇒ E k i,j = 0. Portanto, os homomorsmos dk

i,j : Ei,jk −→ Ei−k,j+k−1k são triviais, ∀i ≥ 2. Tome i = k e

j = 3 − k, k ≥ 2. Então, temos E_i,jk d k i,j −→ Ek 0,2 dk0,2 −→ Ek −k,k+1 = 0 ⇒ E0,2k+1 = kerdk_0,2 Imdk i,j = E k 0,2 0 = E k 0,2. Portanto, E∞ 0,2 = E0,22 = H0(hτ i , H2(M10 × M 0

2, Q)). Logo, existe ltração de H2(T1, Q) com

quocientes E∞ i,j i+j=2. Assim, H0(hτ i , H2(M10 × M 0 2, Q)) = H2(M10 × M 0 2, Q) ⊗Qhτ iQ ,→ H2(T1, Q).

Aplicando o funtor ∗ ⊗Qhτ iQ à fórmula de Künneth anterior, teremos que

H1(M10, Q) ⊗QH1(M 0 2, Q) ⊗Qhτ iQ ,→ H2(M 0 1× M 0 2, Q) ⊗Qhτ iQ ,→ H2(T1, Q).

6.3. Resultados envolvendo Grupos Limites Para m, n ∈ Z, vemos que τm

1 x1τ1−m ∈ M 0 1 e τ2nx2τ2−n ∈ M 0 2. Pela proposição 6.3.1, as imagens de τm 1 x1τ1−m m∈Z e τ n 2x2τ2−n

n∈Z geram (como Q-módulo), respectivamente, um

Q hτ1i-submódulo livre de H1(M10, Q) e um Q hτ2i-submódulo livre H1(M20, Q).

Mas (Q hτ1i ⊗QQ hτ2i) ⊗Qhτ iQ∼= Q[τ1, τ2, τ1−1, τ −1 2 ] (τ1τ2− 1) ∼_{= Q[τ} 1, τ1−1],

cuja dimensão em Q é innita. Isto implica que dim_QH2(M10 × M

2, Q) ⊗Qhτ iQ = ∞.

Agora, temos que L1× L2 ⊆ T1 induz um homomorsmo H2(L1× L2, Q) −→ H2(T1, Q)

cuja imagem tem dimensão innita. Mas dessa inclusão e do homomorsmo sobrejetivo S1 = (p1 × p2)−1(T1) −→ T1, S1 com índice nito em S, podemos construir o diagrama

comutativo abaixo. H2(S1, Q) //_H₂_(T₁_{, Q)} H2(L1× L2, Q) 66

Mas a imagem de H2(L1 × L2, Q) em H2(T1, Q) tem dimensão innita, e isso é uma

contradição, pois H2(S1, Q) tem dimensão nita.

Lema 6.3.5. Todo grupo limite G tem característica de Euler χ(G) ≤ 0. Além disso, χ(G) = 0 se, e somente se, G é abeliano.

Demonstração. Primeiramente, vamos provar para G abeliano. Como G é nitamente gerado abeliano livre de torção, temos que G ∼= Zn. Assim, G = hg1, . . . , gni. Tome V = Ze1⊕ . . . ⊕

Zen e dena ΛiV = M k1<...<ki Z(ek1 ∧ . . . ∧ eki), kj ∈ {1, . . . , n} , 1 ≤ i ≤ n. Também dena ∂i : ZG ⊗ZΛ i V −→ ZG ⊗ZΛ i−1 V por ∂i(ek1 ∧ . . . ∧ eki) = i X r=1 (−1)r−1(gkr − 1)ek1 ∧ . . . ∧ ˆekr ∧ . . . ∧ eki. Temos então o complexo de Koszul

0 −→ ZG ⊗ZΛ n V −→ . . .∂n ∂3 −→ ZG ⊗ZΛ 2 V _{−→ ZG ⊗}∂2 _Z_{V −→ ZG −→ Z −→ 0.} Aplicando agora Q ⊗ZG∗, obtemos o complexo

0 −→ ΛnW −→ . . .0 −→ Λ0 2W −→ W0 _{−→ Q}0 idQ

Capítulo 6. Grupos Limites em que W = Q ⊗ZV. Daí, χ(G) =X i (−1)idim_Q_{(Q ⊗}_ZHi(G, Z)) =X i (−1)idim_Q(ΛiW ) =X i≥0 (−1)in i = (1 − 1)n= 0.

Considere, agora, G o grupo descrito pela lema 6.1.1. Queremos mostrar que χ(G) ≤ 0. Então, G é grupo fundamental de um grafo bipartido nito de grupos Γ cujos grupos de arestas Ge são cíclicos e os grupos de vértice Gv são livres ou livres abelianos de posto nito

e grupos limites com altura ≤ h − 1. Por [10], Proposição 7.3(e), pág. 250 e considerando uma versão análoga para extensão HNN, temos que

χ(G) = X v∈V (Γ) χ(Gv) − X e∈E(Γ) χ(Ge) ≤ X v∈V (Γ) χ(Gv).

Mas Gv é livre ou livre abeliano de posto nito ou tem altura ≤ h(G) − 1. Por indução sobre

a altura dos grupos,

χ(G) ≤ X v∈V (Γ) χ(Gv) ≤ X v∈V (Γ) 0 ≤ 0.

Seja G um grupo limite decomposto como um produto livre de subgrupos H1∗ H2 com

apresentação hX ∪ Y |R ∪ Si. Então, G nitamente gerado ⇒ H1 e H2 nitamente gerados

⇒ H1 e H2 são grupos limites. Por indução sobre a altura dos grupos, χ(Hi) ≤ 0, i = 1, 2.

Assim,

χ(G) = χ(Hi) + χ(H2) − 1 ≤ 0 + 0 − 1 = −1.

Se G tem altura 0, então G é o produto livre de número nito de grupos livres abelianos de posto nito e grupos de superfícies com característica de Euler menor que −1. Portanto, χ(G) ≤ 0.

Se G não possui decomposição como produto livre, consideremos G não abeliano descrito pela lema 6.1.2. Então, G é o grupo fundamental de um grafo nito de grupos Γ cujos grupos de arestas Ge são cíclicos innitos e possui pelo menos um grupos de vértice Gv0 que é limite e não abeliano e cuja altura é menor ou igual a h(G) − 1. Por indução na altura dos grupos, χ(Gv0) < 0. Se Gv são os grupos de vértice de Γ, então

χ(G) = X v∈V (Γ) χ(Gv) − X e∈E(Γ) χ(Ge) = X v∈V (Γ) χ(Gv) = X v∈V (Γ), v6=v0 χ(Gv) + χ(Gv0) ≤ X v∈V (Γ), v6=v0 0 + χ(Gv0) = χ(Gv0) < 0.

6.3. Resultados envolvendo Grupos Limites

Provamos que se G é grupo limite não-abeliano, χ(G) < 0. Portanto, se G é um grupo limite tal que χ(G) = 0, então G é abeliano.

Antes de enunciarmos os próximos resultados, recordemos algumas denições:

• Uma série central descendente de um grupo G é denida por γ1(G) = G e γi(G) =

[γi−1(G), G]. Se G é abeliano, γ2(G) = 1.

G é nilpotente se existe n tal que γn(G) = 1. Se G é nitamente gerado, denimos o

comprimento de Hirsch de G como a soma Pn−1

i=1 dimQ( γi

γi+1 ⊗ZQ).

• Um anel R é Noetheriano à esquerda (direita) se todo ideal à esquerda (direita) em R é nitamente gerado.

• Um R-módulo M é Noetheriano se todo R-submódulo de M é nitamente gerado. • Um ideal I de um anel comutativo R é primo se, e somente se, I 6= R e R

I é um

domínio. A dimensão de Krull de R é o supremo dos comprimentos das cadeias de ideais primos de R. A dimensão de Krull de Z, por exemplo, é 1, já que qualquer cadeia de ideais primos é da forma 0 ⊂ pZ, p primo.

Lema 6.3.6. Sejam Q1, . . . , Qngrupos nilpotentes nitamente gerados e Vi um Q[Qi]-módulo

nitamente gerado tal que Vi contém um Q[Qi]-submódulo cíclico livre não trivial Wi, i =

1, . . . , n. Suponha que ˜Q é um subgrupo de Q = Q1× . . . × Qn tal que V = V1⊗Q. . . ⊗QVn

é nitamente gerado como um Q[ ˜Q]-módulo. Então, ˜Q tem índice nito em Q. Demonstração. Primeiramente, vemos que

Q[Q] = Q[Q1 × . . . × Qn] = Q[Q1] ⊗Q. . . ⊗QQ[Qn].

Vamos denir

W = W1⊗Q. . . ⊗QWn.

Vemos que W é um Q[Q]-submódulo de V . Por consequência, W é também um Q[ ˜Q]- submódulo de V . Como Q[ ˜Q] é noetheriano à direita e V é nitamente gerado como Q[ ˜Q]- módulo, temos que W ∼= Q[Q] é nitamente gerado sobre Q[ ˜Q], o que implica que

dimKrullQ[Q] ≤ dimKrullQ[Q].˜

Pelo artigo [22], temos que dimKrullQ[Q]˜ é o comprimento de Hirsch de ˜Q. Então, Q e ˜Q

têm o mesmo comprimento. Logo, |Q : ˜Q| < ∞.

Proposição 6.3.3. Seja G um grupo com χ(G) < 0 tal que o Q[G]-módulo trivial Q tem uma resolução livre de módulos nitamente gerados e comprimento nito. Então, para qualquer subgrupo normal M de G tal que Q = G

M é nilpotente livre de torção e M é livre, o Q[Q]-

módulo V = M

[M,M ] ⊗Z Q tem um Q[Q]-submódulo livre não trivial. Temos que Q age em M

Capítulo 6. Grupos Limites Demonstração. Seja

P : 0 −→ Q[G]αk _{−→ . . . −→ Q[G]}α0

−→ Q −→ 0

a resolução livre de módulos nitamente gerados de Q como Q[G]-módulo trivial. Aplicando ∗ ⊗_{Q[M ]}_{Q, temos a sequência} R = P ⊗_{Q[M ]}_{Q : 0 −→ Q[G]}αk _⊗ Q[M ]Q −→ . . . −→ Q[G] α0 _⊗ Q[M ]Q −→ Q ⊗Q[M ]Q −→ 0. Mas Q[G]αi⊗Q[M ]Q∼= (Q[G] ⊗Q[M ]Q) αi ∼ = Q[Q]αi_{, i = 0, . . . , k.} Portanto, R : 0 −→ Q[Q]αk _{−→ . . . −→ Q[Q]}α0 −→ Q −→ 0. Assim, Hi(R) = T orQ[M ]i (Q, Q) = Hi(M, Q).

Como M é livre, temos que Hi(M, Q) = 0, ∀i ≥ 2. Ainda, H1(R) = _{[M,M ]}M ⊗Z Q. Como

Q é um grupo nilpotente livre de torção, temos que Q[Q] é um anel noetheriano à direita e à esquerda sem divisores de zero. Então, Q[Q] é um anel de Ore e, pelo teorema de Ore, Q[Q] ,→ K, em que K é um anel clássico de quocientes. Assim, K é plano como Q[Q]-módulo, o que implica que ∗ ⊗Q[Q]K é um funtor exato. Logo,

R ⊗_Q[Q] K : 0 −→ Kαk _{−→ . . . −→ K}α0 _{−→ 0 −→ 0} e Hi(R ⊗Q[Q]K) ∼= Hi(R) ⊗Q[Q]K = 0 se i 6= 1 Ka se i = 1. a ≥ 0. Então, χ(G) = X i (−1)iαi =X i (−1)idimKHi(R ⊗Q[Q]K) =X i (−1)idimK(Hi(R) ⊗Q[Q]K) = −dimKKa= −a ≤ 0. Logo, V ⊗Q[Q]K ∼= K χ(G)_.

Como χ(G) 6= 0, temos que V possui um submódulo isomorfo a Q[Q]. De fato, se ∀v ∈ V existe λ ∈ Q[Q] − {0} tal que vλ = 0, então

vλ = 0 ⇒ v ⊗ 1K = vλ ⊗ λ−11k= 0 ⊗ λ−11K = 0.

Mas V ⊗Q[Q]K é K-módulo à direita com

(v ⊗ k1)k2 = v ⊗ (k1k1), ∀v ∈ V, ∀k1, k2 ∈ K.

Logo, como K-módulo, V ⊗Q[Q] K tem geradores {v ⊗ 1K}v∈V. Portanto, V ⊗Q[Q] K = 0,

contradição, pois V ⊗Q[Q]K ∼= K

χ(G) _{6= 0}_{. Assim, existe v}

0 ∈ V tal que, ∀λ ∈ Q[Q] − {0},

6.3. Resultados envolvendo Grupos Limites

Corolário 6.3.1. Seja G um grupo limite não abeliano. Então, para qualquer subgrupo normal M de G tal que Q = G

M é nilpotente livre de torção e M é livre, o Q[Q]-módulo M

[M,M ]⊗ZQ tem um Q[Q]-submódulo livre não trivial.

Demonstração. [17], Corolário 8, pág. 6.

Para o próximo teorema, usaremos o seguinte resultado:

Corolário 6.3.2. Todo grupo limite é livre por nilpotente livre de torção. Demonstração. [17], pág. 4, Corolário 3.

Teorema 6.3.2. Sejam G1, . . . , Gn grupos limites não abelianos e S um produto subdireto

nitamente gerado de G = G1× . . . × Gn. Suponha S ∩ Gi não trivial para cada i = 1, . . . , n

e S de tipo F Ps sobre Q para algum s ∈ {2, . . . , n}. Então, para cada projeção canônica

pj1,...,js : G −→ Gj1 × . . . × Gjs, o grupo pj1,...,js(S) tem índice nito em Gj1 × . . . × Gjs. Demonstração. Pela Proposição 6.3.2 e pelo Lema 6.3.2, temos que, xando j, T

i6=j

Ni,j tem

índice nito em Gj e γn−1(T i6=j

Ni,j) ⊆ Lj, para cada j = 1, . . . , n. Substituindo cada Gj por

i6=j

Ni,j e S por S ∩ G1× . . . × Gn, temos que γn−1(G1) × . . . × γn−1(Gn) é subgrupo de S.

Pelo Corolário 6.3.2, existe j0 ≥ n − 1 tal que Mi = γj0(Gi) é livre, ∀i ≤ n, e Qi =

Mi é um grupo nilpotente nitamente gerado. Mas Qi possui um subgrupo de índice nito livre de

torção. Mais um vez, podemos reduzir Gi e S por subgrupos de índice nito. Daí, temos _MGi_i

nilpotente livre de torção. Considerando M = M1 × . . . × Mn, pela Fórmula de Künneth e

pelo fato de que Hk(Mi, Q) = 0, ∀k ≥ 2 e H0(Mi, Q) ∼= Q, temos que

Hi(M, Q) =

1≤j1<...<ji≤n

H1(Mj1, Q) ⊗Q. . . ⊗QH1(Mji, Q), i ≤ n.

Considere agora Q = S

M um subgrupo nitamente gerado, nilpotente e livre de torção de

Q1× . . . × Qn. Cada Qjk age em H1(Mjk, Q) ∼=

M_jk

[M_jk,M_jk]⊗ZQ via conjugação.

Seja

hj1,...,ji : Q1× . . . × Qn−→ Qj1 × . . . × Qji

o homomorsmo canônico. Temos que Q age em H1(Mj1, Q) ⊗Q. . . ⊗Q H1(Mji, Q) através de hj1,...,ji. Pelo Corolário 6.3.1, temos que H1(Mjk, Q) é um Q[Qjk]-módulo que possui um Q[Qjk]-submódulo livre não trivial. Queremos mostrar que H1(Mj1, Q) ⊗Q. . . ⊗QH1(Mji, Q) é nitamente gerado como Q[Q]-módulo para i ≤ s. Para isso, vamos mostrar que Hi(M, Q)

é nitamente gerado como Q[Q]-módulo para i ≤ s. Como S é de tipo F Ps sobre Q, tome

F : . . . −→ Fi −→ Fi−1−→ F0 −→ Q −→ 0

uma resolução projetiva do Q[S]-módulo trivial Q com Fi nitamente gerado para i ≤ s.

Então,

Hi(M, Q) = T orZ[M ]i (Z, Q) ∼= T or Q[M ]

Capítulo 6. Grupos Limites

Para i ≤ s, vemos que Fi ⊗Q[M ] Q é um Q[Q]-módulo nitamente gerado. Como Q[Q]

é noetheriano à direita, temos que cada subquociente de Fi ⊗Q[M ]Q como Q[Q]-módulo é

nitamente gerado para i ≤ s. Logo, Hi(M, Q) é nitamente gerado como Q[Q]-módulo para

i ≤ s. Portanto, pelo Lema 6.3.6 e pelo Corolário 6.3.1 segue que hj1,...,js(Q)tem índice nito em Qj1 × . . . × Qjs.

Corolário 6.3.3. Sejam G1, . . . , Gn grupos limites não-abelianos e S um produto subdireto

de G = G1 × . . . × Gn tal que S ∩ Gi é não-trivial, i = 1, . . . , n. Se S é de tipo F Pn, então

S tem índice nito em G.

Demonstração. Basta aplicar o Teorema 6.3.2 no caso s = n. Vemos que, nesse caso, pj1,...,js = idG.

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No documento Propriedades homológicas de produtos subdiretos de grupos limites (páginas 113-128)

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