Propriedades de Sequências Espectrais - Propriedades homológicas de produtos subdiretos de grup

Denição 4.1.1. Uma sequência espectral é uma sequência de módulos bigraduados e homomorsmos de módulos bigraduados {Er_{, d}r_}

r≥1 tal que d

r_{◦ d}r _{= 0} _{e E}r+1 _{= H(E}r_{, d}r₎_.

4.2 Propriedades de Sequências Espectrais

Denição 4.2.1. Dizemos que N é subquociente do R-módulo M se N é um quociente M0/M00 tal que M00 ⊆ M0 _{são submódulos de M.}

Cada Er+1 é subquociente de Er, r ≥ 1. Denote Zr+1

p,q = kerdrp,q e Bp,qr+1 = Imdrp+r,q−r+1.

Obtemos, então, a seguinte sequência: 0 ⊆ B_p,q2 ⊆ B3 p,q⊆ . . . ⊆ Bp,qr ⊆ Bp,qr+1 ⊆ . . . ⊆ Zp,qr+1 ⊆ Zp,qr ⊆ . . . ⊆ Zp,q3 ⊆ Zp,q2 ⊆ Ep,q1 . Denição 4.2.2. Denotamos B∞ p,q = S r≥1 Br p,q, Z ∞ p,q = T r≥1 Zr p,q e E ∞ p,q = Z ∞ p,q/B ∞ p,q, sendo este

último chamada termo limite da sequêcia espectral.

Denição 4.2.3. Seja H um módulo graduado. Uma ltração de H é uma sequência {φp_H}

p∈Z de submódulos graduados de H tais que φ

p_{H ⊆ φ}p+1_{H, ∀p ∈ Z, ou seja, (φ}p_H) i ⊆

(φp+1H)i, ∀i, p ∈ Z. Dizemos que a ltração é limitada se, ∀n ∈ Z, ∃s(n), t(n) ∈ Z tais

que 0 = (φs(n)_H)

n e (φt(n)H)n = Hn.

Denição 4.2.4. Seja {Er_{, d}r_}

r≥1 uma sequência espectral. Dizemos que a sequência es-

pectral converge a H se existe uma ltração limitada {φp_H}

p∈Z de H tal que E ∞ p,q ∼= (φp_H) n/(φp−1H)n, n = p + q. Denotamos Ep,q2 ⇒_p Hn.

4.2.1 Sequência Espectral LHS

Teorema 4.2.1 (Teorema de Grothendieck). Sejam A, B, C categorias de módulos e G : U −→ B, F : B −→ C funtores tais que F é exato à esquerda e, se E ∈ U é injetivo, então (Rp_{F )(GE) = 0, ∀p ≥ 1}_{. Então, para cada módulo A ∈ U, existe uma sequência espectral}

com

E₂p,q= (Rp_{F )(R}q_{G(A)) ⇒} p R

n_{(F ◦ G)(A)}_{, n = p + q.}

Teorema 4.2.2 (Teorema de Lyndon-Hochschild-Serre, versão homológica). Seja G um grupo e N um subgrupo normal de G. Seja A um ZG-módulo. Existe uma sequência espectral com

p,q = Hp(G/N, Hq(N, A)) ⇒

p Hn(G, A).

Teorema 4.2.3 (Teorema de Lyndon-Hochschild-Serre, versão cohomológica). Seja G um grupo e N um subgrupo normal de G. Seja A um ZG-módulo. Existe uma sequência espectral com

E₂p,q= Hp_{(G/N, H}q_{(N, A)) ⇒} p H

Capítulo 5

Grupos de tipo F P

n

5.1 Resoluções de Tipo Finito

Notação: Seja M ∈ RM livre com posto k. Então, M é isomorfo à soma direta de k

anéis R. Denotaremos M por Rk.

Denição 5.1.1. Dizemos que M ∈RMé nitamente gerado se existe X = {m1, . . . , mk} ⊆

M tal que, ∀m ∈ M, ∃r1, . . . , rk∈ R tais que m = r1m1+ . . . + rkmk. O conjunto X é cha-

mado de conjunto gerador de M.

Observação 5.1.1. R-submódulos de R-módulos não precisam ser nitamente gerados mesmo que o módulo seja. Considere, por exemplo, R o anel de polinômios em Z sobre um conjunto innito enumerável de variáveis, Z [x1, x2, . . .]. Temos que R é R-módulo gerado por {1}.

Tome S o R-submódulo de R dos polinômios de termo constante 0. Os polinômios x1, x2, . . .

pertencem a S e são gerados por eles mesmos, já que xn = 1 · xn. Logo, S é innitamente

gerado.

Corolário 5.1.1. Seja B ∈ RM. Se todo R-submódulo nitamente gerado de B é plano,

então B é plano.

Proposição 5.1.1. Seja M ∈RM. As seguintes armações são equivalentes:

i) existe uma sequência exata Rt _{−→ R}s _{−→ M −→ 0} para alguns inteiros t, s.

ii) existe uma sequência exata P1 −→ P0 −→ M −→ 0 para alguns R-módulos projetivos

P0, P1 nitamente gerados.

iii) M é nitamente gerado e para todo epimorsmo ϕ : P −→ M, P um R-módulo projetivo nitamente gerado, kerϕ é nitamente gerado.

Demonstração. iii) ⇒ i): Seja X o conjunto gerador nito de M, |X| = s, e F (X) o R-módulo livre com base X, isomorfo a Rs_{. Já vimos que existe um epimorsmo α}

s : F (X) −→ M.

Como F (X) é projetivo e nitamente gerado, por hipótese, kerαs é nitamente gerado. Seja

Y seu gerador, |Y | = t, e F (Y ) o R-módulo livre com base Y , isomorfo Rt. Então, existe um epimorsmo αt : F (Y ) −→ kerαs. Logo, i) vale.

i) ⇒ ii): óbvio, pois Rt_{, R}s _{são R-módulos projetivos nitamente gerados.}

ii) ⇒ iii): Seja α0 o homomorsmo em ii) de P0 em M e α1 o homomorsmo em ii) de P1

5.1. Resoluções de Tipo Finito

é nitamente gerado. Ainda, como kerα0 = Imα1 e P1 é nitamente gerado, temos que

kerα0 é nitamente gerado. Sejam ϕ : P −→ M um epimorsmo com P um R-módulo

projetivo nitamente gerado, e as inclusões i0 : kerα0 ,→ P0 e i : kerϕ ,→ P . Então,

0 −→ kerα0 i0 ,→ P0

α0

−→ M −→ 0 e 0 −→ kerϕ ,→ Pi −→ M −→ 0ϕ são sequências exatas curtas que satisfazem as hipóteses do lema de Schanuel 3.3.3. Logo, P0⊕ kerϕ ∼= P ⊕ kerα0.

Como P, kerα0 e P0 são nitamente gerados, kerϕ também é nitamente gerado.

Se M ∈ RM satisfaz as armações dessa proposição, dizemos que M é nitamente

apresentável. Isso vem de algumas conclusões que podemos extrair da proposição sobre M. De (i) vemos que M ∼= Rs/kerαs. Mas kerαs = Imαt. Analogamente a geradores e relações

de grupos, M então tem X como o conjunto dos seus geradores (cardinalidade s) e αt(Y )

o conjunto de suas relações (cardinalidade t), ambos nitos. Portanto, M tem apresentação nita. Ainda, se {x1, . . . , xk} é outro conjunto nito de geradores de M, por (iii) vemos que

o conjunto das relações de M também é nito e forma um R-submódulo de Rk_.

Corolário 5.1.2. Todo R-módulo plano nitamente apresentável é projetivo.

Corolário 5.1.3. Considere a sequência exata curta de R-módulos 0 −→ K −→ M −→ B −→ 0. Se B é nitamente apresentável e M é nitamente gerado, então K é nitamente gerado.

Denição 5.1.2. Uma resolução qualquer é de tipo nito se todos os seus R-módulos são nitamente gerados. Dizemos que M é de tipo F Pn (n ≥ 0) se existe uma resolução

projetiva de M da forma Pn−→ Pn−1−→ . . . −→ P0 −→ M −→ 0 tal que, ∀i = 0, . . . , n, Pi

é nitamente gerado. Observação 5.1.2.

Se M é de tipo F Pn, como P0 −→ M é sobrejetiva, então M é nitamente gerado.

Se M é nitamente gerado e X é seu conjunto gerador, existe uma sobrejeção do R-módulo livre gerado por X, que é projetivo e nitamente gerado. Portanto, M é de tipo F P0.

Se M é nitamente apresentável, pela condição (i) da proposição 5.1.1, M é de tipo F P1.

Dessa forma, podemos generalizar a proposição 5.1.1:

Proposição 5.1.2. Seja M um R-módulo e n ≥ 0. As seguintes armações são equivalentes: (i) M tem resolução livre Fn −→ Fn−1 −→ . . . −→ F0 −→ M −→ 0 em que cada Fi tem

posto nito, ∀i = 0, . . . , n. (ii) M é de tipo F Pn.

(iii) M é nitamente gerado e, para toda resolução projetiva de M de tipo nito da forma Pk dk −→ Pk−1 dk−1 −→ . . . d1 −→ P0 d0

−→ M −→ 0 com 0 ≤ k < n, kerdk é nitamente gerado.

Demonstração. (iii) ⇒ (i): Seja X0 gerador de M, |X0| = t0. Tome F0 o R-módulo livre

com base X0 e d0 o epimorsmo de F0 em M. Por hipótese, K0 = kerd0 é nitamente

gerado. Seja X1 o gerador de K0, |X1| = t1. Tome F1 o R-módulo livre com base X1 e d01 o

epimorsmo de F1 em K0. Considere i0 a inclusão K0 ,→ F0 e dena d1 = i0◦ d01. Temos que

Imd1 = Im(i0 ◦ d01) = i0(K0) = K0 = kerd0. Continuando o processo até n, obtemos uma

Capítulo 5. Grupos de tipo F Pn . . . -F₂ d2 - K1 d@0₂ @ R i1 F1 d1 - K0 d@0₁ @ R i0 F0 d0 -M -0

(i) ⇒ (ii): óbvio, pois Fi é projetivo nitamente gerado, ∀i = 0, . . . , n.

(ii) ⇒ (iii): seja Pn dn −→ Pn−1 dn−1 −→ . . . d1 −→ P0 d0

−→ M −→ 0 uma resolução projetiva de M de tipo nito.

1) Seja {x1, . . . , xm} o conjunto gerador de P0. Então, se m ∈ M, m = d0(a) = d0(r1x1+

. . . + rmxm) = r1d0(x1) + . . . + rmd0(xm), r1, . . . , rm ∈ R, a ∈ P0 ⇒ d0(x1), . . . , d0(xm)geram

2) Por demonstração análoga a da (1), mostramos que kerdk = Imdk+1 é nitamente gerado,

∀k < n. Assim, seja P0 k d0_k −→ P0 k−1 dk−1 −→ . . . d 0 1 −→ P0 0 d00

−→ M −→ 0 uma resolução projetiva de M de tipo nito, k < n. As inclusões kerdk,→ Pk, kerd0k ,→ P

k geram as sequências exatas

0 −→ kerdk ,→ Pk −→ Pk−1 −→ . . . −→ P0 −→ M −→ 0

0 −→ kerd0_k ,→ P_k0 −→ P_k−10 −→ . . . −→ P₀0 −→ M −→ 0. Pela generalização do Lema de Schanuel 3.3.4,

kerdk⊕ Pk0 ⊕ Pk−1⊕ Pk−20 ⊕ . . . ∼= kerd 0

k⊕ Pk⊕ Pk−10 ⊕ Pk−2⊕ . . . .

Portanto, como todos os R-módulos à esquerda do isomorsmo são nitamente gerados, kerd0_k também deve ser nitamente gerado.

Proposição 5.1.3. Seja 0 −→ A0 _{−→ A −→ A}00 _{−→ 0} _{um sequência exata curta de R-}

módulos. Então: i) se A0 _{é de tipo F P}

n−1 e A é de tipo F Pn, então A00 é de tipo F Pn;

ii) se A é de tipo F Pn−1 e A00 é de tipo F Pn, então A0 é de tipo F Pn−1;

iii) se A0 _{e A}00 _{são de tipo F P}

n, então A é de tipo F Pn.

Demonstração. [5], Proposição 1.4, pág. 12.

Denição 5.1.3. Um R-módulo M é de tipo F P∞ se M é de tipo F Pn, ∀n ∈ Z, n ≥ 0.

Proposição 5.1.4. Seja M um R-módulo. As seguintes armações são equivalentes:

i) M possui resolução livre innita de tipo nito, ou seja, a resolução livre é da forma . . . −→ Fi −→ Fi−1−→ . . . −→ F0 −→ M −→ 0, em que Fi é nitamente gerado para todo

i ≥ 0.

ii) M possui resolução projetiva innita de tipo nito. iii) M é de tipo F P∞.

5.2. Dimensão Cohomológica

No documento Propriedades homológicas de produtos subdiretos de grupos limites (páginas 100-104)