ANA CLAUDIA LOPES ONORIO
PROPRIEDADES HOMOLÓGICAS DE PRODUTOS
SUBDIRETOS DE GRUPOS LIMITES
CAMPINAS 2014
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162
Onorio, Ana Claudia Lopes,
On7p OnoPropriedades homológicas de produtos subdiretos de grupos limites / Ana Claudia Lopes Onorio. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.
OnoOrientador: Dessislava Hristova Kochloukova.
OnoDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Ono1. Álgebra homológica. 2. Grupos limites. 3. Bass-Serre, Teoria de. I.
Kochloukova, Dessislava Hristova,1970-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Homological properties of subdirect products of limit groups Palavras-chave em inglês:
Homological algebra Limit groups
Bass-Serre theory
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestra em Matemática Banca examinadora:
Dessislava Hristova Kochloukova [Orientador] Antonio José Engler
Pavel Zalesski
Data de defesa: 21-03-2014
Programa de Pós-Graduação: Matemática
ABSTRACT
The homological type F Ps of subdirect products of limit groups was studied according to
Bridson, Howie, Miller and Short's results. The limit group theory was developed using as a tool the algebraic homology and geometric group theory and in particular Bass-Serre theory on groups acting on trees.
Keywords: Bass-Serre theory, homological algebra, groups of type F Pn, limit groups,
subdirect product of limit groups
RESUMO
Estudamos o tipo homológico F Ps de produtos subdiretos de grupos limites seguindo
resultados de Bridson, Howie, Miller, Short. Desenvolvemos teoria de grupos limites usando como ferramenta homologia algébrica e teoria geométrica de grupos, em particular a teoria de Bass-Serre sobre grupos que agem sobre árvores.
Palavras-chaves: teoria de Bass-Serre, álgebra homológica, grupos de tipo F Pn, grupos
SUMÁRIO
Introdução 1
1 Teoria Combinatorial de Grupos 3
1.1 Grupos Livres . . . 3
1.1.1 Existência de Grupos Livres . . . 4
1.1.2 Caracterização de Grupos livres . . . 6
1.2 Geradores e Relações . . . 6
1.3 Produto Livre . . . 7
1.3.1 Existência de Produto Livre . . . 8
1.3.2 Caracterização de Produtos Livres . . . 10
1.4 Produto Livre Amalgamado . . . 10
1.4.1 Push-Out . . . 10
1.4.2 Produto Livre Amalgamado . . . 12
1.5 Extensões HNN . . . 15
2 Teoria de Bass-Serre 21 2.1 Grafos . . . 21
2.1.1 Árvores Maximais . . . 22
2.1.2 O Grupo Fundamental de Grafos . . . 25
2.2 Ação de Grupos . . . 27 2.2.1 Grafo de Cayley . . . 28 2.3 Aplicações de Grafos . . . 30 2.4 Grafo de Grupos . . . 33 2.4.1 Primeira Construção . . . 40 2.4.2 Segunda Construção . . . 41 2.5 Os Teoremas Estruturais . . . 42
2.6 Aplicações dos Teoremas Estruturais . . . 49
3 Homologia Algébrica 51 3.1 Categorias e Funtores . . . 51 3.2 Sequências exatas . . . 54 3.3 Módulos . . . 56 3.3.1 Módulos livres . . . 56 3.3.2 Módulos projetivos . . . 58 3.3.3 Módulos Injetivos . . . 61
3.3.4 Módulos Planos . . . 63 3.4 Complexos . . . 64 3.4.1 Homotopia . . . 67 3.5 O Funtor Hn . . . 68 3.6 Funtores Derivados . . . 69 3.6.1 O Funtor Ext . . . 69 3.6.2 O Funtor T or . . . 77 3.7 Homologia de Grupos . . . 79 3.8 Cohomologia de Grupos . . . 81 4 Sequências Espectrais 83 4.1 Construção da Sequência Espectral . . . 83
4.2 Propriedades de Sequências Espectrais . . . 86
4.2.1 Sequência Espectral LHS . . . 86
5 Grupos de tipo F Pn 87 5.1 Resoluções de Tipo Finito . . . 87
5.2 Dimensão Cohomológica . . . 90
6 Grupos Limites 95 6.1 De nições e Conceitos Principais . . . 95
6.2 Propriedades de Grupos Limites . . . 97
6.3 Resultados envolvendo Grupos Limites . . . 99
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, à minha orientadora professora Dessislava. Sempre presente durante esses dois anos de trabalho, ela não somente me orientou e me auxiliou com as mui-tas dúvidas que surgiam ao longo do mestrado; mas também me apoiou enormemente quanto aos meus planos para o doutorado. É difícil expressar em palavras minha gratidão.
Gostaria também de agradecer aos professores que ao longo da vida me inspiraram como pessoas e pro ssionais: Carmem Sílvia, Augusto, Cristiano. Dessa forma, também agradeço novamente à professora Dessislava e ao meu orientador durante minha graduação, professor Roldão, quem primeiro me iniciou à pesquisa e acreditou em mim muito mais do que eu mesma.
Agradeço à CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientí co e Tecnológico), cujo apoio nan-ceiro permitiu a concretização deste trabalho. Também agradeço à UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas) e ao IMECC (Instituto de Matemática, Estatística e Computação Cientí ca), tão importantes na minha formação pro ssional e pessoal. Ainda a UNICAMP, através do SAE (Serviço de Apoio ao Estudante) e do PME (Programa de Moradia Estudan-til), foi auxílio fundamental para que eu pudesse me manter na universidade. Minha imensa gratidão.
Meus especiais agradecimentos às meninas que conviveram comigo e estiveram presentes durante toda ou boa parte da minha história de gradução e mestrado: Dani, Pam, Elisa, Gra, Cí e Angie. Também agradeço a dois amigos especiais: à Dé, que me lembrava de todas as datas importantes, e ao Francis, que me ajudou a nalizar essa dissertação.
Por m, agradeço às pessoas que sempre me apoiaram primeiro e incondicionalmente: minha família. Sou muito feliz por poder compartilhar com minha mãe, meu pai e minha irmã cada realização da minha vida. Minha eterna gratidão.
LISTA DE SÍMBOLOS
R - anel associativo com identidade
Z - conjunto dos números inteiros, grupo abeliano usual dos inteiros, ou anel usual dos inteiros
Q - conjunto dos números racionais, corpo usual dos racionais
Zn - grupo cíclico nito de ordem n.
Zn - grupo abeliano cujo conjunto de elementos é o conjunto de n-uplas de números inteiros Zn e a operação é a soma usual em Zn
G = hXi - signi ca que o grupo G é gerado por X
hRiG - fecho normal de um conjunto R no grupo G, ou seja, menor subgrupo normal em G gerado por R.
A ≤ B - signi ca que o grupo A é subgrupo do grupo B, ou que o módulo A é submódulo do módulo B
|X| - cardinalidade do conjunto X C - denota subgrupo normal ∼=- signi ca "isomorfo a"
- símbolo utilizado para funções que são sobrejetivas - símbolo utilizado para funções que são injetivas
,→ - símbolo utilizado para funções que são inclusões e mergulhos ↔ - símbolo utilizado para identi cações entre elementos
⊕ - signi ca soma direta Q - signi ca produto direto
|G : H| - símbolo que denota o índice do subgrupo H no grupo G
•
Introdução
O objetivo desta dissertação é estudar alguns resultados envolvendo produtos subdiretos de grupos limites. A teoria de grupos limites foi desenvolvida por Z. Sela [20] e independen-temente por Kharlampovich e Myasnikov [14]. O termo grupo limite foi introduzido por Z. Sela em [20] como o quociente de um grupo nitamente gerado G pelo núcleo da ação de G sobre uma árvore limite. No mesmo artigo, Sela mostra que um grupo nitamente gerado é grupo limite se, e somente se, é ω-residualmente livre. Embora outros artigos de nam grupos limites sob diferentes perspectivas (por exemplo, grupos limites como limites de grupos livres, ver [11]), este trabalho descreverá grupo limite como grupo fundamental de um grafo nito de grupos [7], que será exibido no Capítulo 6.
As propriedades homológicas de produtos subdiretos de grupos limites foi iniciado em [6]. Embora o termo grupo limite não tenha sido usado, o artigo [6] trata do estudo de produtos subdiretos de grupos de superfície, que são grupos limites quando a característica de Euler dessas superfícies é menor que -1. Seja G = G1 × . . . × Gn um produto direto de grupos.
Dizemos que S ≤ G é um produto subdireto de G se as projeções canônicas pi : S −→ Gi,
para cada i = 1, . . . , n, são sobrejetivas.
Para entender tais resultados, foi necessário o estudo e desenvolvimento de algumas teo-rias como Bass-Serre e Homologia Algébrica.
O capítulo 1 desenvolve conceitos básicos de grupos livres, produtos livres, produtos livres amalgamados e extensões HNN. No capítulo 2, é apresentada a teoria geral de Bass-Serre sobre grupos que agem sobre árvores e grupos fundamentais de grafos de grupos. O conteúdo apresentado nesses capítulos segue o livro [12].
No capítulo 3 são estudados conceitos básicos de Homologia Algébrica necessários para o desenvolvimento da teoria de grupos limites do capítulo nal. No capítulo 4 é feita a cons-trução de sequências espectrais. O capítulo 5 introduz de nições e resultados básicos sobre grupos de tipo F Pn. O conteúdo desses capítulos foi baseado nos livros [19], [10] e [5].
Na parte nal da dissertação, estudamos a teoria de grupos limites seguindo os artigos principais [9] e [17]. Outras referências como [20], [4], [23], [7] e [16] foram utilizadas para o desenvolvimento da teoria. A motivação do estudo de produtos subdiretos de grupos limites vem do fato de que cada grupo nitamente gerado e residualmente livre mergulha em um produto direto nito de grupos limites [3] [20] [15] .
Capítulo 1
Teoria Combinatorial de Grupos
1.1 Grupos Livres
De nição 1.1.1. Seja G um grupo, X um conjunto e i uma função de X em G. Dizemos que G é grupo livre com base X se satisfaz a seguinte propriedade universal: para todo par (f, H), em que H é um grupo qualquer e f uma função qualquer de X em H, existe um único homomor smo φ : G −→ H tal que φ ◦ i = f, ou seja, tal que o diagrama abaixo é comutativo: X f // i H G φ >>
Proposição 1.1.1. Sejam G1 e G2 grupos livres com base X e i1, i2 as funções,
respectiva-mente, de X em G1 e X em G2. Então, existe um único isomor smo ϕ : G1 −→ G2 tal que
ϕ ◦ i1 = i2.
Demonstração. Pela propriedade de grupo livre, existem únicos homomor smos ϕ : G1 −→
G2 e ϕ0 : G2 −→ G1tais que ϕ◦i1 = i2e ϕ0◦i2 = i1. Assim, ϕ◦ϕ0◦i2 = i2 e ϕ0◦ϕ◦i1 = i1. Pela
unicidade do homomor smo da propriedade universal de grupos livres, temos que ϕ◦ϕ0 = id G2 e ϕ0◦ ϕ = id
G1. Logo, ϕ
0 = ϕ−1 e, portanto, ϕ é um isomor smo.
Proposição 1.1.2. Se G é grupo livre com base X e i é a função de X em G, então i é injetora.
Demonstração. Considere H = ZX := {funções de X a Z}. As funções α
y : X −→ Z,
y ∈ X, de nidas por
αy(x) =
1 se x = y 0 se x 6= y
pertencem a H. Tome f : X −→ H tal que f(x) = αx. Pela propriedade universal de
grupos livres, existe um homomor smo φ : G −→ H tal que φ ◦ i = f. Daí, se x1, x2 ∈ X e
i(x1) = i(x2), então
φ ◦ i(x1) = φ ◦ i(x2) ⇒ f (x1) = f (x2) ⇒ αx1 = αx2 ⇒ x1 = x1. Portanto, i é injetora.
1.1. Grupos Livres
1.1.1 Existência de Grupos Livres
Seja X um conjunto cujos elementos chamaremos de letras. Considere X outro conjunto, disjunto de X, tal que X −→ X é uma bijeção e cada x ∈ X tem um correspondente em X denotado por x−1. Se x1 i1, . . . , x n in ∈ X ∪ X, i = ±1, i = 1, . . . , n, dizemos que x 1 i1 . . . x n in é uma palavra.
De na M(X ∪ X) o conjunto de todas as palavras com letras em X ∪ X. Dizemos que uma palavra w é redutível se existe j tal que xj+1
ij+1 = x
−j
ij . Se w não é redutível, então dizemos que w é reduzida. Toda palavra redutível pode ser reduzida, basta tomar w0 = x1 i1 . . . x j−1 ij−1x j+2 ij+2. . . xin. A redução de w em w
0 é chamada redução elementar. Caso
w0 ainda não seja reduzida, basta aplicar o processo de redução elementar novamente, e assim sucessivamente.
Daí, se w, v são palavras de M(X ∪ X), de nimos a seguinte relação ∼ e dizemos que w ∼ v se:
• w = v ou
• existe uma sequência de palavras w1, . . . , wk tal que w1 = w, wk = v e wi, wi+1diferem
por uma redução elementar, i = 1, . . . , k − 1. Assim, xx−1 ∼palavra vazia.
É fácil ver que ∼ é relação de equivalência: • u ∼ u, pois u = u;
• se u = v, então v = u; se existe uma sequência de palavras w1, . . . , wk tal que w1 = u e
wk = ve wi, wi+1diferem por uma redução elementar, i = 1, . . . , k−1, a nova sequência
de palavras uj = wk−(j−1), j = 1, . . . , k é tal que duas palavras consecutivas diferem
por uma redução elementar e u1 = v e uk = u. Portanto, se u ∼ v então v ∼ u;
• se u1, . . . , uk, v1, . . . , vl são duas sequências de palavras tais que u1 = u, uk = v,
v1 = v, vl = w e termos consecutivos diferem por uma redução elementar, então
u1, . . . , uk, v2, . . . , vl é uma sequência de palavras cujos termos consecutivos diferem
por uma redução elementar; se u = v ou v = w, a demonstração é óbvia. Portanto, se u ∼ v e v ∼ w, então u ∼ w.
Se u, v, w, z são palavras e u ∼ v, w ∼ z, então uw ∼ vw e vw ∼ vz. Logo, uw ∼ vz. Denotamos por F(X) o conjunto de todas as classes de equivalência [w] de palavras w em M(X ∪ X). De nimos em F(X) o produto [w] · [v] = [wv] (wv é apenas a justaposição das palavras w e v).
1) o produto está bem de nido: se w0 ∼ w e v0 ∼ v, então w0v0 ∼ wv.
2) F(X) com o produto · é grupo: se w = x1
i1 . . . x n in, vamos de nir w −1 = x−n in . . . x −1 i1 . Vemos que [ ] (classe da palavra vazia) é o elemento neutro de F(X), pois [ ] · [w] = [w] = [w] · [ ]. Ainda, vemos que [ww−1] = [ ] = [w−1w]. Então, [w]−1 = [w−1]. Basta mostrar que F(X) é associativa. Mas (wv)u = w(vu). Portanto, concluímos que F(X) é grupo.
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos
Teorema 1.1.1. Seja i : X F(X) a função dada por i(x) = [x]. Então, F(X) é grupo livre com base X.
Demonstração. Seja H um grupo e f uma função de X em H. O homomor smo φ : F(X) −→ H de nido por φ([x]) = f(x) é, obviamente, o único tal que φ ◦ i = f.
Teorema 1.1.2 (Teorema da Forma Normal para Grupos Livres). Toda classe de equivalên-cia de F(X) possui apenas uma palavra reduzida.
Demonstração. (Método de van der Waerden): Seja S o conjunto de todas as palavras reduzidas e P erm(S) o grupo de todas as permutações de S. Seja w = x1
i1. . . x
n
in uma palavra reduzida, k = ±1. De nimos f : X −→ P erm(S) como:
f (x)(x1 i1 . . . x n in) = x2 i2 . . . x n in se x 1 i1 = x −1 xx1 i1 . . . x n in caso contrário. É fácil veri car que a função f(x)−1 de nida por
f (x)−1(x1 i1. . . x n in) = x2 i2 . . . x n in se x 1 i1 = x x−1x1 i1x 2 i2 . . . x n in caso contrário é a inversa de f(x). Portanto, f(x) ∈ P erm(S).
Como F(X) é livre, existe um único homomor smo φ : F(X) −→ P erm(S) tal que φ([x]) = f (x), ∀x ∈ X, e φ([w]) = f(xi1)
1. . . f (x
in)
n. Daí, se w ∼ w0 e ambas são reduzidas, então [w] = [w0] e φ([w])[ ] = φ([w0])[ ] implica que w = w0.
Proposição 1.1.3. F(X) ∼= F (Y ) ⇔ |X| = |Y |.
Demonstração. Seja s : X −→ Y uma bijeção, i a função injetora de X em F(X) e j a função injetora de Y em F(Y ). Então, existem únicos homomor smos φ : F(X) −→ F(Y ) e ϕ : F(Y ) −→ F(X) tais que φ ◦ i = j ◦ s e ϕ ◦ j = i ◦ s−1. Daí,
φ ◦ ϕ ◦ j = φ ◦ i ◦ s−1 = j ◦ s ◦ s−1 = j e ϕ ◦ φ ◦ i = ϕ ◦ j ◦ s = i ◦ s−1◦ s = i. Logo, ϕ = φ−1. Portanto, F(X) ∼= F (Y ).
Se F(X) ∼= F (Y ), então o número de homomor smos de F(X) em Z2 é o mesmo que o
número de homomor smos de F(Y ) em Z2. Portanto, se X, Y são conjuntos nitos, então
2|X| = 2|Y | ⇒ |X| = |Y |. Se os conjuntos não são nitos, então, pelo Axioma da Escolha, |M(X ∪ X)| = |X ∪ X| = |X|. Sendo F(X) o conjunto de classes de equivalência de M(X ∪ X), então |F(X)| ≤ |X|. Mas como X mergulha em F(X), então |X| ≤ |F(X)|. Logo, |X| = |F(X)|. Pela hipótese de que |F(X)| = F(Y )|, temos que |X| = |Y |.
Portanto, se G é um grupo livre com base X, temos que G ∼= F (X). Denotamos posto de G a cardinalidade de |X|.
1.2. Geradores e Relações
1.1.2 Caracterização de Grupos livres
Proposição 1.1.4. Seja X um subconjunto do grupo G. São equivalentes: i) G é livre com base X;
ii) todo elemento de G pode ser unicamente escrito como x1
i1 . . . x
n
in, para algum n ≥ 0, xik ∈ X, k = ±1, em que k+1 6= −k se ik+1 = ik;
iii) X gera G e 1 não pode ser escrito como x1
i1. . . x
n
in, com n > 0, xik ∈ X, k = ±1, e k+1 6= −k se ik+1 = ik.
Demonstração. (ii) ⇒ (iii) : óbvio (1 refere-se ao elemento de G tal que n = 0). (iii) ⇒ (ii) : X gera G ⇒ todo elemento de G pode ser escrito como x1
i1. . . x
n
in, para algum n ≥ 0, xik ∈ X, k = ±1, em que k+1 6= −k se ik+1 = ik. Se g ∈ G tem duas decomposições distintas g = x1 i1 . . . x n in e g = x δ1 j1 . . . x δm jm, então 1 = x 1 i1 . . . x n inx −δm jm . . . x −δ1 j1 , que é um produto de elementos de X, contradição.
(i) ⇒ (ii) e (iii) : G ∼= F (X) ⇒ X gera G e se 1 = x1
i1 . . . x
n
in, cujo produto está nas condições de (ii), e n > 0, então [ ] = [x1 i1 . . . x n in]. Como a palavra x 1 i1 . . . x n
in é reduzida, pelo teorema 1.1.2 ela deve ser a única representante reduzida da classe, contradição.
(ii) e (iii) ⇒ (i) : a inclusão de X em G induz um homomor smo de φ de F(X) em G dado por φ([x]) = x, ∀x ∈ X. Como X gera G, φ é sobrejetora. Se g, g0 ∈ G, então podem ser
escritos como o produto descrito em (ii). Se g0g−1 = 1, então, pela (iii), g0g−1 é redutível a
1. Logo, [g0g−1] = [ ]. Assim, φ é injetora e, portanto, G ∼= F (X).
1.2 Geradores e Relações
Proposição 1.2.1. Todo grupo G é isomorfo a um quociente de algum grupo livre.
Demonstração. Considere a identidade id : G −→ G e o monomor smo natural i : G F (G) (i(g) = [g], ∀g ∈ G). Como F(G) é livre, pela propriedade universal dos grupos livres, existe um homomor smo (único) φ : F(G) −→ G tal que, ∀g ∈ G, φ([g]) = g. Vemos que φ é sobrejetora. Logo, G ∼= F (G)kerφ.
Seja G um grupo, X um conjunto e ϕ : F(X) G um epimor smo. É claro que G = h{ϕ([x]), x ∈ X}i. Como X mergulha em F(X) é injetiva, usaremos a notação ϕ(x) ao invés de ϕ([x]). Assim, G = hϕ(X)i. Portanto, denotaremos X o conjunto dos geradores de G (sob ϕ). Seja R um subconjunto de F(X) tal que hRiF (X)
= kerϕ. Então, denotamos R o conjunto das relações de G (sob ϕ). O conjunto kerϕ é chamado de conjunto de consequências de R. Dessa forma, dizemos que G possui apresentação hX; Riϕ.
Como vimos pela proposição 1.2.1, todo grupo tem apresentação. Se X e R são nitos, dizemos que G é nitamente apresentável.
Para ilustrar tais de nições, consideremos o grupo Zn gerado por x. Seja ϕ : F({x}) −→ Zn
o homomor smo dado por ϕ([x]) = x. Temos que kerϕ = [xkn], k ∈ Z
. Tomando R = {[xn]}, vemos que kerϕ = hRiF ({x}). Portanto, a apresentação de Z
n é hx; xni
ϕ. É comum
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos
Nem sempre ϕ é mencionada. Assim, a apresentação de Zn pode ser dada por hx; xni. Não
comuns, mas também possíveis, são as apresentações de Zn dadas por hx; xn−1= x−1i e
hx, y; xn−1 = y−1, xy = x2i.
Observação 1.2.1. Se G tem apresentação hX; xy = yx, ∀x, y ∈ Xi, então dizemos que G é grupo livre abeliano com base X, e é denotado por ZX. Em ZX, temos que x + y = y + x, ∀x, y ∈ X.
Teorema 1.2.1 (Teorema de von Dyck). Seja G o grupo com apresentação hX; Riϕ, H um
grupo qualquer, f : X −→ H uma função e φ : F(X) −→ H o homomor smo correspondente ao diagrama da propriedade universal de F(X). Então, existe um homomor smo ψ : G −→ H tal que f(x) = ψ ◦ ϕ(x), ∀x ∈ X, se R ⊆ kerφ. Além disso, ψ é um epimor smo se f(X) gera H.
Demonstração. Como kerϕ é o fecho normal de R e kerφ é um subgrupo normal de F(X) com R ⊆ kerφ, então kerϕ ⊆ kerφ. De na ψ : G −→ H por ψ(g) = φ(y), em que g = ϕ(y), para algum y ∈ F(X). Daí, se x, y ∈ F(X) tais que ϕ(x) = ϕ(y), então ϕ(xy−1) = 1 ⇒
xy−1 ∈ kerϕ ⊆ kerφ ⇒ φ(x) = φ(y).
X _ f // i H F (X) φ << ϕ // //G ψ OO Se hf(X)i = H, então ϕ(G) = H.
Em particular, tomando Y um conjunto disjunto de X, a inclusão X ,→ X∪Y , o mergulho de X ∪ Y ,→ F(X ∪ Y ) e o epimor smo ϕ2 : F (X ∪ Y ) hX ∪ Y ; R ∪ Si
ϕ2, S ⊆ F(X ∪ Y ), induzem, pelo teorema 1.2.1, o homomor smo ψ : hX; Riϕ1 −→ hX ∪ Y ; R ∪ Siϕ2. Aqui, f (x) = ϕ2(x). Vemso que ψ ◦ ϕ1(x) = ϕ2(x). X _ i f //hX ∪ Y ; R ∪ Siϕ2 F (X) ϕ 1 // // φ 77 hX; Riϕ1 ψ OO
1.3 Produto Livre
A de nição geral de produto livre G é feita para uma família qualquer de grupos Gα
e homomor smos iα : Gα −→ G. Porém, aqui ele será de nido para uma família de dois
elementos. As de nições e proposições são facilmente extensíveis para o caso de uma família qualquer.
De nição 1.3.1. Sejam G1, G2, G grupos e i1 : G1 −→ G, i2 : G2 −→ G homomor smos
que satisfazem a seguinte propriedade universal: para qualquer grupo H e quaisquer homo-mor smos f1 : G1 −→ H e f2 : G2 −→ H, existe um único homomor smo φ : G −→ H tal
1.3. Produto Livre
que φ ◦ i1 = f1 e φ ◦ i2 = f2. Então, G é chamado produto livre de G1 e G2 e é denotado
por G1∗ G2. G1 i1 // f1 G ∃!φ G2 i2 oo f2 ~~ H
Proposição 1.3.1. Se G e H são produtos livres dos grupos G1 e G2, então existe um único
isomor smo ϕ : G −→ H tal que ϕ ◦ ik = jk, k = 1, 2, em que ik são os homomor smos de
Gk em G e jk os homomor smo de Gk em H.
Demonstração. Pela propriedade universal do produto livre, existe um único homomor smo ϕ : G −→ H tal que ϕ ◦ ik = jk. Da mesma forma, existe um único homomor smo ϕ0 :
H −→ G tal que ϕ0 ◦ jk = ik. Daí, ϕ0 ◦ ϕ ◦ ik = ik e ϕ ◦ ϕ0 ◦ jk = jk. Pela unicidade dos
homomor smos na propriedade universal, ϕ ◦ ϕ0 = id
H e ϕ0◦ ϕ = idG. Portanto, ϕ0 = ϕ−1 e
ϕé um isomor smo.
Proposição 1.3.2. Se G1∗ G2 é produto livre, então i1 e i2 são monomor smos.
Demonstração. Tome H = G1 e f1 = idG1. Sejam a, b ∈ G1 tais que i1(a) = i1(b). Então, φ ◦ i1(a) = φ ◦ i1(b) ⇒ id1(a) = id1(b), e , portanto, a = b. De forma análoga, mostramos
que i2 é injetora.
1.3.1 Existência de Produto Livre
Teorema 1.3.1. Sejam G1 e G2 grupos. Então, existe produto livre G1∗ G2.
Demonstração. Considere as apresentações de G1 = hX1; R1i
ϕ1 e de G
2 = hX2; R2i ϕ2 e X1∩ X2 = ∅. Tome
G = hX1∪ X2; R1∪ R2iϕ,
em que ϕ é o epimor smo natural de F(X1∪ X2)em
F (X1∪X2)
hR1∪R2iF (X1∪X2). Já vimos anteriormente que, pelo teorema 1.2.1, existe um homomor smo ik : Gk −→ Gtal que ik◦ ϕk= ϕ, k = 1, 2.
Sejam fk : Gk −→ H, k = 1, 2, homomor smos.
Denotemos por ψk o homomor smo fk ◦ ϕk : F (Xk) −→ H. Temos que ψk(Rk) = fk ◦
ϕk(Rk) = fk(1) = 1. Daí, de nimos o homomor smo ψ : F(X1 ∪ X2) −→ H tal que
ψ|Xk = ψk. Como ψ(R1 ∪ R2) = 1, temos que kerϕ ⊆ kerψ, e então, podemos de nir φ : G −→ H da seguinte forma: φ(g) = ψ(x), para algum x ∈ F(X1∪ X2) tal que ϕ(x) = g.
Portanto, φ ◦ ϕ = ψ. Para todo x ∈ X1,
φ ◦ i1(ϕ1(x1)) = φ ◦ ϕ(x1) = ψ(x1) = ψ1(x1) = f1(ϕ1(x1)).
E, do fato de que ϕ1(X1) gera G1, temos que φ ◦ i1 = f1. De forma análoga, concluímos que
φ ◦ i2 = f2. Por m, como ϕ(X1∪ X2)gera G e sendo ϕ(X1∪ X2) = i1◦ ϕ1(X1) ∪ i2◦ ϕ2(X2),
temos que φ deve ser único.
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos
Teorema 1.3.2 (Tereoma da Forma Normal para Produtos Livres). Seja G = G1∗ G2 um
produto livre. Então,
i) ik : Gk−→ G1∗ G2 é monomor smo;
ii) tomando i1, i2 como inclusões, todo elemento de G pode ser escrito unicamente como
g1. . . gn, em que n ≥ 0, gi ∈ G1∪ G2, gi 6= 1 e gi, gi+1 não pertencem ao mesmo grupo,
para i < n, k = 1, 2.
Demonstração. Já vimos na proposição anterior que ik é monomor smo. Portanto, tomando
ikcomo inclusão, vamos representar ik(gi)como gi, ∀gi ∈ Gk. Como G1∪ G2 gera G, g ∈ G é
escrito como g1. . . gn, com n ≥ 0, gi ∈ G1∪ G2 e gi 6= 1. Se, para algum i < n, gi, gi+1∈ Gk
e gi+16= gi−1, então g pode ser escrito como g1. . . gi−1hgi+2. . . gn onde h = gigi+1 6= 1; se, no
entanto, gi+1 = g−1i , então g pode ser escrito como g1. . . gi−1gi+2. . . gn. Agora, utilizando o
Método de van der Waerden, provaremos que g, representado pela maneira do enunciado, só pode pode ser escrito de uma única forma. Considere S o conjunto de todas as sequências (g1, . . . , gn), n ≥ 0, tal que gi, gi+1 não pertencem ao mesmo grupo. Vamos de nir fk :
Gk −→ P erm(S) da seguinte maneira, para hk ∈ Gk− {1}:
fk(hk)(g1, . . . , gn) = (hk, g1, . . . , gn) se g1 ∈ G/ k (hkg1, . . . , gn) se g1 ∈ Gk e hkg1 6= 1 (g2, . . . , gn) se g1 ∈ Gk e hkg1 = 1 e fk(1) = idS. Seja h0 k ∈ Gk, h0khk 6= 1. Então, fk(hkh0k)(g1, . . . , gn) = (hkh0k, g1, . . . , gn) se g1 ∈ G/ k (hkh0kg1, . . . , gn) se g1 ∈ Gk e hkh0kg1 6= 1 (g2, . . . , gn) se g1 ∈ Gk e hkh0kg1 = 1 e fk(hk)◦f (h0k)(g1, . . . , gn) = (hkh0k, g1, . . . , gn) se g1 ∈ G/ k (hkh0kg1, . . . , gn) se g1 ∈ Gk, h0kg1 6= 1 e hkh0kg1 6= 1 (g2, . . . , gn) se g1 ∈ Gk e hk0g1 6= 1 mas hkh0kg1 = 1 (hk, . . . , gn) se g1 ∈ Gk e h0kg1 = 1,
Portanto, fk é um homomor smo. Ainda, para cada hk ∈ Gk, f(h−1k ) = f (hk)−1, ou seja,
todo f(hk) tem inversa. Logo, f está bem de nida.
Como G é produto livre, seja φ : G −→ P erm(S) o homomor smo tal que φ ◦ ik = fk.
Suponha que g ∈ G seja escrito como g1. . . gn, com gi ∈ G1 ∪ G2, gi 6= 1 e gi, gi+1 não
pertencentes ao mesmo grupo, para i < n, e h1. . . hm, da mesma forma, com hj ∈ G1∪ G2,
hj 6= 1e hj, hj+1não pertencentes ao mesmo grupo, para j < n. Então, φ(g)( ) = fk1(g1)◦. . .◦ fkn(gn)( ) = fk1(g1) ◦ . . . ◦ fkn−1(gn−1)(gn) = (g1, . . . , gn) = (h1, . . . , hm), k1, . . . kn ∈ {1, 2}. Logo, m = n e gi = hi, ∀i ≤ n.
1.4. Produto Livre Amalgamado
1.3.2 Caracterização de Produtos Livres
Proposição 1.3.3. Sejam G1 e G2 subgrupos de um grupo G. São equivalentes:
i) G = G1∗ G2;
ii) todo elemento de G pode ser unicamente escrito como g1. . . gn, em que n ≥ 0, gi ∈
G1∪ G2, gi 6= 1 e gi, gi+1 não pertencem ao mesmo grupo, para i < n;
iii) G é gerado pelos subgrupos G1 e G2 e 1 não pode ser escrito como o produto g1. . . gn
com n > 0, gi ∈ G1∪ G2, gi 6= 1 e gi, gi+1 não pertencentes ao mesmo grupo, para i < n.
Demonstração. (ii) ⇒ (iii) : óbvio (1 é o elemento de G tal que n = 0).
(iii) ⇒ (ii) : G1 e G2 geram G ⇒ todo elemento de G pode ser escrito como g1. . . gn, com
n ≥ 0, gi ∈ G1 ∪ G2, gi 6= 1 e gi, gi+1 não pertencentes ao mesmo grupo, para i < n. Se
g ∈ G, g = g1. . . gn e g = h1. . . hm, ambos diferentes, então 1 = g1. . . gnh−1m . . . h −1
1 , que é
um produto de elementos de G1 e G2, contradição.
(i) ⇒ (ii): teorema 1.3.2.
(ii) e (iii) ⇒ (i): sabemos que, pela propriedade universal do produto livre, existe um único homomor smo φ : G1∗ G2 −→ G tal que φ|Gk é a inclusão de Gk em G. Logo, ∀g ∈ G, g é descrito como em (ii), e g1. . . gn= φ(g1. . . gn). É fácil ver que φ é um isomor smo.
1.4 Produto Livre Amalgamado
1.4.1 Push-Out
De nição 1.4.1. Sejam G0, G1, G2 e G grupos e i1 : G0 −→ G1, i2 : G0 −→ G2, j1 : G1 −→
G, j2 : G2 −→ G homomor smos . Dizemos que (G, j1, j2) é push-out de (i1, i2) se:
i) j1◦ i1 = j2◦ i2;
ii) para qualquer grupo H e quaisquer homomor smos f1 : G1 −→ H, f2 : G2 −→ H tais
que f1 ◦ i1 = f2 ◦ i2, temos que ∃!φ : G −→ H homomor smo tal que φ ◦ j1 = f1 e
φ ◦ j2 = f2. G0 i1 // i2 G1 j1 f1 G2 j 2 // f2 ,, G ∃!φ && H Lema 1.4.1. Se (G0, j0 1, j 0
2) também é push-out de (i1, i2), então G e G0 são isomorfos.
Demonstração. Seja φ o único homomor smo de G em G0 e φ0 o único homomor smo de G0
em G dados pelo push-out. Então, sendo k = 1, 2, temos que φ ◦ jk = jk0 e φ 0◦ j0
k = jk ⇒
φ0 ◦ φ ◦ jk = jk e φ ◦ φ0 ◦ jk0 = j 0
k. Mas φ ◦ φ
0 e φ0 ◦ φ são únicos. Logo, φ ◦ φ0 = id G0 e φ0 ◦ φ = idG. Portanto, φ0 = φ−1.
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos
Teorema 1.4.1. Sejam i1 : G0 −→ G1, i2 : G0 −→ G2 homomor smos de grupos. Então, o
par (i1, i2) tem push-out.
Demonstração. Considere G0 = hX0; R0i ϕ0 , G1 = hX1; R1i ϕ1 , G2 = hX2; R2i ϕ2 .
Tome, para cada x0 ∈ G0, os elementos αx0,1 ∈ F (X1) e αx0,2 ∈ F (X2) tais que i1(x0) = ϕ1(αx0,1) e i2(x0) = ϕ2(αx0,2). Por m, considere X1∩ X2 = ∅ e tome
G =X1 ∪ X2; R1∪ R2∪αx0,1α
−1 x0,2
ϕ
e j1 : G1 −→ G, j2 : G2 −→ Gos homomor smos naturais tais que ϕ(xk) = jk◦ ϕk(xk), k =
1, 2. Daí, para cada x0 ∈ G0,
[j1◦ i1(x0)][j2◦ i2(x0)]−1 = j1(ϕ1(αx0,1))j2(ϕ2(αx0,2))
−1
= 1 ⇒ j1◦ i1 = j2◦ i2.
Seja H um grupo e f1 : G1 −→ H e f2 : G2 −→ H homomor smos tais que f1◦ i1 = f2◦ i2.
Temos que os homomor smos ϑ1 = f1◦ϕ1 e ϑ2 = f2◦ϕ2, triviais em R1 e R2 respectivamente,
induzem o homomor smo ϑ de F(X1∪ X2)em H tal que ϑ(xk) = ϑk(xk), ∀xk∈ Xk, k = 1, 2.
Ainda, ϑ(αx0,1α −1 x0,2) = ϑ1(αx0,1)ϑ2(αx0,2) −1 = [f1◦ϕ1(αx0,1)][f2◦ϕ2(αx0,2)] −1 = [f1◦i1(x0)][f2◦i2(x0)]−1 = 1.
Portanto, kerϕ ⊆ kerϑ. Assim, pelo teorema 1.2.1, existe um homomor smo φ : G −→ H tal que, para k = 1, 2, φ ◦ ϕ(xk) = ϑk(xk), ∀xk∈ Xk. Daí,
fk(ϕk(xk)) = ϑk(xk) = ϑ(xk) = φ ◦ ϕ(xk) = φ ◦ jk(ϕk(xk)) ⇒ φ ◦ jk= fk.
Provada a existência de φ, a unicidade vem do fato de que j1(G1) ∪ j2(G2) gera G. Como φ
já está de nida em j1(G1) ∪ j2(G2), temos que φ encontrada deve ser única.
Um exemplo interessante de push-out é dado pelo
Exemplo 1.4.1 (Teorema de van Kampen). Sejam X, X1, X2 espaços topológicos, X1, X2
não-vazios, conexos por caminhos, não disjuntos e abertos em X = X1∪ X2 = X e X1∩ X2
também conexo por caminhos. Então, o diagrama abaixo é um push-out, π1(X1∩ X2) i1∗ // i2∗ π1(X1) j1∗ π1(X2) j 2∗ //π1(X)
em que i1∗, i2∗, j1∗, j2∗ são os homomor smos entre grupos fundamentais induzidos pelas in-clusões dos espaços topológicos.
1.4. Produto Livre Amalgamado
1.4.2 Produto Livre Amalgamado
Dizemos que G é produto livre amalgamado de G1 e G2 com G0 amalgamado se i1, i2
são monomor smos. Escrevemos G = G1 ∗ G0
G2. Vamos tomar i1 e i2 como inclusões.
Para o enunciado do próximo teorema, recordemos que, sendo A, B grupos, B ≤ A, um subconjunto C de A é um transversal à direita de B em A se A = ˙∪
c∈CBc.
Teorema 1.4.2 (Teorema da Forma Normal para Produtos Livres Amalgamados). Seja G = G1 ∗
G0
G2. Então:
i) j1, j2 são monomor smos;
ii) j1(G1) ∩ j2(G2) = j1(G0) = j2(G0);
iii) tomando j1, j2 como inclusões, qualquer elemento de G pode ser unicamente escrito como
g0u1. . . un, onde n ≥ 0, g0 ∈ G0 e u1, . . . , un vêm alternadamente de S − {1} e T − {1},
em que S é um transversal à direita de G0 em G1 e T é um transversal à direita de G0
em G2, e 1 ∈ S ∩ T .
Demonstração. i) Suponha que exista um grupo H e monomor smos f1 : G1 H, f2 :
G2 H tais que f1 ◦ i1 = f2 ◦ i2. Então, pela de nição de push-out, existe um único
homomor smo φ : G −→ H tal que φ ◦ j1 = f1 e φ ◦ j2 = f2. Logo, φ ◦ j1 e φ ◦ j2 são
monomor smos, o que implica que j1, j2 são monomor smo. Portanto, precisamos encontrar
H, f1 e f2 que satisfaçam tais hipóteses.
De na H = P erm(G0× S × T ) e f1 : G1 −→ H da seguinte forma:
f1(g1)(g0, s, t) = ( ˜g0, ˜s, t), em que g1g0s = ˜g0s˜(já que G1 = ˙∪ s∈SG0s). Temos que f1(g1−1)( ˜g0, ˜s, t) = (g00, s 0, t) tal que g1−1g˜0s = g˜ 00s 0 ⇒ g 0s = g00s 0 ⇒ g0 0 = g0 e s0 = s,
pois G1 é união disjunta de G0s, s ∈ S. Daí, f1(g1−1)f1(g1) = f1(g1)f1(g−11 ) = idG0×S×T. Portanto, f1(g1−1) = f1(g1)−1, para cada g1 ∈ G1. Assim, f1(g1) é permutação, ∀g1 ∈ G1.
Agora, quero mostrar que f1 é homomor smo. Temos, ∀(g0, s, t) ∈ G0× S × T, g1, g01 ∈ G1,
que f1(g1)f1(g01)(g0, s, t) = f1(g1)(g00, s 0 , t) = ( ˜g0, ˜s, t), em que g10g0s = g00s 0 e g 1g00s 0 = ˜g0s,˜ ou seja, (g1g01)g0s = ˜g0s.˜ Portanto, f1(g1)f1(g10) = f1(g1g10), ∀g1, g01 ∈ G1.
Construímos f2 de maneira análoga. Assim, temos dois homomor smos. Quero mostrar que
f1, f2 são injetivos. Se g1 ∈ kerf1, então
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos Analogamente, mostramos que f2 é injetora.
Falta veri car que f1|G0 = f2|G0. Mas ∀g0 ∈ G0, ∀(g
0
0, s, t) ∈ G0× S × T,
f1(g0)(g00, s, t) = (g0g00, s, t) e f2(g0)(g00, s, t) = (g0g00, s, t),
pois g0g00 ∈ G0.
iii) Tomando j1, j2 como inclusões, temos que G1 ∪ G2 gera G. Logo, ∀g ∈ G, g =
g1. . . gn, gi ∈ G1 ∪ G2, i = 1, . . . , n. Se n = 1, então g = g0s, ou g = g0t ou g = g0,
g0 ∈ G0, s ∈ S − {1} , t ∈ T − {1}.
Seja n > 1. Por indução, suponha que g2. . . gn= g0u1. . . um, com u1, . . . , umalternadamente
de S −{1} e T −{1}, m > 0. Se g1 ∈ G0, g1g0 ∈ G0, então g é escrito como em (iii). Suponha
g1 ∈ G1− G0. Temos dois casos:
• se u1 ∈ S, então, g1g0u1 ∈ G1 ⇒ g1g0u1 = g00s, g 0 0 ∈ G0, s ∈ S − {1}; portanto, g = g00su2. . . um como em (iii) • se u1 ∈ T, então, g1g0 ∈ G1 − G0 ⇒ g1g0 = g00s, g 0 0 ∈ G0, s ∈ S − {1}; portanto, g = g00su1u2. . . um como em (iii).
O caso em que g1 ∈ G2 − G0 é análogo.
Suponha, por m, m = 0. Se g1 ∈ G0, nada mais a provar. Se g1 ∈ G1− G0, então
g1g0 ∈ G1− G0 ⇒ g1g0 = g00s, g 0
0 ∈ G0, s ∈ S − {1} .
Análogo para g1 ∈ G2.
Falta agora mostrar a unicidade. Para isso, utilizaremos o Método de van der Waerden. Seja W o conjunto de todas as sequências (g0, u1, . . . , un), com g0 ∈ G0, n ≥ 0 e u1, . . . , un
alternadamente de S − {1} e T − {1} e de na f1 : G1 −→ P erm(W )da seguinte forma: para
cada g1 ∈ G1 e (g0, u1, . . . , un) ∈ W f1(g1)(g0, u1, . . . , un) = (g00, s, u1, . . . , un) se u1 ∈ T, g1g0 = g00s, g 0 0 ∈ G0, s ∈ S − {1} (g00, u1, . . . , un) se u1 ∈ T, g1g0 = g00 ∈ G0 (g00, s, u2, . . . , un) se u1 ∈ S, g1g0u1 = g00s, g 0 0 ∈ G0, s ∈ S − {1} (g00, u2, . . . , un) se u1 ∈ S, g1g0u1 = g00 ∈ G0 Daí, aplicando f1(g1−1) em f1(g1)(g0, u1, . . . , un), f1(g1−1)(g00, s, u1, . . . , un) = (g0, u1, . . . , un), pois g1−1g00s = g0 ∈ G0 f1(g1−1)(g 0 0, u1, . . . , un) = (g0, u1, . . . , un), pois u1 ∈ T, g1−1g 0 0 = g0 ∈ G0 f1(g1−1)(g 0 0, s, u2, . . . , un) = (g0, u1, . . . , un), pois g1−1g 0 0s = g0u1, g00 ∈ G0, u1 ∈ S − {1} f1(g1−1)(g00, u2, . . . , un) = (g0, u1, . . . , un), pois u2 ∈ T, g1−1g00 = g0u1, g0 ∈ G0, u1 ∈ S − {1}
Aplicando f1(g1) em f1(g1−1)(g0, u1, . . . , un) obtemos o mesmo resultado (basta tomar g1 =
((g−11 )−1). Portanto, f1(g1) tem inversa f1(g−11 ) ⇒ f1(g1) é permutação, ∀g1 ∈ G1.
1.4. Produto Livre Amalgamado f1(g1), f1(g)(g00, s, u1, . . . , un) = (g000, u1, . . . , un) se gg00s = gg1g0 = g000∈ G0 f1(g)(g00, s, u1, . . . , un) = (g000, s 0, u 1, . . . , un) se gg00s = gg1g0 = g000s 0, g00 0 ∈ G0, s0 ∈ S − {1} f1(g)(g00, u1, . . . , un) = (g000, u1, . . . , un), se gg00 = gg1g0 = g000 ∈ G0 f1(g)(g00, u1, . . . , un) = (g000, s 0, u 1, . . . , un), se gg00 = gg1g0 = g000s 0, g00 0 ∈ G0, s0 ∈ S − {1} f1(g)(g00, s, u2, . . . , un) = (g000, u2, . . . , un), se gg00s = gg1g0u1 = g000∈ G0 f1(g)(g00, s, u2, . . . , un) = (g000, s0, u2, . . . , un), se gg00s = gg1g0u1 = g000s0, g000∈ G0, s0 ∈ S − {1} f1(g)(g00, u2, . . . , un) = (g000, s 0, u 2, . . . , un), se gg00 = gg1g0u1 = g000s 0, g00 0 ∈ G0, s0 ∈ S − {1} f1(g)(g00, u2, . . . , un) = (g000, u2, . . . , un), se gg00 = gg1g0u1 = g000 ∈ G0 e f1(gg1)(g0, u1, . . . , un) = (g000, u1, . . . , un) se u1 ∈ T, gg1g0 = g000 ∈ G0 f1(gg1)(g0, u1, . . . , un) = (g000, s 0, u 1, . . . , un) se u1 ∈ T, gg1g0 = g000s 0, g00 0 ∈ G0, s0 ∈ S − {1} f1(gg1)(g0, u1, . . . , un) = (g000, u2, . . . , un), se u1 ∈ S, gg1g0u1 = g000 ∈ G0 f1(gg1)(g0, u1, . . . , un) = (g000, s0, u2, . . . , un), se u1 ∈ S, gg1g0u1 = g000s0, g000 ∈ G0, s0 ∈ S − {1}
Analogamente, de nimos f2 : G2 −→ P erm(W ).
Seja g ∈ G0. Então,
f1(g)(g0, u1, . . . , un) = (gg0, u1, . . . , un) = f2(g)(g0, u1, . . . , un).
Portanto, existe um (único) homomor smo φ : G −→ P erm(W ) tal que φ|G1 = f1 e φ|G2 = f2. Daí, sejam g0u1. . . un e g00u
0 1. . . u
0
m duas formas normais de g ∈ G. Então,
φ(g)(1) = φ(g0)φ(u1) . . . φ(un)(1) = φ(g0)φ(u1) . . . φ(un−1)(1, un) = (g0, u1, . . . , un) =
= φ(g00)φ(u01) . . . φ(u0m)(1) = (g00, u01, . . . , u0m) ⇒ g0 = g00, m = n e ui = u0i, i = 1, . . . , n.
ii) j1(G0) = j2(G0) ⊆ j1(G1) ∩ j2(G2). Seja, então, g ∈ j1(G1) ∩ j2(G2). Temos que
g = j1(g0s) = j2(g00t), g0, g00 ∈ G0, s ∈ S, t ∈ T.
Pela unicidade da forma normal, s = t = 1 e g = j1(g0) = j2(g00) ∈ j1(G0) = j2(G0). Se j1, j2
são inclusões, então G1∩ G2 = G0.
Uma outra forma de se pensar os elementos de G, sem fazer uso dos conjuntos transversais, é dada pelo seguinte teorema:
Teorema 1.4.3 (Teorema da Forma Reduzida para Produtos Livres Amalgamados). Seja G = G1 ∗
G0
G2 e considere j1, j2 inclusões. Então:
i) qualquer g ∈ G − G0 pode ser escrito como g1. . . gn, com n ≥ 1 e g1, . . . , gn
alternada-mente de G1− G0 e G2− G0 (forma reduzida de g);
ii) se g também pode ser escrito como h1. . . hm com h1, . . . , hm alternadamente de G1−G0 e
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos iii) se n > 1, então g /∈ G1∪ G2;
iv) se g1, . . . , gn são alternadamente de G1− G0 e G2− G0, então g1. . . gn∈ G/ 0.
Demonstração. i) Sabemos que g assume forma normal g0u1. . . un. Se n = 0, g ∈ G0,
con-tradição. Portanto, n ≥ 1. Se u1 ∈ S, então g0u1 ∈ G1− G0, e u2 ∈ T − {1} ⊆ G2 − G0.
Portanto, tomando g1 = g0u1, g2 = u2, . . . , gn = un, g é escrito alternadamente com termos
de G1− G0 e G2− G0. Se u1 ∈ T, análogo.
ii) Vamos provar por indução no comprimento da forma reduzida de g. Se m = 1, então g = h1 ∈ G1− G0. Assim, g = g0u1, g0 ∈ G0, u1 ∈ S − {1}.
Seja g = h1. . . hm, m > 1, um forma reduzida de g. Temos que h2. . . hm tem forma normal
g0u2. . . uk. Por indução, m = k, h2G0 = g0u2G0, G0hk = G0uk e G0hiG0 = G0uiG0, i =
3, . . . , k − 1.
Suponha h1 ∈ G1 − G0 (o caso h1 ∈ G2− G0 é análogo). Então, h2 ∈ G2− G0 ⇒ g0u2 ∈
G2−G0. Portanto, hi, uipertencem ao mesmo conjunto G1−G0ou G2−G0 para i ≥ 3. Como
h1g0 ∈ G1− G0, tome h1g0 = g00u1, g00 ∈ G0, u1 ∈ S − {1}. Então, g00u1u2. . . um é forma
nor-mal de g. Portanto, o comprimento da forma reduzida de g é o comprimento da forma nornor-mal de g, que é único. Ainda, h1G0 = h1g0G0 = g00u1G0, G0hiG0 = G0uiG0, i = 3, . . . , k − 1, e
G0hk= G0uk.
iii) Se g ∈ G1 ∪ G2, então g = g0 ∈ G0, ou g = g0s, g0 ∈ G0, s ∈ S − {1}, ou
g = g0t, go ∈ G0, t ∈ T − {1}. Em qualquer caso, n ≤ 1.
iv) Suponha g = g1. . . gn ∈ G0, n ≥ 1, um produto alternado, e g1 ∈ G1 − G0. Tome
g0 ∈ G2− G0. Então, g0g ∈ G2− G0. Assim, g0g tem forma reduzida g0g1. . . gn, contradição
(pela (iii)).
Proposição 1.4.1. Sejam G1, G2 subgrupos de um grupo G e G0 = G1∩ G2. Então, G =
G1 ∗ G0
G2 se e somente se todo elemento de G−G0 pode ser escrito como um produto g1. . . gn,
com gi alternadamente de G1− G0 e G2− G0, e nenhum desses produtos é 1.
Demonstração. (⇒) Pelo teorema 1.4.3.
(⇐) Sejam f1, f2 as inclusões de G1 em G e G2 em G, respectivamente. Então, existe um
(único) homomor smo φ de G1 ∗ G0
G2 em G tal que φ|G1 = f1 e φ|G2 = f2. Se g /∈ G0, pelo teorema 1.4.3, g = g1. . . gn produto alternado ⇒ φ(g) = φ(g1) . . . φ(gn) = g1. . . gn.
Se g ∈ kerφ, então g = 1. Portanto, φ é injetiva. Ainda, se g ∈ G0 então φ(g) = g e se
g ∈ G, por hipótese g é o produto alternado g1. . . gn= φ(g). Portanto, φ é sobrejetiva. Logo,
G = G1 ∗ G0
G2.
1.5 Extensões HNN
De nição 1.5.1. Sejam G e A grupos, i0, i1 monomor smos de A em G e P um grupo
cíclico in nito gerado por p. Seja N = h{p−1i
0(a)pi1(a)−1, a ∈ A}i G∗P
. Então, H = (G ∗ P )/N é chamada extensão HNN de grupo base G com letra estável t e subgrupos associados i0(A) e i1(A).
1.5. Extensões HNN
O termo HNN vem de Highman, Neumann e Neumann, que estudaram, em 1949, essa construção a partir de subgrupos de certos produtos livres amalgamados.
Pensando em A como um subgrupo de G, i0 uma inclusão e B = i1(A), temos que
ϕ : A −→ B, dado por ϕ(a) = i1(a), é um isomor smo. De nimos, então, a
exten-são HNN H = (G ∗ P )/ h{p−1apϕ(a)−1}iG∗P
. Se G = hX|Ri, então H tem apresentação hX, p | R, p−1ap = ϕ(a), a ∈ Ai ou, ainda, hX, p|R, p−1Ap = Bi. A extensão HNN H
tem notação HNN(G, A, p, ϕ).
De forma mais geral, sejam Aα uma família de subgrupos de G e i0,α, i1,αmonomor smos
de Aαem G, P um grupo livre com base {pα}e N = h{p−1α i0,α(a)pαi1,α(a)−1; ∀α, ∀a ∈ Aα}i G∗P
. De nimos H = (G ∗ P )/N a extensão HNN de grupo base G com letras estáveis {pα}e pares
associados de subgrupos i0,α(Aα) e i1,α(Aα).
Exemplo 1.5.1. 1) O grupo livre F(X) é a extensão HNN do grupo trivial com letras estáveis x ∈ X.
Exemplo 1.5.2. 2) Sejam G = Z ∼= A = hai , B = 2Z ∼= ha2i e ϕ : A −→ B o iso-mor smo dado por ϕ(a) = a2. Então, a extensão HNN de grupo base A com letra
está-vel t e subgrupos associados A e B tem apresentação H = ha, p | p−1anp = a2ni , n ∈ Z.
Como p−1anp = (p−1ap)n, temos que H = ha, p | p−1ap = a2i, conhecido como grupo de
Baumslag-Solitar BS(1, 2).
Antes de enunciar a próxima proposição, considere H = HNN(G, A, p, ϕ), j : G −→ H o homomor smo induzido da inclusão de G em G ∗ P e N = h{p−1apϕ(a)−1, a ∈ A}iG∗P
. Proposição 1.5.1 (Propriedade Universal de Extensões HNN). Seja θ um homomor smo de G em K, em que K é um grupo tal que existe k ∈ K com k−1θ(a)k = θ(ϕ(a)), ∀a ∈ A.
Então, ∃!φ : H −→ K homomor smo tal que φ ◦ j = θ e φ(p) = k. G θ // j K H ∃!φ >>
Demonstração. Considere o diagrama G // θ ## G ∗ P oo ? _P f {{ K
em que f é um homomor smo de P em K dado por f(p) = k. Então, pela propriedade universal do produto livre, ∃!φ0 : G ∗ P −→ K homomor smo tal que φ0|
G = θ e φ0(p) = k.
Ainda,
φ0(p−1apϕ(a)−1) = φ0(p)−1φ0(a)φ0(p)φ0(ϕ(a))−1 = k−1θ(a)kθ(ϕ(a))−1 = 1, ∀a ∈ A. Portanto, φ0 induz um homomor smo φ : H −→ K tal que φ ◦ j(g) = φ0(g), ∀g ∈ G e
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos
Em particular, se K = P e θ : G −→ P é trivial, existe um homomor smo φ : H −→ P tal que φ|hpN i é um isomor smo de hpNi em P . Portanto, vamos enxergar P como uma
inclusão em H.
Teorema 1.5.1 (Teorema da Forma Normal para Extensões HNN). Seja H = HNN(G, A, p, ϕ), j : G −→ H o homomor smo induzido pela inclusão G ,→ G∗P e S, T transversais à direita de A e B em G respectivamente, 1 ∈ S ∩ T . Então,
i) j é monomor smo;
ii) tomando j como inclusão, todo h ∈ H pode ser unicamente escrito como g0p1g1p1. . . pngn,
em que n ≥ 0, i = ±1, g0 ∈ G e, para i ≥ 1, gi ∈ S se i = −1, gi ∈ T se i = 1 e, se
i = −i+1, então gi 6= 1. Dizemos que g0p1g1p1. . . pngn é a forma normal de h.
Demonstração. i) Utilizaremos o Método de van der Waerden. Seja W o conjunto de todas as sequências (g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn)tais que n ≥ 0, g0 ∈ G, i = ±1, gi ∈ Sse i = −1, gi ∈ T
se i = 1 e, se i = −i+1, então gi 6= 1. De na θ : G −→ P erm(W ) por
θ(g)(g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn) = (gg0, 1, g1, 2, . . . , n, gn).
É fácil ver que θ é monomor smo e θ(g−1) = θ(g)−1.
Seja k : W −→ W dado por k(g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn) =
(a, 1, t, 1, g1, 2, . . . , n, gn) se 1 = −1 e t 6= 1 ou se 1 6= −1
(ag1, 2, . . . , n, gn) se 1 = −1 e t = 1
em que g0 = bt, b ∈ B, t ∈ T e a = ϕ−1(b). (Assim, k(g0) = (a, 1, t)).
De na
k−1(g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn) =
(b, −1, s, 1, g1, 2, . . . , n, gn) se 1 = 1 e s 6= 1 ou se 1 6= 1
(bg1, 2, . . . , n, gn) se 1 = 1 e s = 1
em que g0 = as, a ∈ A, s ∈ S e b = ϕ(a).
É simples veri car que kk−1 = k−1k = id
W. Portanto, k ∈ P erm(W ).
Vemos que ∀a ∈ A,
θ(a)k(g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn) =
(aa0, 1, t,
1, g1, 2, . . . , n, gn) se 1 = −1 e t 6= 1 ou se 1 6= −1
(aa0g1, 2, . . . , n, gn) se 1 = −1 e t = 1
em que g0 = bt, b ∈ B, t ∈ T e a0 = ϕ−1(b). Daí, kθ(ϕ(a))(g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn) =
k(ϕ(a)g0, 1, g1, 2, . . . , n, gn) =
(aa0, 1, t,
1, g1, 2, . . . , n, gn) se 1 = −1 e t 6= 1 ou se 1 6= −1
(aa0g1, 2, . . . , n, gn) se 1 = −1 e t = 1,
pois ϕ(a)g0 = ϕ(a)bt e ϕ−1(ϕ(a)b) = aϕ−1(b) = aa0. Portanto, θ(a)k = kθ(ϕ(a)).
Pela propriedade universal da extensão HNN, ∃! φ : H −→ P erm(W ) tal que φ ◦ j = θ e φ(p) = k. Como θ é injetora, j é um monomor smo.
1.5. Extensões HNN
ii) Seja h ∈ H. Então, h = g0 0pδ1g 0 1pδ2. . . pδmg 0 m, g 0
i ∈ G, δi = ±1. Nesse caso, dizemos
que h tem comprimento m. Por indução no comprimento da palavra, g0
1pδ2. . . pδmg0m tem
forma normal, suponha g00 0pµ1g 00 1pµ2. . . pµrg 00 r. Portanto, h = g 0 0pδ1g 00 0pµ1g 00 1pµ2. . . pµrg 00 r. Se essa
decomposição de h não é normal, temos os seguintes casos: 1o) g00
0 = 1e δ1 = −µ1. Então, pδ1pµ1 = 1. Portanto, h tem forma normal (g00g 00 1)pµ2g 00 2pµrg 00 r. 2o) δ 1 = 1 e g000 ∈ T/ . Então, g000 = bt, b ∈ B, t ∈ T ⇒ pg000 = pbt = ϕ−1(b)pt = apt.
Portanto, h tem forma normal (g0
0a)ptpµ1g 00 1 . . . pµrg 00 r. 3o) δ 1 = −1 e g000∈ S/ é análogo ao 2o caso.
Se h tem formas normais g0p1g1. . . pngne h0pδ1h1. . . pδmhm, então φ(g0p1g1. . . pngn)(1) =
φ(h0pδ1h1. . . pδmhm)(1). Mas
φ(pn)φ(g
n)(1) = kn(gn) =
(1, 1, gn) se n = 1
(1, −1, gn) se n = −1.
Por indução, é fácil mostrar que φ(g0p1g1. . . pngn)(1) = (g0, 1, g1, . . . , n, gn). Portanto,
m = n, g0 = h0, i = δi e gi = hi para i ≥ 1.
Assim como em produto livre amalgamado, é possível escrever elementos de H sem usar o conceito de conjunto transversal.
Teorema 1.5.2 (Teorema da Forma Reduzida ou Lema de Britton). Seja H = HNN(G, A, p, ϕ). Então:
i) todo h ∈ H pode ser escrito como g0p1g1. . . pngn, em que n ≥ 0, i = ±1, gi ∈ G e
h não possui subpalavra p−1ap, a ∈ A, ou pbp−1, b ∈ B. Dizemos que essa é a forma reduzida de h.
ii) se h tem outra forma reduzida h0pδ1h1. . . pδmhm, então m = n e i = δi para cada
i = 1, . . . , n. Além disso, se 1 = 1, então h0A = g0A. Se 1 = −1, então h0B = g0B.
iii) Se h tem forma reduzida e n > 0, então h /∈ G.
iv) Se h = g0p1g1. . . pngn ∈ G, com n > 0, gi ∈ G, i = ±1, então h tem subpalavra
p−1ap, a ∈ A ou pbp−1, b ∈ B.
Demonstração. i) Suponha que a forma normal de h não seja uma forma reduzida. Então, existe uma subpalavra em h da forma p−1ap, a ∈ Aou pbp−1, b ∈ B. Suponha p−1ap. Então,
a ∈ S ⇒ a = 1, pois A ∩ S = 1, contradição. Se a subpalavra é pbp−1, então b ∈ T ⇒ b = 1, contradição.
ii) Vamos provar por indução no comprimento da forma reduzida de h ∈ H. Se h tem comprimento 0, então h = h0 ∈ Gé a forma normal de h.
Suponha h = g0p1g1. . . pngn uma forma reduzida de h, n > 0. Então, p2g2. . . pngn está
na forma reduzida e possui forma normal g0 0pδ2g
0
2. . . pδmg 0
Capítulo 1. Teoria Combinatorial de Grupos
forma reduzida, m = n, i = δi para cada i = 2, . . . , n e, se 2 = 1, então g00 ∈ A; mas se
2 = −1, então g00 ∈ B. Daí, h = g0p1g1p2g2. . . pngn= g0p1g1g00p 2g0 2. . . p ng0 n.
Consideremos 1 = 1 (O caso 1 = −1 é análogo). Então, pg1g00 = pbt = apt, b ∈ B, t ∈
T, a = ϕ−1(b). Daí, se t 6= 1, (g0a)ptp2g20 . . . png0n é forma normal de h, e g0aA = g0A.
Se t = 1 e 2 = −1, h tem forma reduzida g0pg1p−1. . . pngn. Mas g00 ∈ B ⇒ g1 ∈ B, pois
g1g00 = b. Então, pg1p−1 é subpalavra de h, contradição.
iii) Se h = g0p1g1p2g2. . . pngn ∈ G é da forma reduzida, n > 0, então h = g00 ∈ G
também é forma reduzida, e h tem comprimento 0. Pela (ii), contradição. Portanto, h deve conter palavra da forma p−1ap, a ∈ Aou pbp−1, b ∈ B. Logo, (iv) está provada.
Capítulo 2
Teoria de Bass-Serre
2.1 Grafos
De nição 2.1.1. Seja Γ uma estrutura composta por dois conjuntos disjuntos, V (Γ) e E(Γ), e duas funções, σ : E(Γ) −→ V (Γ) e ∗ : E(Γ) −→ E(Γ), tais que e 6= e e e = e, ∀e ∈ E(Γ). Dizemos que Γ é um grafo. Chamamos E(Γ) o conjunto de arestas de Γ e V (Γ) o conjunto de vértices de Γ. Podemos de nir outra função τ : E(Γ) −→ V (Γ) dada por τ(e) = σ(e). Denominamos σ(e) o começo de e, τ(e) o m de e e e o inverso de e. Se σ(e) = τ(e), dizemos que e é um laço.
Representaremos V (Γ) por V e E(Γ) por E.
De nição 2.1.2. Um caminho em Γ é uma sequência nita de arestas e1. . . en tal que
τ (ei) = σ(ei+1), i = 1, . . . , n − 1. Esse caminho tem comprimento n, começa em σ(e1) e
termina em τ(en). Dizemos que o caminho é:
• um vértice se n = 0;
• simples se σ(e1), σ(e2), . . . , σ(en−1), τ (en) são todos os distintos.
• reduzido se para todo i = 1, . . . , n − 1 temos que ei+16= ei;
• fechado se τ(en) = σ(e1);
Se dois vértices são ligados por um caminho, eles podem ser ligados por um caminho reduzido. De fato, sejam v, w dois vértices de Γ e e1, . . . , en um caminho que começa em
v e termina em w. Se n > 2, suponha ei+1 = ei para algum i. Então, e1. . . ei−1ei+2. . . en
é um caminho de v a w, pois τ(ei−1) = σ(ei) = τ (ei) = τ (ei+1) = σ(ei+2). Esse processo é
chamado de redução elementar. Daí, se existe j no novo caminho tal que ej+1 = ej, basta
realizar o processo de redução elementar novamente. Como ele é nito, chegaremos em um caminho reduzido.
Se n = 2 e e2 = e1, o caminho reduzido é o vértice σ(e1) = v, chamado de caminho reduzido
fechado de comprimento 0.
2.1. Grafos
De nição 2.1.3. Sejam f, g respectivamente os caminhos e1. . . en e e01. . . e 0
m tais que
τ (en) = σ(e01). Então, de nimos o produto f ·g como o caminho e1. . . ene01. . . e0m, e f ·τ(en) =
f, σ(e1) · f = f. Chamamos de f = en. . . e1 a inversa de f.
Vamos denotar f · g por fg.
De nição 2.1.4. Se Γ1 é uma estrutura composta por V1 ⊆ V e E1 ⊆ E tais que e ∈ E1 e
σ(e) ∈ V1, ∀e ∈ E1, então Γ1 é um subgrafo de Γ. Ainda, τ(e) = σ(e) ∈ V1, ∀e ∈ E1.
A união e a interserção arbitrária de subgrafos de Γ é também um subgrafo de Γ.
De nição 2.1.5. Um grafo Γ é conexo se dados quaisquer dois vértices de Γ existe um caminho em Γ que os liga.
Seja {Γi}i∈I uma família de grafos conexos tal que T i∈I
Γi 6= ∅. Tome v0 ∈
T
i∈I
Γi. Dados
quaisquer dois vértices v, w em S
i∈I
Γi, existe um caminho f de v a v0 e outro caminho g de
w a v0. Daí, fg é um caminho em S i∈I
Γi de v a w. Portanto, S i∈I
Γi é conexo.
Lema 2.1.1. Seja Γ um grafo conexo e S um subconjunto não-vazio de V tal que, ∀e ∈ E, se σ(e) ∈ S, então τ(e) ∈ S. Então, S = V .
Demonstração. Seja v ∈ V , w ∈ S e e1. . . enum caminho em Γ tal que σ(e1) = we τ(en) = v.
Por hipótese, τ(e1) = σ(e2) ∈ S. Logo, por indução, τ(en) = v ∈ S. Como v é arbitrário,
temos que V = S.
De nição 2.1.6. Uma oresta é um grafo que não possui caminhos reduzidos fechados de comprimento n > 0. Uma árvore é uma oresta conexa.
Embora oresta seja um conceito mais geral, árvore é o assunto de interesse para resul-tados a serem apresenresul-tados posteriormente.
2.1.1 Árvores Maximais
Lema 2.1.2. Um grafo conexo Γ é uma árvore se e somente se quaisquer dois vértices v e w de Γ podem ser ligados por um único caminho reduzido.
Demonstração. (⇒) Sejam v e w dois vértices de Γ. Como Γ é conexo, existe um caminho reduzido f = f1. . . fnde v a w. Suponha g = g1. . . gm um caminho reduzido distinto de f de
v a w. Então, fg é um caminho fechado em v. Aplicando o processo de redução de caminhos em fg, chegamos num caminho reduzido fechado h em v de comprimento n > 0. De fato, se h é um vértice, então m = n e fi = gi para cada i = 1, . . . , n, contradição. Mas Γ é árvore.
Portanto, f é único.
(⇐) Suponha v vértice de Γ tal que existe um caminho reduzido fechado e1. . . en em v de
comprimento n > 0. Seja w = τ(e1). Então, e1 e e2, . . . , en são caminhos reduzidos distintos
de w a v, contradição.
De nição 2.1.7. Seja Γ um grafo. Dizemos que T é árvore maximal de Γ se T é árvore e Γ1 não é árvore, ∀Γ1 subgrafo de Γ tal que Γ1 ⊃ T.
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
Proposição 2.1.1. Todo grafo Γ contém uma árvore maximal.
Demonstração. Seja Ω um subconjunto do conjunto de todas as árvores de Γ tal que Ti ⊆ Tj
ou Tj ⊆ Ti para todo Ti, Tj ∈ Ω. Então, T = S Ti∈Ω
Ti é árvore. De fato, suponha f um
caminho reduzido fechado de comprimento n > 0 em T . Então, f está em Ti para algum i,
contradição. Por m, aplicando o Lema de Zorn, existe uma árvore maximal de Γ.
Proposição 2.1.2. Seja Γ um grafo conexo e T uma árvore de Γ. Então, T é árvore maximal de Γ se e somente se V (T ) = V (Γ).
Demonstração. (⇒) Suponha V (T ) 6= V (Γ). Então, existe e ∈ E(Γ) tal que σ(e) /∈ V (T ) mas τ(e) ∈ V (T ). Daí, T ∪ {σ(e), e, e} é árvore, contradição, pois T é maximal.
(⇐) Seja Γ1 um subgrafo de Γ tal que Γ1 ⊃ T. Como V (T ) = V (Γ), deve existir e ∈
E(Γ1) − E(T ). Daí, Γ1 contém dois caminhos reduzidos de σ(e) a τ(e): e e o caminho
reduzido em T . Portanto, Γ1 não é árvore.
Proposição 2.1.3. Seja Γ um grafo conexo nito com n vértices e m pares de arestas. Então, Γ é uma árvore se e somente se n = m + 1.
Demonstração. (⇒) Se n = 1, então m = 0. Seja Γ uma árvore nita com n vértices e m pares de arestas. Se Γ1 é uma subárvore de Γ com n − 1 vértices, então, por indução, Γ1
tem n − 2 arestas. Seja v ∈ V (Γ) − V (Γ1). Então, v = σ(e) para algum e ∈ E(Γ) − E(Γ1).
Suponha que Γ possui m arestas, m > n − 1. Então, existe e1 ∈ E(Γ) − E(Γ1), e1 6= e, tal
que σ(e1) = σ(e). Seja f o caminho reduzido de τ(e) a τ(e1) em Γ1. Então, f e ee1 são
dois caminhos distintos reduzidos de τ(e) a τ(e1). Assim, Γ não é árvore, contradição. Como
m > n − 2, então m = n − 1. Portanto, n = m + 1.
(⇐) Seja T uma árvore maximal de Γ. Então, V (T ) = V (Γ). Portanto, T possui n vértices. Pelo que acabamos de provar, T possui n − 1 arestas. Mas Γ possui n − 1 arestas. Como T ⊆ Γ, então T = Γ.
Seja I um conjunto e {Ti}i∈I uma família de subárvores de um grafo Γ tal que Ti∩ Tj = ∅
para i 6= j. Ainda, considere que todo vértice de V está em S
i∈I
Ti. Desejamos construir um
grafo ∆ da seguinte maneira: • V (∆) = I; • E(∆) = e ∈ E | e /∈ S i∈I Ti
. Se e ∈ E(∆), então e ∈ E(∆).
Daí, se e ∈ E(∆), σ(e) = i tal que, para quando e ∈ E, σ(e) ∈ Ti. Análogo para τ :
E(∆) −→ V (∆).
Dizemos que ∆ é um grafo obtido de Γ pela contração de árvores {Ti}i∈I de Γ.
Lema 2.1.3. i) ∆ é conexo ⇔ Γ é conexo. ii) ∆ é árvore ⇔ Γ é árvore.
2.1. Grafos
Demonstração. i) (⇒) Sejam v, w ∈ V, v 6= w. Sabemos que v ∈ Ti e w ∈ Tj. Se i = j,
existe caminho de v a w em Γ pois Ti é árvore. Caso contrário, existe um caminho e1. . . en
em ∆ de i em j. Considere e1. . . en ∈ Γ. Então, existe um caminho f0 ∈ Ti de v a σ(e1),
existem caminhos fk∈ Tτ (ek), ek∈E(∆) de τ(ek)em σ(ek+1), k = 1, . . . , n − 1, e existe caminho fn∈ Tj de τ(en) a w. Portanto, f0e1f1e2. . . enfn é um caminho de v a w em Γ.
(⇐) Sejam i, j ∈ V (∆), i 6= j. Se v ∈ Ti e w ∈ Tj, existe um caminho e1. . . en em Γ de v a
w. Se ek ∈
S
l∈I
Tl para k ∈ {1, . . . , n}, então ek ∈ Tl para algum l ∈ I e para todo k. De fato,
se ek∈ Tl1 e ek+1 ∈ Tl2, temos que
τ (ek) = σ(ek+1) ∈ Tl1 ∩ Tl2 ⇒ Tl1 = Tl2, k = 1, . . . , n − 1. Portanto, l = i = j, contradição. Logo, existem ek1, . . . , eks ∈/
S
l∈I
Tl, k1 < . . . < ks. Então,
ek1. . . eks é um caminho em ∆ de i a j.
ii)(⇒) Suponha que Γ não é árvore. Se Γ é desconexo, então ∆ é desconexo, e portanto não é árvore. Suponha Γ conexo. Seja e1. . . en um caminho reduzido fechado de v em Γ
de comprimento > 0. Sejam ek1, . . . , eks, k1 < . . . < ks não pertencentes a S
l∈I
Tl. Então,
ek1. . . eks é um caminho reduzido fechado em ∆ de comprimento > 0. De fato, se ekj = ekj+1 para algum j ∈ {1, . . . , s − 1}, então o caminho ekj+1. . . ekj+1−1 é um caminho fechado e reduzido de comprimento > 0 em alguma das subárvores, absurdo.
(⇐) Suponha que ∆ é conexo e não é árvore. Seja e1. . . en um caminho reduzido fechado
de i em ∆ de comprimento > 0. Então, existe um caminho reduzido f0 ∈ Ti de τ(en) a
σ(e1)e existem caminhos reduzidos fk ∈ Tτ (ek), ek∈E(∆) de τ(ek)em σ(ek+1), k = 1, . . . , n − 1. Portanto, f0e1f1e2. . . en é um caminho reduzido fechado de comprimento > 0 em Γ.
Sejam Γ um grafo. Considere
• ZV o grupo abeliano livre com base V ; • ZE
N , em que N = he + e, e ∈ Ei
ZE, o grupo abeliano livre com base o conjunto contendo
uma única aresta para cada par {e, e} em E. Assim, de nimos os homomor smos
• : ZV −→ Z dado por (v) = 1, ∀v ∈ V ; • δ : ZE
N −→ ZV dado por δ(e) = τ (e) − σ(e), ∀e ∈ E (aqui estamos denotando eN por
e). Vemos que δ(−e) = −(τ(e) − σ(e)) = −(σ(e) − τ(e)) = δ(e). Se Pn i=1ziei ∈ ZEN , então ◦ δ( n X i=1 ziei) = n X i=1 zi(δ(ei)) = n X i=1 zi((τ (e)) − (σ(e))) = n X i=1 zi(1 − 1) = 0.
Portanto, Imδ ⊆ ker.
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre ii) Γ é árvore ⇔ kerδ = 0.
Demonstração. i) (⇒) Se v, w ∈ V , então (v − w) = 0. Seja Pn
i=1zi ∈ ker. Vemos que n X i=1 zivi = z1(v1− v2) + (z1+ z2)(v2− v3) + . . . + +(z1+ . . . + zn−1)(vn−1− vn) + (z1 + . . . + zn) | {z } 0, pois (Pn i=1zivi)=Pni=1zi=0 vn.
Portanto, ker é gerado por {v − w, v, w ∈ V }. Seja e1. . . en um caminho em Γ tal que
σ(e1) = w e τ(en) = v. Então, δ(e1+ . . . + en) = v − w. Portanto, Imδ = ker.
(⇐) Seja Γ desconexo. Sejam v, w ∈ V tais que não existe caminho entre v e w em Γ. Tome 0 : ZV −→ Z o homomor smo dado por, para z ∈ V ,
0
(z) = 1 se existe caminho de z a v em Γ 0(z) = 0, caso contrário.
É fácil vermos que 0 ◦ δ = 0. Se v − w ∈ Imδ, então 0(v − w) = 0. Mas 0(v − w) =
0(v) − 0(w) = 1 − 0 = 1. ii) (⇒) Seja Pn
i=1ziei ∈ kerδ não trivial. Vamos supor ei 6= ej se i 6= j e zi > 0 (se zi < 0,
basta considerar ziei = (−zi)(−ei)). Então,
δ( n X i=1 ziei) = n X i=1 (τ (ei) − σ(ei)) = 0, zi > 0, i = 1, . . . , n.
Portanto, para cada i, existem j, k 6= i tais que σ(ei) = τ (ej) e τ(ei) = σ(ek). Ou seja, se
Γ1 é um subgrafo nito de Γ que contém {ei, ei, i = 1, . . . , n} e {σ(ei), σ(ei), i = 1, . . . , n},
um caminho reduzido f1. . . fm de maior comprimento possível em Γ1. Tome o caminho de
tal forma que fi = ej para algum par i, j. Como cada vértice de ek, k = 1, . . . , n, tem ao
menos duas arestas er, es, construa o caminho f = f1. . . fi−1ejek1. . . ekl. Daí, se kl= m − i, devemos ter que τ(ekl) é um vértice em f. Isso nos dá um caminho reduzido fechado de comprimento > 0 em Γ.
(⇐) Suponha que Γ não é árvore. Então, seja e1. . . en um caminho reduzido fechado em Γ,
n > 0. Temos que δ(e1+ . . . + en) = τ (en) − σ(e1) = 0. Portanto, e1. . . en∈ kerδ.
2.1.2 O Grupo Fundamental de Grafos
De nição 2.1.8. Seja Γ um grafo. Dizemos que o caminho f em Γ é homotópico ao caminho g em Γ se existe uma sequência de caminhos fk em Γ, 1 ≤ k ≤ m, para algum
m ∈ N, tal que f1 = f e fm = g e, para todo k < m, fk+1 e fk se diferenciam por uma
redução elementar. Nesse caso, podemos de nir a relação f ∼ g. É fácil ver que ∼ é uma relação de equivalência.
Se f, g são caminhos de v a w, f0, g0 são caminhos de w a u e f ∼ g, f0 ∼ g0, então
f f0 ∼ gg0. De fato, seja f
k a sequência de caminhos de f a g. Então, fkf0 é uma sequência
2.1. Grafos
Da mesma forma, ff0 ∼ gg0. Além disso, ff ∼ v.
A relação de equivalência ∼ de ne classes de equivalência [f] chamados classes de ho-motopia de f.
De nição 2.1.9. O conjunto das classes de homotopia de caminhos fechados de v em Γ com o produto [f] [f0] = [f f0] é chamado de grupo fundamental de Γ com ponto base v, e é
denotado por π1(Γ, v). Vemos que 1 = [v] e [f] −1
=f .
Seja Γ conexo. Se g é um caminho de v a um vértice w, então a aplicação [f] 7−→ [gfg] de π1(Γ, v)a π1(Γ, w)de ne um isomor smo entre os grupos fundamentais. De fato,
• se f, f0 são caminhos fechados em v, então [gfg] [gf0g] = [gf ggf0g] = [gf f0g];
• gf g ∼ w ⇒ gf ∼ g ⇒ f ∼ gg ∼ v ⇒ [f ] = 1;
• se g0 é um caminho fechado em w, [g0] = [ggg0gg], em que [gg0g] é um caminho fechado
em v.
Portanto, denotamos π1(Γ, v) por π1(Γ).
Teorema 2.1.1. Seja T uma árvore maximal em Γ conexo. Então, π1(Γ) tem apresentação
hE | R ∪ {e : e ∈ T }i, em que R ⊆ F(E), R = {ee : ∀e ∈ E}.
Demonstração. Tome a ∈ V (Γ). Quero mostrar que π1(Γ, a) ∼= F (E)/ hR ∪ {e : e ∈ T }i.
Para isso, de nimos o homomor smo φ : F(E) −→ π1(Γ, a) tal que φ(e) = fvefw
, em que v = σ(e) e w = τ(e), fv é o caminho reduzido em T de a a v e fw o caminho reduzido em T
de a a w. Daí, se f ∈ F(E) e f = e1. . . en, ei ∈ E para i = 1, . . . , n, σ(e1) = v, τ (en) = w,
e1. . . en um caminho em Γ, então
φ(f ) = φ(e1) . . . φ(en) =fve1fτ (e1) fσ(e2)e2fτ (e2) . . . fσ(en)enfw = =fve1fτ (e1)fσ(e2)e2fτ (e2). . . fσ(en)enfw = fve1. . . enfw = fvf fw .
Seja f um caminho fechado em a. Então, [f] = faf fa = φ(f ), em que fa é o caminho
trivial de a em a. Portanto, φ é sobrejetora.
Quero mostrar agora que kerφ = hR ∪ {e : e ∈ T }iF (E)
. Para todo e ∈ E, φ(ee) =fσ(e)eefτ (e) = fσ(e)fσ(e) = 1.
Se e ∈ T , fτ (e)= efσ(e). Então,
φ(e) =fσ(e)efτ (e) = fσ(e)eefσ(e) = 1.
Portanto, hR ∪ {e : e ∈ T }iF (E)
⊆ kerφ.
Seja f um caminho em Γ com começo em v e m em w. Se φ(f) = 1, então fvf fw = 1. Daí,
fvf fw ∼ a ⇒ f ∼ fvfw. Como fvfw é um caminho reduzido em T , temos que f é reduzido a
Capítulo 2. Teoria de Bass-Serre
e ∈ T e caminhos ee, e ∈ E. Portanto, f é consequência de {e : e ∈ T } ∪ {ee : ∀e ∈ E}. Logo, kerφ ⊆ hR ∪ {e : e ∈ T }iF (E)
. Assim, F (E) kerφ = F (E) hR ∪ {e : e ∈ T }iF (E) ∼ = π1(Γ, a).
Como Γ é conexo, π1(Γ, a) = π1(Γ) e π1(Γ) tem apresentação hE | R ∪ {e : e ∈ T }i.
Corolário 2.1.1. Seja Γ um grafo conexo e T uma árvore maximal de Γ. Então, π1(Γ) é
livre, cujo conjunto base é constituído por uma única aresta de cada par de arestas {e, e} não contido em T . Além disso, a aresta escolhida corresponde à classe de fvefw, fv é o único
caminho reduzido em T de a a v, v = σ(e), w = τ(e).
Demonstração. A segunda parte é óbvia, pela construção da demonstração do teorema acima. Já a primeira parte, vemos que
π1(Γ) = hE | R ∪ {e : e ∈ T }i = hx ∈ {e, e} ⊆ E − E(T )i ,
com x é escolhido unicamente de cada par de arestas. Assim, temos que π1(Γ) é um grupo
livre com a base descrita acima.
Corolário 2.1.2. Um grafo conexo Γ é uma árvore se e somente se seu grupo fundamental é trivial.
Demonstração. (⇒) Como Γ é árvore, temos que T = Γ. Portanto, E − E(T ) = ∅. Pelo corolário 2.1.1, temos que π1(Γ) é trivial.
(⇐) Seja T uma árvore maximal em Γ. Então,
π1(Γ) = F (x ∈ {e, e} ⊆ E − E(T ), x unicamente escolhido de cada par de arestas) = {1} .
Portanto, x = 1 para cada x ⇒ ∀e ∈ E, e ∈ T ⇒ E = E(T ). Como V (T ) = V (Γ), então T = Γ.
Corolário 2.1.3. Seja Γ um grafo conexo com n vértices e m pares de arestas. Então, o número k de elementos do gerador de π1(Γ) é m − n + 1, supondo n nito.
Demonstração. Seja T uma árvore maximal de Γ. Então, T possui n vértices e n − 1 pares de arestas, conforme proposiçao 2.1.3. Como o gerador de π1(Γ) é o conjunto composto por
um elemento de cada par de arestas não pertencentes a E(T ), então k = m − n + 1.
Exemplo 2.1.1. Seja Γ o grafo conexo tal que V (Γ) = {v} e E(Γ) = {e, e} (o grafo pode ser representado pelo S1). Então, a árvore maximal de Γ é T = {v}. Assim, π
1(Γ) = F ({e}) ∼=
Z. Daí, π1(S1) = Z.
2.2 Ação de Grupos
De nição 2.2.1. Uma ação de um grupo G sobre um conjunto X é um homomor smo ϕde G em P erm(X).
