A argumentação e o raciocínio

A lógica matemática diz respeito ao estudo dos argumentos, ou seja, de raciocínios que permitem, de uma ou de mais proposições, retirar uma consequência (Reis, 2004). Um argumento é considerado um conjunto de raciocínios que dá origem a outros na procura de um final que é considerado a conclusão para o argumento inicial. Podemos falar de raciocínios argumentativos e de raciocínios lógicos. Os raciocínios argumentativos dirigem-se sempre a um auditório que se procura convencer e persuadir e não se podem desenvolver independentemente do auditório (Grácio, 1998).

Etimologicamente, raciocinar matematicamente remete para calcular, mas também para usar a razão, para julgar, compreender, examinar, avaliar, justificar e concluir, o que conduz a que, em Matemática, não raciocinamos apenas quando provamos algo, mas sempre raciocinamos ao apresentar razões que justifiquem afirmações (Boavida, 2008).

Na sala de aula de Matemática existem vários tipos de raciocínio. Polya (1968) distinguiu dois tipos de raciocínio, o dedutivo e o plausível. Sublinhou que entre eles existe uma grande distância, pois o primeiro é seguro e o segundo é incerto, provisório e controverso. No raciocínio

plausível é possível adicionar novo conhecimento ao já existente. Considera que no raciocínio dedutivo é necessário saber distinguir entre uma prova e uma conjectura e entre uma

demonstração válida e uma tentativa inválida. No raciocínio plausível é fundamental distinguir uma conjectura de outra conjectura e perceber qual delas é mais razoável. Polya (1968) defende ainda que os dois tipos de raciocínio completam-se e que devem ser ensinados em paralelo,

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devendo o ensino preparar os alunos para a invenção matemática adaptando-a de acordo com o nível de inteligência de cada um. Desta forma, os alunos são preparados para uma experiência matemática mais completa, mais realista e mais responsável. Mason, Burton e Stacey (1982) consideram que existem quatro processos de raciocínio presentes no pensamento matemático:

especialização, formulação de conjecturas, teste e justificação. A especialização é fundamental

na abordagem de um problema de forma indutiva, sendo utilizado na procura de regularidades ou na exploração de casos particulares. Após a formulação de conjecturas é fundamental encontrar possíveis justificações para uma melhor compreensão e validação ou refutação, reiniciando todo o processo caso seja necessário.

Ponte (1984) considera que é possível distinguir três tipos fundamentais de raciocínio na matemática: o lógico-dedutivo, o algorítmico e o intuitivo. O raciocínio lógico-dedutivo é usado na dedução e consiste basicamente em argumentos da forma “se…então”. Este processo de raciocínio é basicamente de validação e de organização do conhecimento matemático. O

raciocínio algorítmico é constituído por etapas sequenciais bem definidas e aplica-se na

resolução de problemas semelhantes, em que em cada etapa a operação tem de ser bem definida. Este tipo de raciocínio é importante na resolução de problemas do dia-a-dia apesar de poderem ser várias as etapas para a sua resolução. No raciocínio intuitivo as etapas nem sempre são bem definidas pois, por vezes, as operações podem ser difíceis de observar ou de distinguir. Na sua grande parte são substituições, generalizações, associações, etc. Assim, o raciocínio intuitivo é fundamental no acto de criar e de aprender matemática.

Ponte (1984) considera que “No ensino da matemática, o raciocínio lógico-dedutivo e o intuitivo tendem a ser sufocados pela grande ênfase dada aos algoritmos e aos procedimentos” (p. 10). Os alunos, desta forma tendem a desenvolver uma visão distorcida da matemática, não entendendo como certo conceito é criado e aplicado. A maior parte dos alunos pensa que a matemática se reduz a um conjunto de regras e que para resolver um problema só é fundamental relembrar e aplicar as referidas regras. No caso particular da interpretação gráfica, esta é de natureza aberta pois requer um grande número de estruturas conceptuais criativas de acordo com cada situação. Na interpretação gráfica intervêm o raciocínio intuitivo, considerando este como o processo de recolha de informações através da interpretação gráfica (Ponte, 1984). Também Greenes e Findell (1999) consideram que existem dois tipos de raciocínio: o dedutivo e o indutivo. O raciocínio dedutivo, está presente quando os alunos resolvem problemas e quando tiram conclusões a partir de diagramas, gráficos ou tabelas. O raciocínio indutivo envolve o exame de casos particulares, identificando as relações entre esses casos, e a

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generalização dessas relações. Por exemplo, a generalização de uma regra ou função que descreve a relação entre qualquer termo ou objecto e a sua posição numa sequência de regras que podem ser na forma de palavras, símbolos ou gráficos (Greenes & Findell, 1999).

Ayalon e Even (2006) salientam que o raciocínio dedutivo é o único em que as conclusões derivam das informações previamente dadas e assim não existe a necessidade de serem provadas através de experiências. Uma forma de inferir o método dedutivo é o silogismo que inclui três afirmações: duas premissas (ou créditos) e uma conclusão lógica que é deduzida a partir delas. Grandes cientistas como Descartes e Popper demonstraram a importância do raciocínio dedutivo para a ciência em geral. O facto é que “um mundo sem dedução é um mundo sem a ciência, tecnologia e um sistema jurídico” (Ayalon & Even, 2006, p.90).

Este tipo de raciocínio é, por vezes, usado como sinónimo de pensamento matemático e desempenha um papel fundamental na construção de justificações e provas matemáticas. Tendo em consideração que um dos objectivos do ensino aprendizagem da matemática é o de melhorar o raciocínio dedutivo, o estudo desenvolvido por Ayalon e Even (2006) mostrou que o seu significado não é aceite por todos os educadores matemáticos da mesma maneira.

Nas últimas décadas, na investigação e educação matemática, o ensino e aprendizagem da álgebra mereceu um grande interesse, devido aos alunos manifestarem algumas dificuldades na sua compreensão. Para alguns investigadores os problemas e as dificuldades dos alunos relativamente ao raciocínio algébrico devem-se ao seu grau de abstracção. O raciocínio algébrico pressupõe que partindo da observação de um determinado conjunto de evidências, os alunos façam a generalização das ideias matemáticas através das argumentações (Blanton & Katput, 2005).

Segundo Breiteig e Grevholm (2006), num estudo desenvolvido com alunos do ensino secundário, verificaram que estes preferem explicar os problemas dados na retórica do que na álgebra formal. A discussão de soluções alternativas a uma determinada tarefa pode desencadear nos alunos uma consciencialização de uma forma própria de explicar (Breiteig & Grevholm, 2006). Assim, os alunos ao serem envolvidos em muitos exemplos e actividades desenvolvem as suas habilidades de raciocínio algébrico (Breiteig & Grevholm, 2006).

Na educação matemática, em todos os níveis de ensino, é dada grande importância ao raciocínio chamando a atenção à argumentação matemática e à justificação (Yackel & Hanna, 2003). Apesar da actividade de argumentação ser uma componente do raciocínio essencial na construção do conhecimento matemático, vários estudos realizados têm verificado que esta prática não se encontra presente em algumas salas de aula, por ser uma tarefa complexa que

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requer ambientes propícios ao desenvolvimento da capacidade argumentativa dos alunos (Boavida et al., 2002).